GAL (I INF) Zadania domowe 5
w tym obowiazkowe: 5.2, 5.5, 5.9, 5.13, 5.17, termin sprawdzianu: 21.01.2011
5.1 Niech f : R3 → R2 bedzie przekszta lceniem liniowym danym wzorem, f ([x1, x2, x3]T) = [x1− x2+ 2x3, 3x1+ x2+ x3]T.
Znajd´z bazy X i Y odpowiednio w R3 i w R2, w kt´orych macierz przekszta lcenia f wynosi
1 1 1 2 0 1
.
5.2 Niech f : P|R3 → P|R3 bedzie przekszta lceniem liniowym, kt´, orego macierz w bazie potegowej, (1, t, t2) i wynosi
2 0 2 0 2 0 0 0 2
.
Znajd´z macierz tego przekszta lcenia w bazie Lagrange’a pi(t) =
3
Y
i6=j=1
t − tj
ti− tj, i = 1, 2, 3, gdzie (t1, t2, t3) = (−1, 0, 1).
5.3 Niech X bedzie przestrzeni, a liniow, a, a f : X → X przekszta lceniem liniowym o w lasno´, sci f (f (x)) = 0 dla ka˙zdego x ∈ X .
Poka˙z, ˙ze przekszta lcenie liniowe
g(x) = x + f (x) jest izomorfizmem przestrzeni X na siebie.
5.4 Niech Vn bedzie przestrzeni, a liniow, a wielomian´, ow rzeczywistych stopnia co najwy˙zej n.
Niech przekszta lcenie liniowe f : Vn→ Vn dane bedzie wzorem f (w) = w + w, 0. (a) Znajd´z macierz przekszta lcenia f w bazie {xj+ (xj)0}nj=0.
(b) Oblicz ψi(f−1(xn)) dla 0 ≤ i ≤ n, gdzie {ψj}nj=0 jest baza sprz, e˙zon, a z baz, a pot, egow, a, {xj}nj=0.
(c) Wyka˙z, ˙ze funkcjona ly liniowe ϕi(w) = (f (w))(xi), 0 ≤ i ≤ n, tworza baz, e przestrzeni, sprze˙zonej V, n∗ wtedy i tylko wtedy gdy punkty xi sa parami r´, o˙zne.
5.5 Niech X|K bedzie przestrzeni, a liniow, a wymiaru n, a X = [x, 1, . . . , xn] ∈ X1,n oraz Y = [y1, . . . , yn] ∈ X1,n dwiema bazami w X . Niech R = [r1, . . . , rn]T ∈ (X?)n,1 bedzie baz, a, sprze˙zon, a do X. Wyka˙z, ˙ze baza S = [s, 1, . . . , sn]T ∈ (X?)n,1 sprze˙zona do Y wyra˙za si, e, wzorem
S = A−1∗ R
gdzie A ∈ Kn,n jest macierza przej´, scia od bazy X do Y , tzn. Y = X ∗ A.
5.6 Przekszta lcenie liniowe f : P|R5 → R3 dane jest wzorem
f (p) =
p(0) p0(−1) + p0(1)
p00(0)
.
1
Wyznacz macierz f w bazach (1, t, t2, t3, t4) przestrzeni P|R5 i (~e1, ~e2, ~e3) przestrzeni R3. Czy przekszta lcenie f jest r´o˙znowarto´sciowe?
5.7 Niech f : P|R(n)→ P|R(n) dane bedzie wzorem,
(f (p))(t) = p(t) − (1 − t)2p00(t), t ∈ R.
Wyka˙z, ˙ze f jest przekaszta lceniem liniowym i znajd´z macierz Φf tego przekszta lcenia w bazie potegowej [1, t, t, 2, . . . , tn−1]. Czy Φf jest osobliwa?
5.8 Niech f : R3 → R3 bedzie przekszta lceniem liniowym, kt´, orego macierz w bazach odpo- wiednio
3 1 1
,
1 0 0
,
5 1 0
oraz
3 4 5
,
4 1 1
,
2 0 1
wynosi
F =
1 1 4 2 1 3 0 1 1
. Czy
f
x1
x2
x3
=
9x1− 19x2+ 3x3
5x1− 6x2− 3x3 7x1− 11x2− 3x3
?
5.9 Niech X, Y i Z bed, a bazami odpowiednio przestrzeni liniowych X, |R, Y|R i Z|R. Niech f : X → Y i g : Y → Z bed, a przekszta lceniami liniowymi, kt´, orych macierze w danych bazach wynosza odpowiednio,
Φf =
2 1 4 5 1 0 1 3
, Φg =
3 1 2 5 0 1
.
Niech ~x ∈ X ma w bazie X wsp´o lrzedne 1, −1, 3, −2. Znajd´, z wsp´o lrzedne wektora f (~, x) w bazie Y oraz wsp´o lrzedne wektora g(f (~, x)) w bazie Z.
5.10 Niech macierz A formatu n × n dana bedzie wzorem,
A =
3 2 2 . . . 2 2 2 3 2 . . . 2 2 2 2 3 . . . 2 2 ... ... ... ... ... 2 2 2 . . . 3 2 2 2 2 . . . 2 3
.
(a) Oblicz wyznacznik det(A−2) w zale˙zno´sci od n.
