SPRAWDŹ NAS! JAK SIĘ UCZY Z M+? Okrąg opisany na wielokącie, Okrąg wpisany w wielokąt.

Broszura zawiera gotowe materiały do przeprowadzenia lekcji

w 2 klasie liceum lub technikum:

Okrąg opisany na wielokącie,

Okrąg wpisany w wielokąt.

Do realizacji wskazanych zagadnień przygotowaliśmy odpowiednie fragmenty podręcznika oraz zbioru zadań.

Ów zestaw poszerzyliśmy o dodatkowe pomoce – materiały dydaktyczne z bogatych zasobów udostępnianych bezpłatnie członkom klubu M+.

Lekcje z wykopem – scenariusze niebanalnych zajęć lekcyjnych, które na długo zostaną w głowach uczniów.

Punktem wyjścia jest ciekawy, niebanalny problem lub historia, która wydarzyła się naprawdę. Autorzy wyjaśniają zagadnienia matematyczne, wykorzystując dostępne przeciętnemu uczniowi narzędzia. Podążanie za proponowanym tokiem wykładu, odkrywanie tajemnicy sprawia, że lekcja zostaje na bardzo, bardzo długo w głowach uczniów.

Znajdź błąd – psychologia poznawcza podpowiada, że nauka na błędach (swoich bądź cudzych) to metoda z olbrzymim potencjałem do wykorzystania w edukacji dzieci i młodzieży. Przygotowane przez nas zestawy zadań ów fakt wykorzystują. Zadaniem uczniów jest wskazanie błędu w prezentowanych rozwiązaniach i skorygowanie go.

Oczywiście błędy nie są zwykłymi pomyłkami rachunkowymi – weryfikujemy nimi zrozumienie zagadnień matema- tycznych przez Państwa podopiecznych.

Test do samodzielnej weryfikacji – wszyscy uczniowie mają dostęp do interaktywnych testów w Strefie ucznia www.gwo.pl/strefa-ucznia. To materiał, który wielu wykorzystuje do ostatnich przygotowań przed zbliżającymi się klasówkami. Chcemy pokazać go, gdyż w szybki, prosty i rzetelny sposób pozwala zweryfikować swoją wiedzę i umiejętności.

Mądre projekty – każdemu nauczycielowi zdarza się spotkać uczniów bardziej dociekliwych. Przygotowany materiał pozwala rozwijać potencjał takich właśnie osób – samodzielnie mogą zastosować zdobytą już wiedzę i umiejętności do bardziej złożonych zagadnień.

Wśród propozycji materiałów znajdują się także karty pracy stworzone przy wykorzystaniu Kompozytora klasówek i kart pracy – programu komputerowego służącego do szybkiego układania, zapisywania i drukowania różnych zesta- wów zadań z matematyki (w kilku wariantach). Zadania można dobierać m.in. według stopnia trudności oraz czasu potrzebnego na ich rozwiązanie. Do każdego zestawu zadań dołączony jest klucz odpowiedzi. Zachęcamy, aby wypró- bować wersję demonstracyjną programu, odwiedzając stronę www.matematyka.kompozytorklasowek.gwo.pl.

Zdecydowaliśmy się także na zwrócenie Państwa uwagi na program MatNau! – interaktywny zbiór zadań z rozwią- zaniami. Wchodząc na wskazaną stronę, otrzymają Państwo dostęp do wersji demonstracyjnej programu, który ma dwa oblicza. Dla nauczycieli to interaktywny zbiór zadań (do zakresu podstawowego). Szczególnie przydatny dla tych z Państwa, którzy lubią (i mają możliwość) wykorzystywać na lekcjach nowoczesne technologie. Dla ucznia to aplika- cja, która motywuje do powtórek przed sprawdzianami i pomaga poprawić oceny z matematyki. Za pomocą krótkich filmów i komentarzy wyjaśnia krok po kroku, jak rozwiązywać różne typy zadań. Dodatkowo uczniowie mogą spraw- dzić swoje umiejętności, wykonując interaktywne ćwiczenia.

Zapraszamy do wypróbowania Matematyki z plusem w czasie zajęć z uczniami. Wszystkich zainteresowanych naszymi

propozycjami dydaktycznymi zachęcamy do odwiedzenia strony www.matematyka.gwo.pl.

Podręcznik (fragmenty)

. . .

s. 13 Zbiór zadań (fragmenty)

. . .

s. 19 Karty pracy z Kompozytora klasówek i kart pracy

Okrąg opisany na wielokącie

. . . .

s. 23 Okrąg wpisany w wielokąt

. . . .

s. 27 Materiały dodatkowe do wykorzystania przy realizacji działu

Figury na płaszczyźnie

Zestaw zadań Znajdź błąd

. . . .

s. 32

Karty pracy Lekcje z wykopem

. . .

s. 34

Figury na płaszczyźnie. Część 2 – test ze Strefy ucznia

. . .

s. 51

Praca badawcza Mądre projekty. Środek ciężkości

. . . .

s. 53

Multipodręczniki dla klas 1 i 2

. . . .

s. 55

MatNau! – interaktywny zbiór zadań z rozwiązaniami

. . .

s. 56

W podręczniku przyjęto następujące oznaczenia:

zadanie 7–10 — odsyłacz do zadań, które proponujemy rozwiązać po zapoznaniu się z odpowiednim fragmentem teorii

— odsyłacz do fragmentu teorii oznaczonego indeksem

— zadanie nieelementarne (niekoniecznie trudne)

— zadanie trudne

MLR2-1str. 159

S2. AD jest styczna do okręgu w punkcie A, a cięciwy AC i BC mają równe długości. Jeżeli |� ABC| = 70^◦, to miara kątaDAB wynosi:

A. 30^◦ B. 40^◦ C. 60^◦ D. 70^◦ S3. Na rysunku poniżej ramiona ką- ta α są styczne do okręgu o środku S.

Jaką miarę ma kątα?

A. 35^◦ B. 55^◦ C. 70^◦ D. 80^◦

S4. Poniżej przedstawiono fragmenty trzech okręgów o promieniu 1, które są parami styczne, oraz mniejszy okrąg styczny do każdego z tych okręgów. Ja- ką długość ma promień tego okręgu?

A. √² 3− 1 B. ¹

19 C. 1 −^√3

2 D. ^√5

3 − 1

OKRĄG OPISANY NA WIELOKĄCIE

I Mówimy, że okrąg jest opisany na

wielokącie, gdy wszystkie wierz- chołki tego wielokąta leżą na okręgu.

Jeżeli okrąg jest opisany na wielokącie, to możemy też powiedzieć, że wielokąt jest wpisany w okrąg.

Środek okręgu opisanego na wielokącie jest punktem jednakowo odległym od jego wierzchołków. Z własności symetralnej (por. s. 71) wynika, że śro- dek ten musi leżeć na symetralnej każdego boku wielokąta.

OKRĄG OPISANY NA WIELOKĄCIE

159

PODRĘCZNIK (fragmenty)

Strona 159

PRZYKŁAD 1 W trójkącie ABC bok BC ma długość 6 cm oraz |� CAB| = 42^◦ i |� ABC| = 68^◦. Oblicz długość boku AB.

Sporządzamy rysunek pomocniczy.

|� ACB| = 180^◦− (42^◦+ 68^◦) = 70^◦ Obliczamy miarę kąta leżącego naprzeciwko boku AB.

6

sin 42◦= ^x

sin 70◦ Korzystamy z twierdzenia sinusów.

x = ^{6 sin 70◦}

sin 42◦

x ≈ 8,43

Odp. Bok AB ma około 8,43 cm długości.

Z A D A N I E W trójkąciePQR bok PR ma długość 5 oraz |� QPR| = 20^◦i |� RQP| = 44^◦. Oblicz długość bokuPQ.

zadania 1–3

II PRZYKŁAD 2 Jeden z kątów trójkąta ma miarę 40^◦. Bok leżący naprzeciw tego kąta ma długość 4, a inny z boków tego trójkąta ma długość 5. Oblicz miarę kąta leżącego naprzeciw tego boku.

