Kwazielastyczne rozpraszanie elektronów na jądrach atomowych

(1)

Kwazielastyczne rozpraszanie elektronów na jądrach atomowych

Beata Kowal

Uniwersytet Wrocławski

20.10.2014

(2)

Praca magisterska - 2014r

Kwazielastyczne rozpraszanie elektronów na jądrach atomowych promotor: Prof. Jan Sobczyk

Główny obszar zainteresowania: Fizyka Neutrin

od 2014r

studia doktoranckie w Zakładzie Fizyki Neutrin opiekun naukowy: Prof. Jan Sobczyk

2 / 40

(3)

Pik kwazielastyczny

Rysunek:Schemat spektrum dla rozpraszania elektron-jądro, źródło: Matthew C.Osborn, Kinematic Scaling in Quasielastic Electron Scattering

(4)

Rozpraszanie kwazielastyczne

Znamy energię elektronów padajacych E

_k

.

Mierzymy energie końcową elektronu E

_k⁰

po rozproszeniu, kąt rozproszenia θ oraz przekrój czynny

_{d ΩdE}^d²^σ0

k

.

4 / 40

(5)

Rozpraszanie kwazielastyczne

Rysunek:Schemat procesu rozpraszania elektronu na jądrze atomowym z uwolnieniem jednego nukleonu z wymianą jednego fotonu

przekaz czteropędu: q

^µ

= k

^µ

− k

^0µ

= (ω, q) przekaz energii: ω = E

k

− E

_k⁰

przekaz pędu: q = k − k

⁰

(6)

Przybliżenie impulsowe

k k' p'

p

Rysunek:Schemat procesu rozpraszania elektronu na jądrze atomowym w przybliżeniu impulsowym

Foton sonduje jądro w zakresie 1/|q|, dla odpowiednio dużych wartości |q|

w tym obszarze znajduje sie tylko jeden nukleon.

6 / 40

(7)

Przekrój czynny

W wyniku rachunków, których tu nie przytaczam, znajdujemy wyrażenie na przekrój czynny dla rozpraszania kwazielastycznego elektron-jądro w postaci całki:

d

²

σ

d ΩdE

_k⁰

= 4α

²

Z

E

_k⁰

E

_k

E

p

E

_p⁰

L

µν

H

^µν

1 q

⁴

S (p, E )δ(E − M + E

p⁰

− ω)dEdp

³

gdzie E

_p

=

^p

M

²

+ p

²

, E

_p⁰

=

^q

M

²

+ (p + q)

²

oraz

S (p, E ) - funkcja spektralna

L

µν

- tensor leptonowy

H

µν

- tensor hadronowy

(8)

Funkcja spektralna

d²σ

d ΩdE_k⁰

= 4α

²^R ^E

0 k

EkEpE_p⁰

L

_µν

H

^{µν 1}_q4

S (p, E ) δ(E − M + E

_p⁰

− ω)dEdp

³

S (p, E ) - Funkcja spektralna nukleonu opisuje rozkład

prawdopodobieństwa, że z jądra A zostanie usunięty nukleon o pędzie p i powstanie jądro B o energii E

B

= M

A

− M + E .

S (p, E ) = δ(M + E

_B

− M

_A

− E )

−

X

sA

X

sB

X

s

|h(p

_B

, s

_B

)|a

_s

(p)|(p

_A

, s

_A

)i|

²

a

s

(p)-operator anihilacji protonu/neutronu

8 / 40

(9)

Model gazu Fermiego

jądro to złożenie dwóch niezależnych układów nukleonów podlegają zakazowi Pauliego

parametry: E

_F

(p

_F

) i energia wiązania nukleonu

dla globalnego gazu Fermiego - stała gestość jądra

(10)

