LISTA 29 Zadanie 1.
Dany jest ciąg geometryczny, w którym 𝑎1= 6, 𝑎3= 24. Wyznacz wzór na 𝑛-ty wyraz ciągu (𝑎𝑛). Ponadto oblicz 𝑥 jeśli wiadomo, że liczby 𝑎2+ 1, 𝑎3
4 , 3𝑥 + 2 tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.
Zadanie 2.
W trójkącie 𝐴𝐵𝐶 są dane 𝐴𝐶 = 10, 𝐵𝐶 = 10√2. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi 𝑅 = 10. Oblicz miarę kąta 𝐴𝐶𝐵.
Zadanie 3.
Dana jest funkcja 𝑓(𝑥) =𝑥3+2𝑥2−𝑥−2
𝑥2+𝑥−2 . Przedstaw wzór funkcji 𝑓 w najprostszej postaci, narysuj wykres funkcji 𝑓 oraz narysuj wykres funkcji 𝑔(𝑥) = |𝑓(𝑥)| i podaj jej zbiór wartości.
Zadanie 4.
Funkcja kwadratowa 𝑓(𝑥) = 2𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 jest malejąca w przedziale (−∞, 4) i rosnąca w przedziale (4, +∞), a iloczyn jej miejsc zerowych wynosi 12. Wyznacz współczynniki 𝑏 i 𝑐 oraz nie obliczając miejsc zerowych 𝑥1 i 𝑥2, oblicz wartość wyrażenia 𝑥12+ 𝑥22.
Zadanie 5.
Wykaż, że jeżeli długości kolejnych boków czworokąta opisanego na okręgu tworzą ciąg arytmetyczny, to ten czworokąt jest rombem.
Zadanie 6.
Wyznacz wartość parametru 𝑎, dla którego równanie 𝑎𝑥 + 49 = 𝑎2− 7𝑥 ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Zadanie 7.
Dany jest trapez o podstawach 𝑎, 𝑏 gdzie 𝑎 > 𝑏. Wyznacz długości odcinka łączącego środki przekątnych tego trapezu.
Zadanie 8.
Napisz równanie okręgu o środku S= (10, −3) stycznego do prostej o równaniu 𝑦 = −34𝑥 + 2.
Zadanie 9.
Rozwiąż równanie 𝑡𝑔𝑥(𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥) = 0 w przedziale 〈𝜋, 2𝜋〉.
Zadanie 10.
Ze zbioru 𝑍 = {1, 2, 3, … , 2𝑛 + 1}, gdzie 𝑛 ∈ 𝑁 wylosowano równocześnie dwie liczby.
Wyznacz 𝑛, tak aby prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest liczbą nieparzystą było większe od 137.