Wykonujemy rysunek pomocniczy.

4

sin 40◦= ⁵

sinβ Korzystamy z twierdzenia sinusów.

sinβ = ^{5 sin 40◦}₄ sinβ ≈ 0,803

β1≈ 53^◦, β2≈ 180^◦− 53^◦= 127^◦ 0^◦<β < 180^◦.

40^◦+ 53^◦< 180^◦ 40^◦+ 127^◦< 180^◦ Sprawdzamy, czy 40^◦+β < 180^◦. Odp. Szukany kąt ma około 53^◦lub około 127^◦.

Z A D A N I E Jeden z kątów trójkąta ma miarę 18^◦. Bok leżący naprzeciw tego kąta ma długość 10, a inny bok ma długość 20. Oblicz miary pozostałych kątów tego trójkąta.

W przykładzie zadanie miało dwa rozwiązania. Nie zawsze jednak tak jest.

Wiemy już, że symetralne trzech boków każdego trójkąta przecinają się w jednym punkcie (por. s. 71). Wynika stąd następujące twierdzenie:

Twierdzenie

Na każdym trójkącie można opisać okrąg.

Środkiem takiego okręgu jest punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta.

Aby wyznaczyć konstrukcyjnie środek okręgu opisanego na trójkącie, wystarczy poprowa- dzić symetralne dwóch boków trójkąta. Ich punkt przecięcia to środek szukanego okrę- gu, a odległość tego punktu od dowolnego wierzchołka trójkąta to promień okręgu.

ĆWICZENIE A Narysuj trójkąt i skonstruuj okrąg opisany na tym trójkącie.

Zauważ, że z własności kątów środkowych i wpisanych wynika, że środek okręgu opi- sanego na trójkącie prostokątnym jest środ- kiem przeciwprostokątnej.

ĆWICZENIE B a) Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 4 i 5.

b)Oblicz długości boków trójkąta prostokątnego równoramiennego wpisanego w okrąg o promieniu 20.

zadania 1–4

II Nie na każdym wielokącie można opisać okrąg. Możliwe jest to tylko wówczas, gdy symetralne wszystkich jego boków przecinają się w jednym punkcie. Na przykład okręgu nie można opisać na równoległoboku, który nie jest prostokątem.

ĆWICZENIE C Na których z narysowanych wielokątów na pewno nie można opi- sać okręgu?

Warunek, jaki musi spełniać czworokąt, na którym da się opisać okrąg, opisuje poniższe twierdzenie.

α + γ = β + δ = 180^◦ Twierdzenie

Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy

sumy miar przeciwległych kątów są równe.

Dowód

Wykażemy najpierw, że jeśli na pewnym czworokącie można opisać okrąg, to suma miar przeciwległych kątów tego czworokąta wynosi 180^◦.

Oznaczmy przez α i β przeciwległe kąty czwo- rokąta wpisanego w okrąg (zob. rysunek). Kąty środkowe oparte na tych samych łukach co ką- ty α i β mają odpowiednio miary 2α i 2β oraz 2α + 2β = 360^◦. Stądα + β = 180^◦.

Z twierdzenia o sumie miar kątów czworokąta wynika, że suma pozostałych dwóch kątów roz- ważanego czworokąta także wynosi 180^◦. Wykażemy teraz, że jeśli w czworokącie suma miar przeciwległych kątów wy- nosi 180^◦, to na tym czworokącie można opisać okrąg.

Przyjmijmy, że w czworokącieABCD dane są:

|� BAD| = α, |� BCD| = β oraz α + β = 180^◦ (zob. rysunek).

Zauważmy, że wszystkie kąty czworokątaABCD są wypukłe, więc punkt C leży wewnątrz ką- taα.

Rozważmy okrąg opisany na trójkącie ABD.

Przypuśćmy, że odległość punktuC od środka tego okręgu jest większa niż promień okręgu.

NiechP będzie punktem leżącym na łuku okręgu, na którym oparty jest kąt α, orazP �= B i P �= D. Wówczas kąt wpisany BPD ma miarę 180^◦−α i wobec tego w czworokącieBCDP suma miar kątów o wierzchołkach P i C wynosiłaby:

|� BPD| + |� BCD| = 360^◦− (180^◦−α) + β = 180^◦+α + β = 180^◦+ 180^◦= 360^◦ Taki czworokąt nie może istnieć, zatem odległość punktuC od środka okręgu opisanego na trójkącieABD nie jest większa niż promień tego okręgu.

Analogicznie można wykazać, że odległość punktuC od środka rozważanego okręgu nie może być też mniejsza niż promień okręgu. Punkt C musi więc leżeć na tym okręgu, czyli jest to okrąg opisany na czworokącieABCD.

PRZYKŁAD Kolejne kąty pięciokąta wpisanego w okrąg mają miary: 100^◦, 120^◦, 110^◦, 100^◦ i 110^◦. W pięciokącie tym poprowadzono przekątne wycho- dzące z wierzchołka kąta o mierze 120^◦. Na jakie kąty przekątne te podzieliły ten kąt?

Sporządzamy rysunek pomocniczy.

α + β + 110^◦= 180^◦ Czworokąt ABDE jest wpisany w okrąg, więc

|� ABD| + |� AED| = 180^◦. α + β = 70^◦

γ = 120^◦− (α + β) = 120^◦− 70^◦= 50^◦ |� ABC| = α + β + γ = 120^◦

β + γ + 100^◦= 180^◦ Czworokąt BCDE jest wpisany w okrąg, więc

|� CBE| + |� CDE| = 180^◦. β + γ = 80^◦

β = 80^◦−γ = 80^◦− 50^◦= 30^◦ α = 120^◦− (β + γ) = 120^◦− 80^◦= 40^◦

Odp. Przekątne dzielą kąt o mierze 120^◦na kąty o miarach 40^◦, 30^◦ i 50^◦.

Z A D A N I E Dane są miary kątów pięciokątaABCDE wpisanego w okrąg: |� ABC| = 110^◦, |� BCD| = 95^◦,

|� CDE| = 85^◦, |� DEA| = 120^◦, |� EAB| = 130^◦. Znajdź miarę kątaBEC.

zadania 5–15

ZESTAW ZADAŃ

1.

Ustal, czy środek okręgu opisanego na trójkącie należy do trójkąta, gdy miary dwóch kątów trójkąta wynoszą:

a) 39^◦i 47◦ b) 70^◦i 55◦ c) 63^◦i 27◦

2.

a) Oblicz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym o przy- prostokątnych długości 5 i 12.

b) W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 6 i 8. Oblicz długość odcinka łączącego wierzchołek kąta prostego ze środkiem przeciwprostokątnej.

3.

Które z podanych zdań są prawdziwe?

1 Środek okręgu opisanego na trójkącie leży zawsze na przecięciu prostych zawie- rających wysokości tego trójkąta.

2 Środek okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest punktem przecięcia wysokości tego trójkąta.

3 Dla dowolnych trzech punktów niewspółliniowych można narysować okrąg, któ- ry przechodzi przez te punkty.

4 Każdy bok trójkąta ostrokątnego wpisanego w okrąg jest krótszy od średnicy tego okręgu.

5 Każdy bok trójkąta rozwartokątnego wpisanego w okrąg jest krótszy od średnicy tego okręgu.

4.

Ostrokątny trójkąt równoramienny, którego podstawa ma 4 cm, jest wpisany w okrąg o promieniu 3 cm. Oblicz pole tego trójkąta.

5.

I a) Oblicz promień okręgu opisanego na prostokącie o bokach 5 cm i 12 cm.

b) Oblicz długość boku kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu 5 cm.

6.

Sprawdź, czy można opisać okrąg na czworokącie, którego kolejne kąty mają podane miary:

a) 30^◦, 60^◦, 150^◦, 120^◦ b) 64^◦, 126^◦, 56^◦, 114^◦ c) 91^◦, 92^◦, 89^◦, 88^◦

7.