Funkcja spektralna

d²σ

d ΩdE_k⁰

= 4α

²^R ^E

0 k

EkEpE_p⁰

L

_µν

H

^{µν 1}_q4

S (p, E ) δ(E − M + E

_p⁰

− ω)dEdp

³

Operator anihilacji nukleonu powoduje usunięcie nukleonu z morza Fermiego:

a(p)|p

A

i = θ(p

_F

− |p|)|p

_A

− pi

Blokowanie Pauliego:

S (p, E ) ∼ θ(|q + p| − p

_F

)

Dla globalnego gazu Fermiego:

S

_p

(p, E ) = θ(p

_F^p

− |p|)θ(|q + p| − p

^p_F

)δ(M + E

_B

− M

_A

− E )

^3Z

4πp_F^p³

S

n

(p, E ) = θ(p

ⁿ_F

− |p|)θ(|q + p| − p

_Fⁿ

)δ(M + E

B

− M

_A

− E )

^3N

4πp_Fⁿ³

10 / 40

(11)

Lokalny gaz Fermiego

_d2σ d ΩdE_k⁰

GFG

= 4α

²^R ^E

0 k

E_kEpE_p⁰

L

µν

H

^{µν 1}_q4

S (p, E )δ(E − M + E

_p⁰

− ω)dEdp

³

Uwzględniamy zależnośc gęstości ρ(r ) od odległości od centrum jądra:

d

²

σ d ΩdE

_k⁰

!

LFG

=

Z

dr

³

ρ(r ) d

²

σ d ΩdE

_k⁰

!

GFG

(p

_F

(r )) Pęd Fermiego zależy od r :

2

4 3πpF(r )³ (2π)³/V

= n ρ(r ) =

_Vⁿ

=

^p^F_3π^{(r )}2³

p

_F

(r ) = (3π

²

ρ(r ))

^1/3

(12)

Lokalny gaz Fermiego

Do wyrażenia rozkładu gęstości użyjemy funkcji analitycznej (model 3-paramerowy):

ρ(r ) = ρ

₀

(1 +

^wr_c2²

) 1 + e

^{(r −c)/z}

Rysunek:

12 / 40

(13)

Tensor laptonowy

d²σ

d ΩdE_k⁰

= 4α

²^R ^E

0 k

EkEpE_p⁰

L

µν

H

^{µν 1}_q4

S (p, E )δ(E − M + E

p⁰

− ω)dEdp

³

L

µν

= 1 2 m

²^X

λ,λ⁰

u(k

⁰

, λ

⁰

)γ

µ

u(k, λ)(u(k

⁰

, λ

⁰

)γ

ν

u(k, λ))

^∗

= 1

2 (k

µ

k

_ν⁰

+ k

ν

k

_µ⁰

− (k, k

⁰

)g

µν

)

Prąd leptonowy ziązany z elektronem:

J

_µ^lept

(x ) = m (2π)

³

√

E

_k

E

_k⁰

u(k

⁰

, λ

⁰

)γ

_µ

u(k, λ)e

^{−i (x,k−k}⁰⁾

gdzie u(k, λ) - spinor Diraca

(14)

Tensor hadronowy

d²σ

d ΩdE_k⁰

= 4α

²^R ^E

0 k

EkEpE_p⁰

L

_µν

H

^µν _q¹4

S (p, E )δ(E − M + E

_p⁰

− ω)dEdp

³

Hadrony posiadają strukturę wewnętrzną.

u(p

⁰

, s

⁰

)γ

_µ

u(p, s) → u(p

⁰

, s

⁰

)Γ

_µ

u(p, s)

Prąd hadronowy związany ze (swobodnym) nukleonem:

J

_µ^hadr

(x ) = M

(2π)

³^p

E

_p

E

_p⁰

u(p

⁰

, s

⁰

)Γ

µ

u(p, s)e

^{−i (x,p−p}⁰⁾

14 / 40

(15)

Tensor hadronowy

d²σ

d ΩdE_k⁰

= 4α

²^R ^E

0 k

EkEpE_p⁰

L

_µν

H

^µν _q¹4

S (p, E )δ(E − M + E

_p⁰

− ω)dEdp

³

W wyrażeniu na prąd hadronowy macierz wierzchołka Γ

_µ

jest skonstruowana z pędów p

µ

i p

⁰_µ

, masy M oraz macierzy:

{1l, γ

_µ

, γ

µ

γ

5

, γ

5

, σ

µν

}.

