WYKŁAD NR 12

WYKŁAD NR 12

OPTYMALIZACJA PRACY ZBIORNIKA RETENCYJNEGO OPARTA NA ZASADZIE MAKSIMUM (WARIANT

PODSTAWOWY)

W ramach niniejszego wykładu przedstawione zostały zastosowania metody optymalizacji dynamicznej wg zasady maksimum Pontriagina w zagadnieniach związanych z gospodarką wodną prowadzoną dla pojedynczego zbiornika retencyjnego.

1. Rozwiązanie zadania optymalizacji dla stałych w czasie współczynników wag

Problem dotyczy optymalizacji sterowania (odpływu ze zbiornika), w wyniku którego zagwarantowane będą:

) ˆ t( u

• wypełnienie zbiornika na koniec rozpatrywanego interwału czasu (horyzontu optymalizacji T), które w minimalny sposób odbiegać będzie od żądanego w chwili

) (T x

T wypełnienia zbiornika x^w(T),

• minimalne odchyłki odpływu od przyjętego zapotrzebowania na wodę poniżej zbiornika w rozpatrywanym horyzoncie optymalizacji

) ˆ t(

u y(t)

T .

Zbiornik retencyjny

− ) Q1^P(t

− ) Q1(t

dopływ prognozowany dopływ rzeczywisty

zakłócenie nr 2 niekontrolowany dopływ

sterowany odpływ ze zbiornika

zapotrzebowanie na wodę poniżej zbiornika

) (t y

zakłócenie nr 4 niekontrolowany dopływ )

(t Q₂

) (t Q₄

) (t Q₃

) (t u zakłócenie nr 1 różnica między ) ( ) (t Q t Q1^P − 1

zakłócenie nr 3 niekontrolowany dopływ

) (t stan zbiornikax

Rys. 1. Wyodrębniony system wodno-gospodarczy

Jak łatwo przewidzieć optymalna trajektoria sterowania odpływem ze zbiornika i optymalna trajektoria stanu zbiornika , będą funkcją prognozowanego dopływów do zbiornika i funkcją zapotrzebowania poniżej zbiornika w całym horyzoncie optymalizacji .

) ˆ t( u )

ˆ t( x )

1 (t

Q^P y(t)

[ ]

T t∈0,

Funkcja zapotrzebowania y(t) dla ^t∈

[ ]

^0,T jest zdeterminowana, a więc w rozpatrywanym przedziału czasu nie ulegnie losowej zmianie.

Założenia takiego nie można przyjąć w odniesieniu do funkcji określającej prognozowany dopływ do zbiornika . Z całą pewnością prognozowany dopływ nie jest jednoznacznie zdeterminowany, szczególnie dla dłuższych przedziałów czasu, co wskazuje na fakt, iż zadanie optymalizacji w tych warunkach ma charakter wyłącznie poznawczy, ewentualnie stanowić może element szerzej pojętych modeli sterowania zbiornikiem w czasie rzeczywistym.

)

1 (t Q^P

2. Sformułowanie i rozwiązanie problemu (stan początkowy ustalony, stan końcowy swobodny, czas końcowy ustalony)

Trajektorie optymalne stanu zbiornika i odpływu ze zbiornika (sterownia) zostaną wyznaczone poprzez rozwiązanie następującego zadania optymalizacji dynamicznej, której koniecznymi elementami są:

a. Wskaźnik jakości (Problem Bolza)

∫

+

=

T

dt t t x t u f T T x K F

0

0( ( ), ( ), ) )

), ( (

gdzie: jest funkcją zależną bezpośrednio od położenia końcowego punktu trajektorii stanu ,

) ), ( (x T T K

) ), ( (xT T

) jest funkcjonałem reprezentującym „jakość” całej trajektorii odpowiadającej sterowaniu

), ( ), (

0(u t x t t

f x(t),t∈

[

0,T

]

u(t)

w szczególności

(1)

[ ]

( )

[ ]

_{( )}

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ⋅ − + ⋅ −

⋅

= ^{a xw T x T + a T}

∫

^{y t u t +dt}

F

0

2 2

2

1 ( ) ( ) ( ) ( )

5 , 0

Sens fizyczny wskaźnika (1) sprowadza się do podsumowania kar powstałych w wyniku:

• różnicy między osiągniętym stanem zbiornika xˆ T( ) w chwili końcowej T a żądanym wypełnieniem zbiornika x^w(T) na koniec horyzontu optymalizacji T ,

• różnicy za okres czasu

[

między wymaganą funkcją zapotrzebowania na wodę ze zbiornika a zrealizowanym sterowanym odpływem ze zbiornika

.

]

}

T , 0 )

(t

[ ]

yT t

t

uˆ(), ∀ ∈ 0,

Wzajemne relacje między składnikami wskaźnika jakości określają współczynniki wag , natomiast symbol

( )

oraz symbol oznacza, że bierze się pod uwagę tylko odchyłki dodatnie, natomiast odchyłki ujemne przyjmują wartość zero.

