Turbulentie in de waterloopkunde: Handleiding

December 1992

-Cok

J,

·!it:;

_~..~~

.

_.

.

T

U

Delft

Technische Universiteit Delft

in de waterloopkunde

R. Booij

cT

Faculteit der Civiele Techniek

Vakgroep Waterbouwkun<;le

b82 84

T U R BUL

ENT

I E

in de waterloopkunde handleiding

versi

e december

1992

R. Booij b82

december

1992 200084 fl. 8.50

~QQ!:~Ql:g

H~t coll~g~ b82 is in h~t bijzond~r g~yicht op wat~yloop-kundig~ asp~ct~n van d~ turbul~nti~. Hi~rbij kom~n ond~rw~rp~n aan d~ ord~ zoals vrij opp~Yvlak, bod~mruwh~id, stroming

~n disp~Ysi~ in rivi~r~n, numeri~ke tuybulenti~ modellering, ~nz., di~ in de handboeken ni~t of sl~chts summi~y aan de orde komen.

D~ handleiding b82 b~vat ni~t all~~n de stof di~ nodig is voor h~t afl~gg~n van het tentam~n b82. D~ handl~iding is tevens b~do~ld om h~t raadpl~g~n van d~ vrij onto~gank~lijk~ lit~ratuur, zow~l van de m~~r specialistische lit~Yatuur als van d~ handboeken, te v~r~envoudig~n ~n om t~ di~nen als naslagw~rk.

Deze do~l~inden st~ll~n v~rschi11etld~eis~n aan de inhoud van d~ handl~iding. Hi~rvoor is ~~n typografisch~ oplossing gezocht. D~ stof di~ buit~n het colleg~ b82 valt ~n dus t~vens buit~n d~ stof di~ g~l~~rd mo~t word~n voor h~t t~ntam~n is in e~n kl~in~r~ l~tt~r afg~drukt. Grote d~l~n van d~ paragraf~n 4.2J 4.3 ~n 8.3 zijn voor d~ voll~digh~id opg~nom~n, doch in ~~n st~yk g~compyim~~rd~ vorm.

Inhoud Voorwoord 2 Inhoud 1. 1.1 1.2 1.3 2. 2.1 2.2 2.3 2.4 3. 3.1 3.2 3.3 3.4 4. 4.1 4.2 4.3 5. 5.1 3 Inleiding

Het optreden van turbulente stroming Kenmerken van turbulentie

Turbulente transporten

5 5 6 10

Stochastische beschrijving van de turbulentie Instabiliteit Hoofdbeweging en turbulentie Tijdgemiddelde en ensemblegemiddelde Meettechniek 19 19 21 24 26 Basisvergelijkingen Baiansvergelijkingen Continufteitsvergelijking en Naviers-Stokes-vergelijking De ReynoldsvergeliJking Het sluitingsprobleem 29 29 32 33 36 Energie Energievergelijkingen Energiespectrum

Werveldynamica en wervel cascade

40 40 45 50 Turbulente afschuifstroming Grenslaagbenadering 55 55 5.2 Gebieden in een turbulente stroming langs een wand 58

5.2.1 Het turbulent binnengebied 60

5.2.2 Viskeuze sublaag en buff~rlaag 62

5.2.3 Het turbulent buitengebied 65

6. Turbulente stromingen in de praktijk Uniforme, stationaire afschuifstromingen

73 6.1 6.2 Ontwikkelende afschuifstromingen 73 74 76 78 80 81 85 89 96

6.1.1 Snelheidsverdeling in gesloten leidingen 6.1.2 Snelheidsverdeling in open waterlopen

6.1.3 Weerstandsrelaties

6.2.1 Wandgrenslaag

6.2.2 In tijd of plaats variêrende buitenstraming 6.2.3 Vrije afschuifstroming

6.3 Complexere stroming_vormen

7. Modellering van de turbulentie

7.1 Tuybulentiemodèll~n

7.2 Algebrar~che turbulentie viscositeits modellen 7.2.1 Eenvoudige turbulentie viscositeits modellen 7.2.2 Mengweglengte model

7.3 Differentiaal modellen

7.3.1 Prandtl's turbulentie energiè model

7.3.2 k-e-model 100 100 102 103 106. 107 107 110 8. 8.1 Turbulente diffusie Verspreiding 115 115

8.1.1 Verspreiding en erratische beweging 117

8.1.2 Verspreiding samenhangend met de gemiddelde beweging 118 8.1.3 Moleculaire en turbulente diffusie en dispersie 118 8.2 8.3 De diffusievergelijking Statistische theorie 121 124 125 126 8.3.1 Verspreiding in korte tijd

8.3.2 Verspreiding na lange tijd

8.3.3 Inhomogene doch begrensde uniforme stroming 8.4 Verspreiding in de praktijk

8.4.1 Verspreiding in kanalen en rivieren 8.4.2 Verspreiding in stralen, pluimen, e.d. 8.4.3 Verspreiding van een wolk diffusaat op zee

128 128 128 132 133

Literatuur over turbulentie en referenties 136

1 Inleiding

1.1 Het optreden van turbulente stroming

De meeste stromingen die we in de natuur en de techniek (en zeker in de civiele techniek) tegenkomen zijn turbulent. Enige voorbeelden zijn:

De stromingen in interstellaire gaswolken zijn turbulent. De grenslaag van de aardatmosfeer is turbulent.

Stromingen in zeeên en oceanen zijn Iturbulent. i

Grenslagen op vliegtuigvleugels zij~ turbulent.

De zogstroming van auto's9 schepen en vliegtuigen is turbulent.

Stroming in rivieren en kanalen is turbulent.

Stroming van water9 ol.ieen gas in buizen is i.h.a. turbulent.

Laminaire stroming komt weinig voor in de vloeistofmechanica.Een maat voor het optreden van turbulente of laminaire stroming is het (dimensieloze) getal van Reynolds, Re:

Re _ U L

v (1)

met U is een voor de stromihg karakteristiek snelheidsverschil; L is een karakteristieke lengte waarover zo'n

snelheids-verschil optreedt;

- v is de kinematische viscositeit.

Laminaire stroming treedt op bij relatief kleine getallen van Reynolds (Re ~ orde 1000). Voorbeelden van laminaire stroming zijn grondwaterstroming en de stroming van smeerolie in een

lager. In het laatste geval gaat een grote viscositeit v gepaard met een kleine karakteristieke lengte L (de dikte van de olielaag).

Bij stromingsproblemen in de civiele techniek zal turbulentie i.v.m. de grote lengtematen en snelheden dus steeds een

belangrijke rol spelen. Voorbeelden hiervan zijn:

Snelheidsverdelingen in alle~lei stromingsconfiguraties. Bodemweer'standin rivieren; wandweerstand in buizen.

Verspreiding en menging in vloeistof- en gasstroming;

transport van sediment.

1.2 Kenmerken ~ turbulentie

Een precieze definitie van turbulentie is moeilijk te geven. Liever beperken we ons hier tot de lijst met kenmerken van

turbulentie volgens Tennekes-Lumley:

Uonregelmatigheid, of toevalligheid (randomness). Dit is karakteristiek voor turbulente stromingen. I.p.v~ een deterministische ~anpak is daarom slechts een aanpak met statistische methoden mogelijk.

2)giffusiviteit. Een groot transport van impuls, warmte en

stof treedt steeds op in turbulente stroming. (Hiermee hangt samen een snelle uitbreiding van turbulente stromen, b.v. grenslagen.) Dit aspect is belangrijk i.v.m.

b.v. verspreiding van afvalstoffen op zee; grote weerstand in pijpen;

grote warmteoverdracht in koelwater.

3)grote getallen ~ Reynolds. Bij grote getallen van Reynolds (Re) hebben laminaire stromingEm de neiging instablei te worden. In dat geval ontstaat turbulentie. De

instabiliteiten hebben te maken met de verhouding tussen de niet-lineaire traagheidstermen en de visceuze termen in de impulsbalansvergelijking (bewegingsvergelijking).

4)driedimensionale wervel sterkte fluctuaties. Turbulentie is 3-dimensionaal en wordt gekenmerkt door zijn hoge niveau van fluctuerende wervelsterkte. Turbulentie bestaande uit twee-dimensionale wervel sterkte fluctuaties zou zichzelf niet kunnen handhaven. Cyclonen in de atmosfeer zijn in principe 2-dimensionaal, dus zijn zelf geen vorm van turbulentie; onregelmatige golven op het oceaanoppervlak zijn in hoge mate wervelvrij dus zijn niet een turbulente beweging.

5)~issipatie. Evenals de transporten is ook de energie-dissipatie bij turbulente stroming veel groter dan bij laminaire stroming. Turbulente bewegingen zijn sterk

aan de gemiddelde stroming is nodig om de turbulentie in stand te/houden.

6)~on_tinuum.

I

De kleinste schalen die in turbulentie optreden zijn gewoonlijk veel groter dan welke moleculaire lengteschaal ook. E~n continuumbeschrijving voldoet dus evenzeer als voor een laminair bewegende vloeistof.

7)turbulente stromen zijn stromen. Turbulentie is een eigenschap van stromen, niet van de verschillende vloeistoffen. Elke vloeistof kan afhankelijk van de omstandigheden laminair of turbulent stromen.

N.B. Een poging tot een definitie van turbulentie, maar in het licht van de bovenstaande lijst eigenschappen een onvolledige, geeft b.v. Hinze:

"Turbulent fluid motion is an irregular condition of flow in which the various quantities show a random variation with time and space coordinates, so that statistically distinct average values can be discerned".

