10. KREDYTY Z DODATKOWĄ OPŁATĄ

(1)

10. KREDYTY Z DODATKOWĄ OPŁATĄ

10.4. PRZYKŁADY

10.4.1. Przedsiębiorca zaciągnął kredyt w wysokości P = 3 000 zł, który jest oprocentowany według nominalnej stopy procentowej r = 25,5 %. Kredyt ten należy spłacić w N = 5 ratach o stałej części kapitałowej, płatnych na koniec każdego roku.

Rata zawiera dodatkową opłatę, stanowiącą p = 0,7 % części kapitałowej raty.

Podać wzory i sporządzić plan spłaty długu. Jaki będzie koszt kredytu?

Rozwiązanie:

Dane:

 P=3 000 zł

 N=5

 raty roczne o stałej części kapitałowej „z dołu”

 r=i=25,5 % tzn. i = 0,255

 p=0,7 % tzn. p = 0,007 - wskaźnik dodatkowej opłaty równej p procent części kapitałowej Posługując się wzorami z cz. 10.2 wylicza się elementy plany spłaty długu:

T_k T  3000 

5 600^zł

P_k 3000 1(  k) 3000 600

5 k zł

Z_k 3000 0 255 , (1k 1 )765 153 ( 1)

5 k zł

Z   

 3000 0 255, 5 1 2295

2 ^zł

G_k  pT_k 0 007 600,  4 20, zł

R_k T_k Z_k G_k 600 765 153(k 1) 4,20    1369,2 153(k 1)  _zł G  3000 0 007 ,  21 zł

PLAN SPŁATY DŁUGU WG. CZ. 10.2.

Nr raty P_k-1 G_k Z_k R_k T_k P_k

1 3000,00 4,20 765,00 1 369,2 600,00 2 400,00

2 4,20 612,00 1 216,2 600,00 1 800,00

3 4,20 459,00 1 063,2 600,00 1 200,00

4 4,20 306,00 910,2 600,00 600,00

5 4,20 153,00 757,2 600,00 0,00

21,00 2 295,00 5 316,00 3 000,00 Dodatkowa

opłata

Suma odsetek Koszt kredytu 2 316,00

10.4.2. Kredyt o wysokości 10 000 jest spłacany stałymi ratami, płaconymi z końcem każdego roku, przy rocznej kapitalizacji odsetek. Oprócz rat pobierana jest opłata, stanowiąca 0,4% procent salda. Obliczyć wysokość raty oraz koszt kredytu, jeśli okres spłacania wynosi 5 lat, a przewidywana wysokość stopy procentowej w tym okresie jest 12%.

Rozwiązanie:

Dane:

 P=10 000 zł

 N=5

(2)

 r=i=12 % tzn. i = 0,12

 p=0,4 % tzn. p = 0,004 - wskaźnik dodatkowej opłaty równej p procent salda

Posługując się wzorami z cz. 10.3 wylicza się elementy plany spłaty długu:

T_k  10000 ^ ^^k   ^ ^^k

1 12 2774 097319 1 12

5 0 12

6 6

a _{| ,}

( ) ( )

, , , zł

P_k 2774 097319, a₅__k_{| ,}_{0 12} zł

Z_k  332 8916783, a_6-k|0,12 zł

Z2774 097319, (5a_{5 0 12}_{| ,} )3870 49, zł

G_k  pP_k-1 1109638928, a₆__k_{| ,}_{0 12} zł

R_k T_k Z_k G_k ^k _k

k

       

  

 



 



2774 097319 112 332 8916783 1109638928 2774 097319 112 343 9880676

6

6 0 12 6

6 0 12

, , , ,

, , ,

( )

| ,

( )

| ,

a a

a

6-k|0,12

G92 46991 5, ( a_{50 12}_{| ,} )129 02, zł

PLAN SPŁATY DŁUGU WG. CZ. 10.3.

