Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

Krzysztof Grysa

Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

określenia, wzory, przykłady, zadania z rozwiązaniami

KIELCE

SPIS TREŚCI

WSTEP... 7 1 STOPA ZWROTU ...…... 9 2 RACHUNEK CZASU W MATEMATYCE FINANSOWEJ.………… 10

2.1 DOKŁADNA LICZBA DNI 2.2 ZASADA RÓWNYCH MIESIĘCY 2.3 REGUŁA BANKOWA

2.4 PRZYKŁADY 2.5 Zadania

3 PROCENT PROSTY ...…... 13 3.1 ODSETKI, WARTOŚĆ PRZYSZŁA KAPITAŁU

3.2 PRZECIĘTNA STOPA PROCENTOWA

3.3 SYNTETYCZNA OCENA WIELU TRANSAKCJI JEDNEGO PODMIOTU

3.4 DYSKONTOWANIE PROSTE 3.5 DYSKONTO HANDLOWE 3.6 PRZYKŁADY

3.7 Zadania

4 DYSKONTOWANIE WEKSLI...……... 27 4.1 WARTOŚĆ NOMINALNA I WARTOŚĆ AKTUALNA

4.2 RÓWNOWAŻNOŚĆ WEKSLI

4.3 KOSZT ZŁOŻENIA WEKSLA DO DYSKONTOWANIA 4.4 PRZYKŁADY

4.5 Zadania

5 BONY SKARBOWE ...……... 37 5.1 PRZYKŁADY

5.2 Zadania

5 PROCENT SKŁADANY...……... 43 6.1 STOPA PROCENTOWA

6.2 ODSETKI, CZAS

6.3 CZAS PODWOJENIA KAPITAŁU 6.4 OPROCENTOWANIE CIĄGŁE

6.5 PRZECIĘTNA STOPA PROCENTOWA 6.6 DYSKONTOWANIE SKŁADANE 6.7 PRZYKŁADY

6.8 Zadania

7 OPROCENTOWANIE WKŁADÓW OSZCZEDNOŚCIOWYCH... ⁵² 7.1 WKŁADY ZGODNE Z OKRESEM KAPITALIZACJI

7.2 ZDYSKONTOWANA WARTOŚĆ SUMY WPŁAT ZGODNYCH Z OKRESEM KAPITALIZACJI

7.3 WKŁADY NIEZGODNE Z OKRESEM KAPITALIZACJI

7.4 ZDYSKONTOWANA WARTOŚĆ SUMY WPŁAT W PODOKRESACH OKRESU KAPITALIZACJI

7.5 PRZYKŁADY 7.6 Zadania

8 ROZLICZANIE POŻYCZEK -RATY O STAŁEJ CZESCI

KAPITAŁOWEJ... ⁶² 8.1 WZORY OGÓLNE

8.2 RATY O Z GÓRY USTALONYCH WYSOKOŚCIACH

8.3 RATY O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ -SPŁATY ZGODNE Z OKRESEM KAPITALIZACJI

8.4 RATY O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ -SPŁATY W

PODOKRESACH, ODSETKI DOLICZANE W PODOKRESACH WG AKTUALNEGO STANU DŁUGU

8.5 RATY STAŁE, O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ -SPŁATY W PODOKRESACH, ODSETKI OBLICZANE W PODOKRESACH WG AKTUALNEGO STANU DŁUGU, UŚREDNIANE NA CAŁY OKRES SPŁAT

8.6 RATY STAŁE W OKRESACH KAPITALIZACJI, OSTAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ -SPŁATY W PODOKRESACH, ODSETKI OBLICZANE W PODOKRESACH WG AKTUALNEGO STANU DŁUGU, UŚREDNIANE NA OKRES KAPIALIZACJI

8.7 RATY O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ -SPŁATY W

PODOKRESACH, ODSETKI DOLICZANE W PODOKRESACH W RÓWNYCH CZĘŚCIACH WEDŁUG STANU DŁUGU NA

POCZĄTKU OKRESU KAPITALIZACJI

8.8 RATY O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ -SPŁATY W PODOKRESACH, ODSETKI W PODOKRESACH WEDŁUG AKTUALNEGO STANU DOLICZANE RAZ NA OKRES KAPITALIZACJI.

8.9 PRZYKŁADY 8.10 Zadania

9 ROZLICZANIE POŻYCZEK -RATY O RÓWNYCH

WYSOKOSCIACH... 75 9.1 RATY O RÓWNYCH WYSOKOŚCIACH SPŁATY ZGODNE Z

OKRESEM KAPITALIZACJI

9.2 RATY O RÓWNYCH WYSOKOŚCIACH PŁACONE W

PODOKRESACH, ODSETKI WEDŁUG AKTUALNEGO STANU DŁUGU

9.3 RATY O RÓWNYCH WYSOKOŚCIACH PŁACONE W

PODOKRESACH, ODSETKI DOLICZANE W PODOKRESACH W RÓWNYCH CZĘŚCIACH WEDŁUG STANU DŁUGU NA

POCZĄTKU DANEGO OKRESU KAPITALIZACJI 9.4 RATY O RÓWNYCH WYSOKOŚCIACH, ODSETKI

KAPITALIZOWANE (DOLICZANE) W ODOKRESACH 9.5 PRZYKŁADY

9.6 Zadania

10 KREDYTY Z DODATKOWA OPŁATA...……... 101 10.1 WZORY OGÓLNE

10.2 RATY O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ ZGODNE Z OKRESEM KAPITALIZACJI, Z DODATKOWĄ OPŁATA

10.3 RATY O STAŁEJ WYSOKOŚCI Z DODATKOWĄ OPŁATĄ.

10.4 PRZYKŁADY 10.5 Zadania

11 KREDYTY Z OPÓZNIONYM OKRESEM SPŁAT...……... 106 11.1 PRZYKŁADY

11.2 Zadania

12 KREDYTY W WARUNKACH WYSOKIEJ INFLACJI...………... 109 12.1 STOPA OPROCENTOWANIA JEST SUMĄ STOPY ZYSKU ORAZ

STOPY INFLACJI

12.1.1 Raty o stałej części kapitałowej spłaty zgodne z okresem kapitalizacji 12.1.2 Raty o równych wysokościach płatne z dołu spłaty zgodne z okresem kapitalizacji

12.2 KREDYT JEST WALORYZOWANY O STOPĘ INFLACJI

12.2.1 Raty o stałej części kapitałowej spłaty zgodne z okresem kapitalizacji 12.2.2 Raty o równych wysokościach płatne z dołu spłaty zgodne z okresem kapitalizacji