Parzystość jest zachowana, w macierzy Γ

µ

nie występują człony zawierające γ

₅

.

Ogólna forma Γ

µ

ma postać:

Γ

µ

= F

1

(q

²

)γ

µ

+ i σ

µν

(p

^0ν

− p

^ν

)

2M F

2

(q

²

)

(16)

Tensor hadronowy

d²σ

d ΩdE_k⁰

= 4α

²^R ^E

0 k

EkEpE_p⁰

L

_µν

H

^µν _q¹4

S (p, E )δ(E − M + E

_p⁰

− ω)dEdp

³

Γ

_µ

= F

₁

(q

²

)γ

_µ

+ i σ

_µν

(p

^0ν

− p

^ν

) 2M F

₂

(q

²

)

Prąd jest zachowany, tzn spełniona jest własność ∂

µ

J

_hadr^µ

(x ) = 0 (q

µ

J

_hadr^µ

(0) = 0).

Dla pierwszego członu skorzystamy z równania Diraca:

q

^µ

u(p

⁰

, s

⁰

)γ

µ

u(p, s) = u(p

⁰

, s

⁰

)(γ

µ

p

^0µ

− γ

_µ

p

^µ

)u(p, s) = 0 Dla drugiego członu skorzystamy z antysymetryczności σ

_µν

: q

^µ

q

^ν

u(p

⁰

, s

⁰

)σ

µν

u(p, s) = −q

^µ

q

^ν

u(p

⁰

, s

⁰

)σ

µν

u(p, s) = 0

16 / 40

(17)

Tensor hadronowy

d²σ

d ΩdE_k⁰

= 4α

²^R ^E

0 k

EkEpE_p⁰

L

_µν

H

^µν _q¹4

S (p, E )δ(E − M + E

_p⁰

− ω)dEdp

³

Tę własność spełnia również człon postaci u(p

⁰

, s

⁰

)(p

_µ⁰

+ p

_µ

)u(p, s):

q

^µ

(p

⁰_µ

+ p

µ

) = p

⁰²

− p

²

= M

²

− M

²

= 0

ale można go wyrazić przez dwa poprzednie korzystając z tożsamości Gordona

u(p, s)[2Mγ

_µ

− (p

_µ

+ p

_µ⁰

) − i σ

_µν

q

^ν

]u(p

⁰

, s

⁰

) = 0

Przy pomocy tożsamości Gordona otrzymujemy równoważną postać Γ

_µ

: Γ

_µ

= (F

₁

(q

²

) + F

₂

(q

²

))γ

_µ

− p

⁰_µ

+ p

µ

2M F

₂

(q

²

)

(18)

Tensor hadronowy

d²σ

d ΩdE_k⁰

= 4α

²^R ^E

0 k

EkEpE_p⁰

L

_µν

H

^µν _q¹4

S (p, E )δ(E − M + E

_p⁰

− ω)dEdp

³

Γ

µ

= F

1

(q

²

)γ

µ

+ i σ

µν

(p

^0ν

− p

^ν

) 2M F

2

(q

²

)

Macierz Γ

_µ

otrzymujemy z dokładnością do skalarnych współczynników nazywanych czynnikami postaci.