Nr raty

P_k_{ 1} Z_k T_k G_k R_k P_k 1 10000,00 1200,00 1574,10 40,00 2814,10 8425,90 2 8425,90 1011,11 1762,99 33,70 2807,80 6662,91 3 6662,91 799,55 1974,55 26,65 2800,75 4688,36 4 4688,36 562,60 2211,49 18,75 2792.84 2476,87

5 2476,87 297,22 2476,87 9,91 2784,00 0,00

Razem: 3870,48 10000,0 0

129,01 13999,49 Suma

odsetek

Kredyt Dodatko wa opłata

Suma rat Koszt kredytu = Z + G = 3999,49 zł

Kwoty, opisujące w planie spłaty długu sumę odsetek oraz dodatkową opłatę, różnią się o 1 grosz od kwot kontrolnych. Jest to rezultat zaokrągleń przy ustalaniu wysokości poszczególnych odsetek i opłat dodatkowych.

10.5. Zadania

10.5.1. Przedsiębiorca zaciągnął kredyt w wysokości P, który jest oprocentowany według nominalnej stopy procentowej r. Kredyt ten należy spłacić w N ratach o stałej części kapitałowej, płatnych na koniec każdego roku. Rata zawiera dodatkową opłatę, stanowiącą p procent części kapitałowej raty. Podać wzory i sporządzić plan spłaty długu. Jaki będzie koszt kredytu?

a) P = 2 000 zł, r = 36 %, p = 1%, N = 4 b) P = 10 000 zł, r = 28 %, p = 0.8%, N = 10 c) P = 3 000 zł, r = 26 %, p = 0.9%, N = 5

10.5.2. Kredyt w wysokości P należy spłacić w ciągu L lat. Oprocentowanie kredytu jest równe r. Kredyt ma być spłacony w równych ratach kapitałowych płaconych z końcem każdego okresu kapitalizacji, powiększonych o opłatę proporcjonalną do salda, przy czym

(3)

współczynnik proporcjonalności wynosi p. Podać plan spłaty długu. Jaki będzie koszt kredytu?

a) P = 4 000 zł, r = 36 %, L = 4, p = 0.6%, kapitalizacja kwartalna, b) P = 10 000 zł, r = 28 %, L = 5, p = 0.5%, kapitalizacja półroczna, c) P = 6 000 zł, r = 24 %, L = 2, p = 0.4%, kapitalizacja miesięczna.

10.5.3. Kredyt o wysokości 100 000 jest spłacany stałymi ratami, płaconymi z końcem każdego miesiąca, przy miesięcznej kapitalizacji odsetek. Oprócz rat pobierana jest opłata, stanowiąca p procent części kapitałowej raty. Obliczyć wysokość raty jako funkcję numeru raty, wyliczyć pierwszą, środkową i ostatnią ratę oraz koszt kredytu, jeśli okres spłacania wynosi L lat, a przewidywana wysokość stopy procentowej w tym okresie jest równa r.

a) L = 30 lat, r = 18%, p = 0.8%; b) L = 25 lat, r = 18%, p = 0.8%;

c) L = 20 lat, r = 18%, p = 0.8%; d) L = 30 lat, r = 12%, p = 0.6%;

e) L = 25 lat, r = 12%, p = 0.6%; f) L = 20 lat, r = 12%, p = 0.6%.

10.5.4. Kredyt o wysokości 50 000 jest spłacany stałymi ratami, płaconymi z końcem każdego miesiąca, przy miesięcznej kapitalizacji odsetek. Oprócz rat pobierana jest opłata, stanowiąca p procent salda. Obliczyć wysokość raty jako funkcję numeru raty, wyliczyć pierwszą, środkową i ostatnią ratę oraz koszt kredytu, jeśli okres spłacania wynosi L lat, a przewidywana wysokość stopy procentowej w tym okresie jest r.

a) L = 30 lat, r = 12%, p = 0.4%; b) L = 25 lat, r = 12%, p = 0,4%;

c) L = 20 lat, r = 12%, p = 0.3%; d) L = 30 lat, r = 6%, p = 0.3%;

e) L = 25 lat, r = 6%, p = 0.2%; f) L = 20 lat, r = 6%, p = 0.2%

11. KREDYTY Z OPÓŹNIONYM OKRESEM SPŁAT

11.1.1. Kredyt w wysokości 100 000 zł ma być spłacony stałymi ratami , płaconymi z końcem każdego miesiąca przy miesięcznej kapitalizacji odsetek. Kredytobiorca przez pierwsze 2 lata nie spłacał kredytu pozwalając aby powiększyły go kapitalizowane co miesiąc odsetki. Obliczyć wysokość długu, który po tym okresie musi zostać spłacony, wysokość raty oraz koszt kredytu jeśli okres spłacania wynosi 5 lat a przewidywana wysokość stopy procentowej w tym okresie jest 18%.

