sup n∈N |x n |. Sprawdzi´ c, ˙ze odwzorowanie F : X 3 (x 1 , x 2 , . . . , x n , . . .) 7→ (0, x 1 , x 2 , x 3 , . . .) jest liniowe, ograniczone i injektywne, ale nie istnieje ograniczone odwzorowanie G : X → X takie, ˙ze F G = id.

Zadania z Analizy II ind Seria 1.

1. Niech X oznacza przestrze´ n Banacha ograniczonych cia

g´ ow o wyrazach rzeczywistych z norma

||(x 1 , . . . , x n , . . .)|| :=

sup _n∈N |x n |. Sprawdzi´ c, ˙ze odwzorowanie F : X 3 (x 1 , x 2 , . . . , x n , . . .) 7→ (0, x 1 , x 2 , x 3 , . . .) jest liniowe, ograniczone i injektywne, ale nie istnieje ograniczone odwzorowanie G : X → X takie, ˙ze F G = id.

2. Niech X be

dzie jak wy˙zej. Okre´ slmy odwzorowanie F : X → X wzorem (F x) _n := ^x _n+1

. Wykaza´ c, ˙ze lim n→∞ ||F ⁿ || ^1/n = 0.

3. Niech X be

dzie przestrzenia

wektorowa

wielomian´ ow na R (o wsp´o lczynnikach rzeczywistych). a) Czy X ma sko´ nczony wymiar? b) Wykaza´ c, ˙ze wz´ or: ||a ₀ + a ₁ x + . . . + a _n x ⁿ || := max{|a 0 |, . . . , |a n |} okre´sla na X norme

. c) (X, || ||) nie jest przestrzenia

Banacha. (Wsk. rozwa˙zy´ c cia

g W _n (x) := P n

k=1 x

k .) d) A : X 3 a 0 + a 1 x + . . . + a n x ⁿ 7→ a 0 + ^a ₁

x + . . . + ^a _n

x ⁿ ∈ X jest ograniczonym (czyli cia

g lym) odwzorowaniem liniowym. e) Znale´ z´ c odwzorowanie odwrotne i wykaza´ c, ˙ze nie jest ono ograniczone (czyli nie jest cia

g le).

4. Zbada´ c r´ o˙zniczkowalno´ s´ c odwzorowa´ n:

(a) C[0, 1] 3 f 7→ f (1) + f (1/2) ² ∈ R ; (b) R ² 3 (x, y) 7→ R x+y

a f (t)dt ∈ R , f −ustalona f. cia

g la; (c) C[0, 1] 3 f 7→ T (f ) ∈ C[0, 1] : (T f )(x) := R x

0 (1 + f ² (t))dt; (d) C[0, 1] 3 f 7→ R 1

0 ϕ(f (t))dt, gdzie ϕ ∈ C ² (R);

(e) R ² 3 (x, y) 7→ f (x, y) :=

( xy

x

+y

(x, y) 6= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0)

5. Sprawdzi´ c, ˙ze funkcja f (x, y) :=

( xy(x

−y

)

x

+y

(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0) jest klasy C ¹ na R ² , posiada wsze

dzie pochodne cza

stkowe rze

du 2 ale _∂x∂y ^∂

^f (0, 0) 6= _∂y∂x ^∂

^f (0, 0).

6. Niech funkcje f, g, h, k be

da

r´ ozniczkowalne. Wyrazi´ c pochodne cza

stkowe funkcji F przez pochodne cza

stkowe funkcji f, g, h, k: (a) F (x, y) := f (g(x) + h(y), g(x)h(y)) ; (b) F (x, y) := f (g(xy) + h(x + y), k(x)) ; (c) F (x, y, z) := f (g(x ^y ), h(y ^z )).

7. Znale´ z´ c i zbada´ c punkty krytyczne funkcji:

(a) f : R ² + −→ R f(x, y) := _x+y ¹ + _y+1 ^x + _x+1 ^y ;

(b) f : {(x, y) ∈ R ² : x 6= 0 , y 6= 0} −→ R f (x, y) := log(x ² + y ² ) − arctan ^y _x + 2x + y (c) R ³ + 3 (x, y, z) 7→ f (x, y, z) := x + ^y _4x

+ ² _z + ^z _y

(d) f : R ² 3 (x, y) 7→ f (x, y) := _(x

^xy(x+y) +1)(y

+1) .

8. Znale´ z´ c najmniejsza

i najwie

ksza

warto´ s´ c funkcji f na zbiorze Ω:

(a) f (x, y) := x ² (4 − x − y) , Ω := {(x, y) ∈ R ² : x ≥ 0 , y ≥ 0 , x + y ≤ 6}

(b) f (x, y) := x ² − y ² , Ω := {(x, y) ∈ R ² : x ² + y ² ≤ 1}

(c) f (x, y) := sin x + sin y + sin(x + y) , Ω := {(x, y) ∈ R ² : x, y ∈ [0, ^π ₂ ]

(d) f (x, y, z) := x ² + 2y ² + 3z ² − (x ² + 2y ² + z ² ) ² , Ω := {(x, y, z) ∈ R ³ : x ² + y ² + z ² ≤ 1}

(e) f (x, y) := e ^−x

^−y

(2x ² + 3y ² ) , Ω := {(x, y) ∈ R ² : x ² + 4y ² ≤ 6}

9. Znale´ z´ c najkr´ otszy odcinek la

cza

cy krzywe: C ₁ := {(x, y) ∈ R ² : x ² − xy + y ² = 7} oraz C ₂ := {(x, y) ∈ R ² : (x − 1) ² + (y ¹ ) ² = 25}.

