Toepassing van digitale banddoorlaatfilters bij de integratie van versnellingssignalen

D CJMN

DATUM. Jiotheek va nicche Hoqechoo

Eî j

_É.y7' /1 F r \ -

'

_?

j

Lab.

y; Scheebíkund,

Technische Hogeschooli

Deift

DE

3.

nLeenvatt iiig:

Me

heìwlo van digitale

banddcoriu3T;tfiiteTS is bet rÌ1oeiI3}: osi

de invioed van storingsfreqU.flties tijdens de integratie van

versr1eiiigsr1Str5t1C5

te ondordrukken.

Na introduetie van ceri

methode voor bet bepalen vn

digitale

l:ocrÏaitfiitCi'S rorcit ht cntwerp vmn eeri

handdearlaüU'iltCr

toege lieht.

Ver'olgeflS uorcit cen voorbeeld gegeves

van de tepacoirg van

Ì:aori'atfi.i tels ei j

c9

on-line integratìe vin eau

vc:rsn.L-lings1.csk.rat.

;-i-t

-

rò:uid i

tieeucì neri CCC rr:ject voor

sull TC

:-eisg

a'.:n rsrt-1 alcg t

nnl.cn i.b v. eu

rìee cc:pute'.

/

TOEPASSNG VAN DIGITAL

BADnoo:u.AAT1ILTEiS E13

11TECPJ'TIE VAN

\/ESNErLINGSSIGL

\ cdcr

/

7i-Syopsis: Use of bandpass

fii.tcr during integration of

(7f

acce]er

on reiS1:.rat0flS.

2r means of digital bandpass fiJ 1ers it is possible to SUpPCß5

tie influence of'

di.sturbinS frequencieS during

integraLion of

acceleratlon registret ions.

After introaucirig

a

p1eth(.

for tue de.relopmetit of

'digital

opass filters the

digfl of e bandÌDaS filter

is exilained.

Nex;

n ëxp1e is

given cf the application of bandpass filters

ôrinp; on lire

ntegrat1on cf an acceleretiorl

reCisraticn.

The example chosen

is derived from a project Cor

sirxJ

aneu'.

o

J.iïie processing of a nuiber of analog tape signais by moans

of a hybrid computer.

12 DEC. 1972

1. Inleiding

Bij de verwerkirig van meetregistraties,

die in analoge of

digitale vorm opgeslagen kunnen zijn, worcit men dikwijls

geconfronteerd met de noodzaak tot

integratie van een

versriellingsregistratie, teneinde het gedrag van dc

be-weging te kunnen achterhalen.

Het rechtstreeks integreren van een versneliingssignaaì

levert in hot algemeen een resuitaat op dat

bestaat uit dc

superpoit1e van de gewenste integraalfunctie en een

sto-ringsfurictie.

Soins is de storingsfunctie lineair toe-

of afnernend met de

ti.jd en kan dan achteraf gecompenseerd worden.

In de inceste gevallen echter zal de

storinsfunctic uit

eon aantal frequeritiecomponenten bestaan

e1ke niet of

nauwelijks uit het integratieresultaat gelirnineerd kunnen

wort3cn. Veelal worden de stoorsignalen tij dens de opnamen

veroorzaakt door offsets en laagfrequente

driftverschijn-seien die gedurende de uitvocring van eon

experiment niet

voldocrde onderdrukt kunnen worden.

Met behulp van bauddoorlautfilters is bet mogelijk orn

ongewenste frequentiecomponenten in het

versnciiingssignaai

en tijdens de integratie

aanzieniijk te onderdrukken,. zodat

bet

integratieresultaat minder

gevoelig is voor

driftver-schijnselen.

0m ecn vrijwei ideale filterwerking (zeer grote

fianksteil-held en frequentie-onafhankelijk íascverloop) te verkrijgen

worden digi Uale banddooriaatfiiters toegepast.

hot oritverp van de filters is gebaseerd op

on-line verwerking

van versneflingsregistraties, zodat de causaliteitsvooraarde

aan de filters gesteld wordt.