2 1, a

a • _{( )+}²

∫

^T

( )

^•_{( )}⁺

0 2

Łatwo zauważyć, iż oba składniki wskaźnika jakości (1) wyrażają przeciwstawne cele.

Przyjęcie sterowania (odpływu ze zbiornika), przy którym osiągnięty stan końcowy pokryje się z wymaganym stanem końcowym, skutkuje zerową wartością wyrażenia

, powodując jednocześnie wzrost wartości drugiej części wskaźnika i odwrotnie. Przyjęcie sterowania równego funkcji zapotrzebowania , w wyniku którego spowoduje wzrost wartości wskaźnika jakości z uwagi na jego pierwszy składnik.

) (T x

[ ]

( )

{

x^w(T⁾⁻x⁽T^{) 2}+⁼⁰

[ ]

T t

t y t

u( )= ( ), ∈0,

( ) 0

] ) ( ) ( [

0

2 =

∫

− ⁺

T

dt t u t y

Istnieje zatem takie sterowanie optymalne uˆ(t), ∀t∈

[ ]

0,T i taka odpowiadająca mu optymalna trajektoria stanu xˆ(t), ∀t∈

[ ]

0,T , przy których wartość wskaźnika jakości

będzie minimalna. Określenie tego sterowania (odpływu ze zbiornika) i optymalnej trajektorii stanu następuje w drodze rozwiązania problemu optymalizacyjnego.

[

^{xˆ(t),uˆ(t)}

F

]

b. Równanie stanu zbiornika ma postać

(2)

0 1

) 0 (

) ( ) ( ) ( :

x x

t u t Q t x

f ^P

=

−

& =

gdzie: x₀ – początkowa objętość wody w zbiorniku [m³],

) – pochodna stanu zbiornika (zmiana objętości wody w zbiorniku w jednostce czasu) [m

x&(t

3/s].

c. Ograniczenia sterowania (odpływu ze zbiornika)

Odpływ ze zbiornika musi zawierać się między granicznymi wartościami zwanymi ograniczeniami. Dolne ograniczenie sezonowo zmienne w czasie odpowiada najniższemu odpływowi, który musi być zrealizowany z uwagi na przepływ nienaruszalny poniżej zbiornika, życie biologiczne poniżej zbiornika i inne.

Górne ograniczenie, sezonowo zmienne w czasie, wynikać może z ograniczonej przepustowości urządzeń spustowych zbiornika, dopuszczalnych przepływów poniżej zbiornika, które nie wywołają szkód zalewowych itp. Nie wnikając w głębszą analizę dotyczącą wartości ograniczeń możemy wprowadzić następujący zapis

) ( ) ( )

( _max

min t u t u t

u ≤ ≤ (2a)

gdzie: – dolne ograniczenie sterowania/odpływu/ [mu_min(t) ³/s], ) – górne ograniczenie sterowania/odpływu/ [m

max(t

u ³/s].

d. Uwagi dotyczące ograniczeń stanu zbiornika, typu

Z reguły przy analizie pracy zbiornika retencyjnego przyjmujemy podział pojemności tego zbiornika, który sprowadza się do wyodrębnienia kilku charakterystycznych stref (warstw).

bieżący dopływ do zbiorników bieżący stan sytemu

strefa martwa

T t=

=0 t ) ( t x1

x0 1

t1 t2 t3 t4

) (T x algorytm

sterowania w czasie powodzi

algorytm sterowania w

czasie suszy

strefa / rezerwa / przeciwpowodziowa

algorytm sterowania wg (5.1),(5.2),(5.2a),

(5.2b)

prognoza dopływów

[Q^P(t−τ^P(t))],t∈[0,T]

[x( t)] [^{QR(t−τR(t))}]

DYSPOZYTOR

) ( t Q1^P

t

) ( t x_g

) ( t x_d

m a x

t t^{m in}

strefa / warstwa /

użytkowa

strefa użytkowa stany niskie

Rys.2. Podział pojemności zbiornika

W każdej z tych stref obowiązują inne zasady sterowania odpływem ze zbiorników adekwatne do bieżącego stanu systemu, długo- i krótkoterminowej prognozy dopływów, bieżących dopływów do zbiorników. Przejście stanu zbiornika z jednej warstwy w drugą wiąże się z zainicjowaniem innego algorytmu sterowania charakteryzującego się specyficznymi dla danej sytuacji wytycznymi. Przejście stanu zbiornika ze strefy użytkowej do strefy stanów niskich wskazywać może na zbliżającą się suszę, a w związku z powyższym zachodzi konieczność ograniczania odpływów według stosownego algorytmu. Analogicznie przejście stanu zbiornika ze strefy użytkowej do strefy przeciwpowodziowej sygnalizować może zbliżającą się falę powodziową co skutkuje przestawieniem algorytmu sterowania zbiornikiem na algorytm sterowania falą powodziową. Oba przypadki rozpatrywane są na podstawie innych niż proponowany wskaźniki jakości.