Oblicz miary kątów narysowanego czworokąta.

8.

a) Czy czworokąt wpisany w okrąg może mieć dokładnie trzy kąty ostre?

b) Pewne dwa kąty czworokąta wpisanego w okrąg mają miary 98^◦ i 82◦. Ustal, jakie miary mogą mieć pozostałe kąty tego czworokąta.

9.

Uzasadnij, że na trapezie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy trapez ten jest równoramienny.

10.

W sześciokącie narysowanym obok dane są cztery kąty. Oblicz miary pozostałych kątów tego sześciokąta.

11.

Na rysunku obok przedstawiono trójkąty ABC i ABD. Uzasadnij, że okrąg opisany na trójkącie ABC ma taki sam promień, jak okrąg opisany na trójkącieABD.

12.

Miary kątów pewnego czworokąta wyrażone w stopniach są kolejnymi liczbami nieparzystymi. Czy na tym czworokącie można opisać okrąg?

13.

^PunktP jest symetryczny do ortocentrum trójkąta ABC względem prostej AB.

Udowodnij, że punktP leży na okręgu opisanym na trójkącie ABC.

14.

Popatrz na rysunek. Z trójkąta wpisanego w okrąg odcinamy jeden róg prostą równoległą do stycznej poprowadzonej przez wierzchołek.

Udowodnij, że na otrzymanym w ten sposób czworokącieABCD można opisać okrąg.

15.

Udowodnij, że jeśli dwusieczne wszystkich kątów czworokąta przecinają się w czterech punktach, to punkty te tworzą czworokąt, na którym można opisać okrąg.

MINISPRAWDZIAN

S1. Jakie pole ma trójkąt prostokątny równoramienny wpisany w okrąg o promie- niu 14 cm?

A. 196 cm² B. 292 cm² C. 584 cm² D. 98 cm²

S2. Oblicz miarę największego kąta czworokąta wpisanego w okrąg, jeśli miary pozostałych jego kątów wynosząα, 2α i 6α.

A. 240^◦ B. 22,5^◦ C. ok. 154^◦ D. 157,5^◦

S3. Przekątna BE dzieli pięciokąt ABCDE na trójkąt i trapez równoramienny. Środek okręgu opisanego na tym pięciokącie leży na tej przekąt- nej. Oblicz miarę kątaABC, jeśli |� BCD| = 130^◦ oraz |� AED| = 75^◦.

A. 105^◦ B. 115^◦ C. 130^◦ D. 150^◦

OKRĄG OPISANY NA WIELOKĄCIE

R

117.

^Punkt O jest środkiem okręgu opisanego na narysowanym wielokącie.

Znajdź miary kątówα i β.

a) b) c)

R

118.

a) Na pewnym czworokącie opisano okrąg o promieniu 10. Jeden z boków tego czworokąta ma długość 6. Oblicz odległość środka okręgu od tego boku.

b) Jeden z boków czworokąta ma długość 8. Odległość środka okręgu opisanego na tym czworokącie od tego boku jest równa 2. Jaką długość ma promień okręgu?

R

119.

Wyjaśnij, dlaczego na każdym trapezie równoramiennym można opisać okrąg.

R

120.

a) Wyjaśnij, dlaczego okręgi opisane na trójkątach ABC i ABD mają równe promienie.

b) Półproste AD i BD są dwusiecznymi kątów trójkąta ABC. Okręgi opisane na trójkątach ABC i ABD mają taki sam promień. Znajdź miarę kątaACB.

R

121.

Na trójkącie ABC opisano okrąg, przez wierzchołek A poprowadzono prostą a styczną do okręgu, a następnie poprowadzono prostąm równoległą doa przecinającą dwa boki trójkąta w punktach M i N. Wykaż, że na czworokącie BCMN można opisać okrąg.

R

122.

Kwadrat wpisano w okrąg o promieniur.

Wykaż, że suma kwadratów odległości dowolne- go punktu na tym okręgu od wszystkich wierz- chołków kwadratu jest równa 8r².

R

123.

^Punkty A, B, C i D na rysunku obok to punkty przecięcia dwusiecznych kątów trapezu równoramien- nego. Wykaż, że na czworokącie ABCD można opisać okrąg.

R

124.

Dwa okręgi przecinają się w punktach A i B.

Przez punkt A poprowadzono prostą, która przecięła jeden okrąg w punkcie C, a drugi — w punkcie D.

Styczne do okręgów w punktach C i D przecięły się w punkcie E. Wykaż, że na czworokącie BDEC można opisać okrąg.

R

125.

a) Znajdź promień okręgu opisanego na trapezie równoramiennym o ra- mieniu długości√

10 i o podstawach długości 4 i 6.

b) Dwie cięciwy okręgu o promieniu 5 są równoległe i jedna z nich jest o 2 dłuższa od drugiej. Odległość między tymi cięciwami jest równa 1. Oblicz długości tych cięciw.

R

126.

Podstawami trapezu ABCD są odcinki AB i CD. Ramię BC ma długość a, a odcinki AB, AC i AD mają jednakową długość równą b. Oblicz długość prze- kątnejBD trapezu i podaj warunek, jaki muszą spełniać a i b, aby zadanie miało rozwiązanie.

R

127.

^PunktP jest ortocentrum pewnego trójkąta ostrokątnego. Wykaż, że punkty symetryczne do punktuP względem boków tego trójkąta leżą na okręgu opisanym na tym trójkącie.

R

128.

Wyjaśnij, dlaczego sześciokąt wpisany w okrąg nie może mieć trzech kątów prostych.

R

129.

Dany jest okrąg i dwa odcinki o długościach krótszych niż średnica okręgu.

Skonstruuj trapez wpisany w dany okrąg o podstawach, których długości są równe długościom danych odcinków.

OKRĄG WPISANY W WIELOKĄT

R

130.

Ramię trapezu równoramiennego ma długość 5, a okrąg wpisany w ten trapez ma promień 2. Oblicz pole tego trapezu.

R

131.

Jedna z przekątnych rombu jest dwa razy dłuższa od drugiej. Oblicz stosu- nek długości boku tego rombu do promienia okręgu w niego wpisanego.

W podręczniku przyjęto następujące oznaczenia:

zadanie 7–10 — odsyłacz do zadań, które proponujemy rozwiązać po zapoznaniu się z odpowiednim fragmentem teorii

— odsyłacz do fragmentu teorii oznaczonego indeksem

— zadanie nieelementarne (niekoniecznie trudne)

— zadanie trudne

OKRĄG WPISANY W WIELOKĄT

I Mówimy, żeokrąg jest wpisany w wie-

lokąt, jeżeli jest styczny do wszystkich boków tego wielokąta.

Jeżeli okrąg jest wpisany w wielokąt, to możemy też powiedzieć, że wielokąt jest opisany na okręgu.

Odległość środka okręgu wpisanego w wielokąt od każdego boku wielokąta jest równa promieniowi okręgu. Środek takiego okręgu jest jednakowo od- legły od wszystkich jego boków, zatem z własności dwusiecznej (por. s. 72) wynika, że środek ten musi leżeć na dwusiecznej każdego kąta wielokąta.

Ponieważ wiemy już, że dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jed- nym punkcie, zatem prawdziwe jest następujące twierdzenie:

Twierdzenie

W każdy trójkąt można wpisać okrąg.

Środkiem okręgu wpisanego w trójkąt jest punkt przecięcia dwusiecznych kątów tego trójkąta.

Aby skonstruować okrąg wpisany w trójkąt, pro- wadzimy dwusieczne dwóch dowolnych kątów trójkąta, ich wspólny punkt S będzie środkiem szukanego okręgu. Następnie kreślimy prostą przechodzącą przez punkt S i prostopadłą do jednego z boków. Punkt przecięcia tej prostej z bokiem AC (na rysunku oznaczony literą K) jest jednym z punktów styczności. Kreślimy okrąg o środkuS i promieniu |SK|.