10. Niech dane be

da

N 3 n > 2 oraz dodatnie liczby a 1 , ..., a n . Wykaza´ c, ˙ze funkcja f (x) := _x ^a

1

+ ... + ^a _x

n

przyjmuje na zbiorze {x ∈ R ⁿ : x ² ₁ + ... + x ² _n = 1 , x ₁ , ..., x _n > 0} warto´ s´ c minimalna

. Wyznaczy´ c te

warto´ s´ c.

11. Zbada´ c lokalna

i globalna

odwracalno´ s´ c odwzorowa´ n.

(a) (x, y) 7→ (sin(x + y), e ^x+y );

(b) (x, y) 7→ (x ² + y ² , log | _x ^y |);

(c) (x, y) 7→ ( ^y _x

, p

2x ² + y ² ) (d) C[0, 1] 3 f 7→ R 1

0 tf (t)dt (C[0, 1] - p. Banacha z norma

sup) 12. W r´ ownaniu r´ o˙zniczkowym dokona´ c wskazanej zamiany zmiennych:

(a) x ^{2 ∂z} _∂x + y ^{2 ∂z} _∂y = z ² , (u, v, w(u, v)) := (x, ¹ _y − ¹ _x , ¹ _x − _z(x,y) ¹ ) (b) x ^{2 ∂} _∂x

^f

− y ^{2 ∂} _∂y

^f

= 0 , (p, q) := (xy, ^x _y )

(c) y _∂x ^∂z − x _∂y ^∂z = (y − x)z , (u, v, w(u, v)) := (x ² + y ² , _x ¹ + ¹ _y , log z(x, y) − (x + y))

1

13. W obszarze Ω := {(x, y) ∈ R ² 0 < y < x} wprowadzamy wsp´ o lrze

dne u(x, y) := x + y, v(x, y) := xy. Zapisa´ c wyra˙zenie

A(f ) := 2 (x − y) ²

 1 2 ( ∂ ² f

∂x ² + ∂ ² f

∂y ² ) + 1 x − y ( ∂f

∂y − ∂f

∂x ) − ∂ ² f

∂x∂y



w zmiennych (u, v).

14. Rozwia

za´ c r´ ownanie x ^∂z _∂x +y _∂y ^∂z = xz ² , wyra˙zaja

c je w nowych wsp´ o lrze

dnych u = x, v = ^y _x , w = _1+xz ^z obszaru Ω = {(x, y, z) : x, y > 0} oraz traktuja

c w jako zmienna

zale˙zna

w = w(u, v).

15. Rozwia

za´ c r´ ownanie y _∂x ^∂z − x ^∂z _∂y = (y − x)z, wyra˙zaja

c je w nowych wsp´ o lrze

dnych u = x ² + y ² , v = log _x ^y , w = x + y − log z obszaru Ω := {(x, y, z) : x > 0, y > 0, z > 0}, traktuja

c w jako nowa

zmienna

zale˙zna

w(u, v).

16. Dokonuja

c liniowej zamiany zmiennych sprowadzi´ c r´ ownanie: ^∂ _∂x

^f

+ ^∂ _∂y

^f

+ 3 ^∂ _∂z

^f

−2 _∂x∂y ^∂

^f + _∂x∂z ^∂

^f = g do postaci:

a ^∂ _∂p

^f

+ ^∂ _∂q

^f

+ c ^∂ _∂r

^f

= g.

17. Niech f : R ² −→ R spe lnia r´ownanie Laplace’a: ∆f = 0 oraz u, v : R ² −→ R klasy C ² spe lniaja

r´ ownania:

u _x = v _y u _y = −v _x . Wykaza´ c, ˙ze g(x, y) := f (u(x, y), v(x, y)) spe lnia r´ ownanie Laplace’a.

18. Niech φ : R −→ R be

dzie funkcja

klasy C ¹ . Poda´ c warunki, aby r´ ownanie : 2x − y = φ(x ² + y ² + z ² ) okre´ sla lo funkcje

z = z(x, y). Pokaza´ c, ˙ze z _∂x ^∂z + 2z ^∂z _∂y = −x − 2y.

19. Niech φ : R ² −→ R be

dzie funkcja

klasy C ¹ . Poda´ c warunki, aby r´ ownanie : φ(x + ^z _y , y + _x ^z ) = 0 okre´ sla lo funkcje

z = z(x, y). Pokaza´ c, ˙ze x ^∂z _∂x + y ^∂z _∂y = z − xy

20. Wyznaczy´ c i zbada´ c punkty krytyczne funkcji (x, y) 7→ z(x, y) zadanych r´ ownaniami:

(a) z ³ + z + _1+x ^14xz

+ (2x − y) ² + 9 = 0

(b) (x ² + y ² + z ² ) ² = a ² (x ² + y ² − z ² ) a ∈ R a 6= 0 (c) 2z ³ + _1+x ^6z

+ 5x − xy + y = 0

(d) x ² + 4y ² + z ² − 4xy + 2xz + 8yz − 6x + 8y = 0

(e) 0 = ¹ ₂ (x ² + y ² )z ³ + xyz ² + z − 2 (f) 0 = ¹ ₂ (x ² + y ² )z ³ + xyz ² + 1 (g) 0 = ¹ ₂ (x ² + y ² )z ³ + xyz ² + z + 1.

2