Turbulentie zal slechts ontstaan in stromingen, waar vanuit de hoofdbeweging energieoverdracht aan de turbulente beweging kan plaatshebben. Hiervoor zijn snelheidsgradiênten nodig. Een

turbulente beweging zal ter plaatse van een snelheidsgradi~nt een turbulente schuifspanning vertonen, welke samen met de snelheidsgradiênt zorg kan dragen voor bovengenoemde

energieoverdracht. Dit mechanisme zal in hoofdstuk 4 uitgebreid ter sprake komen.

Afhankelijk van de oorzaak van het ontstaan van deze

snelheidsgradiênten onderscheiden we twee soorten turbulentie: 1) wandturbulentie,

2) vrije turbulentie.

Bij de eerste soort treedt de snelheidsgradiênt op doordat stroming in de buurt van een wand door de kleefconditie

afgeremd wordt.

In fig. 1 staan enige voorbeelden

(u is hierin de snelheid)

-grenslaag langs een vliegtuigvleugel.

-stroming door een

buis.

-(vlakke)

Couettestro-ming, d.w.z. stroming tussen 2 evenwijdige platen die met ver-schillende snelheid bewegen.

-stroming in een

rivier,kanaal of goot (met vrij oppervlak).

I----~U

-~)U

Vrije turbulentie ontstaat daar waar twee aanliggende stro-mingen verschillende snelheden hebben. Door impulsoverdracht

(schuifspanning) zal tussen de twee stromingen een aangroeiende laag ontstaan waarin een overgang tussen de snelheden van de twee lagen optreedt (de

zgn. menglaag).

nglaag

Voorbeelden zijn: _~

U

een neer.

-de menglaag bij

- de vrije straal

intact

-zogstroming

Bij deze laatste twee voorbeelden treedt een dubbele menglaag op bij een straal uit een spleet of een zogstroming achter een lange cilinder. Bij een straal uit een ronde opening en een zogstroming achter, een bol zal een ringvormige menglaag optreden.

N.B. Ih windtunnels wordt veelal turbulentie opgewekt achter een rasterwerk van staven.

De hier achter optredende

turbulentie (de roosterturbulentie) ontstaat dus in dit geval door een

samenstel van zoggen.

De theorie werkt vaak met gefdealiseerde modelleh van de

turbulentie zoals:

homogene turbulentie (eigenschappen onafha~kelijk van de plaats) isotrope turbulehtie (eigenschappen onafhankelijk van de richting) stationaire turbulentie (eigenschappen onafhankelijk van de tijd). Eigenschappen als bovengenoemde kunnen vaak bijzonder verhelderend zijn in de theorie door de belangrijke ermee samenhangende

vereenvoudigingen.

1.3 Turbulente transporten

Een belangrijke eigenschap ~an turbulente stromingen is de groott~ van transporten van grootheden als massa (b.v. van een verontreinigin~), impuls, hydrodynamische energie en warmte. De transporten overtreffen in een turbulente stroming de moleculaire transporten met vele ordes van grootte. Een voorbeeld is de

viscositeit, welke eén maat is voor de transportmogelijkheid van de impuls:

De kinematische (moleculaire) viscositeit van water is ongeveer v ~ 1.0 x 10-6 m2/s

Het impulstransport in een turbulente stroming kan veelal beschreven worden met een zogenaamde turbulentie viscositeit.

In een rivier met een diepte, h, van 5 m en een over de diepte gemiddelde snelheid, ugem' van ongeveer 1 mIs geldt voor de vertikale impulsoverdracht dan een kinematische

Coêfficiênten als viscositéit en diffusiecoêfficiênt geven bij laminaire stroming een goede beschrijving voor impuls- en stoftransporten,enz •• Bij turbulente stroming zijn zulke coêffi-ciênten veel minder vaak toepasbaar. Men spreekt in dat geval van gradiênt-type transporten. De turbulente varianten van de coêf-ficiênten zijn echter afhankelijk van de stromingsconfiguratie en veelal van plaats,tijd en snelheid. Bijgevolg zijn veel stromings-problemen alleen oplosbaar met een behoorlijke kennis van de

turbulentie om b.v. de transportcoêfficiênten te kunnen bepalen en een uitspraak te kunnen doen over de bruikbaarheid van deze coêfficiênten. Tegenwoordig zijn er numerieke modellen waarin de coêfficiênten bepaald worden (b.v. k-e-modellen). De theoretische fundering van deze modellen is echter vrij zwak, zodat contrOle steeds vereist is. (Zie hoofdstuk 7)

Onderstaande voorbeelden laten de belangrijke rol van de grote transporten bij een turbulente stroming zien.

Vb. 1) Impulstransport en energiedissipatie in een rivier.

Een geschematiseerde rivier met een diepte van 5 m en een verhang, i, van 0.1 0/00 wordt beschouwd als een ontwikkelde

grenslaagstroming. D.w.z. een stroming waarin op

iedere diepte, z, de schuifspanning is aangepast aan de

component 6i van de zwaartekracht, 6, zodat geen versnelling meer optreedt(zie 6.2.1).

a) We beschouwen de stroming in de rivier als een ontwikkelde

laminaire grenslaagstroming. De gemiddelde snelheid van het water is dan als volgt te berekenen:

De balansvergelijking voor de impuls in de stroomrichting (I) van het mootje water tussen XL en xR met breedte b en tussen wateroppervlak en een oppervlak met willekeurige z

Fig. 3. l.pulsbalans van een .ootje uit een rivier

(2)

de zwaartekracht op het mootje water, t de tijd, ~ de schuifspanhing, p de dichtheid en 9 de versnelli~g van de zwaartekracht. Immers de impulstransporten door het

linkervlak en rechtervlak van het mootje (zowel door druk als door waterbeweging) heffen elkaar op. De schuifspanhing aan het oppervlak wordt verwaarloosd. De schuifspanhing op het ondervlak

is dan

t ..

-pg(h-z)i

(3)

Water is een Newtonse vloeistof zodat in het laminaire geval

geldt

t • -au

rtaz -

-pg(h-z)i

(4)

met u de snelheid in de stromingsrichting en ~ = pv de dynamische viscositeit, zodat

au.E.. • 1

~

-

g(h-Z)1

= -

g(h-z)i

aZ

n

v

(5)

Integratie over de diepte van bodem tot z levert met u(z=O) = 0

1

u·

gi

v z

J

(h-z)dz -

1

gi(hz

-

!z2)

o

v 2 (b)

I

Ugem -

ti

f

u z -d

3 -;

II·h2 g1

o

(7)

Vullen we voor de beschouwde laminaire stroming in: v ~ 10-6m2/s; g ~ 10 m/s2; i

=

0.1 0/00 en

h

=

5 m dan volgt ugem ~ .8 x 104 mis. Dit is een wat

overdreven snelheid. Zelfs bij volledige afwezigheid van

wrijving, dus bij volledige omzetting van potenti~le in

kinetische energie is een verval van 3 x 106 m nodig om deze snelheid te bereiken. Een laminaire grenslaagstroming die volledig ontwikkeld is over de diepte is dus niet

mogelijk in dit geval.

b) Bij een turbulente grenslaagstroming is het impulstransport

veel groter. Nemen we bijvoorbeeld een constante turbulentie

viscositeit aan van Vt

=

.8 x 10 -2 m2/s, dan is

bovenstaande oplossing te gebruiken met v

=

Vt • Een

gemiddelde snelheid ugem ~ 1 mis wordt dan gevonden. De grote waarde van de viscositeit ofwel impuls-transportcoêfficiênt bij turbulente stroming leidt tot een realistische snelheid. De stroming in een rivier lijkt goed beschreven te kunnen worden met een volledig ontwikkelde turbulente grenslaag.

Uit het bovenstaande is ook een weerstandscoêfficiént Co

I

Ta

I

CD - I 2

-pu

2 gem

(8)

af te leiden, waarbij ~O de bodemscnuifspanning voorstelt.

Substitutie van vergelijking (3) en (7) leidt in het laminaire

geval tot C _ pghi D I 2 -pu 2 gem _ 6 v__ - 6 _1_

hu

Re gem (9)

Vt is ongeveer evenredig met hugem, zodat CD bij turbulente stroming onafhankelijk van Re is. Bij een Chézycoêfficiênt

C

=

50 m1/2/s is bijvoorbeeld

1.6xlO-3hU

gem zodat

-2

CD '" I x 10 UO)

Bij een hydraulisch gladde wand is C iets afhankelijk van Re, bij een hydraulisch ruwe wand niet. Het verband tussn CD en Re wordt g&gèven in fig.4.

overgang-g~bi ~d

~ turbul~nt

'É.§êE§§§====:=~}

v~rschill~nd~ waQrd~nvan

r: C bij ruwe wand

'~, gladd~wand

'.

)

Fig. 4. Verband tussen CD

.n

Re

De afleiding (en de afhankelijkheid van CD van Re) verloopt bij stroming door een buis geheel analoog.

Vb. 2)Diffusie in een rechte buis Door een rechthoekige buis met een breedte L van 1 meter stroomt water met een gemiddelde snelheid ugem van 1 mIs (zie fig.5). Aan één kant wordt een verontreiniging

toegevoegd. Na hoeveel tijd heeft deze zich (vrij gelijkmatig) over de

doorsnede verspreid ?

y

a) Bij laminaire stroming bewegen alle deeltjes in principe

steeds langs lijnen evenwijdig

aan de as van de buis. Slechts de moleculaire warmtebeweging

Fig.

s.

