Rozdział 1Rozdział 1Rozdział 1Rozdział 1 ZDARZENIA ZDARZENIA ZDARZENIA ZDARZENIA IIII PRAWDOPODOBIEŃSTWOPRAWDOPODOBIEŃSTWOPRAWDOPODOBIEŃSTWOPRAWDOPODOBIEŃSTWO

Rozdział 1 Rozdział 1 Rozdział 1

Rozdział 1 ZDARZENIA ZDARZENIA ZDARZENIA ZDARZENIA IIII PRAWDOPODOBIEŃSTWO PRAWDOPODOBIEŃSTWO PRAWDOPODOBIEŃSTWO PRAWDOPODOBIEŃSTWO

W rozdziale tym omawiam dwa podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa:

zdarzenie (elementarne oraz losowe) oraz prawdopodobieństwo, oba na tle doświadczenia losowego – ważnego pojęcia, które pozwala na lepsze rozumienie omawianych zagadnień, gdyż daje im niezbędny kontekst. Warto zwrócić baczniejszą uwagę na związek logiczny pomiędzy doświadczeniem losowym a zdarzeniem elementarnym oraz pomiędzy zdarzeniem elementarnym a zdarzeniem losowym.

1.1 1.1 1.1

1.1 ZDARZENIE ELEMENTARNE I ZDARZENIE LOSOWE ZDARZENIE ELEMENTARNE I ZDARZENIE LOSOWE ZDARZENIE ELEMENTARNE I ZDARZENIE LOSOWE ZDARZENIE ELEMENTARNE I ZDARZENIE LOSOWE

Oba te pojęcia są niezwykle ważne nie tylko dla rachunku prawdopodobieństwa, ale także dla statystyki matematycznej. Zdarzenie elementarne to pojedynczy wynik doświadczenia losowego, natomiast zdarzenia losowe to pewne zbiory zdarzeń elementarnych będące przedmiotem zainteresowania. Do tworzenia zdarzeń losowych i operacji na nich używa się teorii mnogości (teorii zbiorów).

1.1.1 Doświadczenie losowe D

Doświadczenie losowe. Doświadczenie losowe D jest to pewne powtarzalne postępowanie, którego wyniku nie da się przewidzieć z całkowitą pewnością.

Jednakże sam opis doświadczenia poprzez sposób jego wykonywania nie wystarczy do jednoznacznego określenia, co jest wynikiem tego doświadczenia i dlatego jest konieczne, aby podać, co będziemy rozpatrywać jako wynik doświadczenia oraz określić zbiór możliwych wyników.

Przykład 1.1. Doświadczenie losowe D 1. Doświadczenie DK : rzut idealną kostką sześcienną;

2. Doświadczenie DN : obserwacja liczby N opadów w ciągu roku w danym miejscu;

3. Doświadczenie DQ: pomiar natężenia Q (w l/sek) przepływu wody w danym przekroju wodowskazowym.

4. Doświadczenie DHL: pomiar szerokości H (w cm) i długości L (w cm) pewnej prostokątnej powierzchni A.

Na przykład, jako wynik doświadczenia DK z przykładu 1.1 możemy uznać a) liczbę oczek na górnej ścianie kostki (tak się dzieje najczęściej, mamy wtedy 6 wyników), ale możemy też uznać b) kwadrat liczby oczek na górnej ścianie kostki (również 6 wyników, c) tylko liczbę parzystą lub nieparzystą oczek na górnej ścianie kostki (2 wyniki), czy współrzędne (x,y) pionowego rzutu środka geometrycznego kostki na powierzchnię stołu (nieskończenie wiele wyników i każdy z nich jest parą liczb). Nie określenie czym jest wynik doświadczenia może prowadzić do nieporozumień (zob.

przykład 1.5).

Wydaje się, że w przypadku doświadczenia DN z przykładu 1.1 sytuacja jest bardziej jednoznaczna, gdyż daje ono wynik ilościowy a nie jakościowy jak w rzucie kostką.

Jednak i tu należy coś doprecyzować. Jeśli przyjmiemy, że liczba N może przyjmować wartości 0,1,2,..., Nmax – to jaką wartość należy przypisać liczbie Nmax? Z fizycznego punktu widzenia powinna to być liczba skończona. Jeśli tak, to jaka? Na to pytanie nie ma odpowiedzi. Dlatego najwygodniej jest przyjąć, że Nmax=4, chociaż jest to niepoprawne z fizycznego punktu widzenia. Podobnie jest w pozostałych doświad- czeniach DQ i DHL z przykładu 1.1.

Powtarzalność doświadczenia losowego oznacza możliwość jego wielokrotnego wykonywania w podobnych warunkach. Podobieństwo to dotyczy szczególnie tych warunków, które istotnie wpływają na wynik doświadczenia, co oznacza, że należy posiadać informację o tym, co wpływa na wynik doświadczenia by móc rozróżnić pomiędzy czynnikami istotnymi a nieistotnymi.

Próba losowa. Statystyka matematyczna. Każdą realizację (wynik) doświadczenia losowego możemy związać z liczbą. W niektórych przypadkach jest to oczywiste lub prawie oczywiste (jak w doświadczeniach z przykładu 1.1), w innych jest wyłącznie kwestią umowy. Jeśli doświadczeniem jest jednokrotny rzut monetą, to możemy wynikowi – orłowi lub reszce – przypisać dowolną liczbę, byleby tylko była inna niż liczba przypisana drugiej stronie monety.

Jeśli doświadczenie losowe D, którego wynik jest liczbą, nazwijmy ją x, wykonamy n razy otrzymamy n-elementowy zbiór Zn wyników {x1,x2,...,xn,} tego doświadczenia – tzw. próbę. Jest on częścią zbioru wszystkich możliwych wyników doświadczenia D.

W praktyce próba losowa jest często podstawową informacją, jaką posiadamy na

temat doświadczenia losowego. Jako część pewnej całości jest to informacja niepełna, stąd wnioskowanie na tej podstawie jest zawsze niepewne (co nie oznacza, że jest ono nieścisłe czy niedokładne). Dyscyplina naukowa zajmująca się tego typu wniosko- waniem nazywa się statystyką matematyczną i jest ona przedmiotem drugiej części niniejszej książki.

Przykład 1.2. n-elementowa próba losowa Zn opisująca doświadczenie losowe D 1. 10-elementowa próba losowa opisująca doświadczenie DK polegające na rzucie idealną

kostką sześcienną: Z10 = {1, 3, 3, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 5}

2. 5-elementowa próba losowa opisująca doświadczenie DN polegające na obserwacji liczby N opadów w ciągu roku w danym miejscu: Z5 = {25, 30, 28, 35, 22}

3. 5-elementowa próba losowa opisująca doświadczenie DQ polegające na pomiarze natężenia Q (w l/sek) przepływu wody w danym przekroju wodowskazowym: Z5 = {2.85, 2.73, 2.92, 2.45, 2.90}.

4. 3-elementowa próba losowa opisująca doświadczenie DHL polegające na pomiarze szero- kości H (w cm) i długości L (w cm) pewnej prostokątnej powierzchni A: Z³ = {(12.4, 48.2), (12.6, 48.1), (12.4, 48.1)}

Uzyskiwanie elementów próby losowej może odbywać się na kilka sposobów. Jed- nym z nich jest faktyczne wykonanie doświadczenia losowego (jak w przykładzie 1.2) rzucamy kostką n razy, dokonujemy n razy pomiaru danej wielkości itp.). Innym sposobem jest n-krotne wykonanie eksperymentu za pomocą komputera naśladu- jącego rzeczywistą realizację doświadczenia losowego. To naśladowanie nazywa się generowaniem liczb pseudolosowych i wymaga pewnych dodatkowych założeń dotyczących możliwych wyników doświadczenia losowego. Sposób ten będzie również stosowany w tej książce, gdyż jest to bardzo pożyteczna technika.