D5t houdt in dat dc puisresponsie

2. itaai filteren

Digitaal filteren berust op het berekenen van de convolutie-integraal die de relatie tussen de ingang en de uitgang van een lincair overdrchtssysteem i.e. filter beschrijft.

x 't' r

' _FILTER

« 't

¡h(t)

fig.

i

F-lter ¡net pulsrespor3ie h(t)

Discretisatie van de convoluticintegraal

t

_j4

-leide voor een causaal filter (i(t) O voor t<o) tot de benadoring

N

y.

= Lt h. x. ₍₂₎

jQ

h.

i filtergewicht (waarde vari de pulsieresponsie op

tijdstip iLt)

Y _{uitgangsignaai op bemonstertijdstip jAt} ingangssignaai op bernonstertijdstip (j-i)At

De cofficinten h. in (2) worden uit de puisresponsie _van het filter bp de tijdstippen iLt bepaald.

De functie h(t) voigt ait inverse fouriertransformatie _{van de} complexe overdrachtsfunctie H(c) van het filter.

Alvorns in te gaan op bet ontwerp van een banddoorlaatfilter wordt vooraf enige aandacht besteed aan bet laagdooriaatfil-ter daar bet banddoorlaatfillaagdooriaatfil-ter uit het verschil van twee laagdooriaatfilters wordt swrengesteld.

3. Laajdoorlaatfiiter

Dc complexe overdrachtsfunctie van een filter is in het alge-meen te schriven als

H()

waarin !t(az) bet aznpiitud.cspectrum _{en 4)(w) et faseverloop ais}

t

fwictie vn de radiaalfrequentic _{w voorstelt. Voor ccii} 1aug-doorlaatfilter, gespecificcerd ais

!,.C ) = i _{J w J} 4) ( = wt0 z- Ç; eiders

p

-t

/

fig.

2 Amp li tudes poet rum3 fasver loop en pu is responsie

van eon idoaallaagdoorlaatfilter

W

De functie h(t) bereikt de maximale aarde veer

t = to.

u1doorgangen liggen op afstanden t.o.v.t0.

De volgens (3) berekende puisresponsie kan caiisaal gernaakt

worden door vermenigvuldiging met de functie

p(t)

=0

voigt voor de puisresponsie

W - sin (t-t0) h(t)

= - f

J[(w)e3Wtdu = -

f

ces

w(t--t0)th

(3)

i'fJ:L.)Za

L) i

J

1/I

0t2t0

elders -5-Tt

Jiierdoor ontstaat de tidsfunctie h(t) vaarvoor geldt

h (t) = p(t) h(t)

C

In figuur 3 is aangegeven op welke wijze h(t) overgaat in de causale functie h(t) en wat. de gevolgen zijn veer het

hLt) I ¿ --6 I HLwj ¡ PLtJ

î

-

fig. 3

Causaal maken van h(t) met biokfunctie,

gevolgen voor i2et anrplitudespectrwn

De slingeringen die t.g.v. het causaal maken in het amplitude--spectrum ontstaan vorden verklaard uit de convolutie in het

frequentiedomein van de fouriergetransformeerden P(w) en 11(w) van p(t) en 11(t).

Uit () voigt op grand van de convolutiestelling voor

fourier-transformati es

H ()

-() * 11(LI)

C

waarin P(w) voigt uit

P(w)

[P(t)e3wtdt

2 sinwt0

-io

-c5

De integraalvorm van (5) is

= _J

P() .

Gra1'isc'? interprt.atie an deze integraaiuitth'ukkin leidt

tot hat -csu1taat van

IH()i

in figuuï 3. Ixianers relatie

(C)

houdt een

opparvia;tebìpaiing in

van hat product van twee

functie w3arbij de ene functic teeds oi ;ijn pluats blijft uiggr en de an:j....- over en nfst

_and

w inr'gs de hard ontale

w

w

f

as wordt verschoven. De uitkomst van de opperviaktebepaling

is de aarde van de convolutieintcgraal

(6)

voor die spe-ciale verschuiving w.