12.3 PRZYKŁADY 12.4 Zadania

13 RENTY... 117 13.1 WZORY OGÓLNE

13.2 RENTA O STAŁEJ WYSOKOŚCI

13.3 RENTA TWORZĄCA CIĄG ARYTMETYCZNY 13.4 RENTA TWORZĄCA CIĄG GEOMETRYCZNY

13.5 RENTA TWORZĄCA UOGÓLNIONY CIĄG ARYTMETYCZNY 13.6 RENTA TWORZĄCA UOGÓLNIONY CIĄG GEOMETRYCZNY 13.7 RENTA TWORZĄCA UOGÓLNIONY CIĄG GEOMETRYCZNO-

ARYTMETYCZNY

13.8 RENTA WYPŁACANA W PODOKRESACH OKRESU KAPITALIZACJI

13.9 PRZYKŁADY 13.10 Zadania

14. PODSTAWY MATEMATYKI UBEZPIECZENIOWEJ………….132

15 PODSTAWY WYCENY PAPIERÓW WARTOSCIOWYCH …..145

WSTĘP

Słuchacze wykładu „Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej” od zawsze narzekali na mnogość wzorów, pojawiających się na wykładach i co gorsza także na ćwiczeniach z tego przedmiotu. Podręczniki omawiające ten temat zawierają zdecydowaną większość potrzebnych studentom wzorów, lecz ich opis często jest ukryty w tekście rozdziału, w którym wzór się pojawia.

Sprawa wpłat „z dołu” lub „z góry”, zgodnych z okresem kapitalizacji lub nie, że nie wspomnę o kwestii rent, planów spłaty długu, czy obliczeniach dotyczących dyskontowania weksli, spędzała dotychczas sen z oczu wielu studentkom i studentom. I jakkolwiek na rynku wydawniczym znajdują się podręczniki, sprawnie i czytelnie omawiające zawartość wspomnianego wykładu, to problem sporządzenia nieco bardziej skomplikowanych obliczeń z zakresu matematyki finansowej rozbija się najczęściej o nieznajomość wzorów lub brak książki, przedstawiającej te wzory w sposób pozwalający szybko i sprawnie zastosować do rozważanego problemu właściwy zestaw obliczeń.

To właśnie stało się przyczyną, dla której powstał ten podręcznik. Zamysłem autora było sporządzenie zestawu związków, pozwalających sprawnie poruszać się po gruncie matematyki finansowej pod warunkiem wcześniejszego wysłuchania wykładu z tego przedmiotu lub przeczytania jednej z kilku książek, które o matematyce finansowej traktują. Ponieważ wielu studentów wciąż jeszcze uważa, że są znacznie ciekawsze rzeczy na tym świecie niż chodzenie na wykłady, autor pozwala sobie na przytoczenie trzech takich książek, które rekomenduje tym studentom jako ewentualną lekturę zastępującą wykład. Są to m.in.:

Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej (autorzy: Mieczysław Dobija i Edward Smaga, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa-Kraków 1995),

Matematyka finansowa (autorzy: Maria Podgórska, Joanna Klimkowska, PWN, Warszawa 2013),

Matematyka finansowa (autorzy: Piasecki Krzysztof, Ronka- Chmielowiec Wanda, C.H. BECK, 2011)

Matematyka finansowa (autor: Mieczysław Sobczyk, Agencja wydawnicza Placet, Warszawa 2011).,

Poszczególne książki nieco różnią się od siebie oznaczeniami, ale treści w nich zawarte są w pełni zgodne. Jeśli więc ktoś uzna, że

woli uczyć się z książki niż słuchać wykładu, zapraszam do lektury jednej z wymienionych wyżej książek lub innych, traktujących

o matematyce finansowej w sposób kompatybilny z treścią wykładu, na potrzeby którego powstał ten podręcznik.

Składa się on z szesnastu części, przy czym najkrótsza jest jednostronicowa (mająca oddzielny numer i traktowana jako oddzielna część tylko dlatego, aby student zapamiętał i przyswoił sobie pojęcie stopy zwrotu). Poszczególne części podzielone są na mniejsze kawałki po to, aby w spisie treści można było szybko znaleźć ten zakres materiału, który jest właśnie potrzebny. Oprócz pierwszej i ostatniej części wszystkie pozostałe zawierają po kilka przykładów zastosowań prezentowanych tam wzorów oraz zadania do samodzielnego przerobienia przez studentów. Ostatnia część to tablice, w których podano wartość przyszłą wpłat jednostkowych, wartości czynnika umorzeniowego oraz tablice trwania życia dla lat 1985-1986 oraz 1990- 1991.

Życząc Użytkownikom podręcznika, aby stał się on dla nich prawdziwą pomocą w opanowaniu tajników matematyki finansowej autor jeszcze raz przypomina, że podręcznik ten to tylko materiały pomocnicze i uzupełniające. Podstawą do opanowania matematyki finansowej jest wykład lub odpowiednia książka.

Krzysztof Grysa

1. STOPA ZWROTU

Oznaczenia:

K₀ kapitał początkowy (zainwestowany w jakieś przedsięwzięcie) K₁ kapitał otrzymany po zakończeniu przedsięwzięcia (końcowy)

r

r stopa zwrotu (tempo przyrostu kapitału) podana w skali roku Gdy rozważa się opłacalność inwestycji kapitału K₀w jakieś przedsięwzięcie, to do oceny opłacalności używa się wskaźnika nazywanego stopą zwrotu:

r K

z

= K

K −

0

stopa zwrotu

Gdy jest to kapitał złożony na książeczce PKO lub np. na roczną lokatę terminową, to mówimy o stopie procentowej. Oprocentowanie wkładów gotówkowych w bankach podaje się w procentach, na ogół w skali roku (chyba, że wyraźnie jest powiedziane, że dotyczy to innego niż rok okresu czasu), przy czym przelicza się je na ułamek dziesiętny, dzieląc stopę procentową przez sto (np. r = 13% = 0,13). Gdy stopa zwrotu ma być podana w skali roku, otrzymany z podanego wyżej wzoru wynik trzeba podzielić przez n, gdzie n - czas, podany w latach lub jako część roku, tzn.:

r = K

− K ⋅ K

0 0

1 n

stopa zwrotu podana w skali roku

Kwestią często sporną, która się tu nieuchronnie pojawia, jest sprawa odpowiedzi na pytanie: jak liczyć czas? Bo ile to jest np. pół roku?