1.1.2 Zdarzenie elementarne e i przestrzeń zdarzeń elementarnych E Zdarzenie elementarne. Każde doświadczenie losowe D może się realizować (być wykonane) na wiele sposobów. Każdy z tych sposobów (realizacji) nazywamy zdarzeniem elementarnym e. Jest to pojęcie pierwotne rachunku prawdopodobień- stwa, nie posiada więc formalnej definicji, jednakże w każdym praktycznym przypad- ku należy uświadomić sobie jego sens wynikający z przyjętego doświadczenia losowe- go i potrzeb rozwiązywanego przez nas zadania.

Przykład 1.3. Zdarzenie elementarne e 1) Zdarzenie eK = wyrzucenie określonej liczby K oczek w jednym rzucie idealną kostką (K = 1,2, ...,6);

2) Zdarzenie eN = zaobserwowanie w toku pojedynczej obserwacji jakiejkolwiek liczby N opadów w ciągu roku w danym miejscu (N = 0,1,2, ...) (Jedna obserwacja trwa cały rok!).

3) Zdarzenie eQ = otrzymanie konkretnej wartości Q w wyniku pomiaru natężenia przepływu w danym przekroju wodowskazowym. Q jest dodatnią liczbą rzeczywistą.

4) Zdarzenie eHL = otrzymanie konkretnej pary wartości (H,L) w wyniku pomiaru szerokości H i długości L pewnej prostokątnej powierzchni A za pomocą określonego przyrządu pomiarowego. Liczby H i L są dodatnimi liczbami rzeczywistymi.

We wszystkich podanych przykładach zdarzeniem elementarnym jest pojedyncza realizacja doświadczenia losowego, którą z reguły wiążemy z liczbą (przyporządkowanie zdarzenie elementarne÷liczba nosi nazwę zmiennej losowej i jest omawiane w rozdziale 2). Przyporządkowanie takie, jakkolwiek powszechne, nie zawsze jest konieczne. Prostym przykładem może być rzut monetą, gdzie mamy dwie możliwości: orzeł lub reszka, a więc wynik rzutu nie jest wiązany z liczbą, choć można to łatwo zrobić przypisując wyrzuceniu orła określoną liczbę (np. jeden), a wyrzuceniu reszki – inną liczbę (np. zero).

Na ogół opis doświadczenia losowego nie determinuje (tj. nie określa jedno- znacznie) zdarzenia elementarnego. W przedstawionych niżej przykładach 1.4 i 1.7 opis doświadczenia losowego jest na tyle niejednoznaczny, że pozwala określić więcej niż jeden rodzaj zdarzenia elementarnego.

Przykład 1.4. Pojęcie wynik doświadczenia losowego (zdarzenie elementarne) może być niejednoznaczne Niech doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie kostką sześcienną. Podać zbiór możliwych wyników (czyli zbiór zdarzeń elementarnych).

Pani A powiada: wynikiem tego doświadczenia jest otrzymanie w wyniku rzutu dowolnej liczby spośród 1,2,3,4,5 lub 6. Mamy więc 6 zdarzeń elementarnych.

Pani B powiada: wynikiem tego doświadczenia jest otrzymanie w wyniku rzutu liczby parzystej albo nieparzystej. Mamy więc 2 zdarzenia elementarne.

Pani A może argumentować, że zdarzenia typu B {liczba parzysta} lub {liczba niepa- rzysta} są zdarzeniami złożonymi, gdyż na każde z nich składają się trzy zdarzenia elemen- tarne typu A, a więc tylko zdarzenia typu A są zdarzeniami elementarnymi. (Taki argument jest czasami podnoszony i sens terminu zdarzenie elementarne jest uzupełniany o takie stwierdzenie.) Tymczasem Pani B może powiedzieć, że jest to nadużycie, gdyż z formalnego punktu widzenia termin zdarzenie elementarne nie posiada definicji, a więc jej definicja jest równie dobra jak definicja Pani A. Poza tym ją interesuje wyłącznie fakt parzystości lub nieparzystości i taki wynik będzie zapisywać jako wynik doświadczenia losowego.

Jak w takim razie ustalić, co jest wynikiem opisywanego doświadczenia losowego?

Rachunek prawdopodobieństwa nie daje odpowiedzi jak ustalić, co jest zdarzeniem elementarnym. W praktyce musimy to robić, musimy więc uzupełniać teorię w ten

sposób, że pewnym pojęciom tej teorii nadawać będziemy empiryczne znaczenie. To nadawanie praktycznego sensu nazywać będę interpretowaniem danego pojęcia. Teo- ria prawdopodobieństwa nie zajmuje się interpretacjami, choć oczywiście nie mogą one być z nią sprzeczne.

Mając dane interpretacje, możemy się zastanawiać, która z nich jest lepsza. Aby to stwierdzić, musimy mieć jakieś kryterium „lepszości”. Ponieważ zajmujemy się zdarzeniem elementarnym, możemy argumentować, że zdarzenie typu A z przykładu 1.4 jest bardziej elementarne, gdyż – w odróżnieniu od zdarzenia typu B – jest ono niezłożone. Niektórzy autorzy przyjmują ten argument i uzupełniają sens terminu zdarzenie elementarne o takie stwierdzenie. Należy jednak pamiętać uwagę zawartą w poprzednim akapicie.

Poniższy przykład pokazuje bardziej skomplikowany przypadek, prowadzący do istotnych konsekwencji.

Przykład 1.5. Trzy interpretacje zdarzenia elementarnego dla jednego doświadczenia losowego Zadanie: Doświadczenie losowe polega na tym, że losowo poprowadzona cięciwa okręgu jest dłuższa od boku trójkąta równobocznego wpisanego w ten okrąg.

Rozwiązanie. Zadanie to jest sformułowane tak nieprecyzyjnie, że można je rozwiązać na wiele sposobów.

A B C D E

p

A

B

C

D

p

"

A B C D E

p

(A) (B) (C)

Sposób 1. "Losowo poprowadzona cięciwa" oznacza jedną z cięciw prostopadłych do śred- nicy okręgu. Środki cięciw dłuższych od boku trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg zajmują połowę długości średnicy, stąd szukane prawdopodobieństwo wynosi BD/AE = 1/2.

(rys. (A))

Sposób 2. "Losowo poprowadzona cięciwa" oznacza jedną z cięciw przechodzących przez punkt A okręgu pod kątem α do prostej p. Tylko sektor 60°-120° z kąta 180° zajmują cięciwy dłuższe od boku trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg, stąd szukane prawdopodo- bieństwo = kąt ABD/180° = 60°/180° = 1/3 (rys. B)

Sposób 3. "Losowo poprowadzona cięciwa" oznacza jedną z cięciw prostopadłych do średnicy okręgu i bierzemy pod uwagę wszystkie średnice. Środki cięciw dłuższych od boku

trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg zajmują wnętrze koła o promieniu r/2, stąd szukane prawdopodobieństwo wynosi [π(r/2)²]/[πr²] = 1/4. (rys. C).

Przestrzeń zdarzeń elementarnych E = {e} jest zbiorem wszystkich możli- wych zdarzeń elementarnych, a więc wszystkich możliwych realizacji (wyników) da- nego doświadczenia losowego D. Przestrzeń ta może być skończona, przeliczalna nie- skończona (tj. o liczności takiej jak zbiór liczb naturalnych) lub nieprzeliczalna (tj. o liczności takiej jak zbiór liczb rzeczywistych).