(b) Dla n = 4, znajd´z czynniki P, L, U rozk ladu P ∗ A = L ∗ U , gdzie P jest macierza, permutacji, L macierza tr´, ojkatn, a doln, a z jedynkami na przek, atnej i elementami o module, nie wiekszymi od jedno´, sci, a U macierza tr´, ojkatn, a g´, orna.,
(c) Dla n = 3, oblicz uwarunkowanie macierzy A w normie pierwszej k · k1.
5.12 Oblicz wyznacznik macierzy A = (ai,j)ni,j=1 o wyrazach ai,j = 1 dla i 6= j, oraz ai,i = 2, 1 ≤ i, j ≤ n.
5.13 Niech An∈ Rn,n bedzie macierz, a tr´, ojdiagonala postaci,
An=
2 1 0 0 · · · 0 0 0 1 2 1 0 · · · 0 0 0 0 1 2 1 · · · 0 0 0
... ... ...
0 0 0 0 · · · 1 2 1 0 0 0 0 · · · 0 1 2
Wyka˙z, ˙ze det(An) = n + 1.
5.14 Niech A ∈ Rn,n, n ≥ 2, bedzie macierz, a kwadratow, a o dok ladnie (n + 1) wsp´, o lczynni- kach r´ownych 1 i pozosta lych wsp´o lczynnikach r´ownych 0. Jakie warto´sci mo˙ze przybiera´c wyznacznik macierzy A?
5.15 Wyka˙z, ˙ze wyznacznik macierzy A ∈ Zn,n (n ≥ 2) o wsp´o lczynnikach nieparzystych jest liczba parzyst, a.,
5.16 Wyka˙z, ˙ze wyznacznik macierzy
A =
0 1 1 · · · 1 1 a1 0 · · · 0 1 0 a2 · · · 0
· · · · 1 0 0 · · · an
.
wynosi
det(A) = −
n
X
i=1
n
Y
j=1,j6=i
aj
. 5.17 Oblicz wyznacznik
detn
1 2 3 · · · n 2 2 3 · · · n 3 3 3 · · · n ... ... ... ... n n n . . . n
.
5.18 Oblicz wyznacznik
detn
0 2 3 4 . . . n − 1 n 1 2 3 4 . . . n − 1 n 1 0 3 4 . . . n − 1 n 1 0 0 4 . . . n − 1 n ... ... ... ... ... ... 1 0 0 0 . . . n − 1 n 1 0 0 0 . . . 0 n
.
5.19 Niech a ∈ R oraz
A =
1 0 a 0 0 1 0 a a 0 1 0 0 a 0 1
.
Zbadaj, dla jakich warto´sci a forma dwuliniowa ϕ : R4× R4 → R dana wzorem ϕ(~x, ~y) = ~xT ∗ A ∗ ~y
jest dodatnio okre´slona.
5.20 Niech podprzestrze´n liniowa Y ⊂ R4 i zadana bedzie uk ladem r´, owna´n
2x1 + x2 + 3x3 − x4 = 0
3x1 + 2x2 − 2x4 = 0
3x1 + x2 + 9x3 − x4 = 0
Znajd´z uk lad r´owna´n zadajacy dope lnienie ortogonalne Y, tzn. zadaj, acy tak, a podprzestrze´, n Z, ˙ze Y ⊕ Z = R4 oraz dowolne dwa wektory ~u ∈ Y i ~v ∈ Z sa prostopad le wzgl, edem, iloczynu skalarnego (~u, ~v) = ~uT ∗ ~v.
5.21 Korzystajac z procesu ortogonalizacji Grama-Schmidta znajd´, z i wsp´o lczynniki Q, R ∈ R3,3 rozk ladu ortogonalno-tr´ojkatnego A = Q ∗ R, gdzie Q, T ∗ Q = I3, a R jest tr´ojkatna g´, orna, dla macierzy
A =
1 −1 −1
2 2 −2
3 3 3
.
5.22 Wyka˙z, ˙ze wyznacznik Grama dowolnego uk ladu wektor´ow nie zmieni sie je´, sli uk lad ten poddamy procesowi ortogonalizacji Grama-Schmidta.
5.23 Niech X = P|R9 bedzie przestrzeni, a Euklidesow, a z iloczynem skalarnym, (p, q) =
10
X
i=−10
p(i)q(i), p, q ∈ X .
Niech dalej Y bedzie podprzestrzeni, a X sk ladaj, ac, a si, e z wielomian´, ow nieparzystych p, tzn.
takich, ˙ze p(−t) = −p(t) ∀t ∈ R. Znajd´z rzut prostopad ly wielomianu p(t) = t8− t7+ 2t6+ 1
na podprzestrze´n Y.
5.24 Dla przestrzeni euklidesowej X = P|R4 z iloczynem skalarnym
(p, q) = p(−2)q(−2) + p(−1)q(−1) + p(1)q(1) + p(2)q(2)
znajd´z wsp´o lczynniki w bazie (1, t, t2, t3) rzutu prostopad lego wielomianu p(t) = 3 + t3− t na podprzestrze´n
Y = {p ∈ X : (p, q) = 0 ∀q ∈ W}, gdzie W = {p ∈ X : p(0) = 0}