2. RACHUNEK CZASU W MATEMATYCE FINANSOWEJ

2.1. DOKŁADNA LICZBA DNI

m - dokładna liczba dni od daty do daty (bez pierwszego dnia rozważanego okresu). Każdy miesiąc ma tyle dni, ile wynika z kalendarza. Każdy rok ma 365 dni (jest to więc rok kalendarzowy).

Przeliczenie dni na lata odbywa się wg. wzoru:

n m

= 3 6 5

gdzie n - liczba lat. Tu i w pozostałych przypadkach podaje się ją z dokładnością co najmniej do 4 miejsc po przecinku. Odsetki, obliczone na tej podstawie, nazywa się procentem dokładnym.

2.2. ZASADA RÓWNYCH MIESIĘCY

Zasada ta nie jest już (od 1 stycznia 1998 r.) stosowana w systemie bankowym w Polsce. Jest ona jednak bardzo wygodna. Z tego względu podajemy tu sposób posługiwania się tą zasadą. Wg niej każdy rok składa się z 12 równych miesięcy mających po 30 dni, tzn. ma 360 dni (jest to tzw. rok bankowy). Przy tej rachubie czasu od 28 lutego do końca miesiąca są 2 dni, a 31 marca nie istnieje. Przeliczenie dni na lata odbywa się wg. wzoru

n m

= 3 6 0

gdzie m - liczba dni od daty do daty (bez pierwszego dnia), n - liczba lat.

Odsetki, obliczane na tej podstawie, nazywane były się procentem zwykłym.

2.3. REGUŁA BANKOWA

Liczbę dni m od daty do daty oblicza się jak przy dokładnej liczbie dni.

Jako rok bierze się rok bankowy, tzn. rok liczący 360 dni. Przeliczenie dni na lata odbywa się wg. wzoru

n = m 360

gdzie m - liczba dni od daty do daty (bez pierwszego dnia), n - liczba lat.

2.4. PRZYKŁADY

2.4.1. Oblicz długość okresu czasu od 6 czerwca do 6 września, stosując zasadę dokładnej liczby dni, zasadę równych miesięcy oraz regułę bankową

Rozwiązanie:

Oznaczmy: DLD - dokładna liczba dni, ZRM - zasada równych miesięcy, RB - reguła bankowa.

DLD ZRM RB

od 6 czerwca 24 24 24

lipiec 31 30 31

sierpień 31 30 31

do 6 września 6 6 6

razem dni, tzn. m = 92 90 92

wzór: wg 2.1 wg 2.2 wg 2.3 okres (ile lat) n = 0,2520548 0,25 0,2555 Odpowiedź: Długość okresu od 6 czerwca do 6 września wynosi: wg DLD - 0,2520548 roku; wg ZRM - 0,25 roku; wg RB - 0,2555 roku.

2.4.2. Zainwestowano kapitał K₀ w przedsięwzięcie, które po czasie n dało kapitał K₁. Obliczyć stopę zwrotu

r

zwrotu w skali roku r dla następujących danych:

K

K

Rozwiązanie:

Przyjmujemy zasadę równych miesięcy. Wtedy n = 8 miesięcy = 8/12 roku

= 0,6667 roku. Otrzymujemy:

r_z = 1500−1000 =

1000 0 5, ; r =1500 1000 1000

1 0 75

− ⋅ =

0,6667 , Odpowiedź: Stopa zwrotu

r

2.5. Zadania

2.5.1. Oblicz długość okresu czasu, stosując zasadę dokładnej liczby dni, zasadę równych miesięcy oraz regułę bankową, dla następujących przedziałów czasowych::

a) 3 stycznia - 10 marca b) 1 stycznia - 15 kwietnia c) 9 czerwca - 9 września d) 3 sierpnia - 24 grudnia e) 1 lutego - 12 września f) 12 czerwca - 3 grudnia 2.5.2. Zainwestowano kapitał K₀ w przedsięwzięcie, które po czasie n dało kapitał K₁. Obliczyć stopę zwrotu r_z oraz stopę zwrotu w skali roku r dla następujących danych:

a) K₀=1000 zł, K₁= 1400 zł, n - okres od 1 stycznia do 31 sierpnia;

b) K₀=2000 zł, K₁= 2400 zł, n=3 miesiące;

c) K₀=500 zł, K₁= 1400 zł, n - okres od 20 marca do 20 grudnia;

d) K₀=200 zł, K₁= 1500 zł, n - okres kwartału;

e) K₀=1000 zł, K₁= 1800 zł, n = rok.

f) K₀=2000 zł, K₁= 15000 zł, n = 3 lata.

2.6. Rozwiązania zadań

2.5.1. Czas n obliczamy z dokładnością do 6 miejsc po przecinku. DLD - dokładna liczba dni, ZRM - zasada równych miesięcy, RB - reguła bankowa. Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem.

Ilość dni wg Czas w latach, czyli n =

ppkt DLD ZRM wg DLD wg ZRM wg RB

a) 66 67 0,180822 0,186111 0,183333

b) 104 104 0,284932 0,288889 0,288889 c) 92 90 0,252055 0,250000 0,255556 d) 143 141 0,391781 0,391667 0,397222 e) 223 221 0,610959 0,613889 0,619444 f) 174 171 0,476712 0,475000 0,483333 2.5.2. Czas n obliczamy z dokładnością do 6 miejsc po przecinku. Stopy procentowe r_z oraz r obliczamy z dokładnością do 5 miejsc po przecinku. DLD - dokładna liczba dni, ZRM - zasada równych miesięcy.

Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem.

K₀ K₁ czas czas r_z r

ppkt zł zł wg dni lata (n=) uł. % uł. %

a) 1000 1400 DLD 242 0,663014 0,4 40 0,6033 60

b) 2000 2400 ZRM 90 0,250000 0,2 20 0,8 80

c) 500 1400 DLD 275 0,753424 1,8 180 2,38909 238,909

d) 200 1500 ZRM 90 0,250000 6,5 650 26,0 2600

e) 1000 1800 - - 1 0,8 80 0,8 80

f) 2000 1500

0 - - 3 6,5 650 2,16667 216,667

3. PROCENT PROSTY

3.1. ODSETKI, WARTOŚĆ PRZYSZŁA KAPITAŁU

Oznaczenia:

P początkowa wartość kapitału n czas oprocentowania w latach r roczna stopa procentowa

I odsetki (jest to opłata za prawo dysponowania kapitałem P przez okres czasu n)

F wartość kapitału po czasie n lat

Wzór na wysokość odsetek (opłaty za prawo dysponowania kapitałem) od kapitału P, pożyczonego na okres czasu n przy oprocentowaniu r:

I = Prn

odsetki po czasie n przy stopie procentowej r z kapitału P

Wzór ten można przekształcić, wyznaczając z niego P, r lub n:

kapitał początkowy P stopa procentowa r czas n

P I

= r

n r I

= P

n n = I

P r

F = P + =I P +Prn= P(1+rn) , tzn.