Przykład 1.6. Przestrzeń zdarzeń elementarnych E może być skończona, nieskończona przeliczalna i nieprzeliczalna Przestrzeń EK = {eK: K=1,2, ...,6} jednokrotnego rzutu regularną kostką jest przeliczalna skończona, gdyż jej liczność wynosi 6;

Przestrzeń EN = {eN: N=0, 1, 2,...} liczby zaobserwowanych opadów w ciągu roku jest prze- liczalna nieskończona, tj. zakładamy, że jest ich tyle ile jest liczb naturalnych. (Jest to ewidentne uproszczenie, gdyż liczba opadów w ciągu roku jest zawsze skończona. Robimy tak, gdyż nie potrafimy podać maksymalnej wartości);

Przestrzeń EQ = {eQ: Q ≥0} pomiaru natężenia przepływu jest nieprzeliczalna, tj. zakładamy, że możliwych wyników jest tyle ile jest liczb rzeczywistych;

Przestrzeń EHL = {eHL: H≥0, L≥0} pomiaru szerokości i długości prostokątnej powierzchni jest nieprzeliczalna, tj. zakładamy, że możliwych wyników jest tyle ile jest liczb rzeczywistych.

To, czy liczność przestrzeni zdarzeń elementarnych jest nieprzeliczalna czy przeli- czalna, jest w pewnym sensie kwestią umowy.

1.1.3 Borelowski zbiór zdarzeń losowych Z

Zdarzenia losowe. W praktyce interesujące są nie tyle same zdarzenia elementarne, co ich niektóre zbiory (podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych E), które nazywać będziemy zdarzeniami losowymi. Zdarzenia losowe najczęściej oznacza się dużymi literami: A, B, C, itd.

Dodatkowo zdarzeniem losowym nazwiemy także zbiór E zdarzeń elementarnych (tzw. zdarzenie pewne, które zachodzi zawsze) oraz zbiór pusty i nie zawierający ani jednego elementu przestrzeni E (tzw. zdarzenie niemożliwe, które nigdy nie zachodzi). Oczywiście zdarzeniem losowym jest także każde zdarzenie elementarne (a dokładnie jednoelementowy podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych: A = {ei}, ei0E, i=1,2,...)

Powiadamy, że w toku danego doświadczenia losowego zaszło (zrealizowało się, pojawiło się) zdarzenie A, jeśli zaszło którekolwiek (ale tylko dokładnie jedno) ze zdarzeń elementarnych składających się na zdarzenie A.

Tak więc jeśli rozważamy np. rzut regularną kostką sześcienną (przestrzeń EK = {eK: K=1,2, ...,6}), to jeśli interesuje nas zdarzenie losowe A polegające na wyrzuceniu liczby oczek mniejszej od 4, będziemy mówili, że zdarzenie to zaszło, gdy wyrzucimy albo 1 oczko, albo 2, albo też trzy oczka. Zbiór wszystkich zdarzeń losowych określonych na danej przestrzeni zdarzeń elementarnej E oznaczać będziemy literą Z.

Definicja zdarzenia losowego A w przypadku przeliczalnej przestrzeni E zdarzeń elementarnych. W przypadku, gdy przestrzeń E zdarzeń elementar- nych jest przeliczalna (skończona lub nieskończona), zdarzeniem losowym jest każdy podzbiór A przestrzeni E zdarzeń elementarnych (włączając zdarzenia q i E).

Niestety, definicji tej nie można utrzymać dla nieprzeliczalnej przestrzeni E, czyli wtedy, gdy zbiór zdarzeń elementarnych jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczy- wistych. Wtedy bowiem zbiór zdarzeń losowych Z definiowany jak wyżej byłby tak liczny, że nie każdemu z nich dałoby się przyporządkować liczbę rzeczywistą (prawdo- podobieństwo).

Liczebność zbioru (przestrzeni) zdarzeń losowych Z. Obliczmy bowiem ile elementów zawiera zbiór Z, rozważając trzy przypadki:

1) zbiór E zawiera n zdarzeń elementarnych,

2) zbiór E zawiera nieskończenie zdarzeń elementarnych, ale tylko tyle, ile jest liczb naturalnych (zbiór przeliczalny),

3) zbiór E zawiera nieskończenie wiele zdarzeń elementarnych, ale tym razem tyle, ile jest liczb rzeczywistych (zbiór nieprzeliczalny).

Przypadek 1 – zbiór E przeliczalny skończony. Łatwo obliczyć, że jeśli zbiór E zawiera n zdarzeń elementarnych, to zbiór Z zawiera 2ⁿ zdarzeń losowych. Zawiera on bowiem

0

 n

   zdarzeń niemożliwych,

1

 n

   pojedynczych zdarzeń elementarnych,

2

 n

   par zdarzeń elementarnych,

3

 n

   trójek zdarzeń elementarnych ...

1 n n

 

 

 −  (n-1)-elementowych podzbiorów zdarzeń elementarnych, n

n

  

  zdarzeń pewnych,

co razem daje

0

(1 1) 2

n

n n

k

n

= k

 = + =

  

∑

Przypadek 2 – zbiór E przeliczalny nieskończony. Gdy liczność zbioru zdarzeń elementarnych E jest równa liczności zbioru liczb naturalnych (liczbę tę oznacza się hebrajską litera !₀ (alef zero), to liczność zbioru Z jest taka sama jak liczność ÷ zbioru liczb rzeczywistych (tzn. symbolicznie 2^ℵ0 = ÷).

Przypadek 3 – zbiór E nieprzeliczalny. W przypadku nieprzeliczalnej przestrzeni E wszystkich jej podzbiorów jest więcej niż liczb rzeczywistych (2^÷>÷). Jest to poważny mankament, bowiem gdyby przyjąć podaną powyżej definicję zdarzenia losowego, to w niektórych przypadkach mogłoby być niemożliwe przypisanie zdarzeniom losowym odpowiednich prawdopodobieństw (gdyż prawdopodobieństwo jest liczbą rzeczywistą). Nie mógłby być spełniony przedstawiony poniżej pewnik pierwszy rachunku prawdopodobieństwa. Sytuacja ta zmusza do wybrania ze wszystkich możliwych podzbiorów zbioru E tylko niektórych podzbiorów i tylko takie nazwiemy zdarzeniami losowymi.

Do tego jednak, aby zdefiniować zdarzenie losowe w ogólnym przypadku, należy przypomnieć sobie kilka definicji dotyczących zdarzeń losowych i działań na nich, potrzebnych w dalszym ciągu wykładu. Korzystamy tutaj z podstawowych pojęć rachunku zbiorów wyrażając w tym języku zdarzenia elementarne i losowe.

Suma (lub alternatywa) C zdarzeń losowych A i B.

Oznaczenia: C = AcB = A+B = AwB = A lub B. Jest to zbiór zdarzeń elementarnych e0E takich, że każde z nich należy przynajmniej do jednego ze zdarzeń A lub B:

e0C=AcB <=> {e0E: e0A lub e0B}

Iloczyn (lub koniunkcja lub część wspólna) C zdarzeń losowych A i B. Oznaczenia: C = A1B = A·B = AB = AvB = A i B. Jest to zbiór zdarzeń elementarnych e,E takich, że każde z nich należy do obu zdarzeń losowych A i B:

e0C=A1B <=> {e0E: e0A i e0B}

Różnica C zdarzeń losowych A i B. Oznaczenia: C = A-B = A\B. Jest to zbiór zdarzeń elementarnych e0E takich, że każde z nich należy do zdarzenia losowego A i nie należy do zdarzenia losowego B:

e0C=A\B <=> {e0E: e0A i eóB}

E A

B A @@@@B

E _A

A+B B

E _A

B

A-B

Zdarzenie C przeciwne do (lub dopełnienie, lub negacja) zdarzenia A. Oznaczenia: C = } = ~A = nie A.

