Matematyka Obliczeniowa* (II MAT)
Kolokwium, 29-04-2015
Uwaga. Ka˙zde zadanie warte jest 5 punkt´ow, niezale˙znie od stopnia trudno´sci.
1. Rozpatrzmy arytmetyke sta loprzecinkow, a fx, gdzie r´, o˙znica pomiedzy liczb, a rzeczy-, wista x a jej reprezentacj, a fx(x) wynosi |x − fx(x)| ≤ ν.,
Powiemy, ˙ze algorytm A realizujacy przekszta lcenie Φ : F → G, gdzie F i G, sa podzbiorami przestrzeni unormowanych, jest numerycznie poprawny gdy istniej, a, sta le K1, K2 o nastepuj, acej w lasno´sci: dla dowolnej dok ladno´sci ν i dla dowolnych, danych f ∈ F istnieja dane ˜, f ∈ F takie, ˙ze
k ˜f − f kF ≤ K1ν oraz kfx(Af ) − Φ( ˜f )kG ≤ K2ν.
(fx(Af ) jest tu wynikiem zwracanym przez A w arytmetyce fx dla danych f .) Niech teraz A1 bedzie algorytmem numerycznie poprawnym realizuj, acym prze-, kszta lcenie Φ1 : X → Y , a A1 algorytmem numerycznie poprawnym realizujacym, przekszta lcenie Φ2 : Y → Z. Wyka˙z, ˙ze je´sli Φ2 spe lnia warunek Lipschitza w Y to z lo˙zenie A2A1 realizujace przekszta lcenie Φ = Φ, 2◦ Φ1 : X → Z jest te˙z algorytmem numerycznie poprawnym.
2. Do nieosobliwej macierzy Hessenberga A = (ai,j) ∈ Rn,n, tzn. takiej, ˙ze ai,j = 0 dla i ≥ j + 2, zastosowano algorytm eliminacji Gaussa z wyborem elementu g l´ownego w kolumnie otrzymujac rozk lad tr´, ojkatno-tr´, ojkatny P A = LU , gdzie P jest macierz, a, permutacji, L = (li,j) macierza tr´, ojkatn, a doln, a z jedynkami na przek, atnej i |l, i,j| ≤ 1, a U = (ui,j) macierza tr´, ojkatn, a g´, orna. Wyka˙z, ˙ze,
1≤i,j≤nmax |ui,j|
≤ n
1≤i,j≤nmax |ai,j|
. Czy to oszacowanie mo˙zna poprawi´c gdy dodatkowo A = AT?
3. Niech f ∈ Cr([0, h]) i f(r) spe lnia warunek Lipschitza ze sta la M . Niech p b, edzie, wielomianem stopnia ≤ r interpolujacym f w punktach 0 ≤ x, 0 < x1 < · · · < xr≤ h.
Wyka˙z, ˙ze przy pewnym doborze punkt´ow xj mamy kf − pkC([0,h])≤ 2M
r!
h 4
r+1
4. Niech P bedzie zbiorem wszystkich wielomian´, ow rzeczywistych w stopnia co najwy˙zej n spe lniajacych sup, |x|≤1|w(x)| ≤ 1. Wyka˙z, ˙ze
maxw∈P w(2) = Tn(2), gdzie Tn jest n-tym wielomianem Czebyszewa.
