Analiza matematyczna 2
lista zada« nr 14 równania ró»niczkowe Rozgrzewka
1. Rozwi¡» poni»sze zagadnienie pocz¡tkowe. W jakim przedziale jest okre±lone rozwi¡zanie?
f (t)f0(t) = k, f (0) = 1 (k ∈ R parametr).
2. Dla danej funkcji ró»niczkowalnej p(t), rozwi¡» równanie ró»niczkowe:
f0(t) + p0(t)f (t) = p0(t).
3. Uzasadnij, »e je±li f1(t)i f2(t)s¡ rozwi¡zaniami jednorodnego równania liniowego f(n)(t) + an−1(t)f(n−1)(t) + ... + a1(t)f0(t) + a0(t)f (t) = 0, to funkcja c1f1(t) + c2f2(t)równie» jest jego rozwi¡zaniem.
wiczenia
1. Rozwi¡» poni»sze równania ró»niczkowe. W jakich przedziaªach okre±lone s¡ rozwi¡zania?
(a) f0(t) = t 1 + (f (t))2 , (c) (f0(t))2 = 1 − (f (t))2, (b) 2f (t)f0(t) = t 1 + (f (t))2 , (d) f0(t) + (f (t))2= 3t2(f0(t))2.
2. Rozwi¡» poni»sze zagadnienia pocz¡tkowe. W jakich przedziaªach okre±lone s¡ rozwi¡zania?
(a) f0(t) = −ef (t)+t+1, f (0) = −1,
(b) (1 + t2)2f0(t) = (1 − t2)(1 + (f (t))2) f (0) =√ 3, (c) (1 + t2)2f0(t) = (1 − t2)(1 + (f (t))2) f (1) = −1.
3. Rozwi¡» zagadnienie pocz¡tkowe:
(a) f00(t) + 2(f0(t))2tg f (t)
(cos f (t))2 = − cos t, (b) f (0) = 0, f0(0) = 1.
Wskazówka: przed przyst¡pieniem do rozwi¡zania wyznacz drug¡ pochodn¡ funkcji tg f(t).
4. Rozwi¡» równania liniowe pierwszego stopnia:
(a) f0(t) − 2tf (t) = t, (b) f0(t) − f (t) sin t = sin(2t), (c) e−tf0(t) + f (t) = 1.
5. Rozwi¡» zagadnienia pocz¡tkowe
(a) f0(t) + 2tf (t) = t, f (0) = 1, (b) f0(t) − f (t) ln t = tt, f (1) = 0, (c) f0(t) − f (t) ln |t| = |t|t, f (0) = 0.
Uwaga do ostatniego równania: rozwa» wpierw t > 0, a pó¹niej t < 0; czy otrzymana funkcja jest ró»niczkowalna w 0?
6. Znajd¹ wszystkie rozwi¡zania równa« ró»niczkowych
(a) f00(t) + f0(t) − 12f (t) = 0, (b) f00(t) − 2f0(t) + 10f (t) = 0 7. Rozwi¡» zagadnienie pocz¡tkowe:
f(4)(t) − 4f(3)(t) + 5f00(t) − 4f0(t) + 4f (t) = 0, f (0) = 1, f0(0) = 0, f00(0) = 0, f(3)(0) = −3.
8. Znajd¹ ukªad fundamentalny rozwi¡za« równania ró»niczkowego f(4)(t) + 2f00(t) + f (t) = 0.
Mateusz Kwa±nicki