Jest ono zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych e0E nie należących do zdarzenia A:

e0} <=> {e0E: eóA} lub: } = E\A

Zawieranie się (lub inkluzja, lub implikacja: A pociąga B) zdarzenia losowego A w B. Oznaczenia: AdB lub AYB. Termin ten oznacza, że każde zdarzenie elementarne należące do A należy również do B:

AdB <=> (e0A => e0B)

Zdarzenia A i B nazywamy rozłącznymi (wykluczającymi się) , jeśli ich część wspólna jest zbiorem pustym (zdarzeniem niemożliwym): A1B = q.

Bardzo użyteczne są prawa de Morgana:

A∪B=A∩B (1.1)

A∩B=A∪B (1.2)

Uzbrojeni w powyższe terminy możemy przystąpić do definicji zdarzenia losowego i zbioru wszystkich zdarzeń losowych Z w przypadku ogólnym, tj. również wtedy, gdy zbiór zdarzeń elementarnych E zawiera nieprzeliczalną liczbę zdarzeń.

Zbiór zdarzeń losowych Z jako ciało borelowskie podzbiorów przestrzeni E. W ogólnym przypadku zbiór zdarzeń losowych Z jest szczególnym zbiorem (rodziną, klasą) podzbiorów zbioru zdarzeń elementarnych E. Jest on tzw.

F-ciałem lub borelowskim ciałem (zbiorem) podzbiorów przestrzeni E, tj. takim zbiorem,

1) który zawiera E i q,

2) i dla którego prawdziwe są wnioskowania:

A, B, C, ... , Z => (Ac Bc Cc...) 0 Z, A, B 0 Z => (A\B) 0 Z,

A, B, C, ...0 Z => (A1B1 C1...) 0 Z.

Warunek 2) oznacza po prostu, że jeśli A, B, C, itd. są zdarzeniami losowymi, to ich suma, różnica i iloczyn są też zdarzeniami losowymi, a więc działania te nie powodują

"wyjścia" poza zbiór zdarzeń losowych Z (nie dają wyniku, który nie należy do Z).

Definicja zdarzenia losowego. Zdarzenie losowe jest dowolnym elementem borelowskiego ciała podzbiorów przestrzeni E.

Przykład 1.7. Zdarzenie losowe A 1) wyrzucenie nieparzystej ilości oczek: A1 = {e1,e3, e5}, w doświadczeniu D1

E A

A -

B

A

E

A d dB d d

2) pojawienie się mniej niż 10 opadów w ciągu roku: A2 = {e0,e1,e2,e3,e4,e5, e6, e7, e8, e9}, 3) pojawianie się przepływu Q >Q0, gdzie Q0 jest zadaną wartością: A3 = {eQ : Q 0(Q0,4)}, 4) otrzymanie w wyniku pomiaru szerokości H i długości L prostokątnej powierzchni A takich

wartości H0 i L0, że H0 0 )H i L0 0)L, gdzie )H i )L są zadanymi przedziałami: A4 = {eHL: H 0)H i L 0 )L}

Należy pamiętać, że zdarzenie zachodzi, gdy w danym doświadczeniu losowym D realizuje się jedno (i tylko jedno) zdarzenie elementarne e z przestrzeni zdarzeń elementarnych E tego doświadczenia (tzw. zdarzenie sprzyjające). A więc w powyższym przykładzie zdarzenie A1 realizuje się wtedy, gdy w wyniku rzutu kostką otrzymany albo 1 oczko, albo 3, albo 5 oczek (zdarzenie odpowiednio e1, e3 lub e5}.

Każde z tych zdarzeń nazywa się zdarzeniem sprzyjającym zdarzeniu A1. 1.1.4 Proste pytania i zadania do rozdziału 1.1

1. Jaki jest związek pomiędzy doświadczeniem losowym D a określonym na tym doświadczeniu zdarzeniem elementarnym e?

2. Niech doświadczenie losowe D polega na pomiarze szerokości s, głębokości g i wysokości w pewnego prostopadłościanu. Określić przestrzeń zdarzeń elementarnych E tego doświadczenia.

3. Jaka jest różnica pomiędzy zdarzeniem losowym A a zdarzeniem elementarnym e?

4. Wymienić wszystkie elementy zbioru zdarzeń losowych Z (nie zapominać o zdarzeniu niemożliwym i zdarzeniu pewnym) określonego na 4-elementowej przestrzeni zdarzeń elementarnych E = {e1,e2,e3,e4}.

5. Uzasadnić rysunkowo, że A\B + AB = A 6. Dokończyć: A + A = ...; AA = ...

7. Jakie muszą być zdarzenia B i C jeśli zachodzi równość A + B + C = A? [4]

8. Jakie muszą być zdarzenia B i C jeśli zachodzi równość ABC = A? [4]

9. Doświadczenie losowe D* polega na losowym wyborze jednej liczby spośród liczb 1...10. Niech zdarzenie (losowe) A oznacza, że wybrano liczbę parzystą (symbolicznie A={2,4,6,8,10}), a zdarzenie B, że wybrano liczbę mniejszą od 7 (symbolicznie B={1,2,3,4,5,6}). Utworzyć następujące zdarzenia losowe i podać odpowiedni ich zapis:

a. C = A\B, b. D = A+B, c. E = AB, d. F = ~A, e. G = ~(AB), f. H = ~(A+B), g. I = ~(A+B)

h. J = (wylosowano co najmniej 5), i. K = (wylosowano co najwyżej 5)

j. L = ~J k. M = ~K l. N = J+K m. O = ~J+~K

n. P = J@K o. Q = ~J@~K

1.2 1.2 1.2

1.2 PRAWDOPODOBIEŃSTWO PRAWDOPODOBIEŃSTWO PRAWDOPODOBIEŃSTWO PRAWDOPODOBIEŃSTWO

Historycznie rzecz biorąc, pojęcie prawdopodobieństwa zmieniało swoje znaczenie w tym sensie, że przyjmowano różne określenia tego pojęcia, na ogół wywodzące się z szeroko rozumianego eksperymentu. Każde z nich miało jednak tę wadę, że wymagało spełnienia założeń wykluczających pewne przypadki, które teoria powinna uwzględniać (p. rozdział 1.2.2). Dlatego powszechnie przyjmowana jest aksjomatyczna (a więc formalna, nie podająca sposobu obliczania) definicja prawdo- podobieństwa przedstawiona w 1933 roku przez Kołmogorowa w postaci tzw. pewni- ków rachunku prawdopodobieństwa.

Należy pamiętać, że pojęcie prawdopodobieństwo, oprócz znaczenia zdefiniowanego w tym rozdziale i używanego w dalszym ciągu niniejszego podręcznika, jest stosowane w wielu znaczeniach, często zwłaszcza jako tzw.

prawdopodobieństwo subiektywne (np.: "przyjdę na sto procent"). Jest to wtedy wyłącznie wyraz osobistego przekonania, a nie pewnej prawidłowości, tzw. prawidło- wości statystycznej, jaką opisujemy za pomocą prawdopodobieństwa. Istnieje też prawdopodobieństwo logiczne [Bocheński?, Mała enc. logiki], które odnosi się do zdań, a nie do zjawisk.