Jedyna zmienna skalarna, jaką możemy zbudować z p

µ

i p

_µ⁰

to p

^µ

p

_µ⁰

= M

²

−

^q₂²

. A więc F

₁

, F

₂

są funkcjami q

²

18 / 40

(19)

Tensor hadronowy

d²σ

d ΩdE_k⁰

= 4α

²^R ^E

0 k

EkEpE_p⁰

L

_µν

H

^µν _q¹4

S (p, E )δ(E − M + E

_p⁰

− ω)dEdp

³

Dla swobodnego nukleonu:

H

free nucleon

µν

= 1

2 M

²^X

s,s⁰

u(p

⁰

, s

⁰

)Γ

µ

u(p, s)(u(p

⁰

, s

⁰

)Γ

ν

u(p, s))

^∗

=

= 1 4 q

²

g

_µν

− q

_µ

q

_ν

q

²

H

₁

(q) +

p

_µ

− q

_µ

(p, q) q

²

p

_ν

− q

_ν

(p, q) q

²

H

₂

(q) H

₁

= (F

₁

+ F

₂

)

²

H

2

=

F

₁²

−

_4M^F²²₂

q

²

Ale w jądrze nukleon jest związany.

(20)

Przybliżenie fali płaskiej

Rysunek:Schemat procesu rozpraszania elektronu na jądrze atomowym z uwolnieniem jednego neutronu w przybliżeniu PWIA z wymianą jednego fotonu

Nukleon po uwolnieniu nie oddzałuje z jądrem.

20 / 40

(21)

Metoda de Foresta

Zamiast szukać postaci macierzy wierzchołka dla związanego nukleonu modyfikujemy tensor hadronowy nukleonu swobodnego:

H

eµν

(q) = H

free nucleon

µν

( q)

e

q = (ω, q)

q = (

e

ω, q) = (ω − , q)

_e

- energia wiązania

H

e_µν

= 1 4 q

^e²

g

_µν

− q

^e_µ

q

_e_ν

q

e²

H

e₁

+

p

_µ

− q

_e_µ

(p, q)

_e

q

e²

p

_ν

− q

_e_ν

(p, q)

_e

q

e²

H

e₂

(22)

Poprawka do tensora hadronowego

Zastosowanie metody de Forest prowadzi do problemu - prąd hadronowy nie jest zachowany:

q

^µ

H

^e_µν

6= 0

Dodajemy poprawkę do tensora tak, aby uzyskać zachowanie prądu:

ee

H

µν

= H

^eµν

+ ∆H

µν

q

^µ

H

^e^e_µν

= 0

Ogólna struktura H

^e^e

µν

:

ee

H

₀₀

, H

^e^e_0j

= aq

_j

+ bq

_j^⊥

, H

^e^e_jk

= cq

_j

q

_k

+ d (q

_j^⊥

q

_k

+ q

_j

q

_k^⊥

) + e H

^e_jk^⊥

22 / 40

(23)

Poprawka do tensora hadronowego

ee

H

₀₀

, H

^e^e_0j

= aq

_j

+ bq

_j^⊥

, H

^e^e_jk

= cq

_j

q

_k

+ d (q

_j^⊥

q

_k

+ q

_j

q

_k^⊥

) + e H

^e_jk^⊥

aq

²

= ω H

^e^e₀₀

aq

_j

ω = cq

_j

q

²

+ dq

^⊥_j

q

²

aω = cq

²

bq

^⊥2

ω = d q

^⊥2

q

²

bω = d q

²

ee

H

00

= H

^e00

+ α b = H

^e⊥

+ δ

Wybór współczynników jest dowolny

Wybierzmy: α = 0, δ = 0, e = 1

(24)