Rozwiązanie:

Dane:

 P=100 000 zł

 stałe raty „z dołu” miesięczne

 kapitalizacja miesięczna

 L=5 lat = 60 miesięcy

 l=2 lata = 24 miesiące

 r=18% tzn. r = 0,18

 i=1,5% tzn. i = 0,015 Szukane

 wysokość długu po 2 latach P’=?

 wysokość raty R=?

 koszt kredytu Z=?

Obliczamy wysokość długu:

P´ = P · ( 1 + i )^l = 100 000 · ( 1 + 0,015 )²⁴ = 142 950,28 zł Wynika z tego, że kredyt wzrósł o 42 950,28 zł

(4)

R P

N i

   

a _| a _{| ,}

, ,

142950 28

3630 00

60 0 015 zł

Obliczamy koszt kredytu:

Z P N

N i

 ' (  ) , (  ) ,

|

a 1 3629 997591 60 a_{60 0 015}| , 74849 57 zł

Odpowiedź: Po 24 miesiącach trzeba spłacić dług w wysokości 142 950,28 zł , wysokość raty wynosi 3630,00 zł a koszt kredytu równy jest 74 849,57 zł.

11.1.2. Rozwiązać poprzednie zadanie dla przypadku rat o stałej części kapitałowej, spłacanych zgodnie z okresem kapitalizacji odsetek.

Rozwiązanie:

Dane:

 P=100 000 zł

 raty o stałej części kapitałowej „z dołu”, płatne miesięczne

 kapitalizacja miesięczna

 L=5 lat = 60 miesięcy

 l=2 lata = 24 miesiące

 r=18% tzn. r = 0,18

 i=1,5% tzn. i = 0,015 Szukane

 wysokość długu po 2 latach P’=?

 wysokość raty R=?

 koszt kredytu Z=?

Obliczamy wysokość długu:

P´ = P · ( 1 + i )^l = 100 000 · ( 1 + 0,015 )²⁴ = 142 950,28 zł Obliczamy wysokość raty kapitałowej:

T  142950 28 

60 , 2382 50 , zł

Obliczamy wzór ogólny oraz wysokości pierwszej, trzydziestej oraz sześćdziesiątej raty:

R_k  142950 28      

60 , 1 0 015 60

[ , ( k 1)] 2382,504667 35,73757(61 k) zł R1 = 4526,76 zł

R30 = 3490,37 zł R60 = 2418,24 zł Obliczamy koszt kredytu:

Z 142950 28 0 015 61 

2 65399 75

, , , zł

Odpowiedź: Wysokość długu po 24 miesiącach wynosi 142 950,28 zł , koszt kredytu wynosi 65 399,75 zł. Pierwsza rata wynosi 4526,76 zł , trzydziesta 3490,37 zł , a sześćdziesiąta 2418,24 zł.

11.2. Zadania

11.2.1. Kredyt o wysokości 100 000 ma być spłacany stałymi ratami, płaconymi z końcem każdego miesiąca, przy miesięcznej kapitalizacji odsetek. Kredytobiorca przez pierwszych l miesięcy nie spłacał kredytu, pozwalając, aby powiększyły go kapitalizowane co miesiąc odsetki. Obliczyć wysokość długu, który po tym okresie musi zostać spłacony,wysokość raty

(5)

oraz koszt kredytu, jeśli okres spłacania wynosi L lat, a przewidywana wysokość stopy procentowej w tym okresie jest r.

a) L = 10 lat, r = 18%, l = 12; b) L = 5 lat, r = 18%, l = 24 ; c) L = 15 lat, r = 18%, l = 6; d) L = 20 lat, r = 12%, l = 18;

e) L = 15 lat, r = 12%, l =15 ; f) L = 10 lat, r = 12%, l = 12 ; g) L = 6 lat, r = 6%, l = 6; h) L = 5 lat, r = 6%; l = 18.