1.2.1 Pewniki rachunku prawdopodobieństwa

Pewniki rachunku prawdopodobieństwa. Najczęściej podaje się trzy następujące pewniki rachunku prawdopodobieństwa.

1. Każdemu zdarzeniu losowemu A z borelowskiego zbioru Z odpowiada pewna nieujemna liczba rzeczywista P(A) zwana prawdopodobieństwem (zajścia) zdarzenia A:

P( )A ≥0 (1.3)

2. Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego E wynosi jeden:

P( )E =1 (1.4)

3. Prawdopodobieństwo alternatywy zdarzeń parami rozłącznych jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń, tj. jeśli œi…j Ai1Aj=q, to

( )

P _i P( )_i

i i

A =

∑

∪ (1.5)

Podane pewniki są formalną definicją pojęcia prawdopodobieństwo. Definicja ta nic nie mówi o tym, w jaki sposób można to prawdopodobieństwo obliczać. Zagadnienie to nie należy do rachunku prawdopodobieństwa a do jego zastosowań, w których przyjmujemy tzw. interpretacje prawdopodobieństwa, czyli metody jego obliczania.

Kilka praktycznych wzorów. Z aksjomatów rachunku prawdopodobieństwa i własności działań na zbiorach wynikają m.in. następujące wzory:

1. Suma prawdopodobieństw zdarzeń przeciwnych równa się jedności:

P( )+P( )A A =1 (1.6)

2. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi zero:

P( )∅ =0 (1.7)

Nie jest słuszne twierdzenie odwrotne, co oznacza, że jeśli P(A)=0, to stąd nie wynika, że A=q (jest zdarzeniem niemożliwym). Są więc takie zdarzenia, które zachodzą z prawdopodobieństwem zero. W praktyce oznacza to, że przy wielokrotnie powtarzanym doświadczeniu zdarzenie A pojawi się w co najwyżej bardzo małym procencie wszystkich przypadków (według interpretacji częstościowej, patrz następny podrozdział, tj. 1.2.2).

Jest to użyteczny wzór, zwłaszcza w połączeniu z prawami de Morgana, gdyż pozwala na obliczanie prawdopodobieństwa sumy zamiast iloczynu zdarzeń (lub odwrotnie).

Wykorzystując bowiem wzór i drugie z praw de Morgana , mamy np.

P(AB)= −1 P(AB)=1−P(A+B) (1.8) 3. Prawdopodobieństwo różnicy dowolnych zdarzeń A i B wynosi:

P(A−B)=P( )A −P(AB)=P(A+B)−P( )B (1.9) Wzór ten wynika z pewnika trzeciego i rozbicia zdarzenia A na dwa zdarzenia rozłączne, jak to ilustruje rysunek obok.

4. Prawdopodobieństwo sumy dowolnych zdarzeń A i B wyraża się wzorem:

P(A+B)=P( )+P( )A B −P(AB) (1.10) Wzór ten wynika z pewnika trzeciego, rozbicia zdarzenia A+B na trzy zdarzenia rozłączne, jak to ilustruje rysunek powyżej, i dwukrotne zastosowanie wzoru (część pierwsza wzoru).

1.2.2 Interpretacje pojęcia prawdopodobieństwa

Jak powiedziano wyżej, aksjomaty (1.3)–(1.5) określają jedynie pewne własności, które musi spełniać prawdopodobieństwo – nie podają jednak sposobu jego obliczania. Poniżej podane są tzw. interpretacje prawdopodobieństwa, czyli sposoby nadawania praktycznego sensu prawdopodobieństwu albo, jeszcze inaczej mówiąc, sposoby obliczania prawdopodobieństwa. Są to definicje historyczne o dużym znaczeniu praktycznym. Trzeba tu podkreślić, że interpretacje rachunku prawdopodobieństwa nie należą do rachunku prawdopodobieństwa jako działu

E A B

A-AB B-AB AB

A+B=(A-AB)+AB+(B-AB)

E A

B

A-B AB A=(A-B)+AB

E _A

A+A=E - A -

matematyki, gdyż matematyka nie zajmuje się związkiem pomiędzy badanymi przez nią pojęciami a rzeczywistością.

Interpretacja klasyczna (Laplace’a). Prawdopodobieństwo zajścia zdarze- nia A wyraża się wzorem:

P( ) m

A = n (1.11)

gdzie m jest liczbą (jednakowo możliwych) zdarzeń sprzyjających zajściu zdarzenia A, a n – liczbą wszystkich możliwych zdarzeń w danym doświadczeniu D. Założenia niezbędne dla stosowania powyższego wzoru:

1. Zdarzenia są jednakowo możliwe.

2. Ilość zdarzeń n jest skończona.

3. Znamy liczby n i m.

Przykład 1.8. Obliczenie prawdopodobieństwa P(A) według definicji klasycznej prawdopodobieństwa Niech D = rzut regularną kostką sześcienną, zdarzenie A = {wypadnie liczba oczek większa od 2}. Mamy wtedy: n = 6, m = 4 i P(A) = 4'6.

Przykład 1.9. (por. przykład 1.4) Dwie przestrzenie zdarzeń elementarnych określone na jednym doświadczeniu losowym Niech doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie kostką sześcienną. Zapytajmy o prawdopodobieństwo zdarzenia A takiego, że wynikiem doświadczenia jest liczba parzysta.

Na to pytanie możemy odpowiedzieć na dwa sposoby:

Sposób 1. Niech zdarzenie elementarne polegać będzie na otrzymaniu w wyniku rzutu dowolnej liczby 1,2,3,4,5 lub 6.

Sposób 2. Niech zdarzenie elementarne polegać będzie na otrzymaniu w wyniku rzutu liczby parzystej lub nieparzystej.

W pierwszym przypadku zbiór zdarzeń elementarnych E liczy 6 zdarzeń, w drugim 2 zdarzenia. Łatwo zrozumieć, że zdarzenia elementarne obu typów są równoprawdopodobne.

Korzystając z klasycznej interpretacji prawdopodobieństwa mamy: w pierwszym przypadku P(A) = 3/6, w drugim P(A)=1/2. Otrzymaliśmy identyczne wyniki. Ale czy zawsze tak będzie?

Interpretacja klasyczna prawdopodobieństwa nie mogła być stosowana jako definicja prawdopodobieństwa, gdyż żadne z założeń w (1.11) nie jest do utrzymania w ogólnym przypadku. Założenie pierwsze prowadzi do pętli logicznej, gdyż „jednakowo możliwy” oznacza „jednakowo prawdopodobny” – mamy więc błąd logiczny definiowania „to samo przez to samo”. Założenia drugie i trzecie są do utrzymania tylko dla niektórych przypadków.

Interpretacja mnogościowa (geometryczna). Jeśli mamy dane dwa zbiory b i B w przestrzeni r-wymiarowej i bdB (b zawiera się w B), to prawdopodobieństwo

zajścia zdarzenia A takiego, że dowolny, wybrany losowo punkt należący do B będzie również należał do b, dane jest wzorem

P( ) ( )

( ) miara b

A = miara B (1.12)

Założenie niezbędne dla stosowania powyższego wzoru:

1. Zdarzenia są jednakowo możliwe.

2. Znamy miary zbiorów b i B (czyli np. długości odcinków, jeśli b i B to odcinki, pola figur płaskich, jeśli b i B to figury płaskie itp.).

Przykład 1.10. Obliczenie prawdopodobieństwa P(A) według geometrycznej definicji prawdopodobieństwa Niech D = rzut strzałką do tarczy o powierzchni B cm^2. Jakie jest prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A – trafienia w ustaloną część tarczy o powierzchni b cm² ? (Zakładamy, że zawsze trafiamy w tarczę).

