Newtonowskie politropy z osobliwościami?

(1)

Newtonowskie politropy z osobliwościami?

Andrzej Odrzywołek

Zakład Teorii Względności i Astrofizyki, Instytut Fizyki UJ

27 marca 2013

http://ribes.if.uj.edu.pl, http://th-www.if.uj.edu.pl/ztwa/

A. Odrzywołek Newtonowskie politropy z osobliwościami?

(2)

Podstawowe równania

Ruch grawitującego płynu opisuje równanie Eulera i Poissona:

∂v

∂t + v∇ · v = −1

ρgrad p + grad Φ_g.

∆Φ_g = 4πG ρ,

w przypadku stacjonarnym (np: rotująca gwiazda, elipsoida Dedekinda) zależności od czasu nie ma lub może być trywialnie wyeliminowana poprzez przejście do układu korotującego (np: elipsoida Jacobiego)

przypadku statycznym także v ≡ 0

liczne interesujące przykłady ściśle rozwiązywalne !

(3)

Sferyczna symetria

Obiekty samograwitujące w równowadze hydrostatycznej muszą być sferycznie symetryczne, o czym jako pierwszy pisał Kopernik.

Mikołaj Kopernik „De Revolutionibus”, Księga I, Rozdział IX:

”Ja w każdym razie mniemam, że ciężkość nie jest niczym innym, jak tylko naturalną dążnością, którą bo- ska opatrzność Stwórcy wszechświata nadała częściom po to, żeby łączyły się w jedność i całość, skupiając ra- zem w kształt kuli. A jest rzeczą god- ną wiary, że taka dążność istnieje rów- nież w Słońcu, Księżycu i innych świe- cących planetach, po to, by na skutek jej działania trwały w tej krągłości...”

(4)

Hydrostatyka w sferycznej symetrii

dp(ρ)

dr = −ρd Φ_g dr

∆Φg = 4πG ρ

potencjał grawitacyjny Φg zawiera zarówno pole pochodzące od masy zawartej w gwieździe (ρ), jak i dowolne źródła zewnętrzne

w przypadku sferycznej symetrii jedynym sensownym źródłem jest masa punktowa w centrum

w innych przypadkach przypadkach, źródła zewnętrzne nie dają żadnych sił, lub sprowadzają się do masy punktowej w centrum

źródeł w postaci nieskończenie cienkiej powłoki sferycznej o zadanej masie nie rozważam

(5)

Prostsza postać równań

Entalpia

h(ρ) = Z dp

ρ(p)

Równania zapisane za pomocą entalpii

h(ρ) + Φ_g = const ( „r. Bernouliego” )

∆Φg = 4πG ρ

w zależności od wyboru dostajemy równanie różniczkowe (ewentualnie całkowe) na ρ(r ), h(r ) lub Φ_g(r )

w każdym wypadku pozostałe wielkości wyrażają się algebraicznie przez rozwiązanie jednego równania różniczkowego zwyczajnego (na ogół nieliniowego)

(6)

Równanie Lane-Emdena

Potęgowe równanie stanu

p(ρ) = K ρ^γ, γ = 1 +1 n

h(ρ) = K γ γ − 1ρ^1/n

Równanie Lane-Emdena

Działając obustronnie operatorem Laplace’a na „równanie Bernouliego” dostajemy:

∆w + wⁿ= 0, h(r ) = hcw (Ar )

Z dokładnością do skalowania, entalpia (a więc także p, ρ i Φ_g) gwiazdy w równowadze wyraża się przez rozwiązania r. Lane- Emdena.

(7)

Równanie Lane-Emdena: rozwiązania symboliczne

Równanie Lane-Emdena d²w

dz² +2 z

dw

dz + wⁿ= 0 Znane rozwiązania symboliczne:

n = 0, r. liniowe n = 1, r. liniowe

n = 5, redukowalne do całek eliptycznych (P. Mach, J. Math.