Verspreiding in

een rechte buis

kan verplaatsing van de deeltjes water (en verontreiniging) t.o.v. deze lijnen geven. De verspreiding van de

verontreiniging over de doorsnee zal dus in dit geval door deze moleculaire diffusie moeten plaatshebben. Hiervoor geldt de vergelijking:

(11)

met c de concentratie, Dm de moleculaire diffusiecoêfficiênt en x, y, z de richtingen evenwijdig aan de buis en.in

dwars-en hoogte-richting respectievelijk. We gebruiken hier DIDt

om aan te geven dat de afgeleide naar dit tijd meebewegend

met de vloeistof is bedoeld. De vloeistof waarin de

verspreiding plaats heeft beweegt immers in zOn geheel

een continue lozing) haast niet afhilnkelijk van )( zodat vgl. (11) vereenvoudigt tot

(12)

Hiermee is de tijd Tm te schatten met

die nodig is voor goede verspreiding

ofwel

2 T_m '" ~_D

m (13)

De moleculaire diffusiecoêfficiênt Dm is heel klein,

Dm ...10-9 m2/s, in water. De moleculaire diffusie in water verloopt zo traag omdat de moleculen zich in de volte slecht kunnen verplaatsen. In een gas is dit geen probleem. Daar geldt Dm ...10-5 m2/s. Omdat L is 1 m, zou bij laminaire

stroming de verspreidingtijd bijzonder groot worden: Tm ...109 s.

( ~ (;>0~.t,lCc-V'Y""•

b) Bij turbulente stroming gaat de verspreiding veel sneller.

De turbulente diffusiecoêfficiênt Dt is ongeveer gelijk aan de gemiddelde tur~ulentie viscositeit

-3 3

Dt '" 2.5 x 10 Lu_gem - 2.5 x 10- m2/s ( 14)

De verspreidingstijd Tt vinden we door substitutie van Dt i.p.v. Dm in vergelijking (13).

L

u_gem • 400 s (15)

Veelal wordt bij turbulente stroming ee wat andere

schattingsmathode gebruikt. Deze is baseerd op de volgende overweging. Turbulentie is een warr. ge 3-dimensionale

beweging. Ook in de richtingen 1 drecht op de gemiddelde stroming komen bewegingen voor Als karakteristieke snelheid in deze richting is de r.m.s (root mean square) waarde, U"rms' van de turbulente s lheid te gebruiken. Deze is van de orde van tOUgem. De t"jd die nodig is om een begin van verspreiding te verkri " en is dan de te overbruggen afstand L gedeeld door deze rakteristieke snelheid. Voor een behoorlijke verspre"ding zal op z'n minst 10 maal zo lang gewacht moet n worden, dus

L T > 10-,

t

=

_urms '" 100

!!

ugem

•

100 s

(16)

Turbulent transport is het transport t.g.v. de turbulénte beweging. Het mechanisme ervan laat zich het best begrijpen door een richting te beschouwen waarin geen gemiddelde snelheid

aanwezig is, zodat het transport in deze richting door de gemiddelde snelheid nul is.

Door een vlakje S loodrecht op deze richting passeert slechts vloeistof ten gevolge van de turbulente snelheid w·.

Transport van ean groot-heid

a

door S treedt op als er meer 6 door het oppervlak gaat in de ene dan in de andere richting. Omdat de gemiddelde snelheid loodrecht op Snul is, zal dit i.h.a. slechts. optreden bij een

conc~ntratie-gradiênt van

a

loodrecht op

S. Vloeistof die bij een positieve gradiênt in

positieve z-richting door S gaat transporteert een te lage

concentratie aan

a,

c,naar

boven (w'> 0, c': c-cs

<

0,

Cs is de concentratie bij S) Vloeistof die in negatie-ve z-richting beweegt trans-porteert een te hoge

concen-tratie ( w'( 0, c') 0).

w'

z

i

w'

pos

c' neg

s

1

w' neg

c'

pos

Fig. 6 Het turbulent transport

De 2 groepen transporteren door S:

op: w'c

=

w'c' + w'cs met pos w', neg c·

.echanis.e

neer:w'c

=

w'c' + w'cs

-dus totaal w'c' (waarin

met neg w', pos c·

w'c', de gemiddelde waarde van w'c',

negatief is bij een positieve gradiênt, overeenkomend met transport van hoge waarden van c naar lage).

Bovenstaande beschouwing geldt voor elke erratische beweging dus ook de moleculaire warmte beweging. Dit is de ba.is voor de veel gebruikte analogie tussen de turbulente beweging en da warmtebewging. Da transporten door de warmtebeweging zijn achter veel kleiner dan de overeenkomende turbulente transporten door da ve.l kleinera lengtaschaal bij da warmtebewaging .In een ga. is b.v. de vriJa waglangte van da moleculan bij ka.artemperatuur

Iv ~ 7 x 10-8 m, c' zal dan van de orda Iv~/~z zijn. w· de

z-component van da bewegingssnelheid der moleculen ia van de

orde van da geluidssnelheid vg ~ 340 mis. De

transport-coOfficiênt van G is dan

van de orde van 340 x 7 M 10-8 m2/.

~ 2.5x 10-5 m2/s.

Dit geldt voor G - impui., warmte, of toegevoegde stof. In water 1. de situatie iat. gecomplicearder. De vrije

weglengte i. daar veel kleiner. Effectief moet zelfs gerekend worden

c

met een fractie van de molecuulgrootte (lv ~ 10-11 m). De diffusie-coGfficiênt is dus kleinl Dm ~ 10-9 m2/&. Voor impuls en warmte spelen echter ook transporten door intermoleculaire krachten een rol, zodat da viscositait, v , en de warmtetransportcoêfficiênt wat hogera waarden krijgen.

Da turbulente baweging kan beschreven wordan als ean beweging van tijdelijk min of meer samenhangende pakketten. De verplaatsing gebeurt over afstanden van de orde van de mengweg 1. die van de orde van de karakteristieke lengte van het probleem is. w' is de turbulente snelheid (~ fOugem'. De

transport-coOfficiênten zijn dus sterk probleemafhankelijk m.ar in elk geval i.h.a. veel groter dan de moleculaire

transport-co.fflciOntan.

De grote turbulente bewegingen zijn het belangrijkst voor het turbulent transport. Dit komt omdat ze grote waarden van c' meebrengen. Ook voor de onttrekking van energie aan de

hoofdbeweging zijn deze grote turbulente bewegingen of wervels het belangrijkst. De turbulentie verliest echter zijn energie voornamelijk btJ de kleinste wervels .Pas bij deze klerne wervels zijn de snelheidsgradiênten zo groot dat de (moleculaire)

viscositeit een belangrijk energieverlies van de turbulente beweging aan de warmtebeweging veroorzaakt. Tussen deze twee uitersten doorloopt de turbulentie energie een heel scala van wervelschalen, de wervel cascade <zie hoofstuk 4).

Bovengenoemde tussenliggende schalen kunnen b.v. heel belangrijk zijn in diffusie problemen (zie hoofdstuk 8). Grote

wervels verplaatsen slechts grote pakketten vloeistof. Kleinere wervels nemen steeds de verspreiding op kleinere schaal over, tot de moleculaire diffusie de verspreiding tot op moleculaire schaal

overneemt.

In geval van aan sta -biele dichthaidsgelaagdhaid

(dwz. een afnamende dicht-haid naar boven) zullen grote pakketten die door grote wervels verplaatst zijn al gauw waer naar hun oorspronkal1)ka nivaau tarugbawagan. tenzij in da tussentijd varspraiding door klelnara wervels haeft plaatsgehad. Hat gavolg is aen onda.rdrukking van hat turbulent

transportmacha-p

nlsma door een stabiela

dichthaidsgalaagdhaid. (iats dergelijks kan optraden bij kro_lng van de st.roomlijnen.)

2 Stochastische beschrijving van de turbulentie

2.1 Instabiliteit

Bij de bespreking van belangrijke kenmerken van turbulentie (1.2) zagen we da~ de kleinste turbulente bewegingen die in de door ons beschouwde problemen voorkomen nog zo groot zijn t.o.v. de moleculaire lengteschalen, dat een continuUmbeschrijving

gebruikt mag worden. In deze beschrijving maken we gebruik van een impulsbalansvergelijking en een massabalansvergelijking in de vorm van de Navier-Stokes-vergelijking respectievelijk de

continuf'teitsvergeli'jking. De vergelijkingen zijn af te leiden uit de moleculaire impulsbalans- e~ massabalans-vergelijkingen. We gebruiken de Navier-Stokes-vergelijking, NS, en de continufteits-vergelijking, C, in de vorm die geldt voor een vloeistof met:

een constante dichtheid van de vloeistofdeeltjes, dus OP/ot

=

O. De vloeistof moet dan bij benadering

onsamendrukbaar zijn (en een verwaarloosbare uitzetting

vertonen bij evt. temperatuursverandering en verandering van concentratie aan opgeloste stoffen door diffusie),

een dynamische viscositeit ~=pv die onafhankelijk is van de plaats.

De vergelijkingen NS en C worden gecompliceerder als bovenstaande voorwaarden niet opgaan. Deze vorm van de vergelijkingen, die dus i.h.a. geschikt is voor problemen waarin water de stromende vloeistof is, luidt

C:

V.v. - 0 1 1 (17) NS: ~t(pvJ') + V.(pv.v.) + V.p - nV.2.v• - k . (I 1 1J J 1 J J (18)

De vergelijkingen zull~n uitgebreid besproken worden in hoofdstuk 3. Hier is gekozen voor de Ricci-notatie, waarbij de indices de waarden 1,2 en 3 kunnen aannemen, welke staan voor de cbördinaat-richtingen (b.v. x,V,z). vj betekent de j-de snelheidsc:omponent, en Vj=~/~Xj , de afgeleide naar de j-de coördinaat, Xj; kj is de j-de component van de uitwehdige kracht, b.v. de zwaartekracht. Verder is gebruik gemaakt van de Einstein-sommatieconventie: Een term waarin een index twee keer voorkomt is een sommatie

van drie termen waarin de index de waarden 1,2, en 3 aanneemt.

