Wiadomo, że kula jednostkowa w tej normie jest dwunastokątem foremnym, który ma środek w (0,0), a jednym z wierzchołków jest punkt (0, 1)

Ćwiczenia nr 2, AM, 11.10/2016 Proszę o dokładne uzasadnianie stwierdzeń.

Zadanie 1. Udowodnić nierówność

n

X

i=1

xiyi¬ 1

2kxk¹kyk^∞+1

2kyk¹kxk^∞.

Zadanie 2. W R² dana jest norma k · k. Wiadomo, że kula jednostkowa w tej normie jest dwunastokątem foremnym, który ma środek w (0,0), a jednym z wierzchołków jest punkt (0, 1).

(a) Oblicz k(5, 0)k, k(1,√

3)k, k(3,√ 3)k.

(b) Udowodnić, że norma k · k nie pochodzi od żadnego iloczynu skalarnego.

Zadanie 3. Obliczyć granice

(a) lim(x,y)→(0,0)xln(x²+ y⁴), (b) lim(x,y)→(0,0) x²−y²

|x|+|y|.

Zadanie 4. Udowodnić, że kula jednostkowa w dowolnej normie jest zbiorem wypukłym. Narysować kulę B(0, 1) w normie k(x, y)k = |x| + max{|x|, |y|} + |y|.

Zadanie 5. W R²dany jest pewien iloczyn skalarny h·i. Wiadomo, że

sup

x∈R²

kxk²

kxk = 3, inf

x∈R²

kxk²

kxk = 1, k(1, 2)k =

√5

3 , k(−2, 1)k =√ 5,

gdzie kxk = phx, xi. Obliczyć k(−1, 3)k i wyznaczyć wzór na k(x, y)k.

1