11.2.2. Pożyczka zaciągnięta na r procent rocznie miała być spłacana w N równych ratach rocznych z dołu. Ponieważ dłużnik nie zapłacił l pierwszych rat, to przez następne N-l lat musiał spłacać raty w wysokości R zł rocznie. Jaka była pożyczka?

a) r = 6%, N = 12, l = 4, R = 1200 zł; b) r = 10%, N = 10, l = 2, R = 1650 zł;

c) r = 8%, N = 18, l = 6, R = 900 zł; d) r = 18%, N = 12, l = 2, R = 1082 zł.

11.2.3. Dług P oprocentowany na r procent rocznie miał być spłacany w równych ratach płatnych z dołu. Ponieważ dłużnik nie mógł spłacić kilku pierwszych rat, więc za zgodą wierzyciela musiał spłacać przez następne N lat raty w wysokości R. Przez ile lat nie spłacał długu?

a) P = 30 000 zł, r = 4,5 %, N = 12, R = 4100 zł;

b) P = 15 000 zł, r = 6 %, N = 15, R = 2066,81 zł;

c) P = 10 350 zł, r = 8 %, N = 20, R = 1951,20 zł.

d) P = 10 000 zł, r = 18 %, N = 15, R = 2734.71 zł;

11.2.4. Rozwiązać zadanie 11.2.1 dla przypadku rat o stałej części kapitałowej, spłacanych zgodnie z okresem kapitalizacji odsetek.

12. KREDYTY W WARUNKACH WYSOKIEJ INFLACJI

12.3.1. Kredyt o wysokości 20 000 zł ma być spłacany ratami o stałej części kapitałowej, płaconymi z końcem każdego roku Okres spłacania kredytu wynosi 6 lat, stopa zysku kredytodawcy wynosi 12%, a ponadto w umowie zawarto klauzulę, że w razie inflacji stopa zysku będzie powiększona o stopę inflacji. Jak się okazało, w kolejnych latach stopa inflacji wynosiła 33%, 27%, 20%, 14%, 10% oraz 8%.

Obliczyć wysokość raty i koszt kredytu oraz napisać pełny plan spłaty kredytu.

Rozwiązanie:

Dane:

 N = 6 lat

 r = 12 %, tzn. r=0,12

 P = 20 000

 iin,1 = 33 %, tzn. iin,1 = 0,33, gdzie iin,k - stopa inflacji w k - tym roku

 iin,2 = 27 %, tzn. iin,2 = 0,27

 iin,3 = 20 %, tzn. iin,3 = 0,20

 iin,4 = 14 %, tzn. iin,4 = 0,14

 iin,5 = 10 %, tzn. iin,5 = 0,10

 iin,6 = 8 %, tzn. iin,6 = 0,08

(6)

 Rk = ?

 Z = ?

Posługujemy się wzorami z cz. 12.1.1., które podane są pod planem spłaty długu.

PLAN SPŁATY DŁUGU WG. CZ. 12.1.1.

Nr rat y

Saldo przed zapłaceni

em k-tej raty

Stopa zysku

+ stopa inflacji

Część odsetko

wa k-tej

raty

k-ta rata Część kapitałow

a k-tej raty

Saldo po zapłaceniu

k-tej raty

k Pk-1 i+iin,k Zk = i·Pk-1

Rk = Tk + Zk

Tk Pk = Pk-1 - Tk

1 20000,00 45% 9000,00 12333,35 3333,35 16666,65 2 16666,65 39% 6500,00 9833,33 3333,33 13333,32 3 13333,32 32% 4266,67 7599,99 3333,33 9999,99 4 9999,99 26% 2600,00 5933,33 3333,33 6666,66 5 6666,66 22% 1466,67 4800,00 3333,33 3333,33

6 3333,33 20% 666,67 4000,00 3333,33 0

suma: 24500,0 1

44500,01 20000,00

opis: Koszt

kredytu

Suma rat Wzory:

T_k T  20000

6 = 3333,33 zł

P_k 20000 1( k ) 6 zł

Z_k  20000 i_{in k} 

0 12 7

6 ( , _, )( k) zł

 

 

R_k  20000  i_{in k} 

6 1 ( ,0 12 _, )7 k zł

Z i_{in k}

k N

    





20000 0 12 7 2

20000

6 7

1

, _, ( k) = 24 500 zł

Jak widać z planu spłaty długu, koszt kredytu ostatecznie zamknął się kwotą o 1 grosz większą niż wynikało to ze wzorów. Przyczyną tego stanu rzeczy są błędy zaokrągleń. Podobnie, na skutek błędów zaokrągleń, pierwsza z części kapitałowych jest większa o 2 grosze od pozostałych - po to, aby suma rat kapitałowych była równa wielkości kredytu.

12.3.2. Umowa o kredyt dotyczy finansowania projektu przez 4 lata. Spłata kredytu o wysokości 10 000 zł ma nastąpić w czterech ratach. Oprocentowanie kredytu wynosi 8%. Proces spłat jest zakłócony przez inflację, która w kolejnych latach wynosiła:

42%, 22%, 12% i 10%. Podać plan spłaty kredytu dla przypadku spłat ratami o stałej wysokości przy kredycie waloryzowanym o stopę inflacji.

Rozwiązanie:

Dane:

 N = 4 lat

 r = 8 %, tzn. r=0,08

(7)

 P = P₀ = 10 000

 iin,1= 42 %, tzn. iin,1 = 0,42, gdzie iin,k - stopa inflacji w k - tym roku

 iin,2 = 22 %, tzn. iin,2 = 0,22

 iin,3 = 12 %, tzn. iin,3 = 0,12

 iin,4 = 10 %, tzn. iin,4 = 0,10

Szukane:

 plan spłaty długu

Posługujemy się wzorami z cz. 12.2.2.:

R P i

k k in k

k

 _ 

 1

5 0 08

1

( _, )

a | ,

Z_k P_k_1(1i_{in k}_, )i T_k R_k Z_k

P_k P_k_1(1i_{in k}_, )T_k

Z R_k P

k N

 



 1

Jak widać ze wzorów, kluczową sprawą jest obliczenie czynników umorzeniowych, zaś określenie „raty o stałej wysokości”, które byłoby zgodne z wynikami przedstawionymi w planie spłaty długu w przypadku braku inflacji, tutaj dotyczy jedynie sposobu obliczania rat, a nie ich wysokości. Następnie każdy element planu spłaty długu musi być obliczany dla danego k w oparciu o saldo po poprzeniej racie.

Obliczamy czynniki umorzeniowe i kolejne elementy planu spłaty rat (wszystko dla i = 0,08):

k=1 ^a5 1 0 08 | , = 3,31212684 ^P1 1 =10 000 zł, ^R1

10000 1 0 42

 (  , )

3,31212684 = 4287,28 zł k=2 ^a5 2 0 08 | , = 2,577096987 ^P2 1 =11 048,72 zł, ^R2

11048 72 1 0 22

 , (  , )

2,577096987 = 5230,47 zł k=3 ^a5 3 0 08 | , = 1,783264746 ^P3 1 = 9327,33 zł, ^R3

9327 33 1 0 12

 , (  , )

1,783264746 = 5858,14 zł k=4 ^a^{5 4 0 08}^{ | ,} = 0,925925925 ^P4 1 = 5423,94 zł, ^R4

5423 94 1 0 10

 , (  , )

0,925925925 = 6443,64 zł PLAN SPŁATY DŁUGU WG. CZ. 12.2.2.

Nr rat y

Saldo przed zapłaceni

em k-tej raty

Stopa inflac

ji

Saldo walory

- zowan

e

Część odsetko

wa k-tej

raty

k-ta rata

Część kapitałow

a k-tej raty

Saldo po zapłaceniu

k-tej raty

k Pk-1 iin,k P_w Zk = i·Pk-1

Rk Tk Pk = Pw - Tk

1 10000,00 42% 14200,00 1136,00 4287,28 3151,28 11048,72 2 11048,72 22% 13479,44 1078,36 5230,47 4152,11 9327,33 3 9327,33 12% 10446,61 835,73 5858,14 5022,67 5423,94 4 5423,94 10% 5966,33 477,31 6443,64 5966,33 0,00

suma: 3527,40 21819,53 18292,39

Koszt kredytu = 21819,53-10000=

=11819,53 zł

(8)

Jak widać z planu spłaty długu, poszczególne raty nie są sobie równe, chociaż sposób ich obliczania oparty był o wzory dotyczące rat o równej wysokości.