Zo staat

vf

in vergelijking (18) voor Vi9i - 9)9) + 9292 + 9393 ofwel voor

a

2

/ax

2 +

a

2

fax

2 +

a

2

fax

2 • Vergel ijking (18) staat

. 1 2 3

voor drie vergelijkingen met j=1,2,3 respectievelijk. p is de druk.

De Navier-Stokes-vergelijking is niet lineair wegens de

kwadratische convectieterm Vi <pviVj). De invloed van deze term

groeit bij eentoenemend getal van Reynolds. Dit is in te zien

aan de nand van een schatting van de verhouding tussen de

convectieterm en de schuifspanningsterm in vergelijking (18)

U

2

9.(pv.v.)_l1.J"' P-L UL Re

2·

U

v

n9i vj n [2

( 19)

Bij lage getallen van Reynolds (Re

<

orde 1000) is de

Navier-Stokes-vergelijking bij benadering lineair. Het systeem is dan

stabiel. D.w.z. dat bij kleine verschillen in de beginvoorwaarden

of randvoorwaarden ook de oplossingen weinig zullen verschillen.

Bij grotere Re overheerst de niet-lineaire convectieterm. Het

systeem i.sdan instabiel. Ook infinitesimaal kleine verschillen

in begin en randvoorwaarden kunnen belangrijke verschillen in de

oplossing meebrengeri. Deze grote verschillen in de oplossing zijn

de basis van wat we turbulentie noemen •

.In principe is elke oplossing nog éénduidig bepaald door de

rand- en beginvoorwaarden, maar om een oplossing precies te

kunnen voorspellen moeten rand- en beginvoorwaarden met een

onmogelijke precisie bekend zijn. In de oplossing sluipt dus in

de praktijk steeds een onzekerheid. Deze onzekerheid geeft het

stochastische (of erratische) karakter aan turbulentie.

Dit wil niet zeggen dat de turbulentie direct afhangt van

rand- en/of beginvoorwaarden. De vrijwel steeds aanwezige kleine

verschillen erin veroorzaken volgens bovenstaande beschouwing

weliswaar grote verschillen in bv. snelheid en druk, maar het

karakter van deze verschillen wordt bepaald door het hele

stromingsprobleem: configuratie. ruwheid, optredende snelheden,

enz ••

Beschouwen we bijvoorbeeld de vlakke Couettestroming dan

zien we een stabiel systeem, dus laminaire stroming, zolang geldt

Re

<

288. Boven Re = 288 is het systeem instabiel. Bovengenoem~e

turbulentie manifesteert zich in tijdsafhankelijke golfachtige

storingen die eerst nog gefsoleerd voorkomen, maar bij hogere

volledig gaan overheersen. Door begin- en randvoorwaarden bijzon-der goed in de hand te houden en een bijzonder gladde stroming te cre~ren is het mogelijk het begin van turbulentie in een buis tot hoge waarden van Re uit te stellen. De waarden van Re waarbij turbulentie begint of volledig gaat overheersen hangen enigszins af van het beschouwde probleem.

De laat5te tijd wordt enige vooruitgang oeboekt met de analyse van oplossingen van niet lineaire

differentiaal-vergelijkingen. Da resultaten zijn voorlopig voornamelijk relevant dichtbij de omslag Van laminaire naar turbulenta stroming. Da beschrijving van ontwikkelde turbulentie in b.v. een goot of rivier lijkt voorlopig nog veel te ingewikkeld. Meer vooruitgang wordt momenteel geboekt met de beschrijving van turbulentiapatronen o.a. op grond van gegevens varkregen d.m.v. nieuwe visuali5erings-technieken. Vooral da methoda waarbij door electrolY5e aan een draad water5tofbelletjes als tracer in het water ge!ntroduceerd worden gaf onverwachte resultaten (Zie Coherente structuren in hoofdstuk ~.3).

2.2 Hoofdbeweging ~ turbulentie

In verband met de onvoorspelbaarheid ,van de turbulenties moeten we onze toevlucht nemen tot statistische methodes om de invloed van turbulenties op de stroming te kunnen schatten. We gebruiken in deze handleiding voornamelijk de ensemblemiddeling. Op zich lijkt een middeling over de tijd aantrekkelijker, want directer aansluitend bij het merendeel van de metingen. Bij een middeling over de tijd kunnen echter complicaties optreden, b.v. bij tijdsafhankelijke stromingen. Ensemblemiddeling is theore-tisch het eenvoudigst. In die gevallen waarin een tijdgemiddelde of ruimtelijk gemiddelde waarde wel eenvoudig te definieren is, n.l. bij een stationaire respectievelijk een homogene beweging, kan het ergoden theorema gebruikt worden. Dit niet strikt bewezen theorema zegt dat in dat geval deze gemiddelden gelijk zijn aan het ensemblegemiddelde.

Bij de ensemblemiddeling geschiedt de middeling over een "ensemble" van mogelijke bewegingen die ieder binnen d~ te stellen grenzen voldoen aan het systeem van differentiaal-vergeliJkingen plus rand- en beginvoorwaarden. De optredende stroming is dan op te vatten als een toevallige realisering uit

gereàliseerd die voldoet aan het bovengenoemde systeem van vergelijkingen en voorwaarden. We nemen aan dat het totale aantal proeven dat we nemen, N, zo groot is, dat van een

representatieve steekproef gesproken kan worden. We meten b.v. de druk p bij iedere proef op een zekere tijd en plaats. Laat

pel) <tO,xi) de druk op tijd t

o

en plaats Xi zijn bij de lste

proef. p(2) <tO,xi) bij de 2de proef op dezelfde plaats en tijd en in het algemeen p(n) <tO,xi) bij de n-de proef. De over de

stee~~proef gemi.ddelde druk

p

op pI ~ats Xi en ti jd t

o

wordt

gegeven door

(20)

Het ensemblegemiddelde is dan de limiet voor

N~~

<21>

Bij een voldoend grote steekproef is het gemiddelde over de

steekproef vrijwel gelijk aan het ensemblegemiddelde

(22)

De druk bij elke n-de proef is nu te splitsen in de

gemiddelde druk ~'en de incidentele afwijking ervan p' (n),

waarvan de laatste het onvoorspelbare, erratische aandeel

vertegenwoordigt.

(23)

Op dezelfde manier zijn snelheden, spanningen, enz. te splitsen

in een ensemblegemiddelde waarde en een erratische component

(n) V. 1 ;(n)

=

V. + V. 1 1

en

(n) r.. 1J , (n) '"r.. + r .. 1J 1J (24)

waarin rij een spanning is, b.v. r..- -n(v.v.+vjv.).

1J 1 J 1

De gemiddelde componenten van druk, snelheid, spanning enz.

afwi jJdngen bepalen de turbulentie in de bestudeerde stroming. Naast de gewone ensemblegemiddelde waarde van een grootheid treden in turbulentietheorieên nog andere ensemblegemiddelden op. Enige veel voorkomende grootheden bespreken we in het kort hieronder:

Willen we iets zeggen van de grootte van de turbulente variaties dan komt de variantie van p', p.2, in aanmerking. p' zelf niet daar de gemiddelde waarde vah p' noodzakelijkerwijs nul is •

pl. _hm•

_N

I _n~1N _{(p n -}()

p) -{

_{h.m N n~1 p n } :- p - P}• IN ()

N-

N--(25)

p -

0

De variantie van p' wordt gegeven door

(26)

De variantie van de snelheidscomponenten komen we b.v. tegen bij

de energie van de turbulentie. Een betere maat voor de grootte

van de turbulentie is de wortel van de variantie, de intensiteit

(27)

ten belangrijke grootheid, b.v. voorkomend in de turbulente

schuifspanning, is de covariantie van twee snelheidscomponenten,

b.v. VIVI -1 2 lim

.!.. ~

Vi (n)Vi (n) N n-I 1 2

N--(28)

De mate van samenhang tussen de variaties van de twee componenten

(stochastische afhankelijkheid) wordt gegeven door de correlatie,

d.i. de covariantie,

(29)

Bij ver5chillende turbulentietheorieAn duiken veel

ingewikkelder uitdrukkingen op, b.v. de triplecovariantie viv2v3.

en covariantie. en correlatie. waarbij de ene grootheid in tijd

en plaat5 ver5choven is t.o.v. de ander, b.v. de autocovariantie

over de tijd van

pi

2.3 Tijdgemiddelde en ensemblegemiddelde

Veelal wordt voor de experimentele bepaling van gemiddelde waarden en turbulente afwijkingen van _grootheden als snelheid en

druk gedurende een

zekere tijd een meting

verricht. Het ligt dan

voor de hand

tijd-gemiddelde waardes

te gebruiken. De

tijd-gemiddelde waarde

van p in het punt xi

over het interval ~

om

to

is b.v. I I "tI

,

_•

to

~

_t

Fig. 9. Hiddeling over de tijd

tO+IT

- - f

p(t,xi)dt T tO-IT

Als de stroming stationair is op een stochastische variabele zoals

(31)

de turbulente beweging na, dan is de limiet van de tijdgemiddelde

waarde voor ~~~ volgens het ergoden-theorema gelijk aan het

ensemblegemiddelde

lim p(tO,xi iT)

T-1· I

-

l.m-T- T (32)

en onafhankelijk van tO. Men spreekt dan van een stochastisch

stationaire stroming.

Nu ~ijn zelden zulke lange meetseries voorhanden en veel

stromingen

veran-deren trouwens op

den duur of

snel-1er in de tij d •

Toch zijn er

omstandigheden

mogelijk waarin

een tijdgemiddelde

waarde weinig

af-wijkt van een

ensemblegemiddelde

waarde. Als een

middelingsduur

i

tijdschalen van de hoofdbeweging

x

.

o

-la.