Zmienność w czasie górnego i dolnego ograniczenia wynika z reguły z konieczności utrzymywania sezonowo zmiennej rezerwy w odniesieniu do pojemności zbiornika wykorzystywanej w stanach awaryjnych (powódź, długotrwała susza)

) ( ) ( )

(t x t x t

x_d ≤ ≤ _g (2b)

gdzie: – dolne ograniczenie stanu zbiornika [mx_d(t) ³], ) – górne ograniczenie stanu zbiornika [m (t

x_g ³].

Koncentrując rozważania do strefy użytkowej zbiornika poszukiwać będziemy takiego sterowania ^uˆ(t),t∈

[

^0,T

]

który zminimalizuje wskaźnik jakości (1) przy równaniu stanu (2), i ograniczeniach (2a), (2b).

Rozwiązanie zadania optymalizacji

Tworzymy funkcję Hamiltonian układu w postaci

(3)

[

^{( ) ( )}

]

^{( )}

[

^{( ) ( )}

]

5 ,

0 ₂ ² ₁

0

t u t Q t t

u t y a H

f f H

P −

⋅ +

−

⋅

⋅

−

=

⋅ +

−

=

η η

gdzie: η(t) – zmienna sprzężona.

Układ równań dla funkcji Hamiltona przedstawia się następująco A 0

[

( ) ˆ( )

]

ˆ( ) 0

)

( ⎟⎟_ˆ,ˆ,ˆ = ²⋅ − − =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

η

t t u t y t a

u H

x u

η (4)

) 2

ˆ( ) ( )

ˆ(t y t t a

u = −η (5)

B ˆ( ) ˆ( ) 0

)

( ⎟⎟_ˆ,ˆˆ = =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

η

t t t

x H

x u

η

η& & (6)

C ^{ˆ( ) ˆ}

( )

1^{( ) ˆ( )} ,ˆ

ˆ

t u t Q t x t

H x P

x u

−

=

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂ & &

η(t) (7)

D ^{ˆ( ) ˆ( )}

[

^{( ) ( )}

]

⁽⁸⁾

) (

) ), ( (

1 x T x T

a T T T

x T T x

K ⎟⎟⎠= = ⋅ w −

⎜⎜ ⎞

⎝

−⎛ ∂ η η

Z równania (6) wynika że ) 1

ˆ(t =C

η (ekstremala) (9)

Po scałkowaniu równania (7) uzyskujemy ogólną postać trajektorii modelowo-optymalnej stanu

(ekstremala) ₂ (10)

0

1 ( ) ˆ( )) (

)

ˆ(t Q u d C

x

t

P − +

=

∫ ^{ξ ξ ξ}

Podstawiając do (10) sterowanie wg wzoru (5) otrzymujemy

[ ]

{

2

0

2

1 ( ) ( ) ˆ( )

)

ˆ(t Q y a d C

x

t

P ξ − ξ − ξ ξ+

=

∫

^η

^}

⁽¹¹⁾

[ ]

2 2 0

1

) ˆ( )

( ) ( )

ˆ(

a t C t

d y Q

t x

t

P ξ − ξ ξ+ + ⋅

=

∫

^{η (12)}

0 2

) 0

0 ( ,

0 x x C x

t= = zatem =

dla (13)

Z (8) i (9) wynika

[ ]

1

1

1, ( ) ˆ( )

)

ˆ(T =C a ⋅ x^w T −x T =C

η (14)

Wstawiając do (14) za xˆ T( ) wyrażenie (12) zapisane dla t= otrzymujemy wzór T

[ ]

2 1

2 1

1

) ˆ( ) ( ) ( )

( C C

a T dt T

t y t Q T x a

T P

w =

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ⋅ −

−

−

−

⋅

∫

0

η (15)

Wyrażając w (15) C₂ zgodnie z (13) i ηˆ T( ) zgodnie z (9) wyznaczamy stałą C₁

[ ] [ ]

T a a

dt t y t Q x

T x a a C

T P w

⋅

+ ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ − − −

⋅

=

∫

1 2

0 1 0 2

1 1

) ( ) ( )

(

(16) Podstawiając (16) do (9) a wynik do (5) otrzymujemy wzór

[ ] [ ]

T a a

dt t y t Q x

T x a t y t u

T P w

⋅ +

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ − − −

⋅

−

=

∫

1 2

0 1 0

1 ( ) ( ) ( )

) ( ) (

ˆ (17)

Wyrażając we wzorze (10) według (17), a zgodnie z (13), trajektoria modelowo- optymalna stanu zbiornika opisana jest następującym równaniem

) ˆ t(

u C₂

[ ] [ ]

0

0 2 1

0 1 0

1 1

) ( ) ( )

( )

( ) ( )

ˆ( d x

T a a

dt t y t Q x

T x a y Q

t x

t

T P w

P ξ+

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⋅ +

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ − − −

⋅

− ξ

− ξ

=

∫ ∫

(18)

Jeżeli trajektoria sterowania wg (18) mieści się w ograniczeniach )

( )

ˆ( )

( _max

min t u t u t

u ≤ ≤

oraz trajektoria stanu wg (19) mieści się w ograniczeniach stanu )

( ) ˆ( )

(t x t x t

x_d ≤ ≤ _g

zadanie optymalizacji można uznać za zakończone.