Odpowiedź: P(A) = b/B.

Geometryczna prawdopodobieństwa nie mogła być stosowana jako definicja prawdopodobieństwa z powodów podobnych jak definicja klasyczna. W praktyce bardzo często nie znamy miar zbiorów b i B.

Obie powyższe interpretacje dozwalają na obliczenie prawdopodobieństwa danego zdarzenia bez wykonywania eksperymentu (czyli na obliczenie prawdopodobieństwa a priori). Obie też zakładają spełnienie pewnych teoretycznych wymagań, np. że kostka jest idealna, że warunki wykonywania doświadczenia są zawsze takie same itp.

Wymaganie te nie są oczywiście możliwe do spełnienia w 100% i stanowią pewną idealizację rzeczywistego doświadczenia.

Interpretacja częstościowa (statystyczna). Dane jest doświadczenie D.

Powtarzamy go n-krotnie. Jeśli zdarzenie A zostało zrealizowane m razy, to prawdopodobieństwo jego zajścia można wyrazić w przybliżony sposób:

P( ) P ( )* m

A A

≈ = n (1.13)

Zakładamy, że w miarę wzrostu n wartość P*(A) zbliża się do prawdziwej (nieznanej) wartości prawdopodobieństwa P(A) zajścia zdarzenia A.

Przykład 1.11. Obliczanie prawdopodobieństwa P(A) według statystycznej definicji prawdopodobieństwa Niech D oznacza pomiar dobowej wysokości opadu deszczu H [mm] na danej stacji pomiarowej. Jakie jest prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A = {H>10mm}, jeśli w serii 16 pomiarów mamy 3 przypadki H>10 mm?

Odpowiedź: P(A) . P*(A) = 3'16.

Obliczone w ten sposób prawdopodobieństwo jest znane dopiero po wykonaniu eksperymentu (tzw. prawdopodobieństwo a posteriori) i jego wartość zależy od eksperymentu. Łatwo bowiem można sobie wyobrazić, że w innej serii takich samych pomiarów na tej samej stacji otrzymamy trochę inną liczbę P*(A). Tak więc nie znamy prawdziwej wartości prawdopodobieństwa P(A), co oczywiście komplikuje analizę i zmusza do poszukiwania metod oceny błędu obliczonego P*(A).

Interpretacja częstościowa jest najpowszechniej stosowaną w praktyce metodą obliczania prawdopodobieństw empirycznych, gdyż wymagania stawiane przez pozostałe przedstawione interpretacje są w wielu praktycznych przypadkach niemożliwe do spełnienia. Schematy te są jednak bardzo użyteczne i to zarówno w teorii, jak i praktyce.

Zasadnicza różnica pomiędzy prawdopodobieństwem a posteriori a prawdopodobieństwem a priori. Statystyczna metoda obliczania prawdopodo- bieństwa różni się w sposób zasadniczy od obu poprzednich metod (klasycznej i geometrycznej). Różnica ta zasadza się nie tylko na tym, że prawdopodobieństwo a posteriori znamy dopiero po fizycznym wykonaniu doświadczenia, a prawdopodobieństwo a priori jest znane bez wykonywania eksperymentu (albo tylko myślowym jego wykonywaniu), ale przede wszystkim dlatego, że dla danego doświadczenia losowego prawdopodobieństwo a priori to jedna liczba, podczas gdy prawdopodobieństwo a posteriori jest za każdym razem (tj. po każdej serii doświadczeń losowych) inne. Stąd oznaczenie P*(A) zamiast P(A). P*(A) oznacza jedną z wielu możliwych liczb, które można traktować jako przybliżenie nieznanej wartości P(A) poszukiwanego prawdopodobieństwa.

1.2.3 Przestrzeń probabilistyczna (E,Z,P) doświadczenia D

Przestrzeń probabilistyczna doświadczenia D jest to trójka wielkości (E,Z,P).

Stanowi ona probabilistyczny opis (model) tego doświadczenia i jest zarazem maksimum informacji, jakie na jego temat możemy zdobyć. Z reguły jednak zadania rachunku prawdopodobieństwa polegają na obliczaniu nie wszystkich lecz tylko niektórych prawdopodobieństw P(A) zdarzeń A0Z.

Przestrzeń probabilistyczna doświadczenia jest jednocześnie pewną formalną wskazówką co powinno być znane, jeśli chcemy, aby model probabilistyczny był kompletny. Tak więc najpierw należy zdawać sobie jasno sprawę, jakie jest doświadczenie losowe, którego model tworzymy, jakie są przestrzenie zdarzeń E i Z generowane przez to doświadczenie, a dopiero potem pytać o prawdopodobieństwo P.

Wydaje się to oczywiste, ale nie zawsze tak jest, o czym świadczy przykład 1.5.

Dla danego doświadczenia D możemy na ogół określić więcej niż jedną przestrzeń zdarzeń elementarnych E i – co za tym idzie – więcej niż jeden zbiór zdarzeń losowych Z, a więc więcej niż jedną przestrzeń zdarzeń probabilistyczną danego Przykład 1.12. Różnica pomiędzy prawdopodobieństwem a posteriori a prawdopodobieństwem a priori Zadanie: Niech D polega na jednokrotnym rzucie monetą. Wtedy przestrzeń zdarzeń elementarnych E składa się z dwu zdarzeń:

E = {O,R}, gdzie O oznacza wyrzucenie orła, a R – wyrzucenie reszki. Jakie jest prawdopodobieństwo P(O) wyrzucenia orła?

Rozwiązania:

1. Interpretacja klasyczna: Zakładając, że moneta jest symetryczna dostajemy oczywisty wynik: P(O)=1/2.

2. Interpretacja statystyczna: Rzucamy monetą n razy i otrzymujemy m orłów. W takim razie dostajemy, że prawdopodo- bieństwo wyrzucenia orła P*(O) = m/n, spodziewając się, że będzie to liczba bliska P(O) =1/2, gdyż moneta powinna być symetryczna. Rys.1.1 przedstawia na jednym wykresie wartości P*(O) dla kolejnych 1000 rzutów (n=1, 2,...,1000). W

miarę wzrostu wartości n wartości prawdopodobieństwa a posteriori zbliżają się do wartości 1/2. Zwraca uwagę dość duże odstępstwo od 1/2 dla n poniżej 50.

n P*(O) = m

n

P(O) = 1/2

Rys.1.1. Stopniowa stabilizacja (zbliżanie się do wartości P(O) = 1/2) prawdopodobieństwa empi- rycznego P*(O) w serii 1000 rzutów monetą (symu- lacja komputerowa).

doświadczenia D. Nie zawsze jednak ma to tak dramatyczne konsekwencje, jak te przedstawione w powyższym przykładzie.

Przykład 1.13. Przestrzeń probabilistyczna (E,Z,P) doświadczenia D Niech D polega na jednokrotnym rzucie prawidłową monetą. Wtedy przestrzeń zdarzeń elementarnych E składa się z dwu zdarzeń: E = {O,R }, gdzie O oznacza zdarzenie polegające na wyrzuceniu orła, a R – wyrzucenie reszki. Zbiór Z zdarzeń losowych zawiera wszystkie podzbiory przestrzeni E plus zdarzenie niemożliwe q i zdarzenie pewne E: Z = {q, O, R, E }, z prawdopodobieństwem ich realizacji: P(q) = 0, P(O)=1/2, P(R)=1/2 i P(E)=1. W ten sposób otrzymaliśmy kompletny opis doświadczenia D.