F = P( 1 + rn )

wartość przyszła kapitału P po czasie n przy stopie procentowej r

Wzór ten można przekształcić, wyznaczając z niego P, r lub n:

kapitał początkowy P stopa procentowa r czas n

P F

= r +

1 n ^r

F P

= −

Pn

−

F P

P r

3.2. PRZECIĘTNA STOPA PROCENTOWA

Oznaczenia:

n n₁, ₂,...,n_k

długości podokresów; okres czasu n jest równy

n n

j

=

∑

r ,r ,...,r_{1 2 k} stopy procentowe, obowiązujące w podokresach 1, 2,...,k Wtedy

) 1

∑

=

+

=

j

j j

r P(

F n

wartość przyszła kapitału P

a przeciętną stopę procentową dla okresu n oblicza się ze wzoru

∑

=

j

j j

prz

r

r

1

1 n n

przeciętna stopa procentowa dla okresu

n n

j

=

∑

Dla tej stopy

) n 1 r

P(

F = +

wartość przyszła kapitału P

3.3. SYNTETYCZNA OCENA WIELU TRANSAKCJI JEDNEGO PODMIOTU

Oznaczenia:

n n₁, ₂,...,n_k długości okresów oprocentowania lokat terminowych r ,r ,...,r_{1 2 k} stopy procentowe, obowiązujące w okresach 1,2,...,k P ,P ,...,P_{1 2 k}

kwoty na lokatach terminowych o długościach okresu i oprocentowaniach jak wyżej

Relacja pomiędzy podanymi wyżej wielkościami a przeciętną stopą procentową r_prz na okres n (który może być dowolny), dającą te same odsetki co wspomniane wyżej k lokat terminowych ma postać

r

r

j k

j j

k

n P

P

n

= =

∑ ⁼ ∑

1 1

Przy zadanym n można z tego wzoru wyznaczyć r_prz; przy założonej wartości r_prz można wyznaczyć n. Odpowiednie wzory mają postać:

∑

∑

=

=

j j k

j

j prz

n r n r

1 1

j j

P P

∑

∑

=

= = _k

j prz

j k

j

j

r

r n n

1 1

j j

P P

3.4. DYSKONTOWANIE PROSTE

Obliczenie wartości aktualnej P kapitału na podstawie znajomości wartości przyszłej F podano w cz. 3.1; odpowiedni wzór ma postać:

n r P F

= + 1

dyskontowanie proste

(jest to operacja odwrotna do oprocentowania prostego, gdzie r - stopa procentowa, n - czas). Oczywiście D = F - P, skąd otrzymujemy wzór

n n r D Fr

= + 1

dyskonto proste

Zauważmy, że zależność kapitału P od jego przyszłej wartości F wyrażona jest poprzez funkcję, która jako funkcja czasu opisuje hiperbolę. Warto zauważyć, że zależność F od P była liniowa względem czasu.

3.5. DYSKONTO HANDLOWE

Oznaczenia:

d stopa dyskontowa n czas w latach

P aktualna wartość kapitału (po zdyskontowaniu o czas n) F wartość kapitału w przyszłości

n Fd P

F

D

= − =

dyskonto handlowe

) 1

( d n F

D F

P = −

= −

wartość aktualna przyszłych pieniędzy

Wzór ten można przekształcić, wyznaczając z niego F, d lub n:

wartość kapitału F stopa dyskontowa d czas n:

F P

= d

1 − n

F P

= −

F n

n = F − P

d F

Relacje pomiędzy stopami procentową r a dyskontową d , dającymi po czasie n odsetki i dyskonto tej same wysokości:

r d

= d

−

1 n d r

= r +

1 n

Czas, po którym odsetki i dyskonto od tej samej kwoty będą sobie równe (przy zadanych stopach procentowej r i dyskontowej d):

n = 1 − 1 d r

3.6. PRZYKŁADY

3.6.1. Oblicz odsetki od kapitału P= 2000 zł po czasie n = kwartał przy stopie procentowej r = 24%.

Rozwiązanie:

Wobec braku konkretnych dat przyjmujemy zasadę równych miesięcy.

Mamy wówczas następujące dane:

• P=2 000 zł

• n=kwartał=0,25 roku

• r=24%=0,24

Odsetki obliczamy wg pierwszego wzoru z cz. 3.1:

I = Prn = 2000 0,24 0,25 = 120 zł ⋅ ⋅

Odpowiedź: Odsetki od kapitału 2000 zł przy oprocentowaniu 24% po kwartale będą równe I=120 zł.

3.6.2. Wyznaczyć przyszłą wartość kapitału P = 1200 zł po upływie czasu n = 3 kwartały, jeśli w poszczególnych podokresach okresu n stopa procentowa (zawsze podana w skali roku) była następująca: w pierwszym kwartale wynosiła 40%, w drugim - 36%, w trzecim - 30%.

Rozwiązanie:

Dane:

• P=1200 zł

• kwartał: I II III

• stopa r: 40% 36% 30%

• wobec braku konkretnych dat czas obliczamy zgodnie z zasadą równych miesięcy, skąd n = 0,75 roku

Wartość przyszłą kapitału obliczamy ze wzorem z cz.3.1 pamiętając, że w każdym kwartale odsetki obliczane są na podstawie innej stopy procentowej. Stąd:

zł 00 , 1518 )]

25 , 0 30 , 0 25 , 0 36 , 0 25 , 0 40 , 0 ( 1 [ 1200

)]

( 1

[ _{1 1 2 2 3 3}

=

⋅ +

⋅ +

⋅ +

=

= +

+ +

= P rn rn rn

F

Odpowiedź: Wartość przyszła kapitału P będzie wynosiła F = 1518 zł.

3.6.3. Obliczyć wartość początkową P kapitału F= 1650,00 zł, otrzymanego po złożeniu kapitału P na okres czasu od 1 stycznia do 1 kwietnia na oprocentowanie proste przy stopie procentowej równej r = 22 %.