Trajektorie optymalne sterowania odpływem ze zbiornika i stanu zbiornika są, jak zaznaczono we wstępie, funkcjami prognozy dopływów do zbiornika i zapotrzebowania w całym horyzoncie optymalizacji

)

1 (t Q^P )

(t

y ^t∈

[ ]

^{0,T .}

Optymalną wartość wskaźnika jakości otrzymamy wstawiając (17) i (18) do (1)

[ ]

( )

[ ]

_{( )}

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ⋅ − + ⋅ −

⋅

= ^{a xw T x T + a T}

∫

^{y t u t +dt}

F

0

2 2

2 1

min 0,5 ( ) ˆ( ) ( ) ˆ( )

Przykład

Przyjmiemy następujące założenia:

• początkowy wymagany stan zbiornika x(0)= x₀=40 [m³],

• końcowy wymagany stan zbiornika x^w(T)=40 [m³],

• horyzont optymalizacji T =10 [s],

• dopływ do zbiornika Q₁^P(t)=10 [m³/s], t∈

[

^0,10

]

,

• zapotrzebowanie na wodę poniżej zbiornika y⁽t⁾=t+^10, t∈

[

^0,10

]

,

• współczynniki wagi a₁= a₂=1 wówczas zmienna sprzężona wyrażona wzorem (16) wynosi

( )

[ ]

(

1 1 110

)

^4,5454

10 10

40 40 1 1 )

ˆ(

10

0

1 =

⋅ +

⋅

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ − − − +

⋅

⋅

=

=

∫

^{t dt}

C t η

sterowanie optymalne wg (17) ^{uˆ(t)=t+10−4,5454=t+5,4545}

[ ]

^{m3 s .}

Stan optymalny wg (18) przedstawia się następująco

( )

(

^4,5454

)

^{35,45[m ]}

0 , 40 ) 10 ˆ(

4545 , 5 10 0 , 40 ) ˆ(

3 10

0 10

0

= +

− +

=

−

− +

=

∫

∫

dt t

x

dt t

t x

Wartość wskaźnika jakości (1) wynosi

(

^{40 35,45}

) (

^{10 5,4545}

)

^227,318

1

10

0

2 + − − =

−

⋅

=

∫

^{t dt}

F

Ilustrację liczbową przedstawionego zadania optymalizacji przedstawiono na rysunkach 3, 4.

t t t

[ ]^{m s}

) ˆ( , ) ( , )

(t yt ut ³ Q

10 ) (t = t+ y

4545 , 5 ) ( ˆt = t+ u

) ( 1 10 )

(t t

Q = ⋅

2 1

1= a =

a a₁=1 a₂=10 a₁=1 a₂=20

[ ]^m3

) ˆ t( x

[ ]^m3

40 ) 0 ( = x 45

, 35 ) ( ˆT = x

885 , 14 ) ( ˆT = x

6837 , 6 ) ( ˆT = x

2 1

1= a = a

10

1 ₂

1= a =

a

20

1 ₂

1= a =

a

t 1

2 3

[ ]^m3

40 ) (T = x^w 318

,

=227 F

0 ,

=1241 F

4 ,

=1652 F 1

2 3

Rys. 3. Trajektorie sterowania odpływem ze zbiornika, stanu zbiornika, prognozowanego dopływu do zbiornika, funkcji zapotrzebowania na wodę poniżej zbiornika

t t

t

[ ]^{m s}

) ( ˆ , ) ( , )

(t yt ut ³ Q

) (t y ) (t Q

) ˆ t( u

10 2 , 1 1= a =

a a1=1,a2=50 a1=1,a2=200

[ ]^m3

06 , 300 ) (T = x

[ ]^m3

43 , 152 ) (T = x

[ ]^m3

15 , 56 ) (T = x

[ ]m³ 400 ) (T = x^w

[ ]^m3

250 ) 0 ( = x

[ ]m³ ) ˆ t( x 10

2 , 1 1= a = a

50 2 , 1 1= a = a

200 2 , 1 1= a = a

1 1

2 2

3

3

t

Rys. 4. Trajektorie sterowania odpływem ze zbiornika, stanu zbiornika, prognozowanego dopływu do zbiornika, funkcji zapotrzebowania na wodę poniżej zbiornika dla różnych wartości współczynnika

wagi a2

3. Sformułowanie i rozwiązanie problemu (stan początkowy swobodny, stan końcowy ustalony, czas końcowy ustalony)

a. Wskaźnik jakości (Problem Bolza)

(19)

[ ]

( )

[ ]

_{( )}

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ⋅ − + ⋅ −

⋅

= ^{a x xw + a}

∫

^{T y t u t +dt}

F

0

2 2

2

1 (0) (0) ( ) ( )

5 , 0

Sens fizyczny wskaźnika (19) sprowadza się do podsumowania kar powstałych w wyniku:

• różnicy między początkowym stanem zbiornika w chwili , z którego możliwe jest osiągniecie prawego ustalonego warunku brzegowego na stan, a żądanym wypełnieniem zbiornika w chwili rozpoczynającej horyzont optymalizacji

) 0

ˆx( t₀ =0 )

0

w(

x T ,

• różnicy za okres czasu

[

między wymaganą funkcją zapotrzebowania na wodę ze zbiornika a zrealizowanym sterowanym odpływem ze zbiornika .