1.2.4 Zdarzenie warunkowe i prawdopodobieństwo warunkowe Bardzo ważną rolę w rachunku prawdopodobień-

stwa odgrywa pojęcie warunkowego zdarzenia losowego i jego prawdopodobieństwa.

Warunkowe zdarzenie losowe B****A.

Symbol B|A czytamy: "B pod warunkiem (zajścia) A" i oznacza, że rozważamy zajście zdarzenia B w nowej sytuacji: takiej, że wiemy lub zakładamy, że zdarzenie A zaszło. Konsekwencją tej wiedzy jest ograniczenie liczności zbioru możliwych zdarzeń elementarnych. Formalnie znaczy to, że tworzymy nową przestrzeń zdarzeń elementarnych E'= A⊂E i nowy borelowski zbiór zdarzeń losowych Z' określony na E'. Wtedy zdarzenie warunkowe C, jako element zbioru zdarzeń Z', jest zdefiniowane następująco:

{ }

| :

ozn def

Z′∋C= B A= e∈E e′ ∈A∩B (1.14) Należy zwrócić uwagę na fakt istnienia nowej przestrzeni zdarzeń elementarnych EN=A. Jest ona częścią starej przestrzeni E: ENdE. Zaistnienie warunku *A – czyli dodatkowa informacja, że zaszło zdarzenie A – spowodowało, że wielkość zbioru zdarzeń elementarnych została zmniejszona, co praktycznie wyraża się w tym, że obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia C = B*A = BA jako podzbioru zbioru A, a nie jako podzbioru przestrzeni E. Ma to jeszcze taką konsekwencję, iż prawdopodobieństwo warunkowe P(B*A) jest większe lub równe prawdopodo- bieństwu P(BA).

E NNNN ^{= A}

E

B

C = A B = ( B | A )

Rys.1.2. Warunkowe zdarzenie losowe B*A oznacza koniunkcję AB zdarzeń A i B w sytuacji, gdy przestrzenią zdarzeń elementarnych jest E'=A, a nie E

Przykład 1.14. Warunkowe zdarzenie losowe B****A Niech doświadczenie losowe polega na jednokrotnym rzucie regularną kostką sześcienną.

Zapiszmy symbolicznie przestrzeń E zdarzeń elementarnych jako E = {1,2,3,4,5,6}. Niech B = (otrzymanie parzystej liczby oczek), symbolicznie: B = {2,4,6}, a A = (otrzymanie liczby oczek mniejszej od 4, symbolicznie: A = {1,2,3}).

Warunkowe zdarzenie losowe B*A oznacza, że wiemy (albo zakładamy), że zaszło zdarzenie A, czyli wynikiem rzutu była jedna z trzech liczb: 1, 2 lub 3. Zamiast więc rozpatrywać 6-elementową przestrzeń zdarzeń elementarnych E rozpatrujemy nową przestrzeń zdarzeń elementarnych E'=A. Zdarzenie B w tej przestrzeni może zajść tylko wtedy, gdy zajdzie zdarzenie B@A, tj. B*A = {2}.

Prawdopodobieństwo warunkowe. Wydaje się, że w kontekście tych uwag i rys.1.2 podany poniżej wzór (definicyjny) na prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia B pod warunkiem zajścia zdarzenia A (prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia B*A) jest intuicyjnie jasny:

P( ) P( | )

P( ) B A AB

= A (1.15)

gdyż oznacza po prostu jaką część prostokąta A zajmuje prostokąt C=AB. Wzór ten jest czasami traktowany jako IV pewnik rachunku prawdopodobieństwa.

Przykład 1.15. Obliczanie prawdopodobieństwa P(B|A) warunkowego zdarzenia losowego B|A Zachowując oznaczenia i sens wyrażeń, jak w przykładzie 1.14, mamy:

P(A) = 3/6, P(B@A) = 1/6

P(B|A) = P(B@A)'P(A) = (1'6)'(3'6) = 1'3.

Ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe wynika natychmiast, że:

P( ) P( | )P( ) P( | )P( )

AB A B B

B A A

=

= (1.16)

co można łatwo uogólnić na prawdopodobieństwo koniunkcji n zdarzeń:

1 2 1 2 1 3 2 1 1 2 1

P(A A...A_n)=P(A)P(A |A)P(A A A| )...P(A_n |A A_{n− n−} ...A) (1.17) bo mamy

1 2 1 2 3 1 2 3

1 2 1

1 1 2 1 2 3 1

P( ) P( ) P( ... )

P( ... ) P( ) ...

P( ) P( ) P( ... )

n n

n

A A A A A A A A A

A A A A

A A A A A A A₋

= (1.18)

Przykład 1.16. Obliczanie

1.2.5 Niezależność zdarzeń losowych

Jest to jedno z najważniejszych pojęć rachunku prawdopodobieństwa, którego praktyczne znaczenie trudno przecenić. W wielu przypadkach niezależność zdarzeń jest relacją pożądaną, gdyż znakomicie upraszcza obliczenia, w innych, np.

zagadnieniach predykcji (tzn. przewidywania), jest niepożądaną, gdyż chcemy użyć wiedzy o A do predykcji zajścia B.

Definicja. Zdarzenia losowe A i B nazywamy niezależnymi wtedy i tylko wtedy, gdy prawdopodobieństwo iloczynu tych zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodo- bieństw zajścia tych zdarzeń:

P(AB)=P( )P( )A B (1.19)

Wzory równoważne definicji niezależności. Biorąc pod uwagę wzór (1.15) na prawdopodobieństwo warunkowe łatwo dostajemy, że

P( | ) P( ) P( | ) P( )

A B A

B A B

=

= (1.20)

Nie jest też trudno uzasadnić, że wzory powyższe, tj. (1.20), są równoważne definicji (1.19).

Tak więc każdy z trzech podanych powyżej wzorów (tj. (1.19) i (1.20)) może stanowić definicję niezależności dwu zdarzeń losowych.

Przykład 1.17. Niezależność zdarzeń losowych może być czasami nie całkiem oczywista!

(Wg [5]) Doświadczenie polega na losowaniu jednej karty z tali 52 kart. Niech zdarzenie A oznacza wylosowanie kiera, zdarzenie B – wylosowanie króla, damy lub waleta. Wydaje się, że zdarzenie te nie są niezależne, jednak rachunek pokazuje inaczej. Mamy bowiem:

P(A) = 13/52 = 1/4, P(B) = 12/52 = 3/13 P(A)P(B) = (1/4)@(3/13) = 3/52, P(AB) = 3/52.

A więc P(A) P(B) = P(AB); zdarzenie A i B są niezależne!

Niezależność i wykluczanie się. Nieoczywistość niezależności zdarzeń oma- wianych w powyższym przykładzie może być związana z faktem, że zdarzenia te nie są rozłączne (nie wykluczają się). Tymczasem niezależność i wykluczanie się nie są relacjami tożsamymi.

Aby zobaczyć, czy jest jakiś związek logiczny pomiędzy nimi przyjmijmy, że mamy zdarzenia losowe A i B zachodzące z dodatnim prawdopodobieństwem:

P(A)>0, P(B)>0 (*)

Załóżmy, że zdarzenia te są niezależne: P(AB) = P(A)P(B). Ze względu na (*) mamy P(A)P(B)>0, a nie zero, co oznacza, że zdarzenia te nie wykluczają się (mają część

E _A B

1

A

A

A

A

A

A

A

6

A

A

Załóżmy teraz wykluczanie się zdarzeń A i B: AB = q, stąd P(AB) = 0. Z drugiej strony, ze względu na (*) mamy P(A)P(B)>0, czyli P(AB) … P(A)P(B). A więc:

wykluczanie się zdarzeń o dodatnich prawdopodobieństwach implikuje ich zależność.