Rozwiązanie:

Korzystając ze wzoru z cz.3.4 otrzymujemy:

n = 90 dni = 0,246575 roku zł 10 , 266575 1565 , 0 22 , 0 1

00 , 1650

1 =

⋅

= +

⋅

= + n r

P F

Odpowiedź: Wartość początkowa kapitału F=1650,00 zł wynosi P=1565,10 zł.

3.6.4. Oblicz wysokość dyskonta handlowego i faktyczną wielkość długu F , gdy krótkoterminowa pożyczka, udzielona na okres n=

3,5 miesiąca przy stopie dyskontowej d = 25% , zamyka się kwotą P = 2000,00 zł.

Rozwiązanie:

Posługujemy się wzorami z cz.3.5.

Dane:

• P=2000 zł

• wobec braku konkretnych dat czas liczony jest wg zasady równych miesięcy: n = 3,5/12=0,291667

• d=25%=0,25 Faktyczna wielkość długu:

F P

= d n

− ⋅ =

− ⋅

1 =

2000 00 1 0 25 3 5

12

2157 30 ,

, , ,

Wysokość dyskonta handlowego:

D_H =Fdn= 2157 30 0 25⋅ ⋅3 5 =

12 157 30

, , ,

, ^zł

Taki sam wynik otrzymuje się, odejmując od kwoty F kwotę P.

Odpowiedź: Wysokość dyskonta handlowego wynosi D_H = 157,30 zł a faktyczna wielkość długu F = 2157,30 zł

3.6.5..Oblicz długość okresu (w miesiącach - przy zastosowaniu zasady równych miesięcy, i w dniach - przy zastosowaniu zasady dokładnej liczby dni), dla którego dyskonto proste i dyskonto handlowe są sobie równe przy danych stopach procentowej r = 45% i dyskontowej d = 42%.

Rozwiązanie:

Dane:

• r = 45 % = 0,45

• d = 42% = 0,42

Posługując się ostatnim wzorem z cz. 3.5 otrzymujemy:

lat 158730158 ,

45 0 , 0

1 0,42

n= 1 − =

Zgodnie z zasadą równych miesięcy stanowi to 57 dni, tzn. 1 miesiąc i 27 dni. Zastosowanie zasady dokładnej liczby dni daje wynik równy 58 dni.

Odpowiedź: Długość okresu wynosi 0,1587730158 roku. Wg ZRM jest to 57 dni (1 miesiąc i 27 dni), a wg DLD jest to 58 dni.

3.7. Zadania

W każdym z podanych niżej zadań określ - gdy zachodzi taka potrzeba - sposób, w jaki obliczasz okres czasu n.

3.7.1. Oblicz odsetki od kapitału P po czasie n przy stopie procentowej r:

a) P = 1000 zł, n=7 miesięcy, r=24%

b) P = 1200 zł, n - czas od 20 stycznia do 4 czerwca, r=20%

c) P =300 zł, n - czas od 1 marca do 31 października, r = 30%

d) P = 2000 zł, n = 2 kwartały, r = 24%

3.7.2. Oblicz wartość przyszłą kapitału P po czasie n i przy stopie procentowej r jak w zadaniu 3.7.1.

3.7.3. Po jakim czasie n kapitał P zwiększy się do wartości F przy stopie procentowej r? Wynik przelicz na dni stosując zasadę dokładnej liczby dni.

a) P = 1000 zł, F = 1200 zł, r = 20%

b) P = 1200 zł, F = 1500 zł, r = 24%

c) P = 300 zł, F = 400 zł, r = 30%

d) P = 2000 zł, F = 3000 zł, r = 16%

e) F = 2P, r = 30%

f) F = 1.5 P, r = 36%

3.7.4. Oblicz wysokość oprocentowania r, w wyniku którego odsetki od kwoty P po czasie n były równe I:

a) P = 1000 zł, n = 7 miesięcy, I = 200 zł

b) P = 1200 zł, n - czas od 2 stycznia do 5 maja, I = 245,20 zł c) P = 300 zł, n - czas od 15 marca do 20 kwietnia, I = 3,20 zł d) P = 2000 zł, n = kwartał, I = 500 zł

3.7.5. Ile pieniędzy należy pożyczyć na 32%, aby po dwóch miesiącach otrzymać kapitał F równy:

a) 1000 zł b) 5000 zł c) 15000 zł

3.7.6. Wyznaczyć przyszłą wartość kapitału P po upływie czasu n, jeśli w poszczególnych podokresach okresu n stopa procentowa (zawsze podana w skali roku) była dana:

a) P = 1000 zł, w pierwszym półroczu stopa procentowa wynosiła 32%, w drugim 30%;

b) P = 1200 zł, w pierwszym kwartale stopa procentowa wynosiła 40%, w drugim - 36%, w trzecim - 30%;

c) P = 1500 zł, w styczniu stopa procentowa wynosiła 20%, w lutym i marcu - 23%, w kwietniu - 26%, w maju i czerwcu - 24%.;

d) P = 300 zł, stopa procentowa zmieniała się co kwartał i wynosiła 40%, 36%, 32% oraz 24%.

3.7.7. Firma uzyskała trzy krótkoterminowe kredyty:

• 12 000 zł na 3 miesiące przy stopie procentowej 40%

• 13 000 zł na 6 miesiące przy stopie procentowej 43 %

• 15 000 zł na 9 miesięcy przy stopie procentowej 45%

Firma chciałaby zmienić warunki udzielenia kredytów w ten sposób, aby cały dług spłacić po 7 miesiącach. Jakie oprocentowanie przeciętne odpowiada temu okresowi czasu?

3.7.8. Firma uzyskała 3 kredyty krótkoterminowe: 10 000 zł na 4 miesiące przy stopie procentowej 45%, 5000 zł na 6 miesięcy przy stopie 43 % oraz 4000 zł na 9 miesięcy przy stopie 42%. Czy sytuacja firmy byłaby korzystniejsza, gdyby stopa procentowa dla wszystkich kredytów była jednakowa i równa 43%?

3.7.9. Firma zaciągnęła 4 krótkoterminowe pożyczki w 4 bankach przy następujących warunkach:

• w banku A 1000 zł na 2 miesiące przy stopie procentowej 18%

• w banku B 1200 zł na 4 miesiące przy stopie procentowej 20%

• w banku C 1600 zł na 3 miesiące przy stopie procentowej 19%

• w banku D 2000 zł na 5 miesięcy przy stopie procentowej 21%

Czy sytuacja firmy byłaby korzystniejsza, gdyby oprocentowanie wszystkich pożyczek było jednakowe i równe 20% w skali roku? Jakie przeciętne oprocentowanie odpowiadałoby okresowi równemu dla całego długu 4 miesiące?