Poprawka do tensora hadronowego

ee

H00=^He00

Hej 0= −qjq^k

|q|²^Hek0+

Hej 0+qjq^k

|q|²^Hek0

→

ee

Hj 0=qjω

|q|²^He00+

Hej 0+qjq^k

|q|²^Hek0

Hejk= qjqkq^mqⁿ

|q|⁴ ^He^mn⁻ h_q_j_q^m

|q|² ^Hemk+qjqkq^mqⁿ

|q|⁴ ^He^mn i

+

−h_q

kqⁿ

|q|² ^Hejn+qkqjqⁿq^m

|q|⁴ ^He^mn i

+

h

Hejk+qjq^m

|q|² ^Hemk+q_kqⁿ

|q|²^Hejn+qkqjqⁿq^m

|q|⁴ ^He^mn i

→

ee

Hjk= qjqkω²

|q|⁴ ^He00+

h_q_j_ω

|q|²^He0k+qjqkqⁿω

|q|⁴ ^He0n

i

+

h_q

kω

|q|²Hej 0+qkqjq^mω

|q|⁴ Hem0

i

+

h

Hejk+qjq^m

|q|² Hemk+q_kqⁿ

|q|²Hejn+qkqjqⁿq^m

|q|⁴ Hemn

i

24 / 40

(25)

Poprawka do tensora hadronowego

∆H00= 0

∆Hj 0= qj(ω −e^ω) ⁻

1 4He1+ 1

|q|²

Ep−e^ω

(^{q, p)}e

eq²

²

He2

!

∆Hjk= −q_kqj

|q|² 1

4^He1 ω²−e^ω

2

+ (ω −e^ω)

"

q_kqj

|q|⁴(ω +e^ω)

Ep−e^ω

(e^{q, p)}

eq²

²

+

qj

|q|²

pk− q_k(q, p)

|q|²

Ep−e^ω

(e^{q, p)}

eq²

+ qk

|q|²

pj− q_j(q, p)

|q|²

Ep−e^ω

(e^{q, p)}

eq²

He2

(26)

Poprawka do tensora hadronowego

Po obliczeniach, których nie przytaczam, uzyskujemmy końcową postać zwężenia poprawki i tensora leptonowego:

∆H

^µν

L

µν

= −C

11

4

H

e1

+ C

2

H

e2

Współczynniki C

₁

i C

₂

wynoszą:

C

₁

= (ω − ω)

_e ^h¹₄

Q

²

− ω

²

(ω + ω) − (|q|E

_e _k

Q − ω(q, k))

ⁱ

C

2

= C

1

P

²

+ (ω − ω)PQ

_e

(k, p) −

^(q,k)(q,p)_|q|2

Q =

^2(k,q)_|q|

− |q|

P =

_|q|¹

E

p

− ω

_e⁽^e^q,p) eq²

26 / 40

(27)

Poprawka do tensora hadronowego

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60

d2σ/(dΩdE') [nb/sr/GeV]

ω[GeV]

6 12 E=1108MeV θ=37,5^o

dane doświadczalne

GFG bez procedury de Foresta GFG po procedurze de Foresta GFG po procedurze de Foresta z poprawką

|qmax|=675MeV

Rysunek:Różniczkowy przekrój czynny dla węgla w modelu GFG, Ek = 1108MeV , θ = 37, 5^◦

(28)

Poprawka do tensora hadronowego

Inna możliwość wyboru poprawki:

ee

H

₀₀

=

^q^m_ω^q2ⁿ

H

e_mn ee

H

_0k

= −

^q_ω^m

H

^e_mk ee

H

_jk

= H

^e_jk

∆H00=e^ω

2− ω² ω²

"

−1 4|q|²^He1+

Ep−e^ω

(e^{q, p)}

eq²

²

He2

#

∆H_{j 0}= e^{ω − ω}

ω

−q_je^ω

1 4^He1+

p_j− q_j(e^{q, p)} eq²

Ep−e^ω

(e^{q, p)}

qe²

He2

∆Hjk= 0

28 / 40

(29)

Poprawka do tensora hadronowego

∆H

^µν

L

_µν

= −D

₁¹₄

H

^e₁

+ D

₂

H

^e₂

Współczynniki D

1

i D

2

wynoszą:

D

1

= (ω − ω)

_e ^e^ω_ω

(E

k

|q|Q − ω(k, q)) −

¹₄

(ω − ω)(Q

_e ²

− ω

²

)

