Fysisch technologisch bij-de-handboek

FYSISCH TECHNOLOGISCH

BIJ-OE-HANDBOEK

L.P.S.M.

Janssen

BIJ-OE-HANDBOEK dr.ir. L.P.B.M.Janssen ir. M.M.C.G.Warmoeskerken n -,0 .... ~o 0 ' 0 N U l -.I~

1704

730

4

BIBLIOTHEEK TU Delft P 1704 7304

1111111111111

c

519762

VOORWOORD

De aanleiding tot het samenstellen van dit boek vormde het feit dat ver -schillende gegevens welke de fysisch technoloog vaak nodig heeft om 'snel' iets door te rekenen in de literatuur verspreid worden aangetroffen.·

Door de meest gebruikte tabellen,correlaties en grafieken te bundelen (en eventueel te herleiden tot S.I.-eenheden) is dit naslagwerk ontstaan, dat nuttig kan zijn, zowel bij het bestuderen als bij de beoefening van de Fysische Transportverschijnselen.

Het boek is niet alles-omvattend; vaak moesten wij een keuze maken. Bij onze literatuurstudie is bijvoorbeeld gebleken, dat alleen voor de stofover-dracht aan deeltjes, druppels en bellen al meer dan 100 correlaties bestaan.

In dergelijke gevallen hebben wij gekozen voor de meest algemene of de

meest gebruikte correlaties. Dit betekent dat dit boek geen substituut is voor-een literatuurstudie.

Dit tabellenboek bestaat uit vier onderdelen:

Het eerste deel geeft de algemene informatie die, zoals de ervaring ons heeft geleerd, vaak nodig of handig is; variërend van Grieks alfabet tot ijkkutven van thermokoppels en omslaggebieden van indicatoren.

Het tweede deel is een uittreksel uit de veel gebruikte wiskunde en omvat naast algemene wiskundige technieken ook de vector- en tensorrekening voor-zover deze relevant is voor de stromingsleer en elementaire reologie.

Deel drie vormt een compendium van de Fysische Technologie. Bij het samen-stellen hiervan hebben wij gepoogd door systematische indeling snel opzoeken mogelijk te maken.Tevens hebben wij de grafieken zodanig uitgevoerd, dat zijnauwkeurig kunnen worden afgelezen.

Tenslotte hebben wij in deel vier stofeigenschappen van verschillende materi-alen getabelleerd. Hierbij is speciale aandacht geschonken aan de twee meest gebruikte stoffen: water en lucht.

Wij hopen dat dit boek nuttig zal zijn, zowel voor de studenten in, als voor de beoefenaren van de fysische technologie; wij houden ons aanbevolen voor suggesties, opmerkingen en aanvullingen.

4

INHOUD

3 Voorwoord 4 Inhoud 7 Algemeen 8 Grieks alfabet 8 Voorvoegsels 9 Periodiek systeem 10 Mathematische constanten I I Fysische constanten 12 Conversiefactoren 14 Temperatuurschalen

15 Benaderingsformules voor fysische eigenschappen 15 water 15 waterdamp 15 vochtige lucht 16 droge lucht 17 thermokoppels 20 Omslaggebied indicatoren 21 Wiskunde

22 Volume en oppervlak van enkele lichamen 25 Integralen

33 Elementaire differentiaalvergelijkingen 35 Benaderingsformule voor Besselfuncties 38 Errorfunctie 39 Laplace transformaties 39 eigenschappen 41 veelgebruikte Laplacetransformaties 43 Tensoren 43 rekenkundige bewerkingen 44 invarianten van een tensor 44 andere vector en tensor operaties 45 Differentiëren in vector en tensornotatie 45 na bla opera tor

46 nabla operaties in een carthesiaans coördinatensysteem 46 veel voorkomende nabla identiteiten

47 scalaire afgeleiden naar de tijd 47 tensoriëIe afgeleiden naar de tijd 48 Lineaire regressie

49 Fysische Technologie 50 Concentratienotaties

51 Algemene balansvergelijkingen 51 continuïteitsvergelijking 51 massabalans voor component A 52 bewegingsvergelijking

53 energiebalans

54 continuiteits- en bewegingsvergelijking in tensornotatie 54 Bernoulli vergelijkingen

54 algemene Bernoullivergelijking

54 wrijvingsloze stroming van een incompressibel medium met if>A=0 54 isotherme stroming van een ideaal gas

54 adiabatische stroming van een ideaal gas 55 Balansvergelijkingen voor geïdealiseerde materialen

55 massabalans voor component A met constante dichtheid en constante diffusiecoëfficiënt

56 bewegingsvergelijking voor newtonse vloeistoffen met constante dichtheid 57 energiebalans voor newtonse vloeistoffen met constante dichtheid en

constant warmtegeleidingsvermogen

58 Veel voorkomende stromingsvelden in tensornotatie 59 Reologische modellen

59 ééndimensionaal 59 tensorieel

60 lineaire en logaritmische reogrammen ter herkenning van enkele vloeistoffen 61 Druk-debiet karakteristiek voor stroming van enkele veel gebruikte vloeistoffen

door een ronde buis 62 Verblijftijdspreiding 62 gemiddelde verblijftijd 62 variantie in de spreiding

62 relaties

62 ingangssignalen 63 responsie van systemen 64 Grootheden en hun dimensies

66 Alfabetische lijst van dimensieloze kentallen 71 Veel gebruikte dimensieloze correlaties

71 stroming

71 warmteoverdracht 72 stofoverdracht

73 Analogieën tussen warmteoverdracht en stofoverdracht 73 Chilton-Colburn analogie

73 analogie grootheden

75 Weerstandscoëfficiënt

Cw

bij stromingen om lichamen

75 tabel

76 grafieken

77 Frictiecoëfficiënten bij stromingen door lichamen

77 tabel

79 grafieken voor buisstroming 81 Hydraulische diameters

82 Vochtigheidsdiagrammen voor water-lucht bij atmosferische druk 84 Fourier grafieken

85 temperatuur in het centrum 86 gemiddelde temperatuur

87 Vormen van bellen en druppels, vrij opstijgend in Newtonse vloeistoffen 88 Stijgsnelheid van luchtbellen in water

89 Stijg- of valsnelheid van druppels in laag viskeuze vloeistoffen 90 Gas-vloeistof stromingspatronen in horizontale pijpen bij meestroom 92 Gas-vloeistof stromingspatronen in vertikale pijpen bij meestroom 93 Vorming van bellen aan een nozzle

94 Stof- en warmtetransport bij omstroomde bollen 95 Stofeigenschappen 96 Water 97 Prandtl 97 tempera tu urvereffeningscoëfficiën t 98 verdampingswarmte 98 kubieke uitzettingscoëfficiënt 99 diëlektrische constante 99 oppervlaktespanning 99 elektrische geleidbaarheid

6

100 dichtheid

lOl verzadigde waterdampspanning 102 dynamische viscositeit 103 warmtegeleidingscoëfficiënt 104 compressibiliteit 105 soortelijke warmte 105 brekingsindex 106 Lucht 106 samenstelling 106 Prandtl 107 temperatuurvereffeningscoëfficiënt 107 dichtheid 108 dynamische viscositeit 108 warmtegeleidingscoëfficiënt 109 soortelijke warmte 109 geluidssnelheid

110 Eigenschappen Gronings aardgas 111 Eigenschappen van enkele metalen 112 Eigenschappen van enkele vloeistoffen

113 Eigenschappen van enkele gassen (25°C en atmosferische druk) 114 Kritsiche temperatuur en druk

115 Kunststoffen 119 Oplosbaarheidstabel 122 Diffusiecoëfficiënten

122 diffusiecoëfficiënt van gassen in water

122 diffusiecoëfficiënt van gassen en dampen in lucht (25°C en atmosferische druk)

123 diffusiecoëfficiënt van ionen in water bij zeer lage concentraties (25°C) 124 Henry coëfficiënt van enkele gassen in water

125. Henry coëfficiënt in ionen oplossingen 126 Dynamische viscositeit van alcohol-water mengsels 128 Dynamische viscositeit van glycerol-water mengsels 130 Dynamische viscositeit van rietsuiker, opgelost in water 131 Dynamische viscositeit van PVP, opgelost in leidingwater 132 Dynamische viscositeit van enkele gassen

133 Oppervlaktespanning van anorganische stoffen in water ten opzichte van lucht

134 Oppervlaktespanning t.o.v.lucht, en grensvlakspanning t.O.V. water van organische vloeistoffen

135 Oppervlaktespanning van mengsels van organische vloeistoffen met water t.O.V.

lucht

136 Kubische uitzettingscoëfficiënt van vloeistoffen 136 Eutectische temperaturen van koudmakende mengsels 137 Soortelijke electrische geleidbaarheid van waterige oplossingen 139 Index

ALGEMEEN

8 Grieks al fabet 8 Voorvoegsels 9 Periodiek systeem 10 Mathematische constanten 11 Fysische constanten I 2 Conversiefactoren 14 Temperatuurschalen

15 Benaderingsformules voor fysische eigenschappen 15 water

15 waterdamp 15 voch tige lucht 16 droge lucht 17 thermokoppels

8,

GRIEKS ALFABET

A a alfa N IJ nu B (j bèta

-

_~ xi

r

r

gamma

0

0 omikron ~ {) _delta

n

_{1T pi}

E

e

epsilon P p rho Z _~ zèta _~ a sigma

H 'TI èta T T tau

e

f) thèta

_'T

_v

upsilon

I iota 4> _'P phi

K

K kappa

_X

_{X chi}

A À lambda 'I'

_l/I

psi

M

fJ. mu

n

w omega

VOORVOEGSELS

voorvoegsel symbool factor

exa E 1018 peta P 1015 tera T 1012 giga G 109 mega M 106 kilo k 103 hecto h 102 deca da 10 deci d 10-1 centi c 10-2 mili m 10-3 micro _fJ. 10-6 nano n 10-9 pico p 10-12 femto f 10-15 atto a 10-18

HOOFDREEKSEN

periode IA 11A II1B IVB VB

NEVENREEKSEN

VI B VII B VlII B I B IIB lIl A

HOOFDREEKSEN

IV A V A VIA VIIA VIII A

1 1.0 0 7 9 ₂ 4,0026

H AIOOlll ):C\\ichl H.

wate rstor Atoo mnum mer / (llJakjcs,wijzenop hetmeest Helium

3 6,939~ 9,01.2 --... stabieleIsot oop) ₅ 10 ,8116 12.01115 14 ,0 0 6 78 15,9 9 9 4 9 IS,9 9 lj 4₁₀ 20,183

26 55.847

Li Be _F. B C N 0 F N.