ĆWICZENIE A Narysuj trójkąt i skonstruuj okrąg wpisany w ten trójkąt.

zadania 1–6

II Nie w każdy wielokąt da się wpisać okrąg. Możliwe jest to tylko wtedy, gdy dwusieczne wszystkich kątów przecinają się w jednym punkcie. Na przykład nie można wpisać okręgu w prostokąt, który nie jest kwadratem.

ĆWICZENIE B W które z narysowanych wielokątów na pewno nie można wpisać okręgu?

Warunek jaki musi spełniać czworokąt opisany na okręgu jest następujący:

Twierdzenie

W czworokąt można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy czworokąt

jest wypukły i sumy długości jego przeciwległych boków są równe.

Dowód

Załóżmy, że w pewien czworokąt można wpisać okrąg. Taki czworokąt musi być wypukły, bo nie może mieć kątów większych od 180^◦. Pokażemy, że sumy długości jego przeciwległych boków są równe.

Boki czworokąta są styczne do okręgu. Z włas- ności stycznej do okręgu (zob. str. 151) wyni- ka, że odcinki łączące dany wierzchołek z punk- tami styczności są równe (zob. rysunek).

Łatwo zauważyć, że niezależnie od tego, którą parę przeciwległych boków czworokąta wybie- rzemy, suma ich długości wynosi x + y + z + t, czyli sumy długości przeciwległych boków są równe.

NiechABCD będzie czworokątem wypukłym, w którym sumy długości prze- ciwległych boków są równe, czyli |AB| + |CD| = |BC| + |AD|. Pokażemy, meto- dą nie wprost, że w ten czworokąt można wpisać okrąg.

Niech S oznacza punkt przecięcia dwusiecznych kątów BAD i ABC i okrąg o środkuS jest styczny do boków AB, BC i AD (zob. rys. na następnej stronie).

Przypuśćmy, że okrąg ten nie jest styczny do bokuCD.

Prowadząc z punktuC styczną do narysowane- go okręgu, otrzymamy na prostejAD punkt D^� różny odD. Możemy założyć, że |AD^�| > |AD|

(gdyby |AD^�| < |AD|, dowód przebiegałby ana- logicznie), czyli punkty C, D, D^� powinny być wierzchołkami trójkąta.

CzworokątABCD^�jest opisany na okręgu, więc:

|AD^�| + |BC| = |AB| + |CD^�|

Zakładaliśmy, że spełniony jest także warunek:

|AD| + |BC| = |AB| + |CD|

Z obu tych warunków wynika równość:

|AD^�| − |AD| = |CD^�| − |CD|

|AD^�| − |AD| = |DD^�|, więc |DD^�| = |CD^�| − |CD|.

Stąd |DD^�| + |CD| = |CD^�|.

Zatem odcinki CD, DD^�, D^�C nie spełniają nierówności trójkąta, czyli nie istnieje trójkąt o wierzchołkach C, D, D^� (sprzeczność). Wobec tego D = D^�, czyli czworokątABCD jest opisany na okręgu. zadania 7–11

III Pokażemy teraz, jak można obliczyć pole wielokąta opisanego na okręgu, gdy znamy długość promienia tego okręgu i obwód wielokąta.

Na rysunku obok pięciokąt opisany na okręgu zo- stał podzielony na trójkąty odcinkami łączącymi wierzchołki ze środkiem okręgu. Pole wielokąta jest równe sumie pól tych trójkątów:

P = ¹₂ar + ¹₂br +¹₂cr +¹₂dr +¹₂er P = ¹₂r(a + b + c + d + e)

Powyższe rozumowanie przeprowadziliśmy dla pięciokąta. Analogiczne ro- zumowanie moglibyśmy przeprowadzić dla dowolnego wielokąta. Zatem:

Twierdzenie

Pole wielokąta opisanego na okręgu jest równe iloczynowi promienia tego okręgu przez połowę obwodu wielokąta.

PRZYKŁAD Przekątna AC czworokąta ABCD ma długość 6 i dzieli czworokąt na trójkąt równoboczny i trójkąt prostokątny równoramienny o przeciwprosto- kątnej AC . W ten czworokąt można wpisać okrąg. Jaki promień ma taki okrąg?

|AD| = |DC| = 6

|AB| = |BC| =^√6₂= 3√ 2 P_ABCD= P_ABC+ P_ACD =^{3√2 · 3√2}

2 +^62√3

4 = 9 + 9√ 3

p = 6 + 3√

2 p — połowa obwodu czworokąta ABCD

r = ^PABCD_p =^{9 + 9√3} 6 + 3√

2=^{3 + 3√3} 2 +√

2

r — promień okręgu wpisanego w czworokąt ABCD

Z A D A N I E W czworokącieKLMN przekątna KM ma długość 24 i dzieli ten czwo- rokąt na dwa trójkąty równoramienne o podstawieKM. Ramiona tych trójkątów mają długości 13 i 20. Jaką długość ma promień okręgu wpisanego w czworokątKLMN?

zadania 12–15

ZESTAW ZADAŃ

1.

I Poniżej narysowano trójkąty: ostrokątny, równoramienny oraz prostokątny. Ob- licz miary kątów tych trójkątów oraz miary kątów oznaczonych literami.

2.

Narysuj dowolny kąt ostry. Na jednym z ramion zaznacz punkt A. Skonstruuj okrąg styczny do obu ramion narysowanego kąta tak, aby punkt A był jednym z punktów styczności.

3.

W trójkąt równoramienny ABC, w którym kąt między ramionami AC i BC ma 100^◦, wpisano okrąg o środkuO. Oblicz miarę kąta AOB.

4.

Uzasadnij, że w trójkącie prostokątnym suma długości przyprostokątnych jest równa sumie długości średnic okręgu wpisanego w ten trójkąt oraz okręgu opisa- nego na tym trójkącie.

5.

Kąt między ramionamiAC i BC trójkąta równoramiennego ABC ma miarę 40^◦. Punkt O jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC, a punkt S jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Oblicz miarę kątaSAO.

6.

Na rysunku obok trójkąt o kątachα i β opisany jest na okręgu. Kąt γ jest kątem trójkąta, którego wierzchołkami są punkty styczności. Wykaż, że:

γ = ^{α + β}₂

7.

II Oblicz obwód czworokąta przedstawionego na rysunku.

8.

Sprawdź, czy można wpisać okrąg w czworokąt wypukły, którego kolejne boki mają długości:

a) 7, 12, 17, 12 b) ¹₂, ¹ 3, ¹

6, ¹

4 c) 3, 2√

3, 5√

3 − 3, 3√ 3

9.

Długości boków pewnego czworokąta są kolejnymi liczbami naturalnymi. Czy w ten czworokąt można wpisać okrąg?

10.

^Punkty A, B i C są wierzchołkami trójkąta, w którym |AB| = |BC|. Znajdź konstrukcyjnie taki punktD, że istnieje okrąg wpisany w czworokąt ABCD i istnieje okrąg opisany na tym czworokącie.

11.

Na pewnym trapezie można opisać okrąg, a także można w ten trapez wpisać okrąg. Podstawy tego trapezu mają długości 7 i 3. Oblicz długości jego ramion.

12.

III Uzasadnij, że pole czworokąta opisanego na okręgu o promieniur jest równe r(a + b), gdzie a i b są długościami dwóch przeciwległych boków.

13.

Wykaż, że stosunek obwodu koła do obwodu wielokąta opisanego na nim jest równy stosunkowi pola koła do pola wielokąta.

14.

Oblicz promień okręgu wpisanego w romb o przekątnych 10 cm i 12 cm.

15.

Oblicz długości promieni okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny i opisanego na nim, jeżeli boki trójkąta mają długości:

a) 8, 15, 17 b) 1, 2, √5 c) √5, √

6, √ 11

MINISPRAWDZIAN

S1. Na okręgu o środku S jest opisany trójkąt prostokątny równoramienny ABC.