~<---~)

turbulentie tijdschalen

<

)

gebied geschikt voor middeling )

log

't

Fig.tO. Hiddelingstijd

gekozen kan worden die

kort is vergeleken met de tijdschaal waarover de hoofdbeweging in de tijd verandert

lang genoeg is om de turbulente beweging effectief uit te middelen,

dan wordt een tijdgemiddelde waarde gevonden die het ensemblegemiddelde benadert (zie fig.10).

Dat in dat geval de twee gemiddelden elkaar weinig

ontlopen, is als volgt in te zien. Wil de turbulente beweging effectief uitgemiddeld kunnen worden, dan moet de middelingsduur de grootste tur-buientie tijd-schalen ruim

i

overtreffen. Deze tijdschalen + o

-hangen immers

samen met de tijd

a.

o

-waarover

samen-a.

hang in de turbu-

a:

lente beweging wordt aangetrof-fen. De grootste tijdschalen van de turbulentie

beweging zijn af te lezen uit een grafiek van de correlatie over )

---+

grote tijdschalen in de turbulente beweging

t

Fig.ll. Correlatie van de turbulentie

de tijd van een turbul~nte grootheid, b.v. de correlatie

prp'"(to;T}

Rpl(tO}pl(tO+T} • { },

pll(tO} pl2(tO+T}

tussen p' op to en p' op tO+~ (zie fig.11 en vgl. (30». Denken (33)

we ons nu de gebruikte middelingstijd verdeeld in een aantal

subperiodes die groter zijn dan de grootste turbulente tijdschalen,

dan kunnen we subperiode ~ )I de meting in iedere sub-periode beschouwen als een onafhanke-lijke proef.

Deze proeven voldoen aan dezelfde macroscopische omstandigheden

+---+

grootste turbulentie tijdschaal

omdat de totale middelingesduur klein is ge.~ozen t.o.v. de tijd-schaal van de hoofdbeweging. Bij een groot aantal van deze

onafhankelijke proeven wordt het ensemblegemiddelde benaderd

zoals aangegeven is in formule (22). Dit geeft meteen de gedachte achter het ergoden theorema aan. Bij een stochastisch stationaire stroming is een onderverdeling in een oneindig aantal van deze onafhankelijke proeven mogelijk, zodat gelijkheid van tijdgemid-delde en ensemblegemiddelde aannemelijk is.

Als voorbaeld van aen niet stationaire stro.inv kan da stroming dienan in ean (gakromda' goot in het laboratorium voor vloeistofmachanica van da afd. der civiala techniek van de THD. Deze stroming diende als een model voor de strominv in aan

getijgeul van een estuarium. De grootste turbulentie.ch.len waren VAn de orde VAn secondes. Dit w.s wat hoog in vergelijking met da getijperiode in het model van 9 mln. Daarom ward een ansemblemid-deling over 3 perioden uitgevoerd en daarna een middeling over de tijd. De tijdsduur w.arover deze middeling uitgevoerd werd kon effectief vergroot worden tot ongeveer 2 minuten door rekening ta houden met het verloop van de gemiddelde stroming d.m.v. een Fourieranalyse, waarbij alle componenten boven da 4da harmonische uit het sign.al verwijderd werden •

....

StD."

Fig.13. ffiddeling van een in de tijd varlerende snelheid

2.4 Meettechniek

Metingen in turbulente stromingen betreffen in de eerste plaats snelheidsmetingen. Het kan hierbij gaan om een bepaling van de gemiddelde snelheden en/of van de turbulente snelheden. Het doel van de bepaling van de turbulentie snelheden is veelal de bepaling van een turbulent transport, b.v. het turbulent

impulstransport (of turbulente schuifspanning). Een aardige inleiding over metingen in turbulente stromingen is te vinden

bij Bradshaw.

Metingen van turbulente snelheden eisen veel hogere

bemonsteringsfrequenties dan metingen van gemiddelde snelheden. Voor de bepaling van de gemiddelde snelheid zijn frequenties van b.v. 1 Hz voor goten en 0.1 Hz voor rivieren toereikend. Voor de bepaling van de turbulente transporten zoals de turbulente

schuifspanning is de tijdschaal van de grote turbulente wervels maatgevend. In de turbulente schuifspanning spelen immers vrijwel alleen de grotere, langzame wervels mee. Voor de turbulente

schuifspanning zijn daarmee bemonsteringsfrequenties van ongeveer 50 Hz voor goten en 5 Hz voor rivieren vereist. Voor de bepaling van een frequentiespectrum van de turbulentie zijn veel hogere bemonsteringsfrequenties, n.l. tot in de honderden hertz, nodig.

Snelheidsmeters bepalen i.h.a. de snelheid gemiddeld over een gebiedje, het meetvolume. Voor de meting van de gemiddelde snelheid is dit meestal niet erg beperkend, behalve soms in de buurt van wanden. Meting van

turbulente grootheden vereist daarentegen een klein meet-volume. Middeling over te grote meetvolumina kan de gemeten turbulente fluctuatie ernstig onderdrukken. De gevolgen voor b.v. de gemeten turbulente schuifspanning

zijn duidelijk te zien in de hiernaast weergegeven

resultaten van een meting van de

schuifspannnings-verdeling over de vertikaal Fig.14. Invloed van het meetvolu.e

• 2mm{lengte van o 1c mlm~~tvolum~ 5 o o o o 00 ';', -5 -,

Vp

In m",s2. 10'

-,

-2 -3

in een goot, gemeten met een op de ge.eten schuifspanning

laser Doppier snelheidsmeter.

Er zijn verschillende snelheidsmeters in gebruik of in ont-wikkeling, die belangrijke verschillen vertonen in bovengenoemde

aspecten, bemonsteringsfrequentie en meetvolume, maar ook in andere belangrijke aspecten. Hiertoe zijn te rekenen robuustheid, befnvloeding van de stroming door de meetsonde, verloo~ van de meter, b.v. door aanhechting van verontreinigingen. Gebruikte meters zijn bijvoorbeeld:

in lucht, maar snel vervuilend in water.)

electromagnetische stroommeters (De maximale meetfrequentie van ongeveer 1 Hz is te laag voor turbulentiemetingen in goten en zelfs iets te laag voor zulke metingen in rivieren,

doch'aanpassing voor hogere frequenties is veelal mogélijk.)

akoestische snelheidsmeters (Veelbelovend voor metingen in

de natuur, maar voorlopig te verstorend voor metingen in goten. )

laser-Doppler snelheidsmeters (Bijzonder geschikt voor

metingen in goten met doorzichtige wanden en/of bodem.

Verstoren de stroming niet.>

Wa basprekan hier in het kort da laser-Doppler snelheids-.. ter, en "al in da "refarenca baam- opstalling. TNea lichtstralen afkomstig,'van aen laser laat men alkaar snijden in ean _etvolu.a. Een sterka straal, da

"illuminating b... "ordt gedeeltelijk verstrooid aan klaina deeltjes, dia altijd in "atar aanNRzig Zijn, in de richting v.n da fotodetactor. Hierbij ver.ndart da fraquantie van het verstrooida licht avenr.dig met da

componant van da snalheid v.n de kleine dealt jas in da in da figuur aAngegev.n richting (Het Doppler-effect). Door vergelijking met de frequantie van de, niet verstrooide. "reference be_" is deze component van da snelheid te meten.

Door gebruik te maken van 2 referentie stralen an 2 fotodatectoren kunnen 2 componenten, b.v. u en ". tegelijk

geeeten "orden, zodat da belangrijka schuifspanning ~ bepaald kan MOrden (zie hoofdstuk :5 en 5).

l...r PO • photCMS.teetor

BIl • ba. di ... l .. r

Hove bamonsteringsfrequenties en kleine .. etvolu.es zijn in principe aogalijk bij metingen met-ean laser-Doppler sneiheidsme-ter. ~en belangrijk voordeel is de mogelijkheid o. metingen te verrichten in goten zander introductie v.n meet.ande. in de goot. Een bez"aar kan zijn d.t da Manden goed vlak en doorzichtig

3 Basisvergelijkingen

3.1 Balansvergelijkingen

Om de basisvergelijkingen van de vloeistofmechanica af te leiden, maken we hier gebruik van balansvergelijkingen (budget equations). Hierbij stellen we de verandering aan inhoud van

een eigenschap, G, van een vergelijkingsgebiedje (control volume), V, gelijk aan de het gebiedje binnenkomende en uitgaande

hoeveelheden G. Voor de eigenschap G komen o.a. behoudbare grootheden als massa, impuls en energie in aanmerking. We gebruiken in deze handleiding de balansvergelijkingen volgens Euler, waarbij het vergelij-kingsgebiedje steeds het-zelfde blijft. Als gebiedje

B

rechthoekig blok met de ribben AX1' Ax 2 en Ax 3 i n de richting van de coör-kiezen we een

l

_R

A

v

---~

o

... ,

,,

_...

,

_...

,

)(, dinaatassen x l' x2 en x3 (zie fig.17).

De uitgangsvorm van

balans-Fig.17. Vergelijkingsgebied (Control volu.e)

vergelijkingen is

G(t

+

At) - G(t) - G.