Lithium Beryllium _IJz!."r Symb ool Uorium Koolstof Stikstof Zu ursto f Iluor Neon 11 22.989812 24,312

Naamj 132h,9 81514

28,08615 30,9'73816 32.06417 JS,4S)₁₈ 39.948

Na Mg AI Si P S Cl Ar

Natrium M3JnC'siurn Aluminium Silici um Fosfor zw av..1 Chloo r Ar,on

19 39.09 820 40 ,0 8 21 44,9 5 6 22 47,90 2350.942 24 51,996 25 54,938 26 S5.84727 58.93328 58.7129 63, 5430 65 .3831 69.7132 72.5' iJ3 74.92234 78,96 35 79,90936 83.80

K Ca Se Ti V Cr Mn F. Co Ni Cu Zn Ga G. A. S. Br Kr

Kalium Calcium Sc:m diurn Tilaan Va nadi u m Chroom ManlCaan IJzer Cu ball Nikkel Koper Zink tjalli urn Germaniun Arseen Seteen Broom Krypton 37 85.4 7j3s 87.62 39 88,905 40 91.22 41 92,906 42 95 ,9 4 43 (981 44 101,074510 2,90 546 106,4 47 10 7.8 7048 112.4 0 ₄₉ 114.82₅₀ 118,··lsl 12 1.1552 12 7 .6053 126,90454~

Ab Sr Y Zr Nb Mo Tc Au Ah Pd Ag Cd In Sn Sb T. I x.

Ru b id iu m Sno nuu m Yll rium Zirkoo n Niubium Mnly bdee n 'recnn enc u m Itutho:n i um Rhodium Palladium Zilvo:r Cadmium Indi um Tin Antimoon Tell u ur Jodiu m Xenon

55132.90 54~6 131,34 57- 71 72 73 74 18 3,8 5 75 18 6.276 190.277 192.278 195.09 79 19 6 .0 9 80 200,59 81 204,3782 207 .19la320••••064 (210)85 (210)86 (222)

C. Ba 1) Hf Ta W A. O. Ir Pt Au Hg TI Pb Bi Po At An

Cao:sium Barium Ha fn iu m Ta nl all Wol fraam Renr um Osmi um Iridium "blina Go ud Kwik Thallium Lo o d Bismulh I'olonium Astatium Radon 87 (22388 (226) _{89- 10 104 105}

Fr Aa 2) Ha

Franci um Radium IIlhni um

1) Lanthaan reek s 2) Actinium reek.\ 57 138,9158 14 0.1259 140.96760 144.24 61 (147)62 1S0.3563 151,96

""

157,2S65 I58.'H46 6 162. 506 7 164.9 3I&B 167.26 6916 8. 9 34 0 173.04 ₁ 174.9 7 La C. Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Oy Ho Er Tm Yb Lu

La nthaan Cerium I'ru o:o dy· Ne od ymiu mPr om ethi um Samarium Euro pi um Gadolinium Terb tc m l)Ys pro s iu m lIolm i um Frhium Thuli um Yllo:rhiu m Lutenum miurn

89 (227)9023 8 .0 38 91 (231)9 2 238 ,0 39 3 (237)94 (237)95 (24396 (247)9 7 (241)9 8 (249)99 (2541100 (253)101 (256)102 (254)103 (257)

Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf E. Fm Md No Lw

Thorium Ptot ac. auromlcm Einsteiniu m ler rniu m Meu c etevt u m Nobelium Lawr e nciu m

Acun tu m Iinium Uraan No:pl un ium Pturom um Ame rici u m Curi um IJ<.orkeliu m

10

MATHEMATISCHE CONSTANTEN

1T _3,1415926535 e _2,7182818284 1Te _{22,4591577183} e7l' _{23,1406926327} IOlog e _0,4342944819 elog 10 _2,3025850929 1 radiaal 57° 17' 44,8"

i

O 0,0174532925 radialen I' _{0,0002908882 radialen} I" _{0,0000048481 radialen}

FYSISCHE CONSTANTEN

Gasconstante R 8,314413 I/mol K

Getal van Avogadro N 6,0220450 1 02 2 mol-1

Versnellingvan de zwaartekracht g

standaard 9,80665 m/s2

evenaar 9,81422 m/s2

pool 9,78039 m/s2

Delft (lab. Techn. Nat.). 9,81256 m/s2

Volume van een ideaal gas V 2,241380 1 0 -2 _m3/mol

m

(bij standaard druk en -ternperatuur)

Stefan-BoItzman constante a 5,670320 1 0 -s _W/mK4 Verschuivingsconstante van Wien b 2,2800 1 0 -3 mK BoItzman constante k 1,380662010-23 l/K Standaard temperatuur T_s 273,15 K Standaard druk _Ps 1,013250 1 05 _Pa Licht snelheid in vacuum c 2,998 mis

Waarden van de gasconstante

P x V=nRT (n in kmol/kg)

Tempe ratuur K (Kelvin) R (Rankin)

Volume liter m3 ft3 liter - _m3 _ft3

Druk

Pa 8314 8,314 294 4620 4,62 163

atm. 0,08205 8,205 x 10-5 _{0,00290 0,0456 4,56 x 10-}5 _0,00161

cm H₂0 84,79 0,08479 2,99 47,1 0,0471 1,66

mm Hg 62,4 0,0624 2,20 34,6 0,0346 1,22

voorbeeld : Wat is het volume in liters van 2 mol gas bij 30 mm Hg en 20°C ?

12

CONVERSIE FACTOREN

sym· vermenigvuldigen

mi!

_{in SI·}

baal grootheid uitgedruktin .. delen door stelsel

L lengte inch (in) 0.0254 m

foot (ft) 0.305 yard (yd) 0.914 mile 1609 Ängstrom (Ä) IQ-I 0 A oppervlakte in2 . _6.45 X IQ-4 m2 ft2 _0.0929 yd2 0.836 acre 4047 mile2 2.59 x 106 V volume in3 1.64 x IQ-5 m3 ft3 0.0283 yd3 0.765 UK gallon 4.55 x IQ-3 US gallon 3.785 x IQ-3 tijd minuut 60 s uur 3600 dag 8.64 x 104 jaar 3.16 x 107

M massa grain 6.48 x IQ-5

kg ounce (oz) 2.84 x 10-2 pound (lh) 0.454 hundredweight (cwt) 50.8 ton 1016 K kracht poundal (pdl) 0.138 N pound force (lbf) 4.45 dyn IQ-5 kg kracht 9.81 <{Jv volumestroom ft3/min 4.72 x 10-4 m3/s UK gal/min 7.58 x IQ-5 US gal/min 6.31 x 10-5

<{Jm massa stroom lh/min 2.10 x IQ--6 _kg/s

ton/h 0.282

p dichtheid 1h/in3 2.77 x 104 kg/m3

sym· ve11I(rmenigvuldigen m'Jret in SI· baal grootheid uitgedruktin delendoor stelsel

nSI· _{p druk, spanning lbf/in}2

6.89 x 103 Pa= N/m2 telsel lbf/fe 47.9 m dyn/cm2 0.1 kgf/cm2 (= at) 9.81 x 104 atm(standaard) 1.013 x 105 bar 105 inch water 2.4 9 x 102 m2 mm water 9.80 ft water 2.99 x 103 inch Hg 3.39 x 103 mm Hg (torr) 1.33 x 102

dynamische viso- lb/ft h 4.13 x 10-4 Pa·s = Ns/m2

m3 siteit lb/ft s 1.49

Poise (P= g/cm s) 0.1 Centipoise(cP) 10-3

v

kinematischevis- fe/h 2.58 x 10-5 _m2/s

cositeit Stokes (S = cm2/s) _10-4

s Centistokes (cS) 10-6

o

oppervlaktespan- dyne/cm (= erg/cm2) 10-3 _N/m ning LH temperatuurverschil graad F (of R) 5/9 K tC) kg _Q energie (arbeid, f:t lbl 0.04 21 J = W s= Nm warmte) ft lbf 1.36 BTU 1.06 x 103 CHU 1899 hph 2.68 x 106 N erg 10-7 kgf m 9.81 kcal 4.19 x 103 kWh 3.60 x 106

m3/s \{JA vermogen BTU/h 0.293 W= J/s= Nm/s

(energiestroom) CHU/h 0.528 ft lbf/s 1.36 kg/s hp (British) 746 hp (metric) 736 kg/m3 erg/s 10-7 kcal/h 1.163 cal/s 4.19

"

warmtestroom- BTU/ft2h 3.15 W/m2 \{Jw dichtheid cal/cm2s 4.19 x 104 kcal/m2h 1.163