]

T , 0 )

(t

y uˆ(t), ∀t∈

[ ]

0,T

Wzajemne relacje między składnikami wskaźnika jakości określają współczynniki wag , natomiast symbol

( )

oraz symbol oznacza, że bierze się pod uwagę tylko odchyłki dodatnie natomiast odchyłki ujemne przyjmują wartość zero.

2 1, a

a • _{( )+} ²

∫

^T

( )

^• _{( )}⁺

0 2

b. Równanie stanu zbiornika ma postać

(20)

T P

x T x

t u t Q t x f

=

−

= ) (

) ( ) ( ) ( :& ₁

gdzie: x_T – objętość wody w zbiorniku w chwili kończącej optymalizacje [m³], ) – pochodna stanu zbiornika (zmiana objętości wody w zbiorniku w

jednostce czasu) [m x&(t

3/s].

Rozwiązanie zadania optymalizacji

Tworzymy funkcję Hamiltonian układu w postaci

(21)

[

^{( ) ( )}

]

^{( )}

[

^{( ) ( )}

]

5 ,

0 ₂ ² ₁

0

t u t Q t t

u t y a H

f f H

P −

⋅ +

−

⋅

⋅

−

=

⋅ +

−

=

η η

gdzie: η(t) – zmienna sprzężona.

Układ równań dla funkcji Hamiltona przedstawia się następująco A ⁰

[

^{( ) ˆ( )}

]

^{ˆ( ) 0}

)

( ⎟⎟⎠_ˆ,ˆ,ˆ = ²⋅ − − =

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

η

t t u t y t a

u H

x u

η (22)

) 2

ˆ( ) ( )

ˆ(t y t t a

u = −η (23)

B ˆ( ) ˆ( ) 0

)

( ⎟⎟⎠_ˆ,ˆ,ˆ = =

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

η

t t t

x H

x u

η

η& & (24)

C ^{ˆ( ) ˆ}

( )

1^{( ) ˆ( )} ,ˆ

ˆ

t u t Q t x t

H x _P

x u

−

=

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂ & &

η(t) (25)

D ^{ˆ(0) ˆ(0)}

[

^{(0) (0)}

) (

) ), ( (

1 0

0

0 a x xw

t x

t t x

K ⎟⎟= = ⋅ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ∂ η η

]

⁽²⁶⁾

Z równania (24) wynika że

) 1

ˆ(t =C η

Po scałkowaniu równania (25) uzyskujemy ogólną postać trajektorii optymalnej stanu

(ekstremala) ₂ (27)

0

1 ( ) ˆ( ))

( )

ˆ(t Q u d C

x

t

P ξ − ξ ξ+

=

∫

Podstawiając do (27) sterowanie wg wzoru (23) otrzymujemy

[ ]

{

2

0

2

1 ( ) ( ) ˆ( )

)

ˆ(t Q y a d C

x

t

P ξ − ξ − ξ ξ+

=

∫

^η

^}

⁽²⁸⁾

Ponieważ ηˆ(t)=C₁, zatem a1⋅

[

xˆ(0)−x^w(0)

]

=C1 oraz

[ ] [ ]

2 1

2 0

1

) 0 ( ) 0 ˆ( )

( ) ( )

ˆ(

a

t x x C a

d y Q

t x

t w

P ξ − ξ ξ+ + ⋅ − ⋅

=

∫

⁽²⁹⁾

Wykorzystując prawy warunek brzegowy na trajektorie stanu otrzymujemy

[ ] [ ]

2 1

0 1

) 0 ( ) 0 ˆ( ) 0 ˆ( ) ( )

( a

T x x x a

d y Q

x

T w P T

⋅

− + ⋅

+ ξ ξ

− ξ

=

∫

⁽³⁰⁾

Z wyrażenia (30) wyliczamy warunek początkowy ˆx(0)

[ ]

(

1 2

)

1 0

1

2 ( ) ( ) (0)

) 0 ˆ(

a T a

T x a dt t y t Q x a x

W T

P T

+

⋅

⋅

⋅

⎪⎭+

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ − −

⋅

=

∫

(31) Podstawiając (31) do (26), a wynik do (23), otrzymujemy wzór określający sterowania

optymalne

[ ]

(

1 2

)

²

1 0

1 2

) 0 ( )

0 ( )

( ) ( )

( )

ˆ( x a

a T a

T x a dt t y t Q x a t y t

u ^w

W T

P T

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+ −

⋅

⋅

⋅

⎪⎭+

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ − −

⋅

−

=

∫

(32)

Wyrażając we wzorze (27) według (32), a zgodnie z (31), trajektoria modelowo- optymalna stanu zbiornika opisana jest następującym równaniem

) ˆ t(

u C₂

{ }

₀

0

1 ( ) ˆ() ˆ

)

ˆ(t Q u t d x

x

t

P ξ − ξ+

=

∫

⁽³³⁾

Tego typu zadanie optymalizacji jest szczególnie przydatne w wyznaczaniu optymalnego warunku początkowego wypełnienia zbiornika, zapewniającego zrealizowanie prawego warunku brzegowego trajektorii stanu, przy minimalnej wartości wskaźnika jakości.