_1n

(34)

Het rechterlid Gin staat voor de totale toevoer in de (korte)

periode At aan G door alle relevante processen. Een proces dat G afvoert telt negatief in Gin' Het rechterlid kan dan op verschil-lende manieren uiteengerafeld worden. Doorgaans wordt onderscheid gemaakt tussen wat door de wanden binnenkomt en wat anderszins de

inhoud van het gebiedje aan G verhoogt (Gbron>. Door twee-aan-twee groepering van tegenover elkaar liggende wanden (L,R ; O,B en V,A ,zie fig.17) wordt de balansvergelijking

G(t+6t)-G(t) - G. (L+R) + G. (O+B) + G. (V+A) + Gb_{1n 1n 1n ron}· .(35)

In de regel maken we in de vloeistofmechanica onderscheid

tussen convectief transport van G, beweging met de vloeistof mee,

en diffusief transport van G, beweging t.o.v. de vloeistof. Dit

onderscheid.is in de drie eerste termen van het rechterlid aan te

brengen. Door te delen door AXIAx2Ax3At en een limiet overgang

AX1~O, AX2~O, AX3~O, At~O toe te passen vinden we als

balans-vergelijking

(36)

Hierin is c de concentratie aan G, gedefinieerd door

(37)

De concentratie aan massa is dan de dichtheid

p.

De concentratie

aan Xl-impuls is pVl. De eerste term van vergl. (36) houdt

verband met de verandering aan inhoud aan G van het blokje; de

tweede met het convectieve transport; de derde met het diffusief

transport; de vierde met Gbron• (D staat

voor dissipatie, bij verdwijnen van G is D

positief) •

De afleiding van bovenstaande vergelijking

gaat als volgt: (aanname AX1' AX2' AX3' At

,.,

X

<l

N

X

<l

klein). Door de linkerwand gaat in At de

vloeistof uit het gearceerde gebied. Het

volume vloeistof dat in At de wand passeert

is dan [vlJLAtAx2AX3. ([VIJL is hierin de

gemiddelde snelheid van de vloeistof ter

plaatse van de linkerwand). Deze vloeistof

neemt dan [cvl]LAtAx2Ax3 aan G mee. ([cJL

is de concentratie aan G ter plaatse van de

linkerwand). Door de rechterwand gaat

analoog: (naar buiten dus met een -teken)

[-cvl JRAtAx2Ax3 11 0-o

linkerwand

Fig.18. Transport door linkerNand

Beweegt de eigenschap G ook nog t.o.v. de vloeistof b.v. door moleculaire diffusie, dan gaat extra door de linkerwand

[Tl]LAtAx2Ax3' waarbij Tl het transport per eenheid van tijd en van oppervlak door een oppervlak A>:2Ax3 loodrecht op de xl-richting voorstelt samenhangend met deze eigen beweging, het

diffusief transport. Door de rechterwand gaat weer [-TllRAtAx2AX3. Stel de linkerwand bevindt zich op xl-;AX1' de rechter op xl+~AX1. Door de linker- en rechterwand samen gaat dan

{V1C(X1-!ÓXj) - v1c(X1+!Axl)} AX2AX3At +

+ {T1(xl-IAX1) - Tj(xj+IAxj)} AX2Ax3At

(38)

Voor AXI ~ 0 nadert dit tot

3v1c

aT

- { ~ AXj} Ax2Ax3At - { ~ Axl} Ax2Ax3At ₍₃₉₎

Voor de andere 4 wanden gelden analoge uitdrukkingen. In de

limiet AXl,Ax2,Ax3 ~ 0 geldt dus: (delen door AXIAx2Ax3At)

G(t+At)-G(t) AxjAx2óx3At

c(t+At)-c(t)

- ...;-":"'A-t.__-=... ₍₄₀₎

In de limiet At ~ 0 gaat vergelijking (40) over in vergelijking

(36), waarbij de dissipatie D het verlies door Gbron per volume-en tijdsevolume-enheid voorstelt

Iim

~ron

(41)

De balansvergelijking

(36) voor het blokje is symbolisch weergegeven in de figuur hiernaast. Denken

we ons een gr9ter gebied, opgebouwd uit kleinere ge-biedjes, b.v. zulke recht-hoekige blokjes, dan be-schrijven convectief en diffusief transport de

onderlinge uitwisseling. De totale inhoud aan G zal hier niet van afhangen.

Verandering van de totale

convectief

transport

I ,I

b

I

;o~

ron

"\ (dissipatie)

-

-

- -

-"

d iffus ief

transport

,

"

...

"

,

_..

"

..

Fig.19. Balansvergelijking

inhOud aan G kan alleen plaatsvinden door de bronterm en door convectie en diffusie door de buitenranden van het totale gebied. Opmerking:Bovengevolgde afleiding is niet erg precies. We gaan

uit van gemiddelden over At en over de wandopper~lakken

van Vl. c en Tl enz.·Vodr een preciezere afleiding kan men om deze gemiddelden heen Taylorreeksontwikkelingen gebruiken. De limietovergang

AXI~Ax2,Ax3•

0 geeft dan bij een juiste behandeling het gevonden resultaat.

Hetzelfde is te bereiken dmv. Gausstheorema's etc. voor een willekeurig gevormd ruimteêlementje.

3.2

ContinufteitsvergeliJkinQ ~ Navier-Stokes-vergelijking

De beschrijving van de waterbeweging gebeurt hier aan de hand van de massabalan6vergelijking en de impulsbalansvérgelij-king in de vdrm van de continu!teitsvergelijking en de Navier-Stokes-vergelijking voor een vloeistof met constante dichtheid van de vloeistofdeeltjes, Dp/Dt=O, en plaatsonafhankelijke vis-cositeit ~ (zie 2.1).

De massabalansvergelijking voor één vloeistof of gas heeft de vorm

De bronterm is afwezig i.v.m.het behoud van massa en de diffusieterm ontbreekt daar één

vloeistof of gas niet t.o.v. zichzelf beweegt. Uitschrijven van de divergentieterm en substitutie van de

constante dichtheid van de deeltjes geeft

vergelijking (43) en daarmee de continur-teitsvergelijking in de vorm van vergelijking (17).

(42)

clleen

eenveetiet

t

ronsport

I I I I

-

-

..

_

...

_...

... ...

_...

...

_...

...

_...

Fig.20. Hassàbalansvergelijking

(lp () __(lp + n n _ Op + nnO

-:;- + V. pV. V.y •p + Py •v • py •V. - Py •V.

-ot 1 1 (lt 1 1 1 1 Dt 1 1 1 1 (43)

We gaan in het vervolg uit van een constante

p.

De Navier-Stokes-vergelijking geschreven als in vgl. (18) is een combinatie van 3 vergelijkingen. Voor de xl-component van de impuls geldt In de Navier-Stokes-vergelijking is een bronterm aanwezig n.l. kjl de j-de component van de ui twendi ge kracht, b.v. de zwaar-tekracht.Normale druk p en schuifspanningen zijn diffusieve trans-porten. De afleiding van de Navier-Stokes-vergelijking voert wat ver en valt ook buiten

het kader van deze handleiding (zie b.v. Lamb).

(44)

convectief

diffusief;

tronsporr

11

V)

V,

t ronsport

I 1

~c:...

_{, \"1}

rbron kJ

'

I I

---4.,

diffusi~l? ...

t ronsport 1lS12v

1

...

diffusief

t

ronsport

(p)

...

Fig.21. I.pulsbalansvergelijking Navier-Stokes-vergelijking en de continufteitsvergelijking vormen een gesloten systeem (4 vergelijkingen met 4 onbekenden: vI' v2t v3t p). Deze vergelijkingen zijn gecombineerd met goede

rand- en beginvoorwaarden in principe oplosbaar (zie 2.1).

3.3 De ReynoldsvergeliJking

Boven zekere waarden van het getal van Reynolds wordt het stelsel vergelijkingen (17 en 18) instabiel, en moet rekening worden gehouden met het optreden van turbulentie. We volgen weer de splitsing volgens 2.2 in een ensemblegemiddelde en een

turbulente afwijking.

Ensemblemiddeling van de continufteitsvergelijking levert wegens de omkeerbaarheid van de volgorde van middeling en

c

v:v: -

V.v. - 0

1 1 1. 1

(45)

Dus ook de hoofdbeweging is divergentievrij.

Bij ensemblemiddeling van de Navier-Stokes-vergelijking is weer de omkeerbaarheid van de volgorde van differentiatie en middeling te gebruiken. Er treedt echter nog een complicatie op bij de middeling van de niet lineaire term.

+

v ,

'(n)-

v , +

-:(n)v~(n»}

• v.v.

1 _J 1 J 1 J . 1

N

+ v. lim{ii

1:

v~(n)} + lim{~

J

_N-

_n-j

1

N-N

liudi

1:

(v.v. + v.v!(n) +

N- n-l 1 J 1 J

N

.

- l'

{1. ~ ,

(n)} + +

v.

1m

N ~

V.

1N-+a> n-l J N 1:

v~(n)v!(n)}- v.v. + v!v!

nel. 1 J 1J ij (46)

v.v.

-1J N • {l 1: (- ,(n) - ,(n)}

l1m

N

v.+v.

(v.+V.

)-N- n-l 1 1 J J

-RE

*:

_TI

a (-

pvj

)

+

v

i

(pv--v) +

i j

v

jp

+ V.s•. • k.

1

1J J (50) Of korter genoteerd

-

_v.v.

_-

(-

_{v.+v. v.+v. - V.V. + V.V. + V.V.}

,)(-

"

)

- -

,,-

+ v'.

v'.

_{- V.V.}

+ v ~v ~

1J 1 J J J' 1J 1J 1J 1J 1J 1J (47)

De ensemblegemiddelde Navier-Stokes-vergelijking staat bekend als de Reynoldsvergelijking

(48)

waarin qij de spanningen van Reynolds zijn, gedefinieerd door

-rï

q .. -

pv.v.

