RACHUNEK
PRAWDOPODOBIEŃSTWA
WYKŁAD 8.
ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH.
2
Zbieżność ciągu zmiennych losowych z
prawdopodobieństwem 1 (prawie napewno) Ciąg zmiennych losowych (Xn) jest zbieżny do zmiennej losowej X z prawdopodobieństwem 1 jeśli
{
}
(
:
lim
(
)
=
(
)
)
=
1
∞ →ω
ω
ω
X
X
P
n nŚredniokwadratowa zbieżność ciągu zmiennych losowych
Ciąg zmiennych losowych (Xn) jest średniokwadratowo zbieżny do zmiennej losowej X jeśli
(
)
0
lim
−
2=
∞ →E
X
nX
nRozpatrując ten rodzaj zbieżności zakładamy, że dla występujących tu zmiennych losowych (Xn), X istnieje skończony moment rzędu 2.
Niekiedy stosuje się zapis l.i.m. X n = X
4
Stochastyczna zbieżność ciągu zmiennych losowych
Ciąg zmiennych losowych (Xn) jest
stochastycznie (wg prawdopodobieństwa) zbieżny do zmiennej losowej X jeśli
(
)
1 lim 0 →∞ − < = >∧
ε
ε n P Xn X lub równoważnie(
)
0 lim 0 →∞ − ≥ = >∧
ε
ε n P Xn XZbieżność ciągu zmiennych losowych wg dystrybuant (wg rozkładu)
Ciąg zmiennych losowych (Xn) jest zbieżny do zmiennej losowej X wg dystrybuant jeśli ciąg ich dystrybuant Fn jest zbieżny do
dystrybuanty F w każdym punkcie jej ciągłości (F jest dystrybuantą zmiennej losowej X).
6 ZBIEŻNOŚĆ Z PRAWDOPODOBIEŃSTWEM 1 ZBIEŻNOŚĆ ŚREDNIOKWADRATOWA ZBIEŻNOŚĆ STOCHASTYCZNA zbieżność do stałej
(tzn. gdy granica ma rozkład jednopunktowy)
ZBIEŻNOŚĆ WG DYSTRYBUANT
Przykład.
Rozpatrzmy ciąg zmiennych losowych
skokowych określonych na przedziale [0, 1) w następujący sposób + − ∈ + ∈ = n k n k n k n k Xkn 1 ; ) 1 , 0 [ gdy 0 1 ; gdy 1 ) ( ω ω ω n X P( kn =1) = 1 ; n X P( kn = 0) =1− 1 Ciąg X01, X02, X12, X03, X13, X23, ... jest zbieżny stochastycznie do zera bo
(
)
lim1 0 lim1
0
∧
<ε< n→∞P Xn ≥ ε = n→∞ n =Natomiast ciąg ten nie jest zbieżny w żadnym punkcie przedziale [0, 1) bowiem dla każdego ustalonego punktu otrzymujemy rozbieżny
ciąg zer i jedynek (zera i jedynki występują na dowolnie dalekich miejscach).
8
Przykład.
Ciąg zmiennych losowych Xn ciągłych o
rozkładach jednostajnych na przedziałach (0, 1/n)
jest zbieżny do rozkładu jednopunktowego X ( P(X = 0) =1) wg dystrybuant.
Centralne twierdzenie graniczne Lindeberga – Levy'ego
Jeśli niezależne zmienne losowe Xi (i = 1, 2, ..., n) mają taki sam rozkład oraz istnieje E(Xn) = m i D2(Xn) =
σ
2 > 0 to ciąg dystrybuant (Fn) standaryzowanych średnich arytmetycznych Xn (lub standaryzowanychsum
∑
= n i i X 1 )n
mn
X
n
m
X
Y
n i n n nσ
σ
−
=
−
=
∑
=1/
10
Aby się przekonać, że suma niezależnych zmiennych losowych o takim samym
rozkładzie może dążyć do rozkładu N(0, 1) porównajmy rozkład N(0, 1) i standaryzowane rozkłady X, (X + Y)/2, (X + Y + Z)/3, gdzie X,
Y, Z niezależne zmienne losowe o rozkładzie
N X
Wniosek
Dla dużych n (w praktyce n ≥ 30)
) ( ) ( 1 a b b n nm X a P n i i Φ − Φ ≅ < − ≤
∑
= σ14
W przypadku szczególnym gdy Xi
(i = 1, 2, ..., n) maja rozkład zerojedynkowy to powyższe twierdzenie nazywamy
twierdzeniem Moivre'a-Laplace'a (zmienne losowe =
∑
= n i i n X Y 1 maja rozkład dwumianowy).Wniosek z twierdzenia Moivre'a-Laplace'a:
)
(
)
(
b
a
b
npq
np
Y
a
P
i
≅
Φ
−
Φ
<
−
≤
Uwaga. Powyższe twierdzenia wskazują na ważną rolę rozkładu normalnego.