Phys. 53, 062503, 2012)

(8)

Równanie Lane-Emdena: n=0

d²w dz² +2

z dw

dz + 1 = 0 Rozwiązanie ogólne:

w₀(z) = C₀−z² 6 −C₁

z

1 2 3 4

-1.5 -1.0 -0.5 0.5

1.0 C0=1, C1=0

(9)

Równanie Lane-Emdena: n=0

d²w dz² +2

z dw

w₀(z) = C₀−z² 6 −C₁

z

1 2 3 4

-3 -2 -1

C0=1, C1=0.2

(10)

Równanie Lane-Emdena: n=0

d²w dz² +2

z dw

w₀(z) = C₀−z² 6 −C₁

z

1 2 3 4

-1 1 2 3

4 C0=1, C1=-0.2

(11)

Równanie Lane-Emdena: n=1

d²w dz² +2

z dw

dz + w = 0 Rozwiązanie ogólne:

w1(z) = C0

sin z z + C1

cos z z

2 4 6 8 10 12

-2 -1 1

2 C0=1, C1=0

(12)

Równanie Lane-Emdena: n=1

d²w dz² +2

z dw

w1(z) = C0

sin z z + C1

cos z z

2 4 6 8 10 12

-2 -1 1

2 C0=1, C1=0.2

(13)

Równanie Lane-Emdena: n=1

d²w dz² +2

z dw

w1(z) = C0

sin z z + C1

cos z z

2 4 6 8 10 12

-2 -1 1

2 C0=1, C1=-0.2

(14)

Równanie Lane-Emdena: n=1

Rozwiązanie „klasyczne”

Przyjmując warunki początkowe h(0) = h_c, h⁰(0) = 0 dostajemy rozwiązanie regularne z zerze:

ρ(r ) = ρc

sin

q

2πG K r

q2πG K r

h(r ) = hc

sin

q

2πG K r

q2πG K r Z r. Bernouliego otrzymujemy potencjał i natężenie pola grawitacyjnego:

Φ_g = −h(r ), g = −d Φ_g dr = dh

dr.

(15)

„Gwiazdy” wynikające z rozwiązań

Obcięcie rozwiązania

(16)

„Gwiazdy” wynikające z rozwiązań

(17)

„Gwiazdy” wynikające z rozwiązań

(18)

„Gwiazdy” wynikające z rozwiązań

(19)

„Gwiazdy” wynikające z rozwiązań

(20)

„Gwiazdy” wynikające z rozwiązań

(21)

Rozwiązanie w postaci „skorupy”

Cechy rozwiązania

masa rozwiązania klasycznego m₀= h_cq

πK 2G³

masa „skorupy” m23= 5m0

masa widziana na zewnątrz skorupy

m3= gr₃²/G = dh

drr²/G |r =r₃ = 3m0

masa wewnątrz m = −2m0

Podsumowanie: rozwiązanie skonstruowane z obciętej dla

r /r0= 2π i r /r0= 3π funkcji Lane-Emdena z n=1 opisuje ujemną masę punktową w centrum z otaczającą ją „skorupą” zawierającą zwykłą (ρ > 0) materię.

(22)

Rozwiązania w postaci „skorupy”: komentarz

1 posługując się rozwiązaniem ogólnym dla n = 1 lub całkując z warunkiem początkowym h(r₁) = h₁, h⁰(r₁) = 0 otrzymujemy całą rodzinę „skorup” o różnych masach, promieniach i grubościach

2 podobnie zachowują się rozwiązania dla innych n

3 nigdy wewnętrzny promień „skorupy” nie będzie równy zero

4 powyższa cecha jest w sprzeczności z zapostulowanymi w poprzednich dwóch referatach rozwiązaniami równania TOV, które zaczynają się w zerze

Wyjaśnienie sprzeczności?

pokazane rozwiązania równania TOV są czysto numeryczne:

mogą być artefaktem

granica newtonowska z pewnego powodu nie istnieje w tym przypadku

jest błąd w wyprowadzeniu równania TOV z osobliwością

(23)

Rozwiązania w postaci „skorupy”: komentarz

(24)

Rozwiązania w postaci „skorupy”: komentarz

(25)