1J 1 J (49)

De spanningen van Reynolds zijn te onderscheiden in de normale spanningen ql1' q22 en q33 en de schuifspanningen qij(met i*j)=slj

Bij behoorlijk ontwikkelde turbulente stroming kunnen de viskeuze sChuifspanningscomponenten in de Reynoldsvergelijking, -~vfVj~ zonder meer verwaarloosd worden t.o.v. de turbulente

schuif~panningstermen, ViSij' behalve in een dunne viskeuze sublaag langs vaste wanden. Daarentegen zijn de gradiênten van de normale turbulente drukken veelal te verwaarlozen b.v. t.o.v. de gradiênt

van de normale druk p. De Reynoldsvergelijking luidt daarmee in goede benadering

Voorbeeld:We beschouwen weer de geschematiseerde rivier van 1.3. Het viskeuze aandeel in de schuifspanning -~bu/bz kan worden geschat met Pvugem/h ~ - 103 kg/m3 x

x 10-6 m2/s x 0.8 mIs x 0.2 m-1 ~

=

1.6 x 10-4 kg/ms2•

De schuifspanning is echter, i.v.m. het verhang, -pg(h-z)i,dwz. van de orde -103 kg/m3 x 10 m/s2 x

x 2.5 m x 10-4

=

2.5 kg/ms2,

dus veel groter dan het viskeuze aandeel. Het turbu-lente aandeel pu'v' moet dan volledig overheersen.

In de Reynoldsvergelijking gaat het eigenlijk niet om schattingen van de diverse spanningen, maar om gradil!-nten ervan. De belangrijke afgeleiden van de spanningen naar de vertikale coördinaat z verhouden zich in dit geval echter ongeveer hetzelfde als de spanningen zelf.

De snelheidsfluctuaties u· en v· moeten vrij sterk gecorreleerd zijn. Schatten we de intensiteiten van de turbulente snelheid immers met J(u·)2' ... J(v·)2' ...

~ ugem/lO ....08 mIs, dan vinden we voor de

correlatie-co~ffici#nt tussen Ui en Vi (zie vgl. 29)

•

•

u v _{2.5 x )0-3 ~ _ 0.4}

- 6.4

x 10-3 (51)

R I I -

---U v {-(ul)2(v,)2] 1/2

De turbulente normale spanningen zijn te schatten

met b.v. p(u·)2 ...6 kg/ms2• De variaties hierin

zijn kleiner dan de ermee te vergelijken verschillen in p

2

welke van de orde PUgem zijn.

De namen spanning en druk voor de termen pvivj lijken op het

eerste gezicht niet toepasselijk, daar het eigenlijk om

convectieve tran$porten gaat. De termen spelen echter dezelfde

rol in de Reynoldsvergelijking als de normale druk p en de

viskeuze schuifspanningen. Als we de Navier-Stokes-vergelijking

hadden afgeleid uit de moleculaire impulsbalansvergelijking dan

zou nog een veel diepgaander analogie zijn gebleken. De normale

druk en de viskeuze spanningen hangen (vooral in een gas) ook

samen met de middeling over een term waarin erratische snelheden,

3.4 Het sluitingsprobleem

De Reynoldsvergèlijking lijl~t op de Navier-Stokes

-vergelijJdng. Een fundamenteel vers~hil is echter het voorkqmen van de termen met spanningen van Reynolds. Terwijl de Navier-Stokes-vergelijking en de continufteitsvergelijking een

gesloten systeem vormden waaruit het snelheidsveld in principe op te lossen was, geldt dit niet meer voor de Reynoldsvergelijking samen met de ensemblegemiddelde continufteitsvergelijking. De Reynoldsspanningen zijn extra onbekenden, zodat de

vergelijkingen geen gesloten systeem meer'vormen. Het is dus nodig voor deze spanningen extra relaties op te stellen om het probleem gesloten te maken en de snelheid van de hoofdbeweging op

te kunnen lossen. Dit is het sluitingsprobleem van de turbulentie. De spanningen van Reynolds vormen een tensor met 9

elementen. Daar de tensor symmetrisch is

q•. • p v!v! • q ••

1J 1 J J1 (52'

4ijn hl ervan 6 elementen onafhanJ~elijk, daarmee 6 onbekenden extra in de Reynoldsvergelijking (48' introducerend. Door

verwaarlozing van de 3 normale turbulente spanningen Zijn er in de vereenvoudigde Reynoldsvergelijking (50' nog 3 onbekenden over.

De spanningen van Reynolds en dus het sluitingsprobleem vinden hun oorsprong in het middelingsproces. Hierbij wordt

informatie over de turbulente beweging geêlimineerd. De Reynoldse spanningen zijn echter afhankelijk van de turbulente beweging en geven daarmee een koppeling tussen turbulente beweging en

hoofdbeweging weer. De turbulente beweging voldoet bij iedere meting aan de continufteitsvergeliJking en de Navier-Stokes

-vergelijking voor. turbulente beweging

NS'

a (

pv,en»~+

v (

-

ov,v !(n)+pv' (n)-v.+

ät

j i ij

i.

J pv'.(n) v'.(n) _ pv~v'.) + v. p' (n) 1 J 1 J J _ nV2v

!

(n) • k! (n) i J J (54) IC' v.v!(n) - 0 1 1 (53'

Deze vergelijkingen worden verkregen door de vergelijkingen voor de hoofdbeweging (45) en (48) af te trekken v~n de vergelijkingen

bij de n-de meting (17) en (18).

N~merieke oplossing van de turbulente beweging kost i.v.m. de vele lengteschalen (tot b.v. O.lmm) te veel geheugenruimte om

(de eerste tijd) mogelijk te zijn. Er zijn wel modellen, de

sub-grid scale modellen, waarin de grootschalige turbulente bewe~ing wordt opgelost (zie hoofdstuk 7). Van de turbulente beweging met lengteschalen beneden de gebruikte roosterafstand worden alleen de gemiddelde turbulente transporten in rekening gebracht. Hiervoor zijn allerlei aannamen nodig. Deze modellen zijn voorlopig alleen in theoretisch opzicht interessant. Ook kan geprobeerd worden de spanningen van Reynold d.m.v. een manipulatie met de vergelijkin-gen voor de turbulente beweging te proberen op te lossen. Zo is

een balansvergelijking voor de schuifspanning pviv2 bij constante p te vinden door het ensemblegemiddelde te nemen van

vixNS2+v2xNSi. Hierin zijn NSi en NS2 de Navier-Stokes-verge-lijkingen voor de componenten van de turbulente impuls in x1- en

x2-richting. Bij deze behandeling ontstaan echter triple-covarian-ties, die bij een analoge oplossingsmethode weer hogere orde

covarianties geven. Dit proces leidt alleen ergens toe wanneer de reeks covarianties afgebroken kan worden door aannames over hogere

orde covarianties.

De meeste oplossingsmethoden berusten op de aanname van gradiênt-type transporten, dwz. op de aanname dat turbulente transporten evenredig zijn met gradiênten van de betreffende grootheden in de hoofdstroming. Beschouwen we een éénvoudige stromingssituatie, waarbij alleen de xl-component van de gemid-delde snelheid optreedt en deze slechts over de x3-richting

varieert, zoals bij veel afschuifstromingen uit hoofdstuk 5 en 6 het geval is, dan verkrijgen we de vergelijking van Boussinesq

(55)

voor een turbulente schuifspanning , met als transportcoêfficiênt een turbulentie viscositeit (of "eddy viscosity"). Algemener geldt

avo avo Pv (--l_{t ax.} + _3x.1) 1 J

,

,

q .. - pv.v. 1J 1 J

-

-(56)

Analoog geldt dan voor een diffusief stoftransport Taan G

waarin Ot de turbulente diffusiecoêfficiênt is en x d~ tran5portrichting.

De aanname van gadi~t-type transport barust op aan analOQia van de turbulent. baweging ••t de moleculaire war.tabaN.ging, waar hat gradi.nt-typ. transport hael precies opgaat. Turbulentie kan opgevat worden als een beweging van tijdelijk min of mear s.lIIllnh.ngendepOIkketten vloaistof. De baweging van deze pakketten I:.n dan worden vergal aken met de warmtebaweging van moleculen in een lamin.ire gas- of vloeistofstro_ing. Er zijn echter een p••r belangrijke var.chillenl

De lengteschalen v.n de turbulentie zijn veel groter dan de lengteschalen van de moleculaire beweging. D. grootste zijn van de orde van de lengteschalen van da hoofdbeweging. De gr.diênten van de getransporteerde grooth~id variAr.n over daze lengt.schaal, zodat een local. b.schriJving van hat transport, zoals bij ean gradiOnt-type transport, niet juist I:an ziJn.

De beweging van de pakketten, en dus d.

t.ransport-co.fficiênten al. "t en Dt, zijn i.h.a. afhankelijk van de stromingssituatie, da richting en de plaats. De transport-coOff.iciênten zi jn dus geen stofconstanten,zoals in

het laminaire geval. Dok kan in 2 tegengestelde richtingen een verschil in de beweging van de pakketten optreden, b.v.

in een wandgren.laag (zie ~.3), wat niet ovareenkomt met da .annama van aan gradiênt-type transport.

Voor allarle'i berekeningen en schattingen is de a.nna.e van een gradiênt-type transport echter goed genoeg.

eigenschappen van hun ontstaanspiek bewaren, en zich na (

Een veel gebruikte aanname voor een gradiênt-type transport

is de mengweghypothese van P~andtl. De beschrijving van een

turbulente stroming aan de hand van deze hypothese doet vaak

weinig onder voor de beschrijving d.m.v. veel ingewikkelder

turbulentiemodellen, zoals b.v. het k-e-model. Prandtl

preciseert de aard van de eerder besproken vlo~istofpakk~tt~n

die zich in een turbulente vloeistofstroming verplaatsen t.o.v.

de hoofdbeweging (zie 1.3 en fig.6). De mengweg-hypothese

veronderstelt dat deze pakketten tijdens hun beweging de

verplaatsing over een zekere afstand, waarvoor lm (de

mengweg-lengte) een maat is, weer volledig.met de omgeving mengen.

