Macierze
Macierz o wymiarach m × n.
A =
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n
... ... ...
am1 am2 . . . amn
Matm×n(R) – zbiór macierzy m × n o współczynnikach rzeczywi- stych. Analogicznie określamy Matm×n(Z), Matm×n(Q) itp.
Wiersze macierzy A:
h a11 a12 . . . a1n i,
h a21 a22 . . . a2n i, ...
h am1 am2 . . . amn i.
Kolumny macierzy A:
a11 a21
...
am1
,
a12 a22
...
am2
, . . . ,
a1n a2n
...
amn
.
Działania na macierzach Dodawanie.
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n
... ... ...
am1 am2 . . . amn
+
b11 b12 . . . b1n b21 b22 . . . b2n
... ... ...
bm1 bm2 . . . bmn
=
=
a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n
... ... ...
am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn
.
Krócej:
haiji
m×n + hbiji
m×n = haij + biji
m×n . Przykład:
"
1 2 1 3 4 −4
#
+
"
3 2 1
4 −3 3
#
=
"
4 4 2 7 1 −1
#
.
Dodajemy tylko macierze o tych samych wymiarach m × n, suma jest też macierzą m × n.
Własności dodawania macierzy.
Dla dowolnych macierzy m × n zachodzą równości A + B = B + A,
(A + B) + C = A + (B + C), A + 0m×n = A
A + (−A) = 0m×n
Macierz zerowa:
0m×n =
0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 ... ... ...
0 0 . . . 0
Macierzą przeciwną do macierzy A = haiji
m×n jest macierz
−A =
−a11 −a12 . . . −a1n
−a21 −a22 . . . −a2n
... ... ...
−am1 −am2 . . . −amn
.
Mnożenie macierzy przez liczbę.
c ·
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n
... ... ...
am1 am2 . . . amn
=
ca11 ca12 . . . ca1n ca21 ca22 . . . ca2n
... ... ...
cam1 cam2 . . . camn
Mnożąc dowolną macierz przez liczbę otrzymujemy macierz o tych samych wymiarach.
Własności mnożenia macierzy przez liczbę.
Dla dowolnych macierzy A, B o wymiarach m × n i dowolnych liczb α, β zachodzą równości
α(A + B) = αA + αB, (α + β)A = αA + βA, (αβ)A = α(βA),
1 · A = A, (−1) · A = −A,
0 · A = 0m×n, α · 0m×n = 0m×n.
Mnożenie macierzy.
Iloczynem macierzy 1 × n i macierzy n × 1 jest macierz 1 × 1:
ha1 a2 . . . ani ·
b1 b2 ...
bn
= ha1b1 + a2b2 + . . . + anbni .
Przykład:
h1 2 3 4i ·
−1 0 1 7
= h1 · (−1) + 2 · 0 + 3 · 1 + 4 · 7i = h30i.
Iloczynem macierzy m × n i macierzy n × 1 jest macierz m × 1:
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n
... ... ...
am1 am2 . . . amn
·
b1 b2 ...
bn
=
a11b1 + a12b2 + . . . + a1nbn a21b1 + a22b2 + . . . + a2nbn
...
am1b1 + am2b2 + . . . + amnbn
.
Przykład:
1 2 3 4 2 3 4 5 0 1 0 −1
·
−1 0 1 7
=
1 · (−1) + 2 · 0 + 3 · 1 + 4 · 7 2 · (−1) + 3 · 0 + 4 · 1 + 5 · 7 0 · (−1) + 1 · 0 + 0 · 1 + (−1) · 7
=
30 37
−7
.
Iloczynem macierzy m × n i macierzy n × k jest macierz m × k:
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n
... ... ...
am1 am2 . . . amn
·
b11 b12 . . . b1k b21 b22 . . . b2k
... ... ...
bn1 bn2 . . . bnk
=
=
c11 c12 . . . c1k c21 c22 . . . c2k
... ... ...
cm1 cm2 . . . cmk
,
gdzie cij = ai1b1j + ai2b2j + . . . + ainbnj.
Własności mnożenia macierzy.
Dla dowolnych macierzy (odpowiednich wymiarów) zachodzą rów- ności:
(AB)C = A(BC) dla A ∈ Matm×n(R), B ∈ Matn×k(R), C ∈ Matk×l(R),
(A + B)C = AC + BC dla A, B ∈ Matm×n(R), C ∈ Matn×k(R), A(B + C) = AB + AC dla A ∈ Matm×n(R), B, C ∈ Matn×k(R), (cA)B = A(cB) = c(AB) dla A ∈ Matm×n(R), B ∈ Matn×k(R), c ∈ R,
Macierz zerowa.
A · 0n×k = 0m×k, 0k×m · A = 0k×n dla A ∈ Matm×n(R).
Macierz jednostkowa: In =
1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 0 ... ... ... ...
0 0 . . . 1 0 0 0 . . . 0 1
∈ Matn×n(R),
A · In = Im · A = A dla A ∈ Matm×n(R).
Macierz skalarna: c · In =
c 0 . . . 0 0 0 c . . . 0 0 ... ... ... ...