OdcinekBC to najdłuższy bok trójkąta. Jaką miarę ma kąt ASB?

A. 135^◦ B. 67,5^◦ C. 90^◦ D. 112,5^◦

S2. W czworokącie na rysunku: |AB| = |AD| i |BC| = |CD|. Taki czworokąt nazywa się deltoidem. Ponadto |� ABC| = |� ADC| = 90^◦. Które ze zdań jest prawdziwe?

A. Na tym czworokącie nie można opisać okręgu i w ten czworokąt nie można wpisać okręgu.

B. Na tym czworokącie można opisać okrąg, ale w ten czworokąt nie można wpisać okręgu.

C. Na tym czworokącie nie można opisać okręgu, ale w ten czworokąt można wpisać okrąg.

D. Na tym czworokącie można opisać okrąg i w ten czworokąt można wpisać okrąg.

S3. Obwód czworokąta opisanego na okręgu o promieniu 3 jest równy 40. Pole tego czworokąta jest równe:

A. 120 B. 80 C. 60 D. 30

S4. Jaki jest promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokąt- nych 7 i 24?

A. 5 B. 6 C. 7 D. 3

WŁASNOŚCI WIELOKĄTÓW.

WIELOKĄTY FOREMNE

I ĆWICZENIE A Narysuj:

a)czworokąt, w którym dwa niesąsiednie boki są prostopadłe, b)pięciokąt, który ma jedną parę boków równoległych, c)sześciokąt, w którym trzy boki są parami równoległe.

Zauważ, że niektóre wielokąty speł- niają warunek: dla dowolnych dwóch punktów wielokąta odcinek, którego końcami są te punkty, zawiera się w tym wielokącie. Takie wielokąty nazywamywielokątami wypukłymi.

CYAN MAGENTA YELLOW BLACK MLZ2-1 str. 138 C, a drugi — w punkcie D.

Styczne do okręgów w punktach C i D przecięły się w punkcie E. Wykaż, że na czworokącie BDEC można opisać okrąg.

R

125.

a) Znajdź promień okręgu opisanego na trapezie równoramiennym o ra- mieniu długości√10 i o podstawach długości 4 i 6.

b) Dwie cięciwy okręgu o promieniu 5 są równoległe i jedna z nich jest o 2 dłuższa od drugiej. Odległość między tymi cięciwami jest równa 1. Oblicz długości tych cięciw.

R

126.

Podstawami trapezu ABCD są odcinki AB i CD. Ramię BC ma długość a, a odcinki AB, AC i AD mają jednakową długość równą b. Oblicz długość prze- kątnejBD trapezu i podaj warunek, jaki muszą spełniać a i b, aby zadanie miało rozwiązanie.

R

127.

^PunktP jest ortocentrum pewnego trójkąta ostrokątnego. Wykaż, że punkty symetryczne do punktuP względem boków tego trójkąta leżą na okręgu opisanym na tym trójkącie.

R

128.

Wyjaśnij, dlaczego sześciokąt wpisany w okrąg nie może mieć trzech kątów prostych.

R

129.

Dany jest okrąg i dwa odcinki o długościach krótszych niż średnica okręgu.

Skonstruuj trapez wpisany w dany okrąg o podstawach, których długości są równe długościom danych odcinków.

OKRĄG WPISANY W WIELOKĄT

R

130.

Ramię trapezu równoramiennego ma długość 5, a okrąg wpisany w ten trapez ma promień 2. Oblicz pole tego trapezu.

R

131.

Jedna z przekątnych rombu jest dwa razy dłuższa od drugiej. Oblicz stosu- nek długości boku tego rombu do promienia okręgu w niego wpisanego.

138

FIGURY NA PŁASZCZYŹNIE. CZĘŚĆ 2

ZBIÓR ZADAŃ (fragmenty)

Strona 138

R

132.

Podstawy trapezu mają długości 2 i 8. Na tym trapezie można opisać okrąg i można w niego wpisać okrąg. Oblicz pole tego trapezu.

R

133.

a) W trójkącie ostrokątnymABC poprowadzono wysokości AM i BN, które przecinają się w punkcieP. Wykaż, że na czworokącie CNPM można opisać okrąg.

b) SześciokątABCDEF jest foremny. Wykaż, że w czworokąt ACDE można wpisać okrąg.

c) W trapezieABCD kąty ABC i BCD są proste, dwusieczna kąta BAC przecina bok BC w punkcie M, a dwusieczna kąta ADC przecina bok AB w punkcie N. Punkt P jest punktem przecięcia tych dwusiecznych. Wykaż, że na każdym z czworokątów BMPN i CDPM można opisać okrąg.

d) Na bokach AB i AC trójkąta równobocznego ABC obrano dwa punkty M i N tak, że |AM| = |AN| = ¹₃|AB|. Wykaż, że w czworokąt BCNM można wpisać okrąg.

R

134.

Ramiona trapezu opisanego na okręgu mają długości 13 i 15, a pole tego trapezu jest równe 168 (zob. rysunek). Oblicz pola czterech trójkątów, na które trapez dzielą odcinki łączące środek okręgu z wierz- chołkami trapezu.

R

135.

a) Trapez równoramienny o obwodzie 20 i przekątnej długości √ 41 jest opisany na okręgu. Oblicz pole tego trapezu.

b) Trapez równoramienny jest opisany na okręgu o promieniu 6. Kąt ostry tego trapezu ma miarę 60^◦. Oblicz pole tego trapezu.

R

136.

Wysokość trapezu równoramiennego h jest równa średniej geometrycznej długości jego podstawa i b (tzn. h =√

ab). Wykaż, że w ten trapez można wpisać okrąg.

R

137.

^{W trapezie} ABCD bok AD jest prostopadły do podstaw AB i DC. W ten trapez wpisano okrąg o środkuS i wiadomo, że |SC| = 6 oraz |SB| = 8. Oblicz pole tego trapezu.

R

138.

a) Kąt ostry rombu ma miarę 60^◦. Znajdź stosunek pola koła wpisanego w ten romb do pola koła opisanego na jednym z trójkątów, na które rozcina ten romb jego dłuższa przekątna.

b) W czworokącieABCD dane są: |AB| = |AD|, |BC| = |CD|, |� ABC| = |� ADC| = 90^◦ i |� BCD| = 60^◦. Znajdź stosunek pola koła opisanego na tym czworokącie do pola koła wpisanego w trójkątBCD.

c) W pewien trapez równoramienny o kącie ostrym 60^◦można wpisać koło. Znajdź stosunek pola koła opisanego na trapezie do pola koła wpisanego w ten trapez.

R

139.

Podstawy trapezu prostokątnego opisa- nego na okręgu mają długości a i b. Jakie dłu- gości mają pozostałe boki tego trapezu?

R

140.

Na rysunku obok okrąg wyciął na każ- dym z boków czworokąta cięciwy o jednakowych długościach. Wykaż, że w ten czworokąt można wpisać okrąg.

WŁASNOŚCI WIELOKĄTÓW.

WIELOKĄTY FOREMNE

141.

Przerysuj figury do zeszytu. Podziel każdą z nich na jak najmniejszą liczbę figur wypukłych.

142.

a) Trójkąt równoboczny i sześciokąt foremny mają równe obwody. Jaki jest stosunek ich pól?

b) Trójkąt równoboczny i sześciokąt foremny mają równe pola. Jaki jest stosunek ich obwodów?

143.

Narysuj okrąg, a następnie, korzystając z kątomierza, narysuj podany wie- lokąt foremny wpisany w ten okrąg.

a) pięciokąt b) siedmiokąt c) dziesięciokąt

144.

Oblicz sumę miar wszystkich kątów:

a) dwunastokąta b) dwudziestokąta

145.

Oblicz, ile przekątnych ma:

a) siedmiokąt b) trzynastokąt

146.

Oblicz, jaką miarę ma każdy kątn-kąta foremnego, jeżeli:

a) n = 12 b) n = 15 c) n = 20

Więcej informacji o programie na www.matematyka.kompozytorklasowek.gwo.pl.