14

sym- vermenigvuldigen met"11( . . in SI·

bool grootheid uitgedrukt in delen door stelsel

I

BTU/lboF 103

C soortelijke warmte 4.19 x J/kg K

kcal/kg °c 4.19 x 103

latente warmte BTU/lb 2.33 x 103 _J/kg

kcal/kg 4.19 x 103

warmtegeleidings- BTU/ft hOF 1.73 Wim K

coëfficiënt cal/cm sOC 4.19 x 102

kcal/rn hOc 1.163

h warmteoverdrachts BTU/ft2hOF 5.68 W/m2K

coëfficiënt cal/cm2soC

4.19 x 104 kcal/m2hoC 1.163 Temperatuurornrekeningstabel naar °c oF van K R Kelvin K - 273,15 SK9 - 459,69

2K

5 °Celcius °c + 273,15

ioC

+ 32 ,2°C+491 67 5 ' ° Fahrenheit

~

oF + 255 37

~

oF - 1778 oF + 459,7 9 ' 9 ' Rankine

~R

~

R - 273 15 R - 459,7 9 9 '

TEMPERATUUR SCHALEN

Temperatuur in temperatuur van temperatuur van smeltend ijs kokend water

Celsius

o

°c 100°C

Rankine 491,67 R 671,67 R

Fahrenheit 32 oF 212 oF

in SI

-stelsel

BENADERINGSFORMULES VOOR FYSISCHE EIGENSCHAPPEN

notatie: /kg K /kg

vlm

K C soortelijke warmte p druk T temperatuur (OoC

<

T

<

100°C) 1'/ viscositeit À warmtegeleidingscoëfficiënt p soortelijke massa Ha absolute vochtigheid H r relatieve vochtigheid x molfraktie ID binaire diffusiecoëfficiënt M molekuulgewicht indices: kj/kg K Pa

o

e

Pa's WIm

K

kg/m3 m/s2 kg/krnol 1,67 d h TI s v droge lucht

per massa eenheid droge lucht

netto droge lucht plus bijdragen van de waterdamp met water verzadigd lucht

waterdamp ',7 water: 1'/= 103 _{x exp (0.580 - 2.5208+0.909 8 2 - 0.2648}3 ) Pa's met 8 = 3.6610 T/(273.1

+

T)

À= 0.5607

+

0.200(T/lOO) - 0.795 (T/IOO)2 WIm K

waterdamp: M_y

=

18,02 kg/krnol C

=

1,87 kj/kg K v Py

=

2.167 P/(273,15 + T) kg/m3 1'/y

=

(8,19 + 0,0407 T - P/2810)x 10-6 Pa's Ày

=

0,0158 + 84 x 10-6 T WIm K vochtige lucht: Ha = _{0,622 p)(P n-p)} H_r = p)pvs x_y = H)(0,622+ Ha)

16

= (3,484 - 1,317 x ) p /(273,15 +T) kg/m3

,v n , :

= _(11d

+

Y/O,7887 11y - _{11d))/(1 - 0,2113} x) x 10-6 _Pa-s

= (À_d

+

x (0,8536 À - À_{d))/(1 - 0},1464 x ) X 10-3 Wim K v v v

=

Cd +HaCy kj/kg K = 0,222 (1

+

_{T/273,15)1.75/Pn} m/s2 droge lucht: = 28,97 = 1,00 = 3,484 Pd/(273, 15

+

T) = (17,11

+

0,05 36 T

+

p/8280) x 10-6

=

0,02402+ 74 x 10-6 _T kg/krnol kj/kg K kg/m3 Pa·s Wim K

THERMOKOPPELS

Thermospanning in milivoits,referentiekoppel op 0°C.

oe

Chromel IJzer Koper Platina Platina

Alumel Constantaan Constantaan Platina/ Rhodium Platina/ Rhodium

10% 13% 10 0,40 0,50 0,39 0,06 0,06 20 0,80 1,02 0,70 0,11 0,11 30 1,20 1,54 1,19 0,17 0,17 40 1,61 2,06 1,61 0,24 0,24 50 2,02 2,58 2,03 0,30 0,30 60 2,43 3,11 2,47 0,36 0,36 70 2,85 3,65 2,91 0,43 0,43 80 3,26 4,19 3,36 0,50 0,50 90 3,68 4,73 3,81 0,57 0,57 100 4,10 5,27 4,28 0,64 0,65 110 4,51 5,81 4,75 0,72 0,72 120 4,92 6,36 5,23 0,79 0,80 130 5,33 6,90 5,71 0,87 0,88 140 5,73 7,45 6,20 0,95 0,96 150 6,13 8,00 6,70 1,03 1,04 160 6.53 8,56 7,21 1,11 1,12 170 6,93 9,11 7,72 1,19 1,21 180 7,33 9,17 8,23 1,27 1,29 190 7,73 10,22 8,76 1,35 1,38 200 8,13 10,78 9,29 1,44 1,47 250 10,16 13,56 12,01 1,87 1,92 300 12,21 16,33 14,86 2,32 2,40 350 14,29 19,09 17,82 2,78 2,89 400 16,40 21,85 20,87 3,25 3,40 450 18,5: 24,61 3,73 3,92 500 20,65 27,39 4,22 4,46 550 22,78 30,22 4,72 5,00 600 24,91 33,11 5,22 5,56 650 27,03 36,08 5,74 6,14 700 29,14 39,15 6,26 6,72 750 31,23 42,32 6,79 7,32 800 33,30 7,33 7,92 850 35,34 7,88 8,54 900 37,36 8,43 9,18 950 39,35 9,00 9,82 1000 41,3\ 9,57 10,47

00

koper-conslanlaan Ijzer-conslanlaan

17/

, - ,

I

r-u---~i~

Thermospannlngen bIJ lage t.emper-etur-en I

E(mvl

-1

·E(mVI

t

1

f

f I T

I

Th~rmospannlng~n

bij

hog~

IJz~r-constantaan

40f--

_I

t.ernp

er-et.ur-en chr-crnel-elurnet

/

XI?

1 }/I;1

...

\0

I ~

I ~ T(OCI

--L

1000 I

-L

800 I

-'--

₆₀₀ t I

I

400 200 - I I

Kleur ₀ IV

rood oranje - blauw

;::

0

rood - geel t'-l_t'"' rood - geel

>

Cl rood - geel

_C1

rood - geel

m

t:l:l rood - oranje

-

_m

geel - purper

'='

geel - blauw

-

_:z

rood - geel

e

-geel - rood ( j

>

geel - purper

..,

geel - blauw 0 ~ rood - blauw

m

rood - geel

:z

geel _.rood geel - rood kleurloos - rood geel - blauw geel - blauw kleurloos - blauw

geel - oranje bruin

geel lila

kleurloos - oranje bruin ;,,1,'

;;;;

\;;;;

1:;; ,1,

;,:1

;;;;1;;;;;

p

r ::

I;;"

lflP

t

" "I" " . .... .. ..I ;;::; :;;; , ~

_:

_:!

12 13 14 pH

-, +

;;

;;;;1;;;; 1:;:; ;;;;1;;;;1:;:; 10 9 8 7 ··'t:::-:I Omslaggebied 6 5 .l:;~:~::: :;::: :;: : ; :;:

..:

~:::: ;::::~:::; ;

:

:

J

:;;

.. :I::::1::::I: :::1: :::1: :::1::::1:::11::: n::.!:1::;:1:: : :I:: : 'I::::1:::: 4 3

.

..i

~~L

~~I

U

~;~j

!~~l

2

,

:;: ;L

o

Indicator Neutraal rood Phenol rood Kresol rood Phenolphtaleien Thymol blauw ClNaphtolbenzeïne ThymoJphataleien Salicylgeel AlizariengeeJ Nitrumine Methyl rood Chloor phenol rood Broom kresol purper

WISKUNDE

22 Volume en oppervlak van enkele lichamen

25 Integralen

33 Elementaire differentiaalvergelijkingen

35 Benaderingsformule voor Bessolfuncties

38 Errorfunctie 39 Laplace transformaties 39 eigenschappen 4 I veelgebruikte Laplacetransformaties 43 Tensoren 43 rekenkundige bewerkingen

44 invarianten van een tensor

44 andere veetor en tensor operaties

45 Differentiëren in vector en tensornotatie

45 nabla operator

46 nabla operaties in een carthesiaans coördinatensysteem

46 veel voorkomende nabla identiteiten

47 scalaire afgeleiden naar de tijd

47 tensoriële afgeleiden naar de tijd

22

VOLUME EN OPPERVLAK VAN ENKELE LICHAMEN

v

= volume

o

= oppervlak OM = oppervlakte mantel A h = oppervlak = hoogte

°

= 2(ab+ac+bc) V=a.b.c d =

../a

2 +b2 +

c

2

°

= 6a2 V = a3 d =

av'3

I ' I "d I \ I , I , I , ,...- - \ -

,

---..-- ---~----:;;-Kubus Rechthoekig blok

a

Piramide

h

V Tetraëder Octaëder

) Afgeknotte piramide Cilinder Buis Afgeknotte cilinder Cilinderhoef

/"-G---'~

~_, d

-

-

-

---h

v

v

= .!.1Thd2 4 1

°

= 1Td(ïd + h) OM = rrdh

v

=

~

1Td2(h l + h2) 1 1

°

= - 1Td [h + h + - d + 2' I 2 2 +

A

d 2+(hl - h 2 )2) 4 2 1 OM =

"2

1Td (h_l + h₂) Kegel

v

= ..!-1Td2h 12 1 1

°

=

2

1Td ( 2" d + s) 1

°

_M = -1Tds₂

24 2 I

i

V = 7Th

(

"2

d-

3

h)

o

= 7T(2dh- h2)

h

7Th(D2

+

Dd

+

d2) 1 1 1 I - 7TD(- D

+

s)

+ -

7Td(~ 2 2 2 · V

=

.!..7Td2h 6

o

=

~

7Td( 2h

+

Vh d - hf)

v

o

Bolsegment

:Of

d I \ I \ / -, Bolsektor

Ol

I \ d I I \ 1 \ / -, 1 <, / -""-

-

. / Bol Afgeknotte kegel

1+ d2)

1 1

+

-1Td(~

2 .