Podsumowując: niezależność=>niewykluczanie się; wykluczanie się => zależność (z zastrzeżeniem (*)).

Uogólnienie pojęcia niezależności na większą liczbę zdarzeń. Mówimy, że zdarzenia A1, A2,...,An są niezależne (wzajemnie, en bloc, zespołowo), jeśli dla dowolnych wskaźników k1, k2,...,ks takich, że 1#k1<k2<...<ks#n zachodzi równość:

1 2 1 2

P( ... ) P( )P( )...P( )

s s

k k k k k k

A A A = A A A (1.21)

Oznacza to, że powyższy wzór zachodzi dla wszystkich par, wszystkich trójek, itd., zdarzeń wybranych z grupy A1, A2, ..., An.

Definicja ta jest potrzebna dlatego, że zdarzenia A1, A2, ..., An mogą być niezależne parami, ale stąd nie wynika ich niezależność trójkami czy czwórkami itp..

Przykład 1.18. Zdarzenia losowe mogą być niezależne parami ale zależne trójkami Doświadczenie polega na losowaniu jednej liczby spośród czterech: E = {1,2,3,4,5,6, 7,8}.

Niech A = {1,2,3,4}, B = {3,4,5,6}, C = {1,2,5,6}. Zdarzenia te są niezależne parami, gdyż:

P(A)P(B) = (4/8)@(4/8) = 1/4, P(AB) = P({3,4}) = 2/8 = 1/4 P(B)P(C) = (4/8)@(4/8) = 1/4, P(BC) = P({5,6}) = 2/8 = 1/4 P(C)P(A) = (4/8)@(4/8) = 1/4, P(CA) = P({1,2}) = 2/8 = 1/4

(Zakładamy, że zdarzenia elementarne są jednakowomożliwe). Natomiast zdarzenia A, B i C nie są niezależne zespołowo, gdyż

P(A)P(B)P(C) … P(ABC), bo

P(A)P(B)P(C) = (4'8)@(4'8)@(4'8) = 1/8, P(ABC) = P({q}) = 0

1.2.6 Prawdopodobieństwo całkowite Jeśli (por. rys.1.3):

1) œi…j Ai1Aj=q (tzn. zdarzenia Ai, Aj są zdarze- niami rozłącznymi),

2) »iAi = E, i=1,2,...,n (tzn. zdarzenia Ai wypeł- niają całą przestrzeń E),

3) œi P(Ai) > 0 (zdarzenia Ai zachodzą z niezero- wym prawdopodobieństwem),

to prawdopodobieństwo zajścia dowolnego zda-

rzenia B można w następujący sposób wyrazić Rys.1.3. Zupełny i rozłączny podział przestrzeni E zdarzeń elementarnych

poprzez prawdopodobieństwo zajścia zdarzeń Ai:

1

P( ) P( | )P( )

n

i i

i

B B A A

=

=

∑

Dowód wzoru (1.22) jest prosty. Jeśli dokonamy podziału przestrzeni zdarzeń elementarnych E na n rozłącznych zbiorów (zdarzeń) Ai, i=1,2,..., n (rys.1.3), to dowolne zdarzenie B można wyrazić za pomocą sumy rozłącznych zdarzeń:

1 2 ... _n

B=BA +BA + +BA (1.23)

Korzystając z pewnika 3 (wzór (1.5)) i wzoru (1.15) na prawdopodobieństwo warunkowe dostajemy wzór (1.22) na prawdopodobieństwo całkowite.

Jeśli, jak się to robi czasami, zdarzenia Ai nazwiemy przyczynami, a zdarzenie B – skutkiem, to wzór na prawdopodobieństwo całkowite można interpretować jako wzór na prawdopodobieństwo zajścia skutku B, jeśli znane są prawdopodobieństwa zrealizowania się jego przyczyn Ai.

1.2.7 Twierdzenie Bayesa (twierdzenie o prawdopodobieństwie przyczyn losowych)

Można zadać pytanie odwrotne do pytania o prawdopodobieństwo zajścia skutku B przy znajomości odpowiednich prawdopodobieństw przyczyn: jeśli zrealizowało się zdarzenie B jako skutek jednej przyczyn Ai (i=1,2,...), to jakie jest prawdopo- dobieństwo, że skutek B został spowodowany daną przyczynaAj ? Odpowiedź na to pytanie jest istotą twierdzenia (wzoru) Bayesa.

Przyjmijmy znowu założenia przyjęte przy wyprowadzaniu wzoru na prawdopodobieństwo całkowite. Wiemy, że jeśli tylko P(B)>0 oraz dla każdego j zachodzi P(Aj)>0, to

P(Aj)P(B|Aj) = P(B)P(Aj|B)

Stąd oraz ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite (1.22) dostajemy:

1

P( | )P( ) P( | )P( )

P( | ) , 1, 2,...

P( ) P( | )P( )

j j j j

j n

i i

i

B A A B A A

A B j n

B B A A

=

= = =

∑

1.2.8 Proste pytania i zadania do rozdziału 1.2

1. Dlaczego żadna z definicji z rozdziału 1.2.2 nie została przyjęta jako definicja prawdopodobieństwa?

2. W takim razie (cd zad. 1), dlaczego stosowane są definicje z tego rozdziału?

3. Korzystając ze wzoru (1.10) podać wzór na P(A+B+C).

4. Niech zdarzenie A będzie oznaczało losowy wybór liczby parzystej spośród liczb 1,2,...,n, a zdarzenie B – losowy wybór liczby mniejszej niż 11. Obliczyć P(A+B) oraz P(AB) dla n=20.

5. Prawdopodobieństwo p trafienia przez strzelca w tarczę wynosi 0.95. Jakie jest prawdopodobieństwo nietrafienia tarczy przez strzelca w trzech kolejnych strzałach?

6. Czym różni się zdarzenie warunkowe A*B od zdarzenia bezwarunkowego A?

7. Podać przykład zdarzenia warunkowego A*B w zdefiniowanym przez siebie doświadczeniu D

8. Dokończyć: zdarzeniem przeciwnym do A*B jest ...

9. Dokończyć: P(A*B) + P(~A*B) = ...

10. Wykazać, że jeśli zdarzenia A i B są niezależne, to również zdarzenia przeciwne ~A i ~B są niezależne.

11. Czy fakt wykluczania się zdarzeń A i B oznacza, że są one niezależne?

12. Udowodnić, że warunek P(A*B) = P(A) jest równoważny warunkowi P(AB) = P(A)P(B)

13. Wiadomo, że 5% studentów (I grupa) umie odpowiedzieć na wszystkie pytania egzaminacyjne, 30% (II grupa) umie odpowiedzieć na 70% pytań egzaminacyjnych, 40% (III grupa) umie odpowiedzieć na 60% pytań egzaminacyjnych, 25% (IV grupa) umie odpowiedzieć tylko na 50% pytań egzaminacyjnych. Z zespołu tego wybrano jednego studenta. Obliczyć: a) prawdopodobieństwo tego, że odpowie on na zadane pytanie, b) prawdopodobieństwo warunkowe tego, że należy do grupy II jeśli odpowiedział on na zadane pytanie. [3]

14. Na stu mężczyzn pięciu jest daltonistami. U pań ten odsetek jest niższy i wynosi pięć na tysiąc. Z grupy o jednakowej liczbie kobiet i mężczyzn wybrano losowo osobę, która okazała się daltonistą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to mężczyzna?