De puisresponsie (3) kan eveneens causaal gemaakt vorden door

vermenigvuldiging van h(t) met de driehoeksfunctie

q(t) = 1-

it_tol

_Ot2L0

to

= o elders

Deze minder abrupt afsnijdende functie leidt tot een ampli-tûdespectrum met een nagenoeg viak verloopt. De reden hiervan is dat de nevenextrema in de fouriergetransformeerde Q(w) van q(t) in veel mindere mate vertegenwoordigd zijn dan in de getransforxneerde P(w) van p(t).

4

Banddoorlaatfilter

Ilet amplitudespectrurn van een banddoorlaatfilter wordt gevormd

uit

het verschil van de amplitudespectra van twee

laagdoor-laatfilters met verschillende afsnij frequenties.

IT (w) = H2(w) - 1ii(w) bd

Voor de puisresponsie van een iaagdoorlaatfilter net. aftnijfrequentie is afgeleìd 5mw (t-t0) 14_\ ._ C

-U)., -U) t,.. -.-I ¿

-

U)

l'lU.

Bndthxriczatfi1tr

it veschii

VW2

tcc iczaadoorizatfi 7tru

-8--Op gi-ond van de

_{lineariteitseigenschap}

_voor

fouriertrans-forrnaties voigt uit (7)

hbd(t)

h2(t)

h1(t)

Uitgaande van het zelfde faseverloop in 'beide

laagdoorl-aat.-filters voigt

-

(t-t0)

{sin 2(t-t0)

- sin

w(t-to)}

hetgeen na invoering

van

w2-w1

2

en

br

₂

is te herleiden tot

h'bd(t)

_{= ii(t-t0)}

_{oJb (t-t0). cosw(tt0)}

₍₈₎

In (8) is

_{de centrale radiaaifrequentie}

van het

banddoor-laatfiiter en

de halve breedte

_{van de doòriaatband}

_t.o.v.

(.

Op (8) kunnen

_{dezeifde afsnijdingsmethoden toegepast 'ïorden}

als bLj de puisresponsie

_{van bet laagdoorlaatfiiter.}

De

ij-zigingen in het

_{amplitudespectrum zijn}

_{dan oak navenant.}

Ilet bezwaar

_{vari de hiok- en driehockafsrkijding}

bij dc

puis-responsie van het

_{banddooriaatfilter (8) i}

_{s dat de sperband}

f

L.

vanaf 0 Hz aitijd nag enige dooriaat

_{vertoont, waarvan hot}

karakter in hoge mate

_{samenhongt niet hot}

_aantal

fi1tergewich-ten en de benohsterfrequentie.

Dit in onvoldoende mate

ander-dru.1:ken van ongowonste

frequentiecomponcriten kan

_{de interatie}

-9-Een evredigende oplossing is gevonden in de afsniding van

de puisresponsie (8) met de cosinusvormige functie

c(t) = {i + cos

to

In de volgende paragraaf wordt het amplitud espectrum van een banddoorlaatfilter gegeven waarbij de puJ.sresponsie volgens de drie genoemde methoden is afgesneden.

5.

Voorbeelden

5.1 L2agdoorlaatfiitcr

Figuur 5 geeft het _{amplitudespectrur}

voor blok- en driehoek-afsnìciing van de puisresponsie van een ideaal laagdoorlaat-filter. De filtergewichten

zijn volgens (3) _{berekend. Uit doze} filtergewichtèn is rn.b.v.

discrete fouriertransformatie weer

het anaplitudespectrurn òepaa.ld.

-10--

-driehockafsnijdin

fig. 5

_{Arplituc1/spectrum lacwdoorlaat filter}

voor blok- en

drL chO2:afsn

a z.ng f _{5 Hz,At 0,01 sec, 125} f5tergewichten hor: as frequeniestap 0,2 Hz vanzif 0 Hz verc:

_{as overdrachtsverhoudin}

in _-ccenteu

f

\/VV\

i

hiok-.afsiji

5.2 Banddoorlaat filter

Figuur 6 geeft het wnplitudespectrum voor blok-, driehoek- en

cosinusaftni5ding van dc puisresponsie van een ideaai band-doorlaatfilter. De fi1tergerichten zijn volgens (8) bepaald

.iIiï..