3.7.10. Obliczyć wartość początkową P kapitału F, otrzymanego po złożeniu kapitału P na okres czasu n na oprocentowanie proste przy stopie procentowej równej r:

a) F = 2000 zł, n = 4 miesiące, r = 24%; b) F = 1650 zł, n = kwartał, r = 22%;

c) F = 2400 zł, n - okres od 20 stycznia do 15 maja, r = 25%

d) F = 3000 zł, n = 3,5 miesiąca, r = 21%; e) F = 1244,26 zł, n = 56 dni, r = 19%.

3.7.11. Dla danych z zadania 3.7.10 oblicz dyskonto proste.

3.7.12. Dla poniższych danych oblicz dyskonto handlowe i wartość aktualną przyszłego kapitału F:

a) F = 2000 zł, n = 4 miesiące, d = 20%;

b) F = 1650 zł, n = kwartał, d = 22%;

c) F = 2400 zł, n - okres od 20 stycznia do 15 czerwca, d = 25%;

d) F = 3000 zł, n = 4,5 miesiąca, d = 21%;

e) F = 2460 zł, n = 56 dni, d = 18%.

3.7.13. Oblicz wysokość dyskonta handlowego i faktyczną wielkość długu F, gdy krótkoterminowa pożyczka, udzielona na okres n przy stopie dyskontowej d, zamyka się kwotą P:

a) P = 1000 zł, n = 4 miesiące, d = 24%;

b) P = 2650 zł, n = kwartał, d = 22%;

c) P = 1400 zł, n - okres od 20 stycznia do 15 maja, d = 25%

d) P = 2000 zł, n = 3,5 miesiąca, d = 21%;

e) P = 2240 zł, n = 56 dni, d = 19%.

3.7.14. Oblicz (z dokładnością do 4 cyfr znaczących), jaka jest wysokość stopy procentowej, przy których dyskonta proste i handlowe kwot, wymienionych w zadaniu 3.7.12. są równe.

3.7.15. Oblicz (z dokładnością do 4 cyfr znaczących), jaka jest wysokość stopy dyskontowej, przy których dyskonta proste i handlowe kwot, wymienionych w zadaniu 3.7.10. są równe.

3.7.16. Oblicz długość okresu (w miesiącach - przy zastosowaniu zasady równych miesięcy, i w dniach - przy zastosowaniu zasady dokładnej liczby dni), dla którego dyskonto proste i dyskonto handlowe są sobie równe przy danych stopach procentowej r i dyskontowej d:

a) r = 50%, d = 45% b) r = 52%, d = 46% c) r = 45%, d = 42%

d) r = 41%, d = 40% e) r = 20%, d = 12% f) r = 5%, d = 4%.

3.8. Rozwiązania zadań

3.7.1. i 3.7.2. Czas n obliczamy z dokładnością do 6 miejsc po przecinku.

Odsetki obliczamy z dokładnością do 1 grosza. Stosujemy wzory z części. 3.1, na odsetki:

I = Prn

F P( = 1 + rn )

P czas czas r I (zł) F (zł)

ppkt zł wg dni lata (n=) % zad 3.7.1 zad 3.7.2 a) 1000 ZRM 210 0,583333 24 140,00 1140,00 b) 1200 ZRM 134 0,372222 20 89,33 1289,33 b) 1200 DLD 135 0,369863 20 88,77 1288,77 c) 300 ZRM 239 0,663889 30 59,75 359,75 c) 300 DLD 244 0,668493 30 60,16 360,16 d) 2000 ZRM 180 0,500000 24 240,00 2240,00 3.7.3. Czas n obliczamy z dokładnością do 6 miejsc po przecinku, liczbę dni - z dokładnością do 1 dnia. Stosujemy wzory z cz. 3.1 i 2.1: na czas w latach n = F − P

P r oraz na liczbę dni: m = 365n

.

P F r czas

ppkt zł zł % lata (n=) dni

a) 1000 1200 20 1 365

b) 1200 1500 24 1,041667 380

d) 2000 3000 16 3,125000 1141

c) 300 400 30 1,111111 406

e) P 2P 30 3,333333 1217 f) P 1,5P 36 1,388889 507 3.7.4. Czas n obliczamy z dokładnością do 6 miejsc po przecinku, stopę procentową r - z dokładnością do 5 miejsc po przecinku. DLD - dokładna liczba dni, ZRM - zasada równych miesięcy. Wzór z cz. 3.1.: r I

= P

n Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem.

P czas czas I r

ppkt zł wg dni lata (n=) zł ułamek %

a) 1000 ZRM 210 0,583333 200,00 0,34286 34,286

b) 1200 ZRM 123 0,341667 245,20 0,59805 59,805 b) 1200 DLD 123 0,336986 245,20 0,60636 60,636 c) 300 ZRM 35 0,097222 3,20 0,10971 10,971 c) 300 DLD 36 0,098630 3,20 0,10815 10,815

d 2000 ZRM 90 0,250000 500 1 100

3.7.5. Czas liczymy wg ZRM, stosujemy wzór z cz.3.1: P F

= r + 1 n

.

Odpowiedzi:

a) P = 949,37 zł b) P = 4 746,84 zł c) P = 14 240,51 zł.

3.7.6. Wobec braku dat czas liczymy wg ZRM, stosujemy wzór z cz.3.2:

) 1

∑

=

+

= ^k

j j jr P(

F n

a) _{) 1310zł}

2 30 1 , 2 0 32 1 , 0 1 (

1000⋅ + ⋅ + ⋅ =

=

F

b) _{) 1518zł}

4 30 1 , 4 0 36 1 , 4 0 40 1 , 0 1 (

1200⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

=

F

c) _{) 1675zł}

12 24 2 , 12 0 26 1 , 12 0 23 2 , 12 0 20 1 , 0 1 (

1500⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= F

d) _{) 399zł}

4 24 1 , 4 0 32 1 , 4 0 36 1 , 4 0 40 1 , 0 1 (

300⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

=

F

3.7.7. Wobec braku konkretnych dat czas liczymy wg ZRM, stosujemy

wzór z cz.3.3: r

r_j

prz

j j

k

j

= ⁼ k

=

∑

∑

P

P

j

j

n

n

1

1

, gdzie P_j

j=

∑

3 = 40000 zł, n = 7/18.