... ...

imię i nazwisko lp. w dzienniku

grupa A

... ...

klasa data

1. Na którym z podanych wielokątów nie można opisać okręgu?

A.na trapezie prostokątnym, który nie jest prostokątem B.na kwadracie

C.na trójkącie prostokątnym D.na prostokącie

2. Na pewnym sześciokącie można opisać okrąg o promieniu 3. Wynika stąd, że:

A.suma długości przeciwległych boków sześciokąta jest równa 9.

B.każdy wierzchołek sześciokąta jest odległy od środka okręgu o 3.

C.pole tego sześciokąta jest równe 18.

D.środek okręgu jest odległy od środka jednego z boków sześciokąta o3.

3. Okrąg można opisać na czworokącie, którego kolejne kąty mają miary:

A.𝛼𝛼, 77^∘, 90^∘+ 𝛼𝛼, 123^∘ B.80^∘, 100^∘, 110^∘, 70^∘

C.𝛼𝛼, 107^∘, 180^∘− 𝛼𝛼, 73^∘ D.50^∘, 90^∘, 50^∘, 170^∘ 4. Znajdź miary kątów czworokąta przedstawionego na rysunku.

5. Znajdź promień okręgu opisanego na prostokącie o bokach długości 5 i 12.

A

6. Sześciokąt 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 jest wpisany w okrąg o środku 𝑂𝑂 i promieniu 𝑟𝑟 𝑟 𝑟√√2 − 1. Przekątne 𝐴𝐴𝐴𝐴 i 𝐴𝐴𝐴𝐴 tego sześciokąta są prostopadłymi średnicami tego okręgu oraz |𝐴𝐴𝐴𝐴| 𝑟 |𝐴𝐴𝐴𝐴| 𝑟 |𝐴𝐴𝐴𝐴| 𝑟 |𝐴𝐴𝐴𝐴|. Wykaż, że pole tego sześciokąta jest równe 16.

7. Okrąg o promieniu 10 cm jest opisany na trapezie, a środek tego okręgu należy do trapezu i jest odległy o 6 cm od dłuższej podstawy i o 8 cm od krótszej. Oblicz obwód tego trapezu.

8. W okrąg o promieniu 𝑟𝑟 jest wpisany dziewięciokąt. Uzasadnij, że co najmniej jeden jego bok ma długość mniejszą niż 0,7𝑟𝑟.

... ...

imię i nazwisko lp. w dzienniku

B

... ...

klasa data

1. Na którym z podanych wielokątów nie można opisać okręgu?

A.na trapezie równoramiennym, który nie jest równoległobokiem B.na równoległoboku niebędącym prostokątem

C.na kwadracie

D.na trójkącie rozwartokątnym

2. Na pewnym sześciokącie można opisać okrąg o promieniu 4. Wynika stąd, że:

A.pole tego sześciokąta jest równe 24.

B.środek okręgu jest odległy od środka jednego z boków sześciokąta o 4.

C.suma długości przeciwległych boków sześciokąta jest równa 12.

D.każdy wierzchołek sześciokąta jest odległy od środka okręgu o4.

3. Okrąg można opisać na czworokącie, którego kolejne kąty mają miary:

A.𝛼𝛼, 85^∘, 180^∘− 𝛼𝛼, 95^∘ B.70^∘, 110^∘, 100^∘, 80^∘

C.70^∘, 90^∘, 70^∘, 130^∘ D.𝛼𝛼, 60^∘, 90^∘+ 𝛼𝛼, 140^∘ 4. Znajdź miary kątów czworokąta przedstawionego na rysunku.

5. Znajdź promień okręgu opisanego na prostokącie o bokach długości 8 i 15.

B

6. Sześciokąt 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 jest wpisany w okrąg o środku 𝑂𝑂 i promieniu 𝑟𝑟 𝑟 𝑟√√2 − 1. Przekątne 𝐴𝐴𝐴𝐴 i 𝐴𝐴𝐴𝐴 tego sześciokąta są prostopadłymi średnicami tego okręgu oraz |𝐴𝐴𝐴𝐴| 𝑟 |𝐴𝐴𝐴𝐴| 𝑟 |𝐴𝐴𝐴𝐴| 𝑟 |𝐴𝐴𝐴𝐴|. Wykaż, że pole tego sześciokąta jest równe 9.

7. Okrąg o promieniu 15 cm jest opisany na trapezie, a środek tego okręgu należy do trapezu i jest odległy o 9 cm od dłuższej podstawy i o 12 cm od krótszej. Oblicz obwód tego trapezu.

8. W okrąg o promieniu 𝑟𝑟 jest wpisany jedenastokąt. Uzasadnij, że co najmniej jeden jego bok ma długość mniejszą niż0,6𝑟𝑟.

... ...

imię i nazwisko lp. w dzienniku

... ...

klasa data

1. Obwód czworokąta przedstawionego na rysunku wynosi:

A.27 B.13,5 C.15,5 D.20

2. Trzy kolejne boki czworokąta mają długości: 6,^{√5 − 1}₂ ,^{√5 + 1}₂ . Jaką długość powinien mieć czwarty bok, aby w czworokąt ten można było wpisać okrąg?

A.6 B.7 C.^√5₂ D.3

3. W który z podanych wielokątów nie można wpisać okręgu?

A.w sześciokąt foremny B.w kwadrat

C.w trójkąt równoramienny

D.w równoległobok niebędący rombem

4. W wielokąt, którego obwód wynosi 48 cm, a pole jest równe 144 cm², wpisano koło. Pole tego koła jest równe:

A.12𝜋𝜋 cm² B.6𝜋𝜋 cm² C.36𝜋𝜋 cm² D.9𝜋𝜋 cm²

5. W pewien wielokąt można wpisać okrąg o promieniu 3. Oceń prawdziwość zdań. Wstaw znak X w odpo- wiednią kratkę.

Wielokąt ten musi być trójkątem lub czworokątem. TAK NIE

Środek okręgu wpisanego leży na przecięciu dwusiecznych kątów tego wielokąta.

TAK NIE

Każdy wierzchołek tego wielokąta jest odległy od środka okręgu wpisa- nego o3.

TAK NIE

6. Trzy boki pewnego czworokąta opisanego na okręgu mają długość 8, 10, 14. Jaki obwód ma ten czworokąt?

Podaj wszystkie możliwości.

7. Na pewnym okręgu opisano trójkąt o polu 8 i obwodzie równym 20. Na tym samym okręgu opisano trójkąt o polu 10. Ile wynosi jego obwód?

8. Z papieru wycięto cztery koła o promieniach 𝑟𝑟1= 3, 𝑟𝑟2= 8, 𝑟𝑟3= 9, 𝑟𝑟4= 11. Koła ułożono tak, aby każde było styczne do dwóch pozostałych w sposób przedstawiony na rysunku.

a) Uzasadnij, że w czworokąt, którego wierzchołkami są środ- ki tych kół, można wpisać okrąg.

b) Wykaż, że jedna z przekątnych tego czworokąta jest mniej- sza niż 28, a druga — mniejsza niż 25.

9. Trapez równoramienny jest opisany na okręgu o promieniu 𝑟𝑟 𝑟 𝑟 cm, a jedna z jego podstaw też ma długość 9 cm. Oblicz obwód tego trapezu.

... ...

imię i nazwisko lp. w dzienniku

... ...

klasa data

1. Obwód czworokąta przedstawionego na rysunku wynosi:

A.12,5 B.20 C.10,5 D.21

2. Trzy kolejne boki czworokąta mają długości: 4,^{√7 − 1}₂ ,^{√7 + 1}₂ . Jaką długość powinien mieć czwarty bok, aby w czworokąt ten można było wpisać okrąg?