:4.

V

. 6

Anlitidespcctrwn

banddoorlaat-fiitr voor b1ok- drchok

en cosinzsc-fsni.jding

= 10 Hz, 1'br Hz, 0,01 sec, _{7h filtergewichten} as frequentictap 05Hz vanaf 0 Hz -t.: as overdrachtverhouding in procenten

-11-iïi[

\

driehoek-Ips')ag

-1.

I

-T..

Icosinus-

i---.af.sni.jding

I

-'

rsnell i ngs

gnaal

5.3 Bancldoorlaatuilters in

eco integratieoroed

Figuur

7

geeft het blokschema

van de dubbele integratie

_{van cen}

clomp-versneLlingsrestratie *), waarin

_{de extra integratiestappen}

_met

uitgangen

7

en

8

ter illustratie zijn

_opgenomen

_{Het betrof hier de}

simultane on-JJne verwerl:ing

_{van een 6-kanaals registratie}

_{op analoge}

tapé vn de gedragingen

_{van cen containerschip tijdens proefncrningen}

in

oDen

_{ee. De metingen werden door het}

Laboratorium voor Scheepshouwkunde

van de Technische ilogeschool te

_{Deift verricht en de analoge}

dataver-verkinß werd

_{p de hybriede rekeninstallatie}

_{vari het Hekencentruni}

T.H. Dlft uitgevcerd.

C

inte-g r a t le

r'

L

inte-gratie -ç 03

I

-12--

inte-gratie O 8 inte-grati e 05 bancifi iter ¡

__06

fii. 7

Bloksc1-ema dubbele

integratie van

een

_{versnellingsregistratie}

Figuur 8 geeft de tussenrescütaten

_{van het integratieprocd, waarbij}

de nummers

_{i tIm}

8

verwijzeri naar de

betreffende "blokken" in liguur

7.

Kanaal

7

geeft in figuur

8

het resultaat na

_{rechtstreekse integratie}

van het versneilingssignaal. Ilet clriften in het i.ntegratieresultaat

wordt aanzienlijk onderdru.kt

_{door opnarne van}

_{eon banddoorlaatfilter.}

Bi

_{kanaal 3 is dit duidelijk te zien.}

Eveazo geeft kanaal 8 hot resultaat na tweemaai integreren zonder

tussen-komst van een banddoorlaatfilter.

_{Ook hier is hot "wegiopen"}

van de

tveede integratie aanwezig, in

_{tegenstelling tot het}

_{resultaat met ceo}

handdoorlaatfilter tussen beide

_{integraties hi5 kanaal}

_5.

Daar bÎj deze dataververking

_{dc tape}

_4X

_{versneld werd afgespeeld,}

werden

de specificaties

van de handdoorlaatfilters

_{en de bemonsterfrcquentie}

overeenkocistig gewijzigd. In figuur

9

is hot amplitudespectrum

_{van de}

bandoorlaabfilters gegeven met

_bi5bchorende

_{getaiwaarden in sci}

entific

flotation

-jrtflt-'f.'J

T

Í1

rjLi

1jtiç1

frI

fJ'I 9 I1

» 'N Ej

I

f1

Li)

L

;Q1

'li

4

--

: -t-.---.'_'_\____,._{-- ---,---.---}

_{-' - -.}

-A

yr'

rtJ

b

TI

¡ S

.1

/

-1i-herz rad/seC

fig. 9 Banddoorlaatfilter bij

het

blo7chema

in

fig. 7

71 filtergewichten, tot = O,1 sec,

= 5

rad/sec,

3,8

rad/sec,cosinusafsnijding.

loor: as frequentiestap 25 mHz vanaf 0 Hz.

vert: as 6verdrachtsverhouding in procenten

7.

Discussie

0.022201 o.o.'o1 Dj

0.2t' ..t-2I u.IU'P7I 3) D.232O-D

30.i1)2

3.H3-:3

u. 2.2:..-V) ..7l. . 1.1O?3I. )J D.4V)ii.-.1 3D ..