INTEGRALEN

Bij alle oplossingen dient een integratieconstante te worden opgeteld. u en v zijn functies van x. n + du

-

=

In u u un du = Basisin tegralen

f

a du

=

au

f

f

d- hf )

f

eU du

=

eU

f

sin u du

=

-cos u

f

tan u du = -In cos u

f

csc· u du

=

-cot u

f

cot u csc u du

=

-csc u

f

csc u du = In (csc u - cot u)

f

aU du _{In u}aU

f

du

1

arctan u of

_1

arccot u a2

+

u· a a a a

f

..ja2 du arcsin

i-

of -arccos J!

-

u2 a

f

cos u du sin u

f

cot u du In sin u

f

sec2 u du

=

tan u

f

tan u sec u du

=

sec u

f

sec u du

=

ln(sec u

+

tan u)

f

(u

+

v) dx =

f

u dx

+

f

v dx

f

u dv = uv -

f

v du

26

Functies die a + bx bevatten

1 f(a+ bx)ndx= ben + 1) (a + bx)n+l (n "*- 1)

f

x(a+ bx)ndx= b2(n 1+ 2) (a + bx)n+2 - b2(n a+ 1) (a + bx)n+l of (n "*- 1, -2) x (a + bx)n+1 1 ( + b )n+2 ben + 1) - b2(n + l)(n + 2) a x

f

x2(a+ b )ndx x-_ (a + bx)n+l [ (a + bx)2 - 2a(a + bx )+ - -a2 ] b3 n + 3 n + 2 n + 1 (n "*- 1, -2, -3) dx 1

f - -

=-In(a + bx) a + bx b 1 1

-b a + -bx dx

f

(a + bx)2 xdx x a

f - -

=.- - -In(a + bx) a + bx b b2 xdx a 1

f

(a + bx/= b2(a + bx) + b2 In(a + bx) x2dx 1 a2

f (

_{a + bx})2= b3 [a + bx - - -_{a+ bx} - 2a In(a + bxj] dx 11 x

f

x(a + bx)= ;- n a + bx

f

dx x(a + bx)2 1 _ - I na

+

bx a(a + bx) a2 x

Functies die a

+

bxz bevatten dx 1

A

f -

- -

= - -aretan(x -) (a.b'

>

0) a

+

bx2

y'äb

a 1 ..;ä+x-yCh r:': In .1: .

rr:

(a

>

0, b

<

0) 2 V-ab va - xv-b dx x 1 dx

f

(a + bX2)2

=

2a(a + bx2) + 2a

f

a + bx2 xdx 1 2 a

f -

-

= - In(x +-) a + bx2 2b b dx 1 x2

f

x(a + bx2) = 2a In a + bx2

Functies die a

+

bx

+

cx2 bevatten

f

dx

a + bx +ex2

1 2ex + b - ylb2 - 4ae

ylb2 _ 4ae In 2ex +b+

Vb2

_ 4ae (b2

>

4ae)

f

dx 2= 2 aretan-=2~e=x=+=b::::::;:

a + bx + ex

v

4ae - b2

v

4ae _ b2 (b 2

<

4ae)

f

dx a + bx + ex2 2 2ex + b (b 2 = 4ae) xdx 1 2 b dx

f

= - In(a + bx +ex ) - -

f

a + bx + ex2 2e 2e a

+

bx + ex2 x2 dx x b b2 - 2ae dx

f

b 2= - - -2 2In (a + bx + ex2) + 2

f

2 a + x + ex e e 2e a + bx + ex

Functies die

va

+

bx bevatten

1

f

x Va

.

~b+ uXdx = 2(3bx - 2a)(a +.. 2 bx)2

28

y'ä+bX

dx

f

dx = 2

vî+bX

+a

f

--==-=-==

x xva+bx

f

dx = 2

v'a+bX

y';+bX

b

f

~xdx _ 2(bx - 2a) .- 3b 2 va + bx~ va + bx

f

- = =

dx =-I In Va + bx -

va

(a> 0) x Va + bx

va

.ya+ï)X

+

va

dx 2 ~+bX

f

= - -arctan -x~ ~ -a

Functies die~ bevatten

(a

<

0)

~

a+va2+ x2

f

x dx =

V~

- aIn ( x )

f

x dx =Va2 _{+ x2}

v'7+7

3

f

x~

dx =

~(a2

+ x2)2

Functies die v'a2 - x2 bevatten dx 1 a

+

Ja2 - x2

f -.

,;;::;2;;:::='====i:₂ = - - ln( ) x v a - x a x 1 1 3 2 3 4 X

f

(a2 _{- x}2 ) 2 dx= i[x(a2 - x2) 2 +

~

x Ja2 - x2 +

+

arcsin

al

3 2 2 X 2" a2 2 x

f

x v'a2 - x dx =

-4

(a2 - x2) +s(x v'a - x2 +a2arcsin ;)

v'a2 _ x2 _v'a2 _{_ x}2

f

dx

= -

-

arcsin X

~ x a

Functies die v'x2 - a2 bevatten

a

-

30

f

~/2x dx 2 -

-.J

X2- a2 yx - a 3

f

Xvx2 - a2 dx =

t

(x 2 _ a2)2 x2dx

J

/ 2 2 yx - a Transcendente functies e3 X

f

xe3 Xdx =2(ax - 1) a e3 X 1 e3 X e3 X

f

-

dx

=

-

-

[-

-

-

+

af - - dx

1

x'' n- 1 xn - 1 _{xn -} 1 n x

f

Xn xa dx = - -x a - -n

f

xn-l xa dx lna lna dx 1

f

=- [n x - In(a + benx)] a

+

benx an dx 1 ~

f

= - -arctan( enx - ) aenx

+

be -nx n

v;lb

b

f

Inx dx = x ln x - x

f

(Inx)n dx=_1_ (Inx)n+l

n

n

+

1

f

sin2Xdx

=

_1.sin 2x +! x

=

_..!.sin x cos x +1.x

4 2 2 2

f

sin nx dx = _ cos nx

n

f

cos nx dx = sin nx

n

f

sin mx cos nx dx = _ cos (m + n)x

2(m+n)

cos(m- n)x

2(m- n)

f

sin mx sin nx dx = sin (m- n)x

2(m - n)

sin (m +n)x

2(m+n)

f

cos mx cos nx dx = sin (m - n)x

2(m - n) sin (m + n)x 2(m

+

n)

f

- - =dx ln tan-x sin x 2 dx

f

- - = lntan(~+~) cosx 4 2 dx

f

= tan~ 1+ cos x 2 dx

f

= - cot~ 1- cos x 2

f

sinx cos x dx =1.₂sin2x dx

f

= In tan x sin x cos x 2

E

-b

~ / 2 2arctan ( - - tan~) Va - b a+b 2 dx

f - -

-a + b cos x ----;:=;::::1=== In b + a cos x + (sin x)

y~

yb2 _ a2 (a2

<

b2) a + b cos x

f

cos x dx =~ _ ~

f

dx a + b cos x b b a + b cos x sin x dx 1

f

+ b = - - In( a + b cos x ) a cos x b

f

eax sin bx dx = a sin bx - _{b cos bx eax}

32

J

e3Xcos x xb d a cos bx= 2

+

b sin bx2 e3 X

a + b Jaresin x dx = x aresin x + ~ Jareeos x dx

=

x arccos x -

VI=?

J

aretan x dx = x aretan x - ~ ln( 1+x2)

J

areeot x dx= x areeot x + ~ln(1+x2)

J

~= _ cos x + n- 2

J

_d_x__

sinnx (n-l)sinn-1x n - 1 sinn-2x

J

~ = sin x +n- 2

J

dx

eerste orde:

= c scheidingvan variabelen:

ELEMENTAIRE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

lineair dy ~

+

F(x) y =G(x) Ye!Fdx = fG(x) e!Fdxdx

+

c Bernoulli (n :1= 1) dy + F(x) y

=

G(x)

v"

dx Bernoulli dy dx

+

F(x) Y= G(x) y In y =f(G-F)dx + c exact: F(x,y)dx + G(x,y)dy= 0 aF aG met - = -ax ay

a

fFax

+

f( G - ay fFêx) dy

=

c homogeen: dy =

F(X)

dx x + C

yF(xy) dx

+

x G(xy) dy

=

0 _{In x= f(XY)}G d(xy)_(G-F)

+

c tweede orde:

Algemeen: als uI en u

2 de wortels zijn van u

2 _{+ au + b}

= 0 kunnen drie gevallen worden onderscheiden:

1) uI en u

2 zijn reëel en verschillend 2) uI en u₂ zijn reëel en gelijk 3) uI = pi+ q i en u₂

=

p i - q i

34 lineair, homogeen: d2_{y dy} dx2 + a dx + by = 0 lineair, inhomogeen: d2y _dy

ct;Z2

+ a dx + by = R(x) ) ( ) u1x u1x -u i x , 2 y = cl + x c 2 e + xe Je R(x)dx _eUl XJxe-Ut XR(x) dx 3) y=ePx [(c1COsqx+c_2sinqx)+

+ sm qx Je-px R(x) cos qx dx +

q

_ ~ Je- px R(x) sin qx dx ] q

Euler of Cauchy:

x

2

~2;

+ axddY+ by = S(x) door substitutie x = et wordt deze vergelijking x x lineairvneau,inhomogeen

d2y dy t

dt2

+

(a-I) dt

+

by = S(e ) Bessel: d2y dy x2 - + x - + (x2 - n2) y = 0 dx2 dx Gemodificeerde Bessel: d2y dy x2 - + x - - (x2 + n2) y = 0 dx2 dx Getransformeerde Bessel:

~

cos n1T Whittaker en Watson Jahnke, Emde en Lösch K_n Abramowitz en Segun

BENADERINGSFORMULES VOOR BESSELFUNCTIES

tweede soort Notatie: gemodificeerde tweede soort eerste soort gemodificeerde eerste soort K R( x)d

~(x) dxJ benadering voor kleine x

2P J (x)~- - xP -P (-p)! y_o(x) ~-*-lnx TT Y ( )x ~ - 2n(n-l)!_nX n TT n*O ing 2P I (x)~ - - x-P -P (-p)! Ko(x) ~ - In x K (x)~2n-l (n-l)! x- n n*O n

benadering voor grote x J (x) ~

g

cos(x _ ?! _ p1T ) P 1TX 4 2 y (x) ~

.jJ;

sin(x - !! - !!.E:) n 1TX 4 2 • (~"lJ 2/T r eX I (x) ~--P .J2TTX K (x) ~.J!fe-x n 2x

1.0

.8

.6

.4

.2

o

-.2

-

. 4

-.