Przykład

Przyjmiemy następujące założenia:

• początkowy wymagany stan zbiornika x^w(0)=2000 [m³],

• końcowy stan zbiornika x(T)=x_T =2000 [m³],

• horyzont optymalizacji T =10 [s],

• dopływ do zbiornika Q₁^P(t)=10 [m³/s], t∈

[

0,10

]

,

• zapotrzebowanie na wodę poniżej zbiornika y(t)=t+10, t∈

[

0,10

]

,

• współczynniki wagi a₁= a₂=1.

Przy takich założeniach początkowy stan optymalny ˆx(0) wg (31) wynosi

= ) 0 ˆx(

( )

[ ]

(

^{110 1}

)

^2004,5454

10 2000 1 10

10 2000 1

10

0 =

+

⋅

⋅

⋅

⎪⎭+

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ − − +

⋅

∫

^{t dt}

[m³] Następnie:

zmienna sprzężona wg (26) ηˆ(t)=2004,5454−2000=4,5454

oraz sterowanie optymalne wg (23) ^{uˆ(t)=t+10−4,5454=t+5,4546}

[ ]

^{m3 s}

Stan optymalny wg (33)

(

^{10 5,4546}

)

²⁰⁰⁰ [m 5454

, 2004 ) 10 ˆ(

10

0

=

−

− +

=

∫

^{t dt}

x ³]

4. Sformułowanie i rozwiązanie problemu (stan początkowy swobodny, stan końcowy swobodny, czas końcowy ustalony)

a. Wskaźnik jakości (Problem Bolza)

[ ]

( )

[ ]

( )

[ ]

_{( )}

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −

⋅

= ^{a x xw + a xw T x T + a T}

∫

^{y t u t +dt}

F

0

2 3

2 2

2

1 (0) (0) ( ) ( ) ( ) ( )

5 ,

0 (34)

Sens fizyczny wskaźnika (34) sprowadza się do podsumowania kar powstałych w wyniku:

• różnicy między początkowym stanem zbiornika w chwili , z którego możliwe jest osiągniecie prawego warunku brzegowego na stan a żądanym wypełnieniem zbiornika w chwili rozpoczynającej horyzont optymalizacji

) 0

ˆx( t₀ =0 )

0

w(

x T ,

• różnicy między wymaganym końcowym stanem zbiornika a osiągniętym w wyniku sterowania, stanem zbiornika w chwili końcowej horyzontu optymalizacji

) (T x^w )

(T x T ,

• różnicy powstałej w czasie

[ ]

0,T między wymaganą funkcją zapotrzebowania na wodę ze zbiornika a zrealizowanym sterowanym odpływem ze zbiornika

.

) (t

[ ]

T y t

t

uˆ(), ∀ ∈ 0,

Wzajemne relacje między składnikami wskaźnika jakości określają współczynniki wag , natomiast symbol

( )

oraz symbol oznacza, że bierze się pod uwagę tylko odchyłki dodatnie, natomiast odchyłki ujemne przyjmują wartość zero.

3 2 1, a , a

a • _{( )+}²

∫

^T

( )

^•_{( )}⁺

0 2

b. Równanie stanu zbiornika ma postać

) (35) (

) ( ) (

:x t Q₁ t u t f & = ^P −

gdzie: – pochodna stanu zbiornika (zmiana objętości wody w zbiorniku w jednostce czasu) [m

) x&(t

3/s].

Rozwiązanie zadania optymalizacji

Tworzymy funkcję Hamiltonian układu w postaci

(36)

[

^{( ) ( )}

]

^{( )}

[

^{( ) ( )}

]

5 ,

0 ₃ ² ₁

0

t u t Q t t

u t y a H

f f H

P −

⋅ +

−

⋅

⋅

−

=

⋅ +

−

=

η η

gdzie: η(t) – zmienna sprzężona.