..' -:3

3 3.27?l11 2) D.1-?Oit UD Dl

O.;.t Il

31 o.co,o: D3 33 :3 D.'JOO-' 23 0.3.91'J 33

21' 01

309'Ji. CD C0 C.20.3..t DI

C.7i

20 0.?'-1321 Dl D.320 :0 :.4D43E OD 31 D.5j.0 'D C.' DOD CO 0.222341 Dl O.',4!14( 6' 0.43.0:0 30 O.20'.01 DC D.ç&-l-t o 23 'J.336lO Dl O.O7,i 2) C.524J3E C) O. Ç$LC 33 0.'3'3Clbt OD 0.5'-5O1 00 O.'403P. 31

D.i-' O)

0.014930 ') 2; 0.040113 20 0.009090 00 C.37'.DOC 31 3.94r.1'.0 3,0

C.0''i4E DCI 0.301323 DC 3.-92flI'.0 2)

30 C.33243 ) 39ool3i 3D 00 C.'.?41' 31 9301 CD .000003 30 0.4:.,2( 31 3.99014 30 0O?4'ì9L 37 3>0'' 01 D.99r.12i 3) 0.303E 00 1g_971230 23 O.4,0113 u:' 0.730903 31, 31 3.93112 2) 002 OD 3.0:2022 Dl D.9oi: 0.32430 73 0.0312CC Dl 0.OoUO?C 2 O. 0430'E UD 0.034003 01 3.990211 3) 0.034903 7) 0.503717 Dl 3.0,3i30 03 0.1900-90 0) 0.500400 DI 0.01310 33 0.024490 3-D 3.D3I13 31 D.90'77L 2) 0.0.9091 00 0.0.9)0 DI 0.909433 20 0.4744)1 23 0.1.11410 31 0.,C3L UD 0.45-3030 73 0.17313 Dl 3.9402 3D 0.130490 01 0.4.44)34 31 ).1L»0t DI 0.104)41Cl 0.0037201 0.cV)9 )) 0.727493 33 0.07V..' Dl 3.0150):; 3) 3720 Dl 0.4.011.! DI 3.4031.23 V) O.1I2-.43 01 0.024.301 Dl 0.17 23 0.134901 21 ('.3127' 21 D.!3l'.U3-1 0.117-30 21 O.0327t 01 3).jl'41 UI 0.30592301 0.190420-32 0.1274)1 03 0.3004.33 DI 3.50010E-03 39 overdr

verh

Î

¿I ¿I

De invJ.oed van ongewenste frequentiocomponcnten in een ver-snelïingsregistratie kan vari een zodanige aard zijn dat het

gewenste integrateresu1taat grotendeels door (dc- geintc'rcerde - '-.

van) de stoorsignalen word versluierd. Toepassing van

anddoOriaat-filters leidt daarcntegen tot een

aanzienlijke

onderdrukking

van deze invloed.

0.3)23:1 .0 23

2.l3

(3Ç). OD O.'.?( o.IIc?',:/O O.t'3ot fl.3-i »1

010-r

0.01 .0

U.) 1371 .33 O.1Yj) (.?i'.9,t- OD 0.3)O'70 00 00 .10U'.9 UD 0.23.233

Ret is niet uitgesloten dat de filtergewichten zodanig gccorrigcerd kunnen worden dat het ainplitudespectrum van bet ideale filter nog beter wordt benaderd..

Echter, voor de verwerking van registratics op analoge tape zal dit niet noddzakelijk zin, gezien de nauwkeurigbeid waarmee de registraties op tape worden vastgelegd.

Bi zuiver digitale verwerking, waarhij de benionsteringen van

een versnellingsregistratie in zijn geheel of in blokken wort ingelezen, kan men de causaliteitsvoorwaarde van een filter achterwege laten en een filter toepassen dat geen

faseyer-schuiving heeft. In dit geval heeft men a.h.w. wel informatie

over de tijcisfunctie voor t<O, in tegenstelling tot on-line filteren.

Lit er atuur

A. Papoulis

-The fourier integral and its applications McGraw-Hill (1962)