6

-.8

I \ J o

\

.\

...

~?Î\

r\_

\ v

.\

' I

_JO

\

J1

.Yo

,

A

Jo

I \ \

~

Y1

I \ \ ~...

---

.,

:' !

I

'\

\

It!

1\7\

\

[7

K---.x

1\

\1

I

\

\

\,

,

l\

\J

IJ

0

_I

,~

\

_r\/\~/

8/\:'0')('7

14 ,

,,'

'

I'

I - -

_Yo

...

\

_I~

if,

'

,

c>

~ "'- ;

,

,

'-'"

,

, Y1

,

,

,

,,

,

I t:l:l W Cl> 0-til til Cl>

?

::: o ... ;" til

gemodificeerde Besselfuncties

.4

3

2

1

Ka

_.

:J

I

I

_I

H

K

1

IJ

" 1

1

I

1 I

/

,

I

•

,

i

I

/

.

I

I

•

/

I

\

,

I

\

'

V

I

/

I

.v

I I

_I

\

"

I

I

I I

\\

I I _....

L\

~

,

/

~,

/

x

-~

-/

~-~,/

o

o

.8

1.6

1.2

2.0

2.4

co

I

38

De

ERRORFUNCfIE

x

erfx

x erfx x erf x 0 0,0000 1,00 0,8427 2,00 0,9953 0,05 0,0564 1,05 0,8624 2,05 0,9963 0,10 0,1125 1,10 0,8802 2,10 0,9970 0,15 0,1680 1,15 0,8961 2,15 0,9976 0,20 0,2227 1,20 0,9103 2,20 0,9981 0,25 0,2763 1.25 0,9229 2,25 0,9985 0,30 0,3286 1,30 0,9340 2,30 0,9989 0,35 0,3794 1,35 0,9438 2,35 0,9991 0,40 0,4284 1,40 0,9523 2,40 0,9993 0,45 0,4755 1,45 0,9597 2,45 0,9995 0,50 0,5205 1,50 0,9661 2,50 0,9996 0,55 0,5633 1,55 0,9716 3,00 0,99998 0,60 0,6039 1,60 0,9763 00 ₁ 0,65 0,6420 1,65 0,9804 0,70 0,6778 1,70 0,9838 0,75 0,7112 1,75 0,9867 0,80 0,7421 1,80 0,9891 0,85 0,7707 1;85 0,9911 0,90 0,7969 1,90 0,9928 0,95 0,8209 1,95 0,9942

LAPLACE TRANSFORMATIES

(uit: W.L. de Koning: P.D. Technical report no. 3) Notatie: t f(t) s F(s) a L

variabele in het reële domein functie in het reële domein

variabele in het complexe domein (getransformeerde t) functie in het complexe domein (getransformeerde f(t» a- :=lim a -

e

€+o a en

e

reëel; €

>

0 a" :="\im a+

e

€+o transformatie Definitie: L{f(t)}

=

F(s)

={

f(t) e-st dt; 0-met f(t) := 0voor t

<

0 Eigenschappen:

eigenschap, t-domein. s-domein

I. lineariteit 2. gelijkvormigheid f(at) aF1(s) + bF2 (5) I s

j;ï

F(a) 3. verschuiving a. reëel f(t-T) F(s+a) sOF(s) sOlf(O) -_ r<0-I)(O-) F(o)(s) = dO F(s) ds" (-l)°tOf(t) n = 1,2, ... b. complex b. complex (dernpings- of verzwakkings-regel) 4. differentiatie a reëel r<0)(t) = dO f( t) . dto

(ook geldig indien f(t) een sprong

n

=

1,2, .. vertoont op t = 0)

40 I t t ' t I

f f f ..

f

f( r )dr. . .dr

n

F(s) 0- 0- 0- 0- s n-maal n-rnaal 5. integratie a. reëel

(ook geldig indien f(t) een puls vertoont op t

=

0)

b. complex

t

f(t )

~

f

F(u)du

s

mits lim tf(t) bestaat t+O 6. produktregel a. reëel fi(t) f2(t) b. complex fi(t)x f2(t) (convolu tie)

7

.

autocorrelatie q)11(t)= f(t) x f(-t)

8. theorema's van Abel

a. beginwaarde f(O+) b. eindwaarde f(oo) 9. periodieke functies f(H T) =f(t) +j~ 1 C

-2

~

f .

F1(u) F_2(s ) 1TJ c-J ~ F(s)F(-s) lim s F(s) s+~ lim s F(s) s+o I - e-sT

T(s) en N(s) zijn polynom en in s. Graad van de teller klein er dan graad van de noemer. N(s) =(s-a

i) . . .(s-an) met, a

n ongelijk.

10.partiële afgeleiden van f(x,t) a. naar x b. naar t 11. inverse transformatie 12.ontwikkelingstheorema van Heaviside af( x,t )

--a;z-af(x ,t)

a t

+j~ I C

-

.

f

.

estF(s) ds 211] C-J~ n T(ak) akI ~ - - e k=l N'(ak) aF(x,s)

ax-sF( x,s) - f(x,O-) F(s) T(s) N(s)

bestaat

Veelgebruikte Laplace transformaties: F(s) s

+

a

i

(s

+

a)2 1 (s+a)(s+b)

w

f(t),f>O ó(t) ó(t-T) te-at sin(wt ) cos (wt) eenheidspuls g2

+

2w z

+

W 2 n n

t

-w n zt - -e sin(J3t), (3= w yl - Z2 n

!

s 1 -st

se

1 s(s

+

a) U(t) of 1 U(t-T) U(t) - U(t-T) eenheidsstap d s (s+a)(s+b) S(S2+2w Z+w 2) n n 1 be-at ae- bt - ( 1 - - + - - ) ab b-a b-a 1 2 (1- cos(wt))

w

42 1 S2 S2 (s

+

a) 1 2"(at- 1

+

e-at) a

TENSOREN

(niet behandeld worden die operaties waarvan de orde groter dan twee is)

C'

T

:")

xy tensor _""T= T_xy T_{yy yz} T_zx T_zy T_'Zz vector y = (v_x v_y v z) scalar s = s

rekenkundige bewerkingen (vectoren)

y

±

y! _{= (v x}

±

_{w x' vy}

±

w_{y ' Vz}

±

_{w z) =} ~Qj (vj'+ w.) 1 sy = (sv_{x '} sV_y , sV_z) = ~§i(SVj) I y. _-w = v w_{x x} + v w + v w = LV.W. y y Z Z 1 1

{:

0

:: )=

y y xYf. vy LL_j [Qj x .QjlVjW_j j W _{w y} W x z [y x

'Yl

f

u_y !! • v_y W

w

_y x

~)

z ( "V_x«, vw= vw - - y x vw z x

rekenkundige bewerkingen (tensoren)

( a XX ±Tx x a±T= a ±T

=

= yx yx a ±T zx zx a ±T xy xy a_yy±T_yy a ±T zy zy

<:

± 7X Z₎ a_yz ±T_yz = L L_{i j}

o.o

.

(aij +7..) -1-) - IJ a ±T zz zz ( S 7 X X ST = ST

=

yx ST_zx a :T = a T +a T +a T

+

==

=

xx xx xy yx xz zx aYXTXY +ayy yyT +ayzTzy

+

«;

i;

+a T + a T = L L a..r; zy zy zz zz _i j IJ IJ

44

o 7 +0 7 +0 7 ( XX xx xy yx xz zx

=

0_{yx xx}7 +0_{yy yx}7 +0_{yz zx}7

o

_zx7_xx+0_{zy yx}7 +0_{zz zx}7

=

~ ~

s

.

s.