A.4 B.2 C.^√7₂ D.5

3. W który z podanych wielokątów nie można wpisać okręgu?

A.w kwadrat

B.w sześciokąt foremny

C.w prostokąt niebędący kwadratem D.w trójkąt równoramienny

4. W wielokąt, którego obwód wynosi 80 cm, a pole jest równe 400 cm², wpisano koło. Pole tego koła jest równe:

A.10𝜋𝜋 cm² B.25𝜋𝜋 cm² C.20𝜋𝜋 cm² D.100𝜋𝜋 cm²

5. W pewien wielokąt można wpisać okrąg o promieniu 5. Oceń prawdziwość zdań. Wstaw znak X w odpo- wiednią kratkę.

Wielokąt ten musi być trójkątem lub czworokątem. TAK NIE

Środek okręgu wpisanego leży na przecięciu dwusiecznych kątów tego wielokąta.

TAK NIE

Każdy wierzchołek tego wielokąta jest odległy od środka okręgu wpisa- nego o5.

TAK NIE

6. Trzy boki pewnego czworokąta opisanego na okręgu mają długość 7, 9, 13. Jaki obwód ma ten czworokąt?

Podaj wszystkie możliwości.

B

7. Na pewnym okręgu opisano trójkąt o polu 10 i obwodzie równym 12. Na tym samym okręgu opisano trójkąt o polu 25. Ile wynosi jego obwód?

8. Z papieru wycięto cztery koła o promieniach 𝑟𝑟1= 4, 𝑟𝑟2= 6, 𝑟𝑟3= 9, 𝑟𝑟4= 12. Koła ułożono tak, aby każde było styczne do dwóch pozostałych w sposób przedstawiony na rysunku.

a) Uzasadnij, że w czworokąt, którego wierzchołkami są środ- ki tych kół, można wpisać okrąg.

b) Wykaż, że jedna z przekątnych tego czworokąta jest mniej- sza niż 25, a druga — mniejsza niż 26.

9. Trapez równoramienny jest opisany na okręgu o promieniu 𝑟𝑟 𝑟 𝑟 cm, a jedna z jego podstaw też ma długość 6 cm. Oblicz obwód tego trapezu.

Zadanie 1. Na rysunku obok kątySAD i SBC wpisane w okrąg o środku S mają równe miary. Znajdź błąd w poniższym rozu- mowaniach.

Rozumowanie A

KątCDA jest oparty na średnicy AC, więc jest kątem prostym.

Podobnie kąt BCD (oparty na średnicy BD), kąt ABC (oparty na średnicy AC) i kąt BAD (oparty na średnicy BD) są proste, a więc czworokątABCD jest prostokątem.

Rozumowanie B

Kąty wpisaneSAD i SBC oparte są na tym samym łuku CD, co kąt środkowy CSD, więc

|� CSD| = 2α. Taką samą miarę ma kąt ASB, ponieważ jest kątem wierzchołkowym do kątaCSD. Ponadto |SA| = |SB| = |SC| = |SD|, więc na mocy cechy bkb trójkąty ABS i CDS są przystające. Wynika stąd, że |AB| = |CD|.

Zadanie 2. Czy poniższe zdania są prawdziwe? Jeśli zdanie jest fałszywe, to jak można je poprawić, by otrzymać zdanie prawdziwe?

Zdanie A

Kąty środkowe, które wycinają w okręgu łuki o jednakowych długościach mają równe miary.

Zadanie B

Kąty wpisane w dany okrąg oparte na tej samej cięciwie mają równe miary.

FIGURY NA PŁASZCZYŹNIE. CZĘŚĆ 2

Zadanie 3. Czy poniższe zdania są prawdziwe? Odpowiedź uzasadnij.

Zdanie A

Jedynym czworokątem, na którym można opisać okrąg i w który można wpisać okrąg, jest kwadrat.

Zdanie B

Jeśli na wielokącie W można opisać okrąg, to na dowolnym wielokącie, którego wierzchoł- kami są wierzchołki wielokąta W, także można opisać okrąg.

Zdanie C

Jeśli w wielokąt W można wpisać okrąg, to w dowolny wielokąt, którego wierzchołkami są wierzchołki wielokąta W, także można wpisać okrąg.

Zdanie D

Czworokąt C jest opisany na okręgu. W czworokąt, którego wierzchołkami są punkty stycz- ności boków czworokąta C z okręgiem, też można wpisać okrąg.

Z intuicją po kuli ziemskiej

Lekcje

z wykopem

Scenariusz lekcji dla nauczyciela

Opis: Cztery zadania geometryczne wykorzystujące twierdzenie Pitagorasa i własności okręgu. Największą wartością jest fakt, że ich rozwiązania zwykle przeczą intuicji. Przed wykonaniem jakichkolwiek rachunków nauczyciel powinien poprosić uczniów, by starali się odgadnąć odpowiedzi, a po obliczeniu poprawnego rozwią- zania wykorzystać zaskakujący rezultat, by podkreślić zwodniczość intuicji i niezawodność zasad matematyki.

Uwagi: Uczniowie powinni znać twierdzenie Pitagorasa, wzór na obwód koła i cechy podobieństwa trójkątów.

Do niektórych obliczeń potrzebny jest kalkulator naukowy.

Przebieg lekcji:

1. Zadanie: Wzdłuż boiska piłkarskiego o długości 100 m rozciągnięto między słupkami przeciwległych bramek linę (równoległą do dłuższej krawędzi boiska) i naprężono ją. Następnie wydłużono ją o 1 metr i jeden z piłkarzy, stojąc na linii środkowej boiska uniósł środek liny do góry. Na jaką wysokość można podnieść środek liny?

Spróbuj odgadnąć odpowiedź, a następnie sprawdź jej poprawność za pomocą rachunków.

Rozwiązanie:

50,5 m 50 m

x 50,5 m

50² + x² = 50,5² 50 m x² = 50,5² – 50² x² = 50,25, x > 0 x ≈ 7,089 [m]

2. Zadanie: Między dwoma słupkami odległymi od siebie o 20 km (jeden jest w Gdyni, a drugi w Gdańsku) zdołano rozpiąć linę tak, że biegnie ona wzdłuż linii prostej. Następnie wydłużono ją o 1 metr i podniesiono środek liny do góry. Na jaką wysokość można go podnieść? Spróbuj odgadnąć odpowiedź, a następnie sprawdź jej poprawność za pomocą rachunków.

Rozwiązanie:

10 000² + x² = 10 000,52 x² = 10 000,5² – 10 000² x² = 10 000,25, x > 0 x ≈ 100,001 [m]

3. Nauczyciel: W poprzednim zadaniu założono, że lina biegnie wzdłuż linii prostej, nie może zatem leżeć na powierzchni Ziemi, gdyż ta nie jest płaska. Przyjmijmy, że Ziemia ma kształt kuli o promieniu 6371 km (w rzeczywistości jej kształt jest znacznie mniej regularny).

4. Zadanie: Przyjmijmy, że lina opisana w poprzednim zadaniu biegnie przez tunel wydrążony wzdłuż linii prostej z Gdyni do Gdańska. Jaka jest największa głębokość pod powierzchnią Ziemi tego tunelu (czyli długość odcin- ka oznaczonego linią przerywaną na rysunku)? Spróbuj odgadnąć odpowiedź, a następnie sprawdź jej poprawność za pomocą rachunków.

20 km

Gdańsk Gdynia

Z intuicją po kuli ziemskiej

10² + y² = 6371² y² = 6371² – 10² y ≈ 6370,992 [km]

x ≈ 6371 km – 6370,992 km = 0,008 km = 8 m

5. Nauczyciel: Spróbujcie odgadnąć, jaka byłaby wartość x, gdyby Gdynię i Gdańsk zastąpić Szczecinem i Rzeszowem?

Uwaga: Pytanie to można postawić jako kolejne zadanie (potrzeb- na jest wtedy informacja, że odległość między Szczecinem a Rzeszowem jest równa około 636 km).

Odpowiedź:

Około 7,94 km.