Układ równań dla funkcji Hamiltona przedstawia się następująco

A ⁰

[

^{( ) ˆ( )}

]

^{ˆ( ) 0}

)

( ⎟⎟⎠_ˆ,ˆ,ˆ = ³⋅ − − =

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

η

t t u t y t a

u H

x u

η (37)

) 3

ˆ( ) ( )

ˆ(t y t t a

u = −η (38)

B ˆ( ) ˆ( ) 0

)

( ⎟⎟⎠_ˆ,ˆ,ˆ = =

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

η

t t t

x H

x u

η

η& & (39)

C ^{ˆ( ) ˆ}

( )

1^{( ) ˆ( )} ,ˆ

ˆ

t u t Q t x t

H x _P

x u

−

=

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂ & &

η(t) (40)

D ^{ˆ(0) ˆ(0)}

[

^{(0) (0)}

) (

) ), ( (

1 0

0

0 a x xw

t x

t t x

K ⎟⎟= = ⋅ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ∂ η η

]

⁽⁴¹⁾

E ^{ˆ( ) ˆ( )}

[

^{( ) ( )}

) (

) ), ( (

2 x T x T

a T T T

x T T x

K _w

−

⋅

=

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

−⎛ ∂ η η

]

⁽⁴²⁾

Z równania (39) wynika że

) 1

ˆ(t =C η

Po scałkowaniu równania (40) uzyskujemy ogólną postać trajektorii optymalnej stanu

(ekstremala) ₂ (43)

0

1 ( ) ˆ( ))

( )

ˆ(t Q u d C

x

t

P ξ − ξ ξ+

=

∫

Podstawiając do (43) sterowanie wg wzoru (38) otrzymujemy

[ ]

{

2

0

3

1 ( ) ( ) ˆ( )

)

ˆ(t Q y a d C

x

t

P ξ − ξ − ξ ξ+

=

∫

^η

^}

⁽⁴⁴⁾

Ponieważ ηˆ(t)=C₁, zatem ηˆ(0)=ηˆ(T) a to oznacza ze można porównać (41) z (42) oraz wyznaczyć xˆ T( ) w funkcji x(0)

[ ]

2 1

2 ( ) ˆ(0) (0)

) ˆ(

a

x x a T x T a

x

w

w − ⋅ −

= ⋅ (45)

Dla chwili końcowej T trajektorię stanu (44) z podstawieniem lewej strony w postaci (45) oraz uwzględnieniu (41), przedstawia wzór (46)

[

⁻

] [

⁼

∫

⁻

]

^{+ + ⋅}

[

⁻

]

^⋅

⋅

−

⋅ ^{w w T} _P ^w

a

T x x x a

dt t y t a Q

x x a T x a

0 3

1 1

2 1

2 ˆ(0) (0)

) 0 ˆ( ) ( ) ) (

0 ( ) 0 ˆ( )

( (46)

Z wyrażenia (46) wyliczamy warunek początkowy ˆx(0)

[ ] ( )

(

a a a a a a T

)

T a a a a x

dt t y t Q T x a a x

W T

P w

⋅

⋅ +

⋅ +

⋅

⋅

⋅ +

⋅

⋅

⋅

⎪⎭+

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ − −

⋅

⋅

=

∫

2 1 3 2 3 1

2 1 3 1 0

1 3

2 ( ) ( ) ( ) (0)

) 0

ˆ( (47)

Podstawiając (47) do (41) a wynik do (38) otrzymujemy wzór określający sterowania optymalne

[ ]

2

1 ˆ(0) (0)

) ( )

ˆ(t y t a x x a

u = − ⋅ − ^w (48)

Wyrażając we wzorze (43) według (48), a zgodnie z (47), trajektoria optymalna stanu zbiornika opisana jest następującym równaniem

) ˆ t(

u C₂

[ ]

0

0

1 ( ) ˆ( ) ˆ

)

ˆ(t Q u t d x

x

t

P ξ − ξ+

=

∫

⁽⁴⁹⁾

Tego typu zadanie optymalizacji może służyć w wyznaczaniu optymalnego warunku początkowego wypełnienia zbiornika oraz optymalnego warunku końcowego wypełnienia zbiornika , w odniesieniu do wymaganych wypełnień zbiornika (początkowego i końcowego ). Przy znajomości przebiegu dopływu do zbiornika i zapotrzebowania na wodę poniżej zbiornika, sterowanie z uwzględnieniem wyż. wym. warunków , zapewnia minimalną wartość wskaźnika jakości (34).

) 0 ˆx( )

ˆ T( x ) 0

w(

x x^w(T)

) 0 ˆx( xˆ T( ) Przykład

Przyjmiemy następujące założenia:

• początkowy wymagany stan zbiornika x^w(0)=40 [m³],

• końcowy wymagany stan zbiornika x^w(T)=40 [m³],

• horyzont optymalizacji T =10 [s],

• dopływ do zbiornika Q₁^P(t)=10 [m³/s], t∈

[

^0,10

]

,

• zapotrzebowanie na wodę poniżej zbiornika y⁽t⁾=t+^10, t∈

[

^0,10

]

,

• współczynniki wagi a₁=a₂=a₃=1. Początkowy stan optymalny ˆx(0)wyrażony wzorem (5.47) wynosi

= ) 0 ˆx(

( )

[ ] ( )

(

^{1 1 1 1 1 110}

)