(~ Ou 7 1J· i j -I - J 1

o

7 +0 7 +0 7 xx xy xy yy xz zy

o

_{yx xy}7 +0_{yy yy}7 +0_{yz zy}7

o

7 +0 7 +0 7 zx xy zy yy zz zy

o

7 +0 7 +0 7 xx xz xy yz xz

ZZ)

o

_{yx xz}7 +0_{yy yz}7 +0_{yz zz}7 0 7 + 0 7_{zx xz zy yz}+ 0 7_{zz zz} 7 0 V='(7 V +7 V + 7 V 7 V +7 V +7 V 7 V + 7 V +7 V ) 1= - xx X xy y xz z ' yx x yy y yz z ' zx x zy y zzvz e- ~ 0. (~7..V.) i - I j IJJ invarianten van een tensor eerste invariant I_T

=

~7 ü

=

tr ~ 1 tweede invariant 11 = ~ ~ 7..7.. = tr (70_{7 )} T i j IJ IJ = = derde invariant

tweeandere veelgebruikte invarianten:

TI

= 1.(12 - 11 '

T 2 T or'

III

=

-61 (13 - 3 I 11 +2 III ,

=

det 171

T T T T r' =

andere vector en tensor operaties (§ 0 y)= (y 0 §)= y (y y 0 ~) = y (y 0 ~) (\y 0 yY) = (\y 0 y) y y y : \y~

=

(y~ :Y.?;)

=

Ü! 0 .?;) (y0 ~) ~ : !!y

=

(~ 0 !!) 0 y YY : I

=

u 0 (y 0 ~)

(Z:ZZ

)

I

Z

zz tz1"zz

DIFFERENTIEREN IN VECTOR- EN TENSORNOTATIE

Notatie: r,s : scalar y,y:!.: vector 1" : tensor Q : eenheidsvector

§, :

eenheidstensor Qx: eenheidsvector in de x-richting

Voor de sommatie geldt: XI

=

X; x₂

=

y; x₃

=

z.

nabla operator carthesiaans coördinatensysteem

a

a

a

a

IJ=_{-x êx}Ö - +_-yÖ -

_ay

+Ö -_{-z êz} = ~_{i -\}ö.-

_aX

j cylindrisch coördinatensysteem sferisch coördinatensysteem /

)

46

nabla operaties in een carthesiaans coördinatensysteem gradiënt van een scalarveld

divergentie van een vecto rveld

rotatie van een vectorveld

Laplace van een scalarveld

Laplace van een vectorveld

veel voorkomende nabla identiteiten

Vrs =rVs+sVr Vos

s.

= ( VSoz) + s ( V0 y) Vo(yxW) =wo(V xx) - y o ( V o ~) Vxsy = ( Vsxx) + s (V xx) VoVy = V(Voy)-V x( Vxz) y0 Vy. = Y2V (y0y) -

s

x (Vxy)

Vo~!y =~oV!y + w(Vov)

v-

-z

= VS°,r+ s(Vol)

scalaire afgeleiden naar de tijd partiële afgeleide dc dt totale afgeleide substantiële afgeleide De de de de de de de - = - +v - +v - +v - = - +L v· -Dt dt x êx Y dY Z êz dt I dX j

tensoriële afgeleiden naar de tijd

meedeformerende of Oldroyd afgeleide

r = b

r = b

48

LINEAIRE REGRESSIE

'curve-fit' van lineaire, exponentiële en machtfuncties gemiddelden x

=

("Lx)/n y = ("Ly)/n. standaarddeviaties

s

=

j

"Lx2 - ("LX)2/n x n - I S

=

j"L y2 - ("Ly)2/n y n - I y = a+ bx b

=

n"Lxy - "Lx"Ly n"Lx2 - ("LX)2 a= "Ly - b"Lx n n"Lx2 - ("Lx)2 _ b Sx n"Ly2- ("Ly)2 - Sy Y = aexp(bx) b= n"L(xlny) - "Lx"Llny n"Lx2 - ("LX)2 "Llny - b"Lx a= exp n y = ax!' b

=

n"L(lnx-lny) - "Llnx"Llny n"L(lnx)2 - ("Llnx)2 "Llny - b"Llnx a= exp n n"L(ln x)2 - ("Llnx)2 n"L(lny)2 - ("Llny)2

b~

if

I)

~

k

~

Cl.)'

fj

t

r

V1

FYSISCHE TECHNOLOGIE

50 Concentratienotatics

51 Algemene balansvergelijkingen

54 Bernoulli vergelijkingen

55 Balansvergelijkingen voor geïdealiseerde materialen

58 Veel voorkomende stromingsvelden in tensornotatie

59 Reologische modellen

61 Druk-debiet karakteristiek voor stroming van enkele veel gebruikte vloeistoffen

door een ronde buis

62 Verblijftijdspreiding

64 Grootheden en hun dimensies

66 Alfabetische lijst van dimensieloze kentallen

71 Veel gebruikte dimensieloze correlaties

73 Analogieën tussen warmteoverdracht en stofoverdracht

75 Weerstandscoëfficiënt

Cw

bij stromingen om lichamen

77 Frictiecoëfficiënten bij stromingen door lichamen

81 Hydraulische diameters

82 Vochtigheidsdiagrammen voor water-lucht bij atmosferische druk

84 Fourier grafieken

87 Vormen van bellen en druppels, vrij opstijgend in Newtonse vloeistoffen

88 Stijgsnelheid van luchtbellen in water

89 Stijg- of valsnelheid van druppels in laag viskeuze vloeistoffen

90 Gas-vloeistof stromingspatronen in horizontale pijpen bij meestroom

92 Gas-vloeistof stromingspatronen in vertikale pijpen bij meestroom

93 Vorming van bellen aan een nozzle

50

CONCENTRATIENOTATIES

basisgrootheden dichtheid molaire concentratie P =Pi+Pj c =ci

+

Cj [kg/m3] [krnol/rrr' ] afgeleide grootheden massafractie wi

=

Pi/P molfractie xi= c/c molgewicht M_i=p/ci

aantal gemidd.molgewicht M=p/c

relaties xi

+

Xj= 1 w_i+Wj= 1 xiMi + xjM j=M w· w· I ---!+~=-Mi Mj M w·M· x.

=

I J I WiMj+wjM_i M·M· dx. = I J 2 dw, 1 (w.M.+w.M.) 1 J J I [-] [- ] [kg/krnol] [kg/krnol]

ALGEMENE BALANSVERGELIJKINGEN

Notatie: x, y, z, r, {J,'IJ:coördinaten

p:dichtheid

v: snelheid t : tijd

T: schuifspanning

g: versnelling van de zwaartekracht

p: druk continuiteitsvergelijking carthesiaans coördinatensysteem(x,y, z)

èo

a a a -+-(pv )+-(pv)+ -(pv )=0 at êx x ay y az Z cylindrisch coördinatensysteem (r,(J,z) ap 1 a 1 a a - +--(prv)+ - -(pv~)+ -(pv)=0 at r ar r r

a

{J êz Z

sferisch coördinatensysteem(r,(J,'IJ)

C, :soortelijke warmte bij

gelijkblijvend volume T : temperatuur Q":warmteflux c : molaire concentratie R :molaire productie N : molaire flux. èp 1

a

2 1

a

.

1

a

_

at +r::2a-(pr vr r )+r sm~ a·Q(pv~smV ' v (J)+r sm~ir-a'IJ(P~n)T - 0

massabalans voor component A

carthesiaans coördinatensysteem(x, y, z) aCA (aNA X aNA y aNA Z) _ at + êx + ay + êz - RA cylindrisch coördinatensysteem(r,(J,z) êc ( a aN aN) ~+ l-(rN ) +1 ~ +~ = R at r ar Ar r a{J az A

bewegingsvergelijking carthesiaans coördinatensysteem (x,y, z) ( avx a a a )

~

a a a

J

ap p

at

+ V_{xax Vx + vy ay Vx + Vz az V}z =- l a x 7xx + ay 7yx + az 7zx - ax +pgx (avy a a a )

I

a a a

J

ap

p at+VxaxVy+Vyay Vy+VzazVY =-t:ax7Xy+ay7yy+az7Zy - a y + p gy

(avz

a a a ) _ [a a a ] êp

p

ät

_{+ Vx ax Vz + Vy ay Vz + Vz az Vz -} - ax 7xz +

äY

7yz + az 7zz - az +pgz

cylindrisch coördinatensysteem(r,{J,z)

Ü

a Vr aVr v,') aVr

v~

aVr)

[1

a

1

a a 7,'),')] êp

p _ +v - + - - - - + v - =- - - (r 7 )+- - 7 +- 7 - - -_+pr! at r ar r a{J r z êz r ar rr r a{J ,')r az zr r ar or

(

av,')

~ ~

av,') VrV,') av,')) =_[ 1

~

2

11..

1.

7,')r-7r,')

J

_1

ap Pat +v_{r ar} +r a{J +-r-+vzaz 7ar(r 7r,'))+ra{J7,'),')+az 7z,')+ r ra{J+pg,')

(a vz

avz

~

avz av )

[1

a

1

a a

J

ap

p - + v - + - +V_z ~ =- - -(r T )+- - 7.• + -T - -+ p r! at r ar r a{J az r ar rz r a{J vZ az zz êz Ol

sferischcoördinatensysteem (r,{J,'IJ)

(

av, av, v av, v av, v~ +v' )

[I

a 2 I a .

I

a T " "+T ] ap

p a-_I + v_{' r}-a +~_r a{) +_r~{),,-- ~ = - :'Ia-(r Trrl +- .-{)a-{)(T",sin{)l +- .-{) a- Top,- ~r - -a + pg,

Sin o.p r r r rSin rsm .p r

(av" av" ~av" ~av" ~_V; COI{)) _

[I

a 3 1 a . 1 a

(T",-T,,,)-T,,,,,COI{)] lap

p ät+ v,ar- + r a{) +rsin{)a.p + r r - - fljh(r T,,,l+rsin{)a{)(T,,,,sm{)) +rsin{) a.pTop,,+ r - r a{) + p g"

p

l ~

+v

~

+

~ ~

+

~ ~

+

~~

+

~

COI {))

=

_

f

-:!J

~

(r3T )+

-~

-

~

(T"

sinI'})+

-

~

-

~

T +(Toj,,- T, op)+Top "col

{)1

-

-

!