Po podstawieniu danych z zadania do wzoru otrzymujemy:

r_prz = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

⋅ 12000 3

12 0 40 13000 6

12 0 43 15000 9 12 0 45 40000

, , ,

7 18

=0,58227

czyli r_prz = 58,227%

Spłacenie całego długu po 7 miesiącach bez straty odsetek przez bank oznaczałoby, że oprocentowanie łącznego długu musiałoby być równe 58,227%. Byłoby więc ono bardzo wysokie w stosunku do stóp procentowych podanych w zadaniu.

3.7.8. Czas liczymy wg ZRM, stosujemy wzór na odsetki z cz.3.1 przy uwzględnieniu zmian stopy procentowej. Dla danych stóp procentowych suma odsetek (łączny koszt kredytu) kształtuje się następująco:

I =10000⋅ 4 ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

12 0 45 5000 6

12 0 43 4000 9

12 0 42 3835 00

, , , , zł

Dla wspólnej dla wszystkich kredytów stopy procentowej, równej 43%, koszt kredytu wynosi:

I =(10000⋅ 4 + ⋅ + ⋅ ) ,⋅ = , 12 5000 6

12 4000 9

12 0 43 3798 33 zł

Jak z tego wynika, wspólna dla tych kredytów stopa procentowa, wynosząca 43%, byłaby korzystniejsza dla dłużnika niż oprocentowania podane w zadaniu.

3.7.9. Rozumując podobnie, jak w zad. 3.7.8, obliczamy koszt kredytów przy podanych stopach procentowych i przy stopie procentowej wspólnej, wynoszącej 20%. W pierwszym przypadku otrzymujemy:

zł 00 , 361 21 , 12 0 2000 5 19 , 12 0 1600 3 20 , 12 0 1200 4 18 , 12 0

1000⋅ 2 ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

=

I

zaś dla wspólnego oprocentowania mamy:

I =(1000⋅ 2 + ⋅ + ⋅ + ⋅ ) ,⋅ = ,

12 1200 4

12 1600 3

12 2000 5

12 0 20 360 00 zł Różnica jest więc minimalna, ale korzystniejszy dla firmy jest wariant drugi. Natomiast gdybyśmy rozważali sytuację taką, w której wszystkie pożyczki byłyby spłacane po 4 miesiącach przy odsetkach, jak w wariancie pierwszym, tzn. wynoszących 361 zł, to posługując się wzorem cytowanym w zad. 3.7.7. otrzymuje się następujące przeciętne oprocentowanie dla wszystkich tych pożyczek:

r_prz =

⋅ 361 00

5800 , 4 12

= 0,18672 czyli r_prz = 18,672%.

3.7.10. i 3.7.11. Czas n obliczamy z dokładnością do 6 miejsc po przecinku. DLD - dokładna liczba dni, ZRM - zasada równych miesięcy Stosujemy wzory z cz. 3.4.: _P ^F

= rn +

1 , D =F −P . Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem.

F czas czas r P (zł) D (zł)

ppkt zł wg dni lata % z. 3.7.10 z. 3.7.11

a) 2000,00 ZRM 120 0,333333 24 1851,85 148,15

b) 1650,00 ZRM 90 0,250000 22 1563,98 86,02

c) 2400,00 ZRM 115 0,319444 25 2222,51 177,49

c) 2400,00 DLD 115 0,315068 25 2224,76 175,24

d) 3000,00 ZRM 105 0,291667 21 2826,85 173,15

e) 1244,26 ZRM 56 0,155556 19 1208,54 35,72

e) 1244,26 DLD 56 0,153425 19 1209,02 35,24

3.7.12. Czas n obliczamy wg reguły bankowej z dokładnością 6 miejsc po przecinku. Stosujemy wzory z cz. 3.5.: P = F(1 − d n) oraz

D_H = F − P = Fdn . Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem.

F okres czas d D P

ppkt zł czasu dni lata % zł zł

a) 2000,0

0 4 mies. 120 0,333333 20 133,33 1866,67

b) 1650,0

0 kwartał 90 0,250000 22 90,75 1559,25

c) 2400,0

0 20.01-15.06 146 0,405556 25 243,33 2156,67 d) 3000,0

0 3,5 mies. 135 0,375000 21 236,25 2763,75 e) 2460,0

0 56 dni 56 0,155556 18 68,88 2391,12

3.7.13. Czas n obliczamy wg reguły bankowej z dokładnością 6 miejsc po przecinku. Stosujemy wzory z cz. 3.5.:

.

n d 1 F P

= − ^oraz

D_H = F − P . Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem.

P czas d D F

ppkt zł dni lata % zł zł a) 1000 120 0,333333 24 86,96 1086,96 b) 2650 90 0,250000 22 154,23 2804,23 c) 1400 115 0,319444 25 121,51 1521,51 d) 2000 105 0,291667 21 130,49 2130,49 e) 2240 56 0,155556 19 68,22 2308,22 3.7.14. Czas n obliczamy wg reguły bankowej z dokładnością 6 miejsc po przecinku. Stosujemy wzór z cz. 3.5.:r d

= d

1 − n

.

a) r = 21,429 % b) r = 23,28 % c) r = 27,17 % d) r = 22,37 % e) r = 18,519 %

3.7.15. Czas n obliczamy wg reguły bankowej z dokładnością 6 miejsc po przecinku. Stosujemy wzór z cz. 3.5.: d r

= r +

1 n

.

a) d= 22,222%

b) d= 20,853%

c) d= 23,151%

d) d= 19,788%

e) d= 18,455 %

3.7.16. Czas n obliczamy z dokładnością do 6 miejsc po przecinku. DLD - dokładna liczba dni, ZRM - zasada równych miesięcy. Stosujemy wzór z cz. 3.5.: n = 1 −1

d r . Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem.

r d n ZRM DLD

ppkt % % lata dni dni

a) 50 45 0,222222 80 81

b) 52 46 0,250836 90 92

c) 45 42 0,158730 57 58

d) 41 40 0,060976 22 22

e) 20 12 3,333333 1200 1217

f) 5 4 5 1800 1825

4. DYSKONTOWANIE WEKSLI

4.1. WARTOŚĆ NOMINALNA I WARTOŚĆ AKTUALNA

Oznaczenia:

m dokładna liczba dni do terminu spłaty weksla d stopa dyskontowa

W_nom wartość nominalna weksla

Dyskonto handlowe (czas jest tu liczony zgodnie z regułą bankową) oblicza się wg wzoru:

D d

W

H

= m

360

dyskonto handlowe

Przekształcając ten wzór można obliczyć dokładną liczbę dni do terminu spłaty weksla, stopę dyskontową lub wartość nominalna weksla, znając pozostałe wielkości. Otrzymujemy:

dokładna liczba dni stopa dyskontowa wartość nominalna weksla

dW

D

m = 360

W

D m 360

=

d m

360

d W

= D

Oznaczamy:

W_akt - wartość aktualna weksla. Wartość aktualną weksla definiuje się następująco:

W

= W

− D

Podstawiając za dyskonto handlowe prawą stronę wzoru podanego wyżej i przekształcając otrzymuje się:

wartość aktualna weksla wartość nominalna weksla

W W d

akt

=

( 1 − )

360

m _W ^W

d

n o m

=

− 1 3 6 0

m

Gdy znana jest wartość nominalna weksla W_nomoraz jego wartość aktualna W_akt i liczba dni do terminu wykupu weksla m, to stopę dyskontową d można obliczyć ze wzoru

d W W

W

nom akt

nom

= −

⋅ 360 m

stopa dyskontowa

zaś przy znanych W_nom^, W_akt i stopie dyskontowej d można obliczyć liczbę dni do terminu wykupu weksla:

d m 360

nom akt

nom

− ⋅

= W

W W

liczba dni do terminu wykupu weksla

4.2. RÓWNOWAŻNOŚĆ WEKSLI

W przypadku weksla o wartości nominalnej W_nom, zgłoszonego do odnowienia na m dni przed terminem wykupu, wartość nominalna weksla odnowionego W_nom^' , z terminem wykupu za m’ dni od dnia zgłoszenia, przy stopie dyskontowej d , obowiązującej w tym dniu, jest dana wzorem:

360 1 m'

360 ) 1 m (

'

d W d

W

−

= −

wartość nominalna weksla odnowionego

Z tego wzoru można łatwo obliczyć wielkości W_nom, m, m’ oraz d przy znanych pozostałych wielkościach:

360 1 m

360 ) 1 m'

'

(

d W d

W

−

= −

d W

W d

nom

nom ) 360

360 1 m' ( 1

m

'

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛ −

−

=

nom nom

nom nom

W W

W d W

m m'

) (

360

' '

−

= −

d W

W d

nom

nom ) 360

360 1 m ( 1

m' _'

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛ −

−

=

Oznaczmy:

W

, W

,..., W

m ,m ,...,m_{1 2 k} terminy wykupu tych weksli, liczone od dnia równoważności weksli

W_nom wartość nominalna weksla równoważnego tym k wekslom

m czas w dniach do terminu wykupu weksla równoważnego

d stopa dyskontowa w dniu równoważności weksli Wtedy mamy następujące wzory na równoważność weksli:

W

W d

d

nom

nom j j

k

=

−

−

∑

1 360

1

m m

j wartość

nominalna weksla

m m

= ⎡ − −

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

∑

360 1 1

1 360

d W

W d

nom

nom j j

k

( )

liczba dni do wykupu równoważnego

weksla

4.3. KOSZT ZŁOŻENIA WEKSLA DO DYSKONTOWANIA

Oznaczenia:

R opłata ryczałtowa pobierana przez bank przy dyskontowaniu weksla

p stopa procentowa związana z opłatą proporcjonalną do wartości nominalnej dyskontowanego weksla

K_rz koszt złożenia weksla do dyskontowania D_H dyskonto handlowe

K

= D

+ R + W

p m 360

koszt złożenia weksla do dyskontowania Oczywiście

W

= W

− K

Rzeczywista stopa kosztu zdyskontowania weksla (będąca stopą zwrotu dla tego, kto zainwestował w weksel pieniądze):

r W

W

akt akt

= −

W

⋅ 360 m

rzeczywista stopa kosztu zdyskontowania weksla (por. wzór na stopę zwrotu, cz. 1.)

4.4. PRZYKŁADY

4.4.1. Dłużnik, który ma do spłacenia 3 weksle (wszystkie temu samemu wierzycielowi) o wartościach nominalnych

W

W

W

Rozwiązanie:

Dane:

•

W

•

W

•

W

terminy wykupu:

• A = 1.07 m₁ = 37 dni do D

• B = 1.08 m₂ = 68 dni do D

• C = 1.09 m₃ = 99 dni do D

• data równoważności D = 25.05

• data płatności E = 15.08

• m = 82 dni od daty E do daty D

• d = 32%

Szukane:

•

W

Korzystamy z przedostatniego wzoru z cz. 4.2. Otrzymujemy:

W_nom= − ⋅ + − ⋅ + − ⋅

− ⋅ =

1000 1 37 0 32

360 2000 1 68 0 32

360 3000 1 99 0 32 360 1 82 0 32

360

602109

( ,

) ( ,

) ( ,

)

, ,

Odpowiedź: Wartość nominalna tego weksla wynosi 6021,09 zł.

4.4.2. Pan Kowalski zamierza złożyć weksel do zdyskontowania.

Weksel ma trzymiesięczny termin płatności i wartość nominalną 1000 zł. Stopa dyskontowa wynosi d=25%. Bank może również udzielić trzymiesięcznej pożyczki oprocentowanej przy stopie r, na procent prosty, przy odsetkach płatnych z dołu. Dla jakiej stopy r zaciągnięcie pożyczki równej wartości aktualnej weksla jest równoważne złożeniu weksla do dyskonta? Dla jakich stóp procentowych r zdyskontowanie weksla będzie dla pana Kowalskiego korzystniejsze niż zaciągnięcie pożyczki?

Rozwiązanie:

Dane:

weksel pożyczka

•

W

• d=25% stopa dyskont. P =

W

• m=90 dni n=90/360=0,25

Szukane:

•

W

otrzymujemy

W

W

Odpowiedź: Złożenie weksla do dyskonta jest korzystniejsze przy stopie procentowej r>26,67% (dla takiej stopy procentowej pożyczka z odsetkami przekroczy wartość nominalną weksla równą 1 000zł).

4.5. Zadania

4.5.1. Za sprzedane towary o wartości aktualnej 5000 zł hurtownia przyjęła weksel, płatny za 30 dni. W dniu transakcji stopa dyskontowa wynosiła 32%. Oblicz wartość nominalną weksla.