6. Zadanie: Obwód pomarańczy o średnicy 10 cm zmierzono sznurkiem. Następnie wydłużono ten sznurek o 1 m i rozłożono go równomiernie wokół „równika” pomarańczy. Jaka jest odległość między sznurkiem a powie- rzchnią pomarańczy? Spróbuj odgadnąć odpowiedź, a następnie sprawdź jej poprawność za pomocą rachunków.

Uwaga: Uczniom niekiedy trudno wyobrazić sobie tę sytuację.

Warto pokazać w praktyce kroki opisane w zadaniu. Ułożenie wydłużonego sznurka wokół pomarańczy łatwiej zademonstrować na rozciętym owocu położonym „kołem wielkim” na stole, tak jak na rysunku obok.

Rozwiązanie:

Długość sznurka można przedstawić jako:

obwód pomarańczy powiększony o 1 m (czyli 100 cm):

2π ∙ 5 + 100 [cm]

obwód koła o promieniu 5 + x [cm]

Zatem:

2π ∙ 5 + 100 = 2π(5 + x) x = ¹⁰⁰ ≈ 15,9 [cm]

7. Zadanie: Przyjmijmy, że Ziemia jest kulą o promieniu 6371 km. Wyobraźmy sobie, że ściśle opasujemy Ziemię sznurkiem wzdłuż równika. Następnie wydłużamy ten sznurek o 1 m i rozkładamy go równomiernie wokół równika. Jaka jest odległość między sznurkiem a powierzchnią Ziemi? Spróbuj odgadnąć odpowiedź, a następnie sprawdź jej poprawność za pomocą rachunków.

Rozwiązanie:

Przedstawiamy rozwiązanie dla dowolnej kuli (o promieniu r cm).

Długość sznurka można przedstawić jako:

obwód kuli powiększony o 1 m (czyli 100 cm):

2πr + 100 [cm]

obwód koła o promieniu r + x [cm]

Zatem:

2πr + 100 = 2π(r + x) x = ¹⁰⁰ ≈ 15,9 [cm]

10 km

6371 km y

S x

2π

5 cm x

r x

rzona między ich podstawami wzdłuż linii prostej jest równa 20 km. Czy ich szczyty też oddalone są o 20 km? Jeśli nie, to jaka jest ta odległość? Spróbuj odgadnąć odpowiedź, a następnie sprawdź jej poprawność za pomocą rachunków.

Uwaga: Najwyższy wieżowiec w Gdyni (Sea Towers) ma ponad 125 m wysokości, a w Gdańsku (Neptun) – 85 m (obie wysokości mierzone są od podstawy do dachu).

Rozwiązanie:

Zakładamy, że wieżowce stoją pionowo, czyli na przedłużeniu promieni kuli ziemskiej.

Trójkąty ASB i CSD są równoramienne, mają wspólny kąt przy wierzchołku S, a więc i pozostałe kąty tych trójkątów są równe.

Zatem na mocy cechy kąt-kąt są to trójkąty podobne. Stąd:

637120 = _{6371 + 0,1}^x

x = 20 ∙ 6371,1₆₃₇₁

x ≈ 20,0003 [km]

Podsumowanie:

Bardzo trudno jest nam uzmysłowić sobie wielkość naszej planety. Z jednej strony zdajemy sobie sprawę z jej ogromu, a z drugiej przeceniamy jej rozmiary i wydaje nam się, że są zbyt duże, byśmy byli w stanie odczuć ich wpływ na nasze codzienne doświadczenia. Tych kilka zadań, które rozwiązaliśmy, daje nam lepsze pojęcie o tym, jak rozumieć kształt i wymiary kuli ziemskiej. Warto zastanowić się nad innymi pokrewnymi zagadnieniami: z jaką prędkością przemieszcza się punkt na równiku w czasie obrotu Ziemi albo o ile większa jest odległość naszych oczu od horyzontu, gdy obserwujemy go z klifu w Gdyni-Orłowie (wysokość 60 m) od odległości, gdy patrzymy z plaży?

20 km

6371 km

S x

Gdańsk Gdynia

100 m

100 m A

C D

B

Z intuicją po kuli ziemskiej

Lekcje

z wykopem

Karta pracy dla ucznia

Krok 1: Wzdłuż boiska piłkarskiego o długości 100 m rozciągnięto między słupkami przeciwległych bramek linę (równoległą do dłuższej krawędzi boiska) i naprężono ją. Następnie wydłużono ją o 1 metr i jeden z piłkarzy, stojąc na linii środkowej boiska uniósł środek liny do góry. Na jaką wysokość można podnieść środek liny?

Spróbuj odgadnąć odpowiedź, a następnie sprawdź jej poprawność za pomocą rachunków.

Krok 2: Między dwoma słupkami odległymi od siebie o 20 km (jeden jest w Gdyni, a drugi w Gdańsku) zdołano rozpiąć linę tak, że biegnie ona wzdłuż linii prostej. Następnie wydłużono ją o 1 metr i podniesiono środek liny do góry. Na jaką wysokość można go podnieść? Spróbuj odgadnąć odpowiedź, a następnie sprawdź jej poprawność za pomocą rachunków.

Krok 3: Przyjmijmy, że lina opisana w poprzednim zadaniu biegnie przez tunel wydrążony wzdłuż linii prostej z Gdyni do Gdańska. Jaka jest największa głębokość pod powierzchnią Ziemi tego tunelu (czyli długość odcin- ka oznaczonego linią przerywaną na rysunku)? Spróbuj odgadnąć odpowiedź, a następnie sprawdź jej poprawność za pomocą rachunków.

20 km

Gdańsk Gdynia

Krok 4: Obwód pomarańczy o średnicy 10 cm zmierzono sznurkiem. Następnie wydłużono ten sznurek o 1 m i rozłożono go równomiernie wokół „równika” pomarańczy. Jaka jest odległość między sznurkiem a powie- rzchnią pomarańczy? Spróbuj odgadnąć odpowiedź, a następnie sprawdź jej poprawność za pomocą rachunków.

Krok 5: Przyjmijmy, że Ziemia jest kulą o promieniu 6371 km. Wyobraźmy sobie, że ściśle opasujemy Ziemię sznurkiem wzdłuż równika. Następnie wydłużamy ten sznurek o 1 m i rozkładamy go równomiernie wokół równika. Jaka jest odległość między sznurkiem a powierzchnią Ziemi? Spróbuj odgadnąć odpowiedź, a następnie sprawdź jej poprawność za pomocą rachunków.

Krok 6: Załóżmy, że w Gdyni i Gdańsku stoją dwa wieżowce o wysokości 100 m, a ich odległość mie- rzona między ich podstawami wzdłuż linii prostej jest równa 20 km. Czy ich szczyty też oddalone są o 20 km? Jeśli nie, to jaka jest ta odległość? Spróbuj odgadnąć odpowiedź, a następnie sprawdź jej poprawność za pomocą rachunków.

Uwaga: Najwyższy wieżowiec w Gdyni (Sea Towers) ma ponad 125 m wysokości, a w Gdańsku (Neptun) – 85 m (obie wysokości mierzone są od podstawy do dachu).

Podsumowanie:

Bardzo trudno jest nam uzmysłowić sobie wielkość naszej planety. Z jednej strony zdajemy sobie sprawę z jej ogromu, a z drugiej przeceniamy jej rozmiary i wydaje nam się, że są zbyt duże, byśmy byli w stanie odczuć ich wpływ na nasze codzienne doświadczenia. Tych kilka zadań, które rozwiązaliśmy, daje nam lepsze pojęcie o tym, jak rozumieć kształt i wymiary kuli ziemskiej. Warto zastanowić się nad innymi pokrewnymi zagadnieniami: z jaką prędkością przemieszcza się punkt na równiku w czasie obrotu Ziemi albo o ile większa jest odległość naszych oczu od horyzontu, gdy obserwujemy go z klifu w Gdyni-Orłowie (wysokość 60 m) od odległości, gdy patrzymy z plaży?

Z intuicją po kuli ziemskiej

Lekcje

z wykopem

Scenariusz lekcji dla nauczyciela

Geometria architektury