-

~

p

+pg \ul ' ur r a.:l 'Sinv u.p r r Lr ar 'op rSIn .:lal'} op r SIn .:l a.p .pop r rsmI'}u.p .p

VI

dl rlIr r dl} r sin dl/' r r r ilr r sin ill} r sin dl/' r r sm (Jo(!

energiebalans

carthesiaanscoördinatensysteem (x,y, z)

C (aT

ar

ar

aT)

[aQ~ aQ~ aQ~

] (ap) (avx avv avz) \1 avx avv avzJ

p - + v - +v - + v - = - - +----'- + - - T - - +----'- + - - 7 - + 1' --'- + 1' - + y at x êx y ay z êz êx ay êz aT ax êy êz xx êx yyêy zz êz p { (avx

3)

(avx av z)

(~av

z)

_J - 7xy ay + êx + 7xz

az

+ ax +1'y z êz +

ay

cylindrisch coördinatensysteem(r, {), z)

(aT

ar

vaT aT) [I a "

laQ~ aQ

~]

(a p) (1 a Iavt') av

z) { a vr 1(avt') )

pC - + v -+:J:!.-+v - =- - -(r Q )+- - + - - T - - - (r v ) +- - + - - 7 - +.7 - - + v +

v at r ar r a{) z êz r ar r r a{) az

ar

r ar r r a{) êz rr ar ~~ r a{) r

p

avz} {

I

a

(v~)

1 aVr

J

(

avz avr) (1 avz _avt'))J

+ 7zz az - 7r~Lr

ar r

+r a{) +1'rz

ar

+ az +1'~z

r

a{) +

az

sferischcoördinatensy steem (r, {),tp)

(

aT aT vt')

aT

~

aT

) [

= 1

~

2 " _ 1

_

.i- ".

+ _1_

a"J

~

pC; .êt + Vr ar +

r

a{) + r sin {) atp

-

?

ar (r Qr) + r sin {) a{)

(Q~sm

{) r sin {) 3.p

(ap ) (1 a 2 1 a 1 av) {av. (1

av~

v) ( 1 êv v. v cot {))}

-T - - - r v + . - v sin é +_ _:....:::2. ---!+1' --+...! +7 - - :....:..:E.+..r+~

ar

p r2 _{ar ( r) rsr.rïf} a{)(}

o

)

_{rsin {) atp - 7rr ar}

oo

_{r a{) r 'fJ'fJ r sin {) atp r r +}

_ {7

(av~

+! aVr _

~)

+T

(~+

_ 1_ aVr_

~)

+ r

(1

~

+_1_

av~

_ cat {) v )}

r~ ar r a{) r r'fJ ar rsin {) atp r t')'fJ r a{) r sin {) atp r 'fJ

V>

54 continuiteitsvergelijking in tensornotatie compressibel

a

-p=-(V·py)

at

incompressibel V·y=O bewegingsvergelijking in tensornotatie

a

at

(PY) = - (V .pyy) - [V ·(P§.+ z)] +pg

BERNOULLI VERGELIJKINGEN

notatie:

rf>m

:

massastroom

rf>

A : totaal toegevoerde energie Awr : energiedissipatie per

massa-eenheid

Kw : weerstandsgetal of frictieco-efficiënt

algemene Bernoulli vergelijking

R : gasconstante

M : molecuulgewicht

" : Cv/Cp

Dh :hydraulische diameter f : frictiefactor

0= - ddP + g(h 2 - hl) + Y2«V2>2 - <VI>2)}

rf>m

+

rf>A

-

Awrrf>m

I p

met Awr=

~

(4f·Y2<V>2DLh)j

+

~

(Kw· Y2<v>2)j

1 J

wrijvingsloze stroming van incompressibel medium met

rf>A

= 0

~

+

gh

+

Y2<v>2= constant langs stroomlijn isotherme stroming van een ideaal gas

adiabatische stroming van een ideaal gas K-I

} dP

=

PI _,,_ {(P2)- K- _ I}

BALANSVERGELIJKINGEN VOOR GEÏDEALISEERDE

MATERIALEN

Notatie: x, Y, z,r,~,I{): coördinaten

p :dichtheid v: snelheid TI:viscositeit p: druk t : tijd T:temperatuur

g : versnelling van de zwaartekracht Cp: soortelijke warmte bij constante

druk

À :warmtegeleidingsvermogen C :molaire concentratie

ID :diffusiecoëfficiënt

R :molaire productie. continuiteitsvergelijking voor vloeistoffen met constante dichtheid

carthesiaans coördinatensysteem (x,y, z)

cylindrisch coördinatensysteem (r,~,z)

I a I av êv

- - (rv)

+-

2

+

~ =0 r ar r r a~ êz

sferisch coördinatensysteem (r, ~,I{))

1

a

2 I

a .

l~_

:2 _{-a (r vr)}+~ a_Q(v~sin~)+~ a - 0

r r r smiz u r sm e I{)

massabalans voor component A met constante dichtheid en constante diffusiecoëfficiënt

carthesiaans coördinatensysteem (x,y, z)

cylindrisch coördinatensysteem (r, ~, z)

~;A

+ (

vr

~~A

+

v~

t

~~A

+

V

z

~~A

)

= ID

AB(

~

:r(r

~~A)

+

~ ::~A

+

::~A)

+

RA

bewegingsvergelijking voornewtonse vloeistoffen met constante dichtheid

cilindrisch coördinatensysteem (r,~,z)

(av aVr voav V2 avr) _ ap [a (I a ) I a 2v

r 1

~

a2v] p::...J+v - + -=.J -.:.Il..+v_ -->c+71 'i"": - >r:(rv) + 2 - - 3 +.:..-I. +pg

at r ar r ae r z az or or r er r r ae 2 r ae az2 r

I

~

+ v aVtl +

~avo

+ vrvo + v ayo) =

_1

ap +

[

~( 1

È.(rv») +..!. a2vo +

1.

~

+ a2vo]

p

~at

r ar r ae -r- z az r ae 71 ar r ar 0 r2 a0 2 r2 ae az 2

(a vz avz

'!E

avz avz) ap

l

-

I

a ( aVz)

I

a 2

Vz a2vJ p

at

+ vra;:- + r

ae

+ vZ(lZ =

-Ol

+ 71

r

ar

rar:- +? ae 2 + ~ + pgz

UI 0\ + pg'fJ

+

pgy +pgx +pgz

sferisch coördinatensysteem (r,~,I{)) (a vr aVr voavr v'fJ aVr v0

2

+ v2)_ ap ( 2 2 2 av" 2 2 ~)

p -

+

v- + - - + ~- - ~ - - "'r:: + 71 IJ v - 2"v - 2 ----'L - :3v cot 0 - ~-:-o a +pgr

- at r ar r ae rsin 0 al{) r or r r r r ao r 0 r sin I{)

(avo av" v"avo v.; avo vvo V'fJ2c

o t

0

) _

_1ap (2 2 aVr Vo 2cos

e

~)

p - + v----'L + ...ll _ + _,,_ - -+ _r- - - --'\71"+ 71 IJ v +-:2 - - - ~ + P g

at rar r ae r sin

e

al{) r r rou

e

r ae r2sin?

e

r sin__e al{) 0

(avlp av'fJ

v;

av", v'fJ av",

v

:

vr

V

o

VI{!

0

)

I êp

I

2 v; 2 aVr 2cos

0

avo

)

p - -'- + v- + J l- - L +- --r..+ --"---'-+ co t = -- - - + 71lIJ v - ---"- +-2- - - +-,,---;,-'-

':-"-at r ar r ae rsin

e

al{) r r rsin

o

al{) \ 'fJ r2sin 2e r sin0 al{) r2sin 20 al{)

Cartesiaans coördinatensysteem (x.y,z)

(avx

avx _{avx avx}) ap

I

a2_Vx a2_Vx a2v_x) p - + v - + v - + v - = -..,-:: + 711 --- + --;:--"<" +-

-at x ax yay z az ox \a.x2 ay' az 2 (a v av êv QV) ap (a

2

v a2v a2v) p _êt + v ::....:Y. + v ::...:1 + v -~ = --a+ 71 ~ + =--..Y.+ =---->:

at x ax y êy z êz y ax a y2 az2

(avz avz avz avz) _ ap (a

2

vz a2vz a2vz)

warmtegeleidingsvermogen

carthesiaans coördinatensysteem (x,y, z)

(

aT

ar

ar

aT)_ ... [a2T a2T a2T] {(avx

)'2

(avy)2 (avz)2} {(avx _avv)

2

(avx avz)

2

I~ ~)2}

pC_p at+Vxax+Vyay+Vzaz -l\ax2+ay2+az2 +211 ax + ay + az +11 ay +a; +

äi"+~

+\az+ ay cylindrisch coördinatensysteem (r,f),z)

( ( {( )

2 [ (

)J

2} {( ,2 ( 2

ar

ar

v

ar

ar

I a

ar

I a2T a2T aVr 1

av~

2 avz

av~

1 avz avz êv

pC -+v -+:x!-+v

_)=Àr~-r-)+:::2

-+-J+211 - + - - + v +(-) +11 - +- - ) + -+---!) +

p at r ar r af) z az

lj

ar ar r af)2 az2 ar r af) r az êz r af) ar az

+

[i

aVr + r

~(S2)J2}

r af) ar r

sferisch coördinatensysteem (r, f), i{))

C (aT+_v aT+S2 aT

+~aT)=À[l..