^|q|_ω4⁴

D

2

=

^h^|q|_ω2²

P(ω − ω)Q

_e

(p, k) −

^(k,q)(p,q)_|q|2

+ D

1

P

²ⁱ

Q =

^2(k,q)_|q|

− |q|

P =

_|q|¹

E

p

− ω

_e⁽^e^q,p) eq²

(30)

Porównanie poprawek

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80

ω[GeV]

6 12 E=1108MeV θ=37,5^o

dane doświadczalne

GFG po procedurze de Foresta z poprawką nr 1 GFG po procedurze de Foresta z poprawką nr 2 Składowa poprzeczna

Składowa podłużna z poprawką nr 1 Składowa podłużna z poprawką nr 2

|qmax|=675MeV

Rysunek:Różniczkowy przekrój czynny dla węgla w modelu GFG, E_k = 1108MeV , θ = 37, 5^◦

30 / 40

(31)

Porównanie poprawek

0 200 400 600 800 1000 1200

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

ω[GeV]

6 12 E=1501MeV θ=37,5^o

dane doświadczalne

GFG po procedurze de Foresta z poprawką nr 1 GFG po procedurze de Foresta z poprawką nr 2 Składowa poprzeczna

Składowa podłużna z poprawką nr 1 Składowa podłużna z poprawką nr 2

|qmax|=900MeV

Rysunek:Różniczkowy przekrój czynny dla węgla w modelu GFG,

31 / 40

(32)

Wykresy - Węgiel

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70

ω[GeV]

6 12 E=961MeV θ=37,5^o

dane doświadczalne

GFG po procedurze de Foresta z poprawką LGF po procedurze de Foresta z poprawką

|qmax|=585MeV

0 500 1000 1500 2000 2500

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

d²σ/(dΩdE') [nb/sr/GeV]

ω[GeV]

6 12 E=1299MeV θ=37,5o

dane doświadczalne

|qmax|=800MeV

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

ω[GeV]

6 12 E=1108MeV θ=37,5o

dane doświadczalne

|qmax|=675MeV

0 200 400 600 800 1000 1200

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

ω[GeV]

6 12 E=1501MeV θ=37,5o

dane doświadczalne

GFG po procedurze de Foresta z poprawką

LGF po procedurze de Foresta z poprawką

|qmax|=900MeV

32 / 40

(33)

Wykresy - Tlen

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60

ω[GeV]

8 16 E=880MeV θ=32^o

dane doświadczalne

|qmax|=465MeV

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000

8 16 E=1200MeV θ=32o

dane doświadczalne

|qmax|=635MeV

0 5000 10000 15000 20000 25000

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

ω[GeV]

8 16 E=1080MeV θ=32o

dane doświadczalne

|qmax|=570MeV

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

8 16 E=1500MeV θ=32o

dane doświadczalne

|qmax|=800MeV

(34)

Wykresy - Wapń

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60

ω[GeV]

20 40 E=681MeV θ=45,5^o

dane doświadczalne

|qmax|=490Me

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60

ω[GeV]

20 40 E=841MeV θ=45,5o

dane doświadczalne

|qmax|=600M

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

ω[GeV]

20 40 E=739MeV θ=45,5^o

dane doświadczalne

|qmax|=530Me

34 / 40

(35)

Wnioski

pik nie jest ostry jak w przypadku rozpraszania na swobodnym nukleonie, tylko poszerzony, co odzwierciedla rozkład pędów nukleonów w jądrze

wykresy modelu LGF są szersze u postawy w porównaniu z wykresami w modelu GFG . Jest to spowodowane wkładem od nukleonów o wyższej wartości pędu niż średnia wartość pędu Fermiego, którą użyliśmy w modelu GFG

wzrost dopasowania wykresów do danych doświadczalnych, zwłaszcza dla modelu GFG , ze wzrostem przekazu pędu w okolicach maksimum piku |q

_max

|. Przybliżenie impulsowe staje się bardziej uzasadnione.