^44,1666

10 1 1 1 1 40 10

10 40 1

10

0 =

⋅

⋅ +

⋅ +

⋅

⋅

⋅ +

⋅

⋅

⎪⎭+

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ − − +

⋅

∫

^{t dt}

[m³] Następnie:

zmienna sprzężona wg (41) η^ˆ(t⁾=¹⋅

(

^44,1666−⁴⁰

)

^/1=^4,1666

sterowanie optymalne wg (48) uˆ(t)=t+10−4,1666=t+5,8333[m³/s]

Stan optymalny wg (49)

( )

(

^4,1666

)

^{35,833[m ]}

1666 , 44 ) 10 ˆ(

8333 , 5 10 1666 , 44 ) ˆ(

3 10

0 10

0

= +

− +

=

−

− +

=

∫

∫

dt t

x

dt t

t x

Ilustracja graficzna przykładu przedstawiona na rysunku 5.

10 ) (t = t+ y

8333 , 5 ) ( ˆt = t+ u

) ( 1 10 )

(t t

Q = ⋅

[ ]

^m3

1666 , 44 ) 0 ˆ( = x

[ ]

^m3

833 , 35 ) ( ˆT =

[ ]

^m3 x 0 , 40 ) 0 ( = xw

[ ]

^m3

0 , 40 ) (T = x^w

[ ]^s

t

] s [ 1666 ,

max=4 t ] m [ 847 , 52 ) 1666 , 4 (

ˆ_max = ³

x

[ ]

^{m s}

) ˆ( ), ( ),

(t yt ut ³

Q xˆ t⁽⁾

[ ]

^m3

[ ]^s

t

[ ]0,10 , ) ˆ(t t∈ x

F_min= 46,3916

Rys.5. Trajektorie sterowania odpływem ze zbiornika, stanu zbiornika, prognozowanego dopływu do zbiornika, funkcji zapotrzebowania na wodę poniżej zbiornika, dla przypadku swobodnych warun-

ków brzegowych x(0), x(T)

5. Rozwiązanie zadania optymalizacji z uwzględnieniem zmienności w czasie współczynnika wagi ^a2^(t),∀^t∈

[ ]

^0,T

Rozwiązanie zadania optymalizacji

Tworzymy funkcję Hamiltonian układu w postaci

(50)

[

^{( ) ( )}

]

^{( )}

[

^{( ) ( )}

) ( 5 .

0 ₂ ² ₁

0

t u t Q t t

u t y t a H

f f H

P −

⋅ +

−

⋅

⋅

−

=

⋅ +

−

=

η η

]

gdzie: η(t) – zmienna sprzężona.

Układ równań dla funkcji Hamiltona przedstawia się następująco A ^{0 ( )}

[

^{( ) ˆ( )}

]

^{ˆ( ) 0}

)

( ⎟⎟⎠_ˆ,ˆ,ˆ = ² ⋅ − − =

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

η

t t u t y t t a

u H

x u

η (51)

) ( ) ˆ( ) ( )

ˆ(t y t t a₂ t

u = −η (52)

B ˆ( ) ˆ( ) 0

)

( ⎟⎟⎠_ˆ,ˆ,ˆ = =

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

η

t t t

x H

x u

η

η& & (53)

C ˆ( ) ˆ( ) ₁( ) ˆ( )

,ˆ ˆ

t u t Q t x t

H x _P

x u

−

=

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂ & &

η(t) (54)

D ^{ˆ( ) ˆ( )}

[

^{( ) ( )}

) (

) ), ( (

1 x T x T

a T T T

x T T x

K ⎟⎟⎠= = ⋅ _w −

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂ η η

]

⁽⁵⁵⁾

Rozwiązanie układu równań przebiega podobnie jak w poprzednim wypadku z uwzględnieniem faktu, że obecnie współczynnik wagi a₂(t) jest funkcją czasu

[ ]

{

2

0

2

1 ( ) ( ) ˆ( ) ( )

)

ˆ(t Q y a d C

x

t

P ξ − ξ − ξ ξ ξ+

=

∫

^η

^}

⁽⁵⁶⁾

[

^{ξ − ξ}

]

^{ξ+ + ξ}_ξ ^ξ

=

∫

^{Q y d C}

∫

_a ^d

t x

t t

P

0 2

2 0

1 ( )

) ˆ( )

( ) ( )

ˆ( η

(57)

0 2

) 0

0 ( ,

0 x x C x

t= = zatem =

dla (58)

[ ]

1

1

1, ( ) ˆ( )

)

ˆ(T =C a ⋅ x^w T −x T =C

η (59)

Wstawiając do (55) za xˆ T( ) wyrażenie (57) zapisane dla t= oraz uwzględniając iż T otrzymujemy następujący wzór

) 1

ˆ(t =C η

[ ]

2 1

0 0 2

1 1

1 ( )

) 1 ( ) ( )

( d C C

C a dt t y t Q T x a

T t

P

w =

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ξ−

⋅ ξ

−

−

−

⋅

∫ ∫

⁽⁶⁰⁾

Wyrażając w (60) C₂ zgodnie z (58) wyznaczamy stałą C₁