Beschouwen we als in 1.3 een transport van x-impuls in de

z-richting, dan heeft een pakketje afkomstig van een afstand 1

ongeveer een snelheidsafwijking u·=±laü/az. w' is van dezelfde

,

,

qzx - pu w

-

-

(58)

lm wijkt wat af van I, omdat daarin zijn verwerkt het verschil tussen u' en w' en de onderlinge"correlatie. Door het -teken en de absolute waarde is het transport steeds van de hoge waarde van U afgericht, zoals overeenkomt met de tekens van u' en w'

1.3). Bij een wandgrenslaag wordt voor lm veel gebruikt

)

(zie

(59)

met ~=O.4 de constante van van Karman en z de afstand tot de wand.

4 Energie

4.1 Energievergelijkingen

Aan de hand van energievergelijkingen is het mogelijk enig inzicht te verkrijgen in de weg die in een turbulente stroming gevolgd wordt door energie die de hoofdbeweging bij de stroming verliest. Bij een turbulente stroming kan de gemiddelde totale

kinetische hydrodynamische energie ~PVjVj=q (met q=~pvJVj) gesplitst worden in de kinetische energie van de hoofdbeweging ~pv}; j=qh en de (gemiddelde) kinetische ene'rgievan de turbulente

beweging ~PVjVj=qt (Het,betreft eigenlijk steeds energiedichtheden

doch voor de eenvoud iullen we het woord dichtheid i.h.a. weglaten, zoals meer algemeen gebruikelijk is in de vloeistofmechanica o.a. bij de impuls) - -, - , 1 -. - '1" 1 - - 1"

lpv.v. - lp(v.+v.)(v.+v.) -

2PV.V.

+ pv.v. +

2PV.V. - 2PV.V.

+

2PV.V'

J J

J

J

J

J

J J

J J

J J

J J

J J

(60) ofwel (61)

Voor alle drie de vormen van kinetische energie zijn

balansvergelijkingen op te zetten. Oe afleiding van de

vergelijkingen is niet erg lastig, maar voert wat ver voor deze

handleiding. Oe balansvergelijking

Ë

voor de gemiddelde totale

kinetische energie ~ is te verkrijgen door ensemblemiddeling van

een combinatie van Vj x vgl. NS (=vgl.18) en vgl. C (=vgl.17)

(a) (b) (c) _{(d) (e)}

Waarin de termen de volgende betekenis hebben:

(a) verandering van ij in de tijd

(b),convectie van q

(c) diffl.lsieftransport van ij door drukk~n ~n schuifspanning~n

sam~nhang~nd m~t mol~culair~ ~n met turbulente bewegingen ~n

g~corr~l~erde turbulent~ fluctuaties.

- (e) arbeid geleverd door uitwendige (=volume) krachten.

Termen (b) en (c) betekenen alleen een verplaatsing van ij in de stroming en zijn voor dit verhaal daarmee niet van belang. Term

(d) is altijd negatie~ en betekent dus steeds een verlies aan kinetischè energie. Dit zal b.v. in een stationaire stroming gecompenseerd moeten worden door bronterm (e).

De balansvergelijking Eh voor de kinetische energie van de hoofdbeweging qh is samen te stellen uit Vj x vgl. RE(=vgl. 48) en vgl. C(=vgl. 45), dus uit de massa- en impulsbalansvergelij-kingen van de hoofdbeweging,

~h + Vi(viqh) + ~iêp·i+ vjqij + Vj(-I'l(Vi

Vj+VjVi)~-.

.

(c) (a) (b) - + q ..

V

.

v

.

- ~(V.v.+V

n

-

.

-

v

.

) + k

2 --

.

v.

lJ 1 J ~ 1.J J 1 J J (63) (d) (e) (f)

waarin de termen de betekenis hebben: (a) verandering van qh in de tijd (b) convectief transport van qh

(c) diffusie-ftransport van qh door de viskeuze druk en·

schuifspanningen en door spanningen van Re-ynolds (d) arbeid door spanningen van Reynolds

(e) dissipatie aan de warmtebeweging

(f) arbeid geleverd door gemiddelde uitwendige krachten. Term (d) en (e)zijn beide

negatief en geven dus een verlies aan qh. Immers een positieve gradiênt ViVj betekent een negatieve qij. Slechts kleine locale

uitzonderingen zijn moge-Iijk. Daar 1)Vivj verwaar-loosbaar is t.o.v. qij

(zie 3.3) bij ontwikkelde tur-bulentie, is dissipatie direct naar de warmtebeweging onbe-langrijk. Energieverlies van de hoofdbeweging gebeurt vrij-wel alleen door de spanningen

1

trensport

Xj -

impuls

~ qij

=

neg.

van Reynolds •.qh kan weer gegenereerd worden door de uitwendige

krachten (term f).

De afleiding van de balansvergelijking Et voor de (gemiddelde)

kinetische energie van de turbulente beweging qt is analoog aan vergelijking E af te leiden door ensemblemiddeling van een

combi-natie vj x NS·(=vgl. 54) en C·(=vgl. 53). (Et is ook af te leiden

uit het verschil van vergelijkingen E en Eh door substitutie van

vergelijking (61) (zie ook het schema in fig. 23»

1

hydr. •

.Pl""...

ns NS massabalans hoofdbew. ~

l'

.mp"IGbl1.no

~.b... R. energiebalans hoofdbew. Eh totale ènergiebalans ~ turb.energiebalans Et (Et ..~ - Eh) Hydrodynamische vgl. ~m~i~d~d~e~l~e~n+. Hoofdbewegingsvgl. hydr.massabalans C

hydr.energiebalans E

---+

(a) (b) (c)

(64)

(d) (e) (f)

waarin de termen de betekenis hebben: (a) verandering van qt in de tijd

(b) convectie van qt door de hoofdbeweging

(c) diffusief transport van qt door turbulente snelheidsfluctuaties en druk- en viskeuze schuifspanningsfluctuaties

(d) arbeid de door spanningen van Reynolds (e) dissipatie aan de warmtebeweging

(f) arbeid door fluctuaties van uitwendige krachten.

Veela~ zal term (f) nul of te verwaarlozen zijn. B.v. in een

vloeistof met homogene dichtheid zal de zwaartekracht steeds

dezelfde waarde hebben. Term (e) is weer negatief, maar term (d)

betekent dat de energie die de hoofdbeweging verliest door de spanningen van Reynolds bij de turbulente beweging terechtkomt. De turbulerlte beweging verliest zijn energie weer aan de

warmtebeweging door de viskeuze schuifspanningen (term el. Deze zijn nu wel belangrijk daar bij de kleine wervelschalen de

verschillen in de snelheid over veel kleinere afstanden plaatshebben dan bij de hoofdbeweging.

Van dit mechanisme is niets te zien in vgl.

Ë,

pas bij de splitsing in de vergelijkingen voor de energieên van de

hoofdbeweging Eh en turbulente beweging Et komt het te

voorschijn.

Voorbeeld: De geschematiseerde rivier van 1.3. Bij deze rivier vinden we in de volgende tabel schattingen van lengte

-maten en energiefnhouden voor de verschillende bewegingen.

hoofdbeweging turb.beweging warmtebeweging

lengtemaat _{'" 5 m} "'Smà 10-'*m

_'"

10-10 m

energieïnhoud 1_:lPv.-2 '"1 I 03Joule_{2X 3} ~~S~v : ::I 109 Joule

'"

1 m 2 1 m ~

t ;

I .m/s

t",

(soortelijke warmte

• I mIs =4~I01Joule/OC/kg)

De turbulente beweging, die zeer belangrijk is voor de energieoverdracht van de hoofdbeweging naar de warmtebeweging, heeft op elk moment dus een vrij geringe energieinhoud. De

overdrachten tussen de verschit'lendevormen van energie kunnen we als volgt afschatten:

Het verlies aan potentiêle energie per seconde, dus ook het verlies aan kinetische energie van de hoofdbeweging is:

(65)

pe dissipatie direct van de hoofdbeweging aan de warmtebeweging is ruw beschat:

u .

Het energieverlies van de hoofdbeweging moet dus via de turbulente beweging gaan.

Een ruwe schatting van de overdracht van energie van de hoofdbeweging aan de turbulente beweging is:

u

_ lpghi ~em - lpgiu -.5 Watt/mi

gem (67)

dus inderdaad de goede orde van grootte.

Dezelfde energie moet de turbulente beweging weer door de viskeuze schuifspanning bij de kleine wervels verliezen aan de

warmte-beweging.

Deze disipatia van de turbulente beweging is te schatten

met:

(68)

waarbij Ukolm en ~kolm karakteristieke snelheids- en lengteschalen voor de kleine turbulente wervels zijn. Voor de

schatting er van %ie 4.2.

De diverse overdrachten zijn dan als volgt te schematiseren:

---7

_{- 2 -5 3}

n(V.v.) '"4 x 10 Watt/m 1J

q_t '" 5 Joule/m31_{_n V.v.}

(

;)2

>

"

1J turbulente bew. '" 1 Watt/m3 Joule m3 q••

V.v.

1J 1 l '" 1 Watt/m3 hoofdbeweging

Fig.24. Energiehuishouding in een rivier

Energieinhoud

ft. 109 Joule

... :I

m

Een wat onverwacht resultaat is de snelle vervanging van de turbulentie energie i.v.m. de kleine energiefnhoud en de grote

overdracht ervan. De tijd waarbinnen de turbulenti~ ~n~rgi~ g~midd~ld vervaogen wordt, Tverv' is

T verv 5 Joule/m3

=

I Watt/m3 • 5 8 warmtebe-weging (69)