Na prawo od piku kwazielastycznego widzimy piki rezonansowe,

których model nie odtwarza.

(36)

Skalowanie

Inkluzyjny przekrój czynny jest funkcją niezależnych zmiennych |q| i ω.

Wybieramy nowe zmienne |q|, y (|q|, ω).

Funkcja skalowania:

F (q, y ) = 1 Aσ

^eff_eN

d

²

σ d ΩdE

⁰

˜

σ

^eff_eN

=

_A¹

(Z ˜ σ

_ep

+ N ˜ σ

_en

).

˜

σ

_eN

=

^E_|q|^p+q

σ

_eN

F (q, y ) →

_q→∞

F (y )

36 / 40

(37)

Skalowanie

W skalowaniu typu y wybieramy za zmienną skalowania minimalną wartość pędu nukleonu dla energii wzbudzenia jadra E = 0.

±y (|q|, ω) = |p|

_min

y (|q|, ω) =

^|q|(M

2−M⁰

B

2−W )+(M_A+ω)

√

(W −(M_B⁰+M)²)(W −(M_B⁰−M)²) 2W

W = (M

_A

+ ω)

²

− |q|

²

(38)

Skalowanie

0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 0,003 0,0035 0,004

-300 -200 -100 0 100 200

F[1/MeV]

y[MeV]

F(y)

C 1501MeV 37.5 C 1299MeV 37.5 C 1108MeV 37.5 C 730MeV 37.1

Rysunek:Funkcja F(y) otrzymana na postawie danych doświadczalnych przekroju czynnego dla węgla

38 / 40

(39)

Bibliografia

I S. Frullani, J. Mougey, Single-particle properties of nuclei through (e, e’p) reactions, Adv. in Nucl. Phys. 14 (1984).

I J. D. Bjorken, S. D. Drell, Relativistic Quantum Mechanics, McGraw-Hill (1964) I B. Povh, K. Rith, Ch. Scholz, F. Zetsche, Particles and Nuclei An Introduction to

the Physical Concepts. Springer (2006)

I O. Benhar, D. Day, I. Sick, Inclusive quasielastic electron-nucleus scattering.

RevModPhys., vol 80 (2008)

I S. Pollock, H.W.L. Naus, J.H. Koch The electron-nucleon cross section in (e, e’p) reactions,Phys. Rev. C53 (1996)

I B. Frois, I. Sick, Modern Topics in Electron Scattering. World Scientific (1992) I C.W. De Jager, H. De Vries, C. De Vries, Nuclear charge- and

magnetization-density-distribution parameters from elastic electron scattering.

Atomic Data and Nuclear Data Tables 14, 479-508 (1974) 14, 479-508 (1974) I C.F. Williamson, et al., Quasielastic electron scattering from Ca-40. Phys.Rev. C56

, 3152-3172, (1997)

(40)

Bibliografia

I M. Anghinolfi et al., Quasielastic and inelastic inclusive electron scattering from an oxygen jet target. Nucl.Phys. A602 , 405-422, (1996)

I R. Sealock et al., Electroexcitation of the delta (1232) in nuclei. Phys. Rev. Lett., 62, 1350-1353, (1989)

I J. S. O’Connell et al.E Electromagnetic excitation of the delta resonance in nuclei.

Phys. Rev., C35:1063, (1987)

I E. Leader, E. Predazzi, An Introduction to Gauge Theories and Modern Particle Physics, Vol. 1. Cambridge University Press (2004)

I J. Tran Thanh Van, J.F. Mathiot, The Heart of the Matter, from Nuclear Interactions to Quark Gluon Dynamics. Editions Frontieres (1995)

I T. W. Donnelly, I. Sick Superscaling of Inclusive Electron Scattering from Nuclei.

Phys.Rev. C60 (1999)

40 / 40