16
Przykład
Wadliwość partii żarówek wynosi 0,01. Z tej partii żarówek wylosowano 625 żarówek. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych żarówek będzie
a) mniej niż 10 wadliwych, b) najwyżej 10 wadliwych.
Rozwiązanie.
n
Y
– liczba wadliwych żarówek wśródwylosowanych, Ad a) 93448 , 0 ) 51 , 1 ( 99 , 0 01 , 0 625 01 , 0 625 10 99 , 0 01 , 0 625 01 , 0 625 ) 10 ( = Φ ≅ ≅ ⋅ ⋅ ⋅ − < ⋅ ⋅ ⋅ − = < i i Y P Y P
18 Ad b) 97193 , 0 ) 91 , 1 ( 99 , 0 01 , 0 625 01 , 0 625 11 99 , 0 01 , 0 625 01 , 0 625 ) 11 ( ) 10 ( ) 10 ( ) 10 ( = Φ ≅ ⋅ ⋅ ⋅ − < ⋅ ⋅ ⋅ − = = < = = + < = ≤ i i i i i Y P Y P Y P Y P Y P
Prawo wielkich liczb Chinczyna
(Xi) – ciąg niezależnych zmiennych losowych o takim samym rozkładzie oraz niech istnieje
E(Xi) = m. Wtedy ciąg =
∑
= n i i n X n Y 1 1 jest zbieżny stochastycznie do m.20
Wniosek
Dla dużych n jeśli istnieje D2(Xn) =
σ
2 > 0 to(
)
2 1 0 − Φ ≅ < − ∧ > σ ε ε ε n m Y P nPrzypadek szczególny – prawo wielkich liczb Bernoulliego:
(Xi) – ciąg niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie dwumianowym wtedy ciąg n
Xn jest stochastycznie zbieżny do p.
22 Wniosek Dla dużych n: 1 2 0 − Φ ≅ < − ∧ > pq n p n X P n
ε
ε
εPrzykład
Wadliwość partii żarówek wynosi 0,1. Z tej partii żarówek losujemy n żarówek. Ile żarówek należy wylosować aby prawdopodobieństwo, że średnia liczba wadliwych żarówek różniła się co do wartości bezwzględnej od wadliwości partii o mniej niż 0,025 było co najmniej równe 0,95.
24
Rozwiązanie n
Y
– liczba wadliwych żarówek wśródwylosowanych 95 , 0 1 9 , 0 1 , 0 025 , 0 2 025 , 0 1 , 0 − ≥ ⋅ Φ ≅ < − n n Y P n stąd
975
,
0
9
,
0
1
,
0
025
,
0
≥
⋅
Φ
n
oraz0
,
1
0
,
9
1
,
96
025
,
0
≥
⋅
n
zatem n ≥ 23,52 in > 553
.Przybliżenia lokalne.
Przybliżenie lokalne Poissona
dla dużych n (praktycznie n ≥ 30) i małych p (praktycznie p ≤ 0,2) mamy p n e k q p k n k k n k ≈ = ⋅ − −
λ
λ
λ gdzie !26
Przybliżenie lokalne Moivre’a-Laplace’a dla dużych n mamy
− ≈ − npq np k f npq q p k n k n k 1
Ocenę odchylenia wartości zmiennej losowej od jej wartości oczekiwanej daje nierówność Czebyszewa:
X – zmienna losowa oraz istnieje E(X) = m
i D2(X) =
σ
2 > 0 wtedy(
)
2 2 0ε
σ
ε
ε∧> P X − m ≥ ≤28
Z nierównością Czebyszewa związane są inne nierówności np. 1) nierówność Markowa
(
)
p p p X E X P ε ε ε∧>0 ∧>0 ≥ ≤ 2) nierówność Czebyszewa II(
ε)
ε ε EX X P ≥ ≤ ∧ >03) nierówność Czebyszewa III (wykładnicza)
jeśli EeλX < ∞
(
)
λε λ ε ε e Ee X P X ≤ ≥ ∧ >0 4)nierówność Bernsteinajeśli Sn – liczba sukcesów w n próbach Bernoulliego z
prawdopodobieństwem sukcesu p to 2 2 0 2 ε ε ε n n p e n S P − > ≤ ≥ − ∧