W tym przypadku odsetki obliczane były w oparciu o ustaloną stopę zysku, zaś inflację uwzględniono, waloryzując saldo o stopę inflacji.

12.4. Zadania

12.4.1. Kredyt o wysokości 20 000 ma być spłacany ratami o stałej części kapitałowej, płaconymi z końcem każdego roku. Obliczyć wysokość raty oraz koszt kredytu oraz napisać pełny plan spłaty kredytu, jeśli okres spłacania wynosi L lat, stopa zysku kredytodawcy wynosi r, a ponadto w umowie zawarto klauzulę, że w razie inflacji stopa zysku będzie powiększona o stopę inflacji.

a) L = 6 lat, r = 10%, inflacja w poszczególnych latach: 25%, 30%, 33%, 20%, 15%,12%;

b) L = 5 lat, r = 5%, inflacja w poszczególnych latach: 30%, 35%, 20%, 15%, 10%.;

c) L = 4 lata, r = 9 %, inflacja w poszczególnych latach: 40%, 30%, 25%, 15%;

d) L = 6 lat, r = 12%, inflacja w poszczególnych latach: 33%, 27%, 20%, 14%, 10%, 8%;

e) L = 5 lat, r = 12%, inflacja w poszczególnych latach: 25%, 30%, 25%, 25%, 15%;

f) L = 4 lata, r = 6,5%, inflacja w poszczególnych latach: 40%, 25%, 12%, 12%.

12.4.2. Rozwiązać zadanie 12.4.1. dla przypadku rat o stałej wysokości.

12.4.3. Kredyt o wysokości 20 000 ma być spłacany ratami o stałej części kapitałowej, płaconymi z końcem każdego roku. Obliczyć wysokość raty oraz koszt kredytu kredytu oraz napisać pełny plan spłaty kredytu, jeśli okres spłacania wynosi L lat, stopa zysku kredytodawcy wynosi r, a ponadto w umowie zawarto klauzulę, że w razie inflacji kredyt będzie waloryzowany o stopę inflacji.

a) L = 6 lat, r = 10%, inflacja w poszczególnych latach: 25%, 30%, 33%, 20%, 15%,12%;

b) L = 5 lat, r = 5%, inflacja w poszczególnych latach: 30%, 35%, 20%, 15%, 10%.;

c) L = 4 lata, r = 9 %, inflacja w poszczególnych latach: 40%, 30%, 25%, 15%;

d) L = 6 lat, r = 12%, inflacja w poszczególnych latach: 33%, 27%, 20%, 14%, 10%, 8%;

e) L = 5 lat, r = 12%, inflacja w poszczególnych latach: 25%, 30%, 25%, 25%, 15%;

f) L = 4 lata, r = 6,5%, inflacja w poszczególnych latach: 40%, 25%, 12%, 12%.

12.4.4. Rozwiązać zadanie 12.4.3. dla przypadku rat o stałej wysokości.

12.4.5. Umowa o kredyt dotyczy finansowania projektu przez 4 lata. Spłata kredytu o wysokości sto tysięcy zł ma nastąpić w czterech ratach. Oprocentowanie kredytu wynosi 8%.

Proces spłat jest zakłócony przez inflację, która w klejnych latach wynosiła: 42%, 22%, 12%

i 12%. Podać plan spłaty kredytu dla przypadku spłat ratami:

a) o stałej części kapitałowej przy stopie będącej sumą stopy zysku oraz stopy inflacji;

b) o stałej części kapitałowej przy kredycie waloryzowanym o stopę inflacji;

c) o stałej wysokości przy stopie będącej sumą stopy zysku oraz stopy inflacji;

d) o stałej wysokości przy kredycie waloryzowanym o stopę inflacji.