okresowa o okresie podstawowym 2π, sin(x + 2π

Funkcje trygonometryczne Informacje pomocnicze

Funkcje trygonometryczne Zdeniujmy funkcje trygonometryczne dowolnego k¡ta α ∈ [0, 2π) :

sin α = y

r, cos α = x r, tg α = y

x, ctg α = x y,

gdzie r to odlegªo±¢ punktu P (x, y) od pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych, wi¦c r = px²+ y². Wªasno±ci funkcji sinus y = sin x:

• D_f = R, Wf =< −1, 1 >;

• okresowa o okresie podstawowym 2π, sin(x + 2π) = sin x;

• ograniczon¡, −1 ≤ sin x ≤ 1 dla ka»dego x ∈ R;

• nieparzysta, sin(−x) = − sin x.

Rysunek 1: Wykres funkcji f(x) = sin x

Wªasno±ci funkcji kosinus y = cos x :

• D_f = R, Wf =< −1, 1 >;

• okresowa o okresie podstawowym 2π, cos(x + 2π) = cos x;

• ograniczon¡, −1 ≤ cos x ≤ 1 dla ka»dego x ∈ R;

• parzysta, cos(−x) = cos x.

Rysunek 2: Wykres funkcji f(x) = cos x Wªasno±ci funkcji tanges y = tg x:

• D_f = R \ {^π₂ + kπ : k ∈ Z}, Wf = R;

• okresowa o okresie podstawowym π, tg(x + π) = tg x;

• nieograniczon¡;

• nieparzysta, tg(−x) = − tg x.

Rysunek 3: Wykres funkcji f(x) = tg x

Wªasno±ci funkcji kotanges y = ctg x:

• D_f = R \ πk : k ∈ Z}, Wf = R;

• okresowa o okresie podstawowym π, ctg(x + π) = ctg x;

• nieograniczon¡;

• nieparzysta, ctg(−x) = − ctg x.

Rysunek 4: Wykres funkcji f(x) = ctg x Funkcje cyklometryczne

Funkcje cyklometryczne(koªowe) s¡ to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych.

Funkcj¦ odwrotn¡ do funkcji sinus obci¦tej do przedziaªu [−^π₂,^π₂]nazywamy funkcj¡arcsin(czyt.

arkus sinus). Mamy zatem

arcsin x = y ⇔ sin y = x dla − 1 ≤ x ≤ 1, −π

2 ≤ y ≤ π 2. St¡d Darcsin x= [−1; 1], W_{arcsin x}= [−^π₂;^π₂].

Rysunek 5: Wykres funkcji f(x) = arcsin x

Funkcj¦ odwrotn¡ do funkcji kosinus obci¦tej do przedziaªu [0, π] nazywamy funkcj¡ arccos (czyt. arkus kosinus). Mamy zatem

arccos x = y ⇔ cos y = x dla − 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ π.

St¡d Darccos x = [−1; 1], Warccos x = [0; π].

Rysunek 6: Wykres funkcji f(x) = arccos x

Funkcj¦ odwrotn¡ do funkcji tanges obci¦tej do przedziaªu (−^π₂,^π₂) nazywamy funkcj¡ arctg (czyt. arkus tanges). Mamy zatem

arctg x = y ⇔ tg y = x dla x ∈ R, −π

2 ≤ y ≤ π 2. St¡d Darctg x= R, Warctg x = [−^π₂;^π₂].

Rysunek 7: Wykres funkcji f(x) = arctg x

Funkcj¦ odwrotn¡ do funkcji kotanges obci¦tej do przedziaªu (0, π) nazywamy funkcj¡ arcctg (czyt. arkus kotanges). Mamy zatem

arcctg x = y ⇔ ctg y = x dla x ∈ R, −π

2 ≤ y ≤ π 2. St¡d Darcctg x = R, Warcctgx = [−^π₂;^π₂].

Rysunek 8: Wykres funkcji f(x) = arcctg x Znaki funkcji trygonometrycznych w ¢wiartkach

ϕ I ¢w. II ¢w. III ¢w. IV ¢w.

sin ϕ + + − −

cos ϕ + − − +

tg ϕ + − + −

ctg ϕ + − + −

Mo»na nauczy¢ si¦ wierszyka, który obrazuje powy»sz¡ tabel¦: w pierwszej ¢wiartce same plusy, w drugiej tylko sinus(jest dodatni), w trzeciej tangens i kotangens, a w czwartej kosinus.