0 0 . . . c 0 0 0 . . . 0 c
∈ Matn×n(R), c ∈ R,
cA = A · (cIn) = (cIm) · A dla A ∈ Matm×n(R).
Macierz diagonalna:
c1 0 . . . 0 0 0 c2 . . . 0 0 ... ... ... ...
0 0 . . . cn−1 0 0 0 . . . 0 cn
∈ Matn×n(R), gdzie
c1, . . . , cn ∈ R.
Macierz A = haiji
i,j=1,...,n ∈ Matn×n jest diagonalna ⇔ aij = 0 dla i 6= j.
c1 0 . . . 0 0 c2 . . . 0 ... ... ...
0 0 . . . cm
·
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n
... ... ...
am1 am2 . . . amn
=
c1a11 c1a12 . . . c1a1n c2a21 c2a22 . . . c2a2n
... ... ...
cmam1 cmam2 . . . cmamn
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n
... ... ...
am1 am2 . . . amn
·
c1 0 . . . 0 0 c2 . . . 0 ... ... ...
0 0 . . . cn
=
c1a11 c2a12 . . . cna1n c1a21 c2a22 . . . cna2n
... ... ...
c1am1 c2am2 . . . cnamn
Macierz o wymiarach n × n nazywamy kwadratową.
Macierz diagonalna jest macierzą kwadratową. Spośród macierzy kwadratowych wyróżniamy macierze górnotrójkątne i dolnotrój- kątne.
Macierz górnotrójkątna:
a11 a12 . . . a1,n−1 a1n 0 a22 . . . a2,n−1 a2n
... ... ... ...
0 0 . . . an−1,n−1 an−1,n
0 0 . . . 0 ann
,
gdzie aij ∈ R.
Macierz A = haiji
i,j=1,...,n ∈ Matn×n(R) jest górnotrójkątna ⇔ aij = 0 dla i > j.
Macierz dolnotrójkątna:
a11 0 . . . 0 0
a21 a22 . . . 0 0
... ... ... ...
an−1,1 an−1,2 . . . an−1,n−1 0 an1 an2 . . . an,n−1 ann
,
gdzie aij ∈ R.
Macierz A = haiji
i,j=1,...,n ∈ Matn×n(R) jest dolnotrójkątna ⇔ aij = 0 dla i < j.
Niech A ∈ Matm×n(R) będzie dowolną macierzą:
A =
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n
... ... ...
am1 am2 . . . amn
.
Macierzą transponowaną do macierzy A nazywamy macierz
AT =
a11 a21 . . . am1 a12 a22 . . . am2
... ... ...
a1n a2n . . . amn
,
AT ∈ Matn×m(R).
Przykłady.
1. Jeśli A =
"
1 2 3 4 5 6
#
, to AT =
1 4 2 5 3 6
.
2. Macierzą transponowaną do macierzy diagonalnej jest ta sama macierz.
3. Macierz transponowana do macierzy górnotrójkątnej jest ma- cierzą dolnotrójkątną, i na odwrót.
Symbolicznie możemy zapisać: AT = hbiji
n×m, gdzie bij = aji dla i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m.
Dla dowolnych macierzy A, B i dowolnej liczby c zachodzą rów- ności
(A + B)T = AT + BT, A, B ∈ Matm×n(R), (cA)T = cAT,
(AB)T = BTAT, A ∈ Matm×n(R), B ∈ Matn×k(R), (AT)T = A.
Macierz kwadratową A nazywamy symetryczną, jeśli AT = A, Macierz kwadratową A nazywamy antysymetryczną, jeśli AT =
−A.
1 2 3 2 4 5 3 5 6
– symetryczna,
0 1 −3
−1 0 2
3 −2 0
– antysymetryczna,
Dla dowolnej macierzy kwadratowej A macierz A + AT jest sy- metryczna, a macierz A − AT jest antysymetryczna.
Zadanie. Przedstawić dowolną macierz kwadratową w postaci sumy macierzy symetrycznej i macierzy antysymetrycznej. Uza- sadnić, że takie przedstawienie jest jednoznaczne.
Permutacje
Permutacją zbioru nazywamy ustawienie jego elementów w do- wolnej kolejności. Permutację zbioru {1, 2, . . . , n} zapisujemy w postaci tabelki:
σ = 1 2 . . . n − 1 n
σ(1) σ(2) . . . σ(n − 1) σ(n)
!
.
Przykład. Permutacja σ = 1 2 3 4 4 1 3 2
!
jest określona następu- jąco: σ(1) = 4, σ(2) = 1, σ(3) = 3, σ(4) = 2.
Zbiór permutacji zbioru {1, 2, . . . , n} oznaczamy przez Sn.
Rozważmy permutację
σ = 1 2 . . . n − 1 n c1 c2 . . . cn−1 cn
!
.
Parę (ck, cl) taką, że k < l i ck > cl, nazywamy nieporządkiem.
Permutację nazywamy parzystą, jeśli liczba jej nieporządków jest parzysta, a nieparzystą, jeśli ta liczba jest nieparzysta.