.!(r2

aT)+_I_~(sinf)aT)+

I a

2TJ+2

{(avr)2 +(1

av~+~)2

+

p p at r ar r af) r sin f) ai{) r2 ar ar r2 sin f) af) af) r2sin2f) ai{)2 11 ar r af) r

( I

êv v v ot.o.) 2}

{~a

(v ) I

av~

'2 [ 1 êv a (v )J2 [ . .0.

~

V 'J I

av~

2}

+ _ _ .:...:.'2+J +

~c

ir + r :iJ. + _ _r + --!:+r- J2 +

~

+ J

r sin f) ai{) r r 11

or

r raf) r sin

ïJ

ai{) ar r r a

sïlîJ

r sin

ïJ

ai{)

Vl ..,J

58

VEEL VOORKOMENDE STROMINGSVELDEN IN TENSORNOT

ATIf

Notatie: 'V

• av

= - x .

e

• =

av

x.'V• deformatietensor

I ay' dX'.1..

eenvoudige afschuiving (simple shear) 1

o

o

eenvoudige rek

rek in de x-richting, geen krachten in de y- en z-richting.

i=

o

-Y2

o

_~~)

1

unaxiale rek

rek in de x-richting, geen krachten in de y-richting en geen snelheden in de z-richting

o

-I

o

biaxiale rek

REOLOGISCHE MODELLEN

Notatie: eendimensionaal: T : schuifspanning 7'/ : viscositeit T0 : zwichtspanning k : consistentie n : machtwet index tensoriee1: 1

..

: schuifspanningstensor

;r :

deformatietensor 7'/ : viscositeit A,B : constanten À : tijdconstante A,B,C : constanten • dv; 1 . = -_{. dy} 7'/ := lim 7'/ ~ i+o

II'.: tweede invariant van de 'Y deformatietensor k : consistentie n :macht wet index

eendimensionaal Newton Machtwet T

=

-7'/1 T

=

-klrln-1r Bingham-plastic T - T O= -T/'Y Casson Prandtl Prandtl-Eyring Eyring Powell-Eyring Williamson tensorieel Newton tweede orde

Vi

-

Vi;,

=

~I

r

'

T=A arcsin(B) T=-A arcsin(Br) T

=r

+

c sin

(~)

B

A

T= Ar

+

B arcsinhfCj') Ar • T=--·+7'/1 B

+

1 ~

r=wr

r

=

Ai

+

Bi

2 n-l 1 -macht wet

r

= k(ï II

_i

)

2

:r

.

i h .

klassieke Maxwell

t

+À a~ =7'/0

b

met II.

=

L L r .. r.· 'Y i j 1 ) 1 ) *)

60

ST •

Oldroyd Maxwell

I.

+ À

&t

= 1)0

r

met

8Tji _ aTij ~

-:.<_-+~

ót

at

k

lineaire en logaritmische reogrammen ter herkenning van enkele vloeistoffen t

/

_1Ja

\\

./"

. \

i

, . /

I

\.

'"

-~

\

~--, / _"

_....

--

--Y"

-:

,,-/ ; ' /

l/

,,-<,

.- _/

....

/

--

-.

-y

~

v

~ _I Fig.l. Fig.2.

'rl.-j'

I I I I ---1~~ log

y

Fig. 3. log 1Ja

-,

, /

1

<,

, / ,0/

-,

<,

, /. , /

\

< , ,0/ , /

--

-

--,0/ ----l~. log

y

Fig.4.

Fig. 1 t/m 4: Lineaire en iogarithmische reogrammen,

- - - : Bingham; - - : Newton; _._._.- : Power iaw;- - - : Poweriaw

DRUK-DEBIET KARAKTERISTIEKEN VOOR STROMING VAN

ENKELE VEEL GEBRUIKTE VLOEISTOFFEN DOOR EEN

RONDE BUIS

Notatie: algemeen l{)y :volumedebiet 7₀ :zwichtspanning 'TI :viscositeit k :consistentie n :machtwet-index

7_w :schuifspanning aan de buiswand

R :straal van de buis

p :druk 7 :schuifspanning ,y ._~ I • - dr

-

--y

Newton 7= -1/')-machtwet 7= - k

Irl

n- 1

r

1 n

31

R dP

In

l{)y

=

3n

+

I tt R 2k dz Bingham plastic 7 - 7₀

=

-

r/i'

= _ 1rR3(

~

_

~

dP

_:0

)

62

VERBLIJFTIJ DSPREIDING

Notatie: E:"exit age" verdeling F : "internal age" verdeling of

verdelingsfunctie t :tijd

r :gemiddelde verblijftijd {) : dimensieloze tijd (=tir) )

a

:

standaardafwijking

V :volume 'Py: volumedebiet to : doorbraaktijd

Pé: peeletgetal(Pé

=

<vi;D)

n : aantal ideale mengers

gemiddelde verblijftijd

r

=VI'P

y ~ r =

J

t E(t) dt o ~ r =

J

(I - F)dt o variantie in de spreiding

a

2

=

j ({) _

_{1)2 E({)) d{)} o relaties t F(t) =

J

E(t) dt o ~ 1 - F(t) =

J

E(t) dt t ~

J

E({)) d{) = I o ee

J

1- F({)) d{)= I o ingangssignalen t = 0 E=oo ti: 0 E=O t< 0 F=O t>O F=l

responsie van systemen propstroom E =0 E =00 ₁₌T F =0 I< T F = I t>T t_o=T ideale menger E = e-~ t>O F = 1- e-~ t

>

0

laminairestroming ineen ronde buis E - _1_ _{t > T/2} - 8t13 E = 0 1

<

T/2 F = l -~ t> T/2 4t1 F= O t

<

T/2 propstroo m met ax iale dispersie

E = Y,

J

Pé exp{_ Pé (I _ t1)2} 11t1 4t1 E "'"'h

f t

exp{- Pé(I - t1)2} 11 4

(

Pé~ I OO) ~

F "'"'h {I - erf(Y2(I - t1)y'Pé)} ~ (Pé ~100) 02=

~

-

(P~)2

{I - exp(-Pé)}

.

.

.

.

.

.

..

th-n (n> 5) (Pé> 100) 2 (n

>

5)

thJthf.

·

nn t1n- 1 E = - - - e-n~ (n - I)! E'"

~t1n-1

exp {-n(t1 - l)} 211' F "'" I _ e-~ {I +nt1+(n t1)2+(nt1)3 +... +(nt1)n-1 } 2! 3! (n --l)! n ideale mengers in serie

64

GROOTHEDEN EN HUN DIMENSIES

~

basis-symbool dimensie dimensies betekenis komt voorin:

T

-a m2. m 2 temperatuurvereffenings- Fo,Gz,Le,Pé,Pr s s v

coëfficiënt (zie ook onderÀ)

Cp J m2 _{soortelijke warmte Da IV, St}

kgK S2K Ar,Bm, Bd,Da I,Da 11,Da

111

.

{3 d m m diameter,karakteristieke afmeting Da IV,Da V,De,El,Eo, f,

F

a.

Ga, Gz,Gr,Pé,Ra, Re,Sh,T,

e

We,Ws D m m roerderdiameter Fr, P, Re 1] D_s m m spiraaldiameter De m2 m2 ~

In _{diffusiecoëfficiënt Bi, Bo, Da lIl, Fo, Ha,Le,pe,}

s s Sc, Sh,T À E J m 2 activeringsenergie Ah Kg

~

IJ

m

m _{versnelling van de} Ar,Bd,Eo, Fr,Ga,Gr,Ri g

"'1"

S2 zwaartekracht p h W ~ warm teoverdrachts- Bi,Nu,St m2K Ks3 _{coëfficiënt} Á{. H m m hoogte Fr,Ri k m_s m_s stofoverdrachts- Bi,Ha,Sh a coëfficiënt

k_r SI I _{reactieconstante Da I, Da 11,Da lIl, Da IV,aa,1} Ta

s

I

L m m lengte (in de transport- Bi,Bo,Db, f,Gz,Nu "Pr

richting)

N S-I I _{toerental Fr, Po, Re,We}

s p Pa

.ss.

_{m s?} druk f P W kgm 2 toegevoerd vermogen Po

~

R J m 2 gasconstante Ah kgK S2

k

~l

dime nsie bdimasis-ensies betek enis komt voor in:

s s tijd Fa

--

T K K temperatuur Ah,Br,Da 111, Da IV,Gr

v m m _{snelheid Bm, Ba, Br,C, DaI,Da IV, Da V,}

S- s De,Db,

r,

Fr,Gz,Ho, Pé,Ra,Re, Ri,St,We, Ws {3 K-1 I _{kubieke uitzettings- Gr}

Da 111

.

K

,

_{coëfficiënt} >, f,

Fa

.

.sa.

Sh ,T, € Pa elasticiteitsmodulus C,Ho m s?

17 Pa-s

.!.8.-

_ms dynamische viscositeit AI,Bm, Br, Da V, De,El,Ga, Re (zie ook onderIJ)

~ S s relaxatie tijd Db, EI,Ws

Le, pe,

À W kgm vvarmtegeleidings- Bi,Br,Da IV, Nu

mK S3K _{coëfficiënt}

(zie ook onder a)

IJ m2 m

2

kinematische viscositeit Gr, Pr,Sc

s s

(zie ook onder 77) Ri

p kg

~

_{dichtheid,soortelijke AI,C, Da 111, Da V,De, EI,}

_r

_,

m3 m

Ga,Ho, Po, Ra, Re, Ri, St, We massa

t::.p

kg kg dichtheidsverschil AI,Bd,Eo, Ri

m3

ffiJ

0 N ~ oppervlaktespanning Bd, Eo, Ra,We m S2 T_{O Pa} kg _{zwichtspanning Bm} V, fla,r ms2

I

'Pr

L

m 2

reactiewarmte per een- Da lIl, Da IV

kg

7