1. Rozwi¡» równania wykªadnicze:

dr Krzysztof ›yjewski Repetytorium mat. elementarnej; S-I ⁰ .in». 8 stycznia 2018

Zadania przygotowuj¡ce do kolokwium nr 2

1. Rozwi¡» równania wykªadnicze:

a) ^{√ 2}

2

= 8 ^3x−4 , b) 3 ^x+1 + 3 ^x−2 = ²⁶ ₉ ,

c) 7 · 3 ^x+1 − 5 ^x+2 = 3 ^x+4 − 5 ^x+3 , d) 16 ^x + 4 ^x+2 − 36 = 0, e) 4 ^x + 9 ^x = 2 · 6 ^x , f ) 7 ^x + 7 ^1−x = 8, 2. Rozwi¡» nierówno±ci wykªadnicze:

a) 2 ^−5x+3 < ¹ ₄

x

, b) 3 ^x+2 + 7 ^x < 4 · 7 ^x−1 + 34 · 3 ^x−1 , c) ₂₇ ¹ < ¹ ₃
3x−1

≤ 3, d) 2 ^2x+1 − 17 · 2 ^x + 8 ≥ 0,

3. Oblicz:

a) log ₂ ^√ ₂ ⁸

√ 16

2

, b) 3 ^log

²⁷ ,

c) log ₉ 5 · log ₂₅ 27, d) 10 ^{2−3 log 4} ,

e) log ₃ 8 − 2 log ₃ 2 + log ₃ + log ₃ ⁹ ₂ , f ) log ₅ 22 − log ₂₅ 121 − log ^√ ₅ √ 10, 4. Wyznacz dziedzin¦ funkcji:

a) f (x) = log

2



1 − log ₂ (x ² − 5x + 6) 

, b) f (x) = q

log

2

x

−1 x
, 5. Rozwi¡» równania:

a) log ₂ (x + 2) + log ₂ (x + 14) = 6, b) log(x − 3) − log(4 − x) = 1 − log(5 − x), c) log ₄ log ₃ (log 2x)
= ¹ ₂ , d) log ² ₃ x + log ₃ x ² = 8,

e) log ₃ x − _log ⁴

3

x = 3, f ) log ₂ x + log ₈ x = 8.

6. Rozwi¡» nierówno±ci:

a) log ₅ (2x + 7) > −2, b) log

5

(3x − 4) < −2, c) log

4

(2 − x) > log

4

2

x+1 , d) log

3

|x − 3| < −3, e) log x + log(x + 1) < log(2x + 3), f ) 3 ^log

^(x

2

−5x+7)

< 1, g) log _(2x−3) (3x ² − 7x + 3) < 2.

7. Korzystaj¡c ze wzorów redukcyjnych oraz wªasno±ci funkcji trygonometrycznych oblicz:

a) tg ²¹⁵ ₆ π

b) cos − ⁴⁹ ₆ π

c) sin −75 ³ ₄ π

d) ctg 2100 ^◦ . 8. Wyznacz warto±ci pozostaªych funkcji trygonometrycznych wiedz¡c, »e:

a) cos x = ²⁴ ₂₅ oraz ³ ₂ π < α < 2π, b) tg x = − ³

√ 10

20 oraz ¹ ₂ π < α < π, 9. Wyznacz x wiedz¡c, »e:

a) cos x = − ¹ ₂ oraz ³ ₂ π < x < 2π, b) tg ² x = ¹ ₃ oraz ³ ₂ π < α < ⁵ ₂ π.

10. Wyznacz wszystkie rozwi¡zania równa« trygonometrycznych:

a) sin x = −

√ 3

2 b) ctg ² x = 1.

11. Rozwi¡» równania trygonometryczne:

a) tg ¹ ₂ x − ^π ₈
= 1, b) sin 2x − ^π ₄
= − ^√ ₂ ² , c) 4 cos ² x + 4 sin x = 5, d) sin ² x − cos ² x = ¹ ₂ , 12. Rozwi¡» równania trygonometryczne:

a) sin ² 2x = 1 − sin ² x, b) cos x − √

3 sin x = 1, b) cos 5x − sin 3x = cos x.

13. Rozwi¡» nierówno±ci trygonometryczne wiedz¡c, »e:

a) sin 5x ≥ − ¹ ₂ , b) tg(3x − 1) <

√ 3 3 , c) cos ² x > ³ ₄ , d) cos ² x − 5 cos x < 0.

1

dr Krzysztof ›yjewski Repetytorium mat. elementarnej; S-I ⁰ .in». 8 stycznia 2018 14. Wyznacz dziedzin¦ funkcji f(x) = p√

2 cos x + 1.

15. Oblicz (o ile jest to mo»liwe):

(a) arccos ⁻

√ 3

2 , (b) arcsin

√ 2 2 ,

(c) arccos(cos ^π ₃ ), (d) tg(arccos ² ₃ ),

(e) sin 

arccos ¹ ₂ − arcsin 1  . 16. Rowi¡» równania:

(a) arccos x = ^2π ₃ , (b) arctg x = − ^π ₆ ,

(c) 3 arcsin x + arccos x = ⁵ ₆ ,

2