Wzory redukcyjne

ϕ ^π₂ − α ^π₂ + α π − α π + α ^3π₂ − α ^3π₂ + α 2π − α sin ϕ cos α cos α sin α − sin α − cos α − cos α − sin α cos ϕ sin α − sin α − cos α − cos α − sin α sin α cos α

tg ϕ ctg α − ctg α − tg α tg α ctg α − ctg α − tg α ctg ϕ tg α − tg α − ctg α ctg α tg α − tg α − ctg α Pewne wªasno±ci funkcji trygonometrycznych:

• funkcje sinus, tangens, kotangens s¡ funkcjami nieparzystymi tzn.

sin(−x) = − sin x, tg(−x) = − tg x, ctg(−x) = − ctg x;

• funkcja kosinus jest parzysta tzn.

cos(−x) = cos x;

• funkcje sinus i kosinus s¡ okresowe o okresie podstawowym 2π tzn.

∀_k∈Z, sin(x + 2π · k) = sin x, cos(x + 2π · k) = cos x;

• funkcje tangens i kotangens s¡ okresowe o okresie podstawowym π tzn.

∀_k∈Z, tg(x + π · k) = tg x, ctg(x + π · k) = ctg x.

Przykªad 1. Wykorzystuj¡c wªasno±ci (równie» wzory redukcyjne) funkcji trygonometrycznych mamy:

a) sin⁵₄π = sin(π + ^π₄) = − sin^π₄ = −

√ 2 2 ;

b) cos(−23¹₃π) = cos 23¹₃π = cos 1¹₃π = cos(π + ^π₃) = − cos^π₃ = −¹₂; c) tg 3³₄π = tg³₄π = tg(^π₂ + ^π₄) = − ctg^π₄ = −1;

d) ctg(−²⁵₃π) = − ctg 8¹₃π = − ctg¹₃ = −

√ 3 3 . Przydatne wzory trygonometryczne:

(a) sin²x + cos²x = 1, (b) tg x = _{cos x}^{sin x},

(c) ctg x = _{tg x}¹ , (d) tg x · ctg x = 1,

(e) sin 2x = 2 sin x cos x, (f ) cos 2x = cos²x − sin²x,

(g) sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y, (h) cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y, (i) tg(x ± y) = 1∓tg x tg y^{tg x±tg y} , (j) ctg(x ± y) = ctg x ctg y∓1

ctg x±ctg y ,

(k) sin x + sin y = 2 sin^x+y₂ cos^x−y₂ , (l) sin x − sin y = 2 cos^x+y₂ sin^x−y₂ , (m) cos x + cos y = 2 cos^x+y₂ cos^x−y₂ , (n) cos x − cos y = −2 sin^x+y₂ sin^x−y₂ , (o) cos x cos y = ¹₂ cos(x + y) + cos(x − y), (p) sin x sin y = ¹₂ cos(x + y) − cos(x − y), (q) sin x cos y = ¹₂ sin(x + y) + sin(x − y), (r) sin²x = ^1−cos(2x)₂ ,

(s) cos²x = ^1+cos(2x)₂ , (t) sin x = ^{2 tg}

x 2

1+tg^{2 x}₂, (u) cos x = ^1−tg_1+tg^{2 x}2 x²

2

, (v) tg x = ^{2 tg}

x 2

1−tg^{2 x}₂,

Zadania

1. Zamie« stopnie na radiany:

(a) 45^◦ (b) 90^◦ (c) 150^◦ (d) 275^◦

(e) 330^◦ (f ) 480^◦ (g) 3090^◦ (h) 910^◦

2. Zamie« radiany na stopnie:

(a) ^π₃ (b) ³₄π (c) ⁷₆π (d) ⁴₃π

(e) ¹¹₆ π (f ) ⁴⁵₄π (g) 4²₃π (h) 3⁷₆π

3. Korzystaj¡c ze wzorów redukcyjnych oraz wªasno±ci funkcji trygonometrycznych oblicz:

(a) sin 135^o (b) cos²₃π (c) tg⁵₆π (d) cos 180^o

(e) ctg ⁵₄π (f ) sin(−1290^o) (g) cos(−7²₃π) (h) ctg(−315^o) (i) tg(−570^o) (j) sin⁷⁷₃ π (k) cos¹¹₃π (l) tg 510^o (m) ctg³²₃ π (n) sin(−37²₃π) (o) cos 58⁴₃π (p) tg 1001⁷₄π 4. Wyznacz warto±ci pozostaªych funkcji trygonometrycznych wiedz¡c, »e:

(a) sin α = −²₃ oraz ³₂π < α < 2π, (b) cos α = ¹₅ oraz ³₂π < α < 2π, (c) tg α = −3 oraz ¹₂π < α < π, (d) sin 2α = ¹²₁₃ oraz π < α < ³₂π, 5. Wyznacz x wiedz¡c, »e:

(a) sin x = ¹₂ oraz ¹₂π < x < π, (b) cos²x = ³₄ oraz ³₂π < α < 2π, (c) ctg x = 1 oraz π < x < 2π, (d) tg x = −

√ 3

3 oraz 3¹₂π < α < 4π, 6. Sprawd¹, czy podane równo±ci s¡ to»samo±ciami:

(a) (sin x + cos x)²+ (sin x − cos x)² = 2, (b) _{1+sin 2x}^{cos 2x} = cos x−sin x cos x+sin x,

(c) _{tg x+ctg x}^{tg x} = sin²x, (d) sin(x+y)−sin(x−y)

cos(x+y)−cos(x−y) = − tg x.

7. Rozwi¡» równania trygonometryczne:

(a) sin x = ¹₂, (b) cos x = −

√3 2 , (c) sin(2x − ^π₃) = −1, (d) ctg(2x +^π₂) =√

3, (e) sin(2x − ^π₄) cos(3x − 1) = 0, (f ) |2 sin 3x − 3| = 4, (g) 2 cos²x + 3 cos x + 1 = 0, (h) √

3 cos 2x + 9 cos x + 4√ 3 = 0, (i) cos(⁵₄π + x) − cos(³₄π − x) = 0, (j) tg x + ctg x = ⁴

√ 3 3 , (k) sin 4x − cos 4x = sin x − cos x, (l) |2 sin 3x − 3| = 4, (m) √

3 cos x + sin x =√

2, (n) sin x + cos x + 2 sin x cos x = 1.

8. Rozwi¡» nierówno±ci trygonometryczne wiedz¡c, »e:

(a) cos x ≥ ¹₂, (b) sin x <

√ 3 2 , (c) 3 tg²x − 1 > 0, (d) sin x tg x ≤ 0, (e) cos²x + cos x ≥ 2, (f ) sin x cos x <

√ 3 4 , 9. Wyznacz dziedzin¦ funkcji f(x) =q

sin²x − cos²x +

√3 2 . 10. Wyznacz cos¹¹₆₀π wiedz¡c, »e sin₁₅^ππ = a.

11. Dla jakich warto±ci parametru m równanie ma rozwi¡zanie:

(a) sin x = ^2m−1_3m , (b) cos 2x − cos x + m = 0.

12. Dla jakiej warto±ci parametru m ∈ [0, π] równanie (2 cos m − 1)x²− 2x + cos m = 0 ma dwa pierwiastki.

13. Oblicz (o ile jest to mo»liwe):

(a) arcsin⁻

√ 3

2 , (b) arccos

√ 2 2 ,

(c) arctg 1, (d) arcctg(−√

3),

(e) arcsin¹₂, (f ) arcsin⁻

√3 3 , (g) arcsin(sin^π₃), (h) arcsin(sin^2π₃ ), (i) sin(arcsin¹₂), (j) sin(arcsin³₂), (k) sin

arctg√

3 + arccos(−¹₂)

, (l) cos

2 arctg(−1) + 3 arcsin

√ 2 2

 . 14. Rowi¡» równania:

(a) arcsin x = ^π₃, (b) arccos x = −^π₆,

(c) arctg x = −^π₆, (d) tg(arcsin x) = 2,

(e) arcsin x − arccos x = ^π₆.