Znak permutacji σ oznaczamy symbolem sgn(σ). Jeśli σ jest permutacją parzystą, to sgn(σ) = +1, a jeśli nieparzystą, to sgn(σ) = −1.
Przykład.
σ = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 6 7 2 1 9 8 10
!
Nieporządki permutacji σ: (3, 2), (3, 1), (4, 2), (4, 1), (5, 2), (5, 1), (6, 2), (6, 1), (7, 2), (7, 1), (2, 1), (9, 8).
Liczba nieporządków: 12, znak permutacji: sgn(σ) = +1.
Wyznaczniki
Wyznacznik macierzy 2 × 2.
Dana jest macierz A ∈ Mat2×2(R), A =
"
a b c d
#
.
Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczbę
|A| =
a b c d
= ad − bc.
Wyznacznik macierzy A oznaczamy też symbolem det A.
Dla macierzy A =
"
a11 a12 a21 a22
#
mamy
det A = a11a22 − a12a21.
Są dwie permutacje zbioru {1, 2}.
Permutacja 1 2 1 2
!
jest parzysta, ma znak +1.
Permutacja 1 2 2 1
!
jest nieparzysta, ma znak −1.
Wyznacznik macierzy 3 × 3.
Wyznacznikem macierzy A ∈ Mat3×3(R), A =
a b c d e f g h i
nazy- wamy liczbę
|A| =
a b c d e f g h i
= aei + bf g + cdh − af h − bdi − ceg.
Dla macierzy A =
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
mamy
det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
−a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31.
Jest 6 permutacji zbioru {1, 2, 3}. Permutacje 1 2 3 1 2 3
!
, 1 2 3 2 3 1
!
, 1 2 3
3 1 2
!
są parzyste, mają znak +1. Permutacje 1 2 3 1 3 2
!
, 1 2 3
2 1 3
!
, 1 2 3 3 2 1
!
są nieparzyste, mają znak −1.
Wyznacznik macierzy (kwadratowej!) A ∈ Matn×n(R),
A =
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n
... ... ...
an1 an2 . . . ann
,
określamy następująco:
det A = X
σ∈Sn
(sgn σ) · a1σ(1)a2σ(2) . . . anσ(n).
Wyznacznik macierzy jednostkowej:
det(In) =
1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 0 ... ... ... ...
0 0 . . . 1 0 0 0 . . . 0 1
= 1.
Wyznacznik macierzy diagonalnej:
c1 0 . . . 0 0 0 c2 . . . 0 0 ... ... ... ...
0 0 . . . cn−1 0 0 0 . . . 0 cn
= c1c2 . . . cn.
Wyznacznik macierzy górnotrójkątnej:
a11 a12 . . . a1,n−1 a1n 0 a22 . . . a2,n−1 a2n
... ... ... ...
0 0 . . . an−1,n−1 an−1,n
0 0 . . . 0 ann
= a11a22 . . . ann.
Wyznacznik macierzy dolnotrójkątnej:
a11 0 . . . 0 0
a21 a22 . . . 0 0
... ... ... ...
an−1,1 an−1,2 . . . an−1,n−1 0 an1 an2 . . . an,n−1 ann
= a11a22 . . . ann.
Wyznacznik macierzy transponowanej:
det AT = det A.
Wyznacznik iloczynu macierzy: dla dowolnych macierzy A, B ∈ Matn×n(R) zachodzi równość
det(AB) = (det A) · (det B).
Wyznacznik jako funkcja wierszy macierzy:
w1 = h a11 a12 . . . a1n i, w2 = h a21 a22 . . . a2n i,
...
wn = h an1 an2 . . . ann i.
Zapiszmy wyznacznik w postaci det A =
w1 w2
...
wn
.
Dla dowolnego i ∈ {1, . . . , n} mamy:
w1 ...
wi + wi0 ...
wn
=
w1 ...
wi ...
wn
+
w1 ...
wi0 ...
wn
oraz
w1 ...
c · wi ...
wn
= c ·
w1 ...
wi ...
wn
,
Dla dowolnych i, j ∈ {1, . . . , n}, i 6= j, mamy:
w1 ...
wi ...
wj ...
wn
= −
w1 ...
wj ...
wi ...
wn
.
Wnioski:
w1 ...
0...
wn
=
w1 ...
0 · 0 ...
wn
= 0 ·
w1 ...
0...
wn
= 0,
w1 ...
wi ...
wi ...
wn
= −
w1 ...
wi ...
wi ...
wn
⇒
w1 ...
wi ...
wi ...
wn
= 0,
w1 ...
wi + c · wj ...
wj ...
wn
=
w1 ...
wi ...
wj ...
wn
+
w1 ...
c · wj ...
wj ...
wn
=
w1 ...
wi ...
wj ...
wn
+ c ·
w1 ...
wj ...
wj ...
wn
=
w1 ...
wi ...
wj ...
wn
Kolumny macierzy A:
a11 a21
...
am1
,
a12 a22
...
am2
, . . . ,
a1n a2n
...
amn
.
Zapiszmy wyznacznik w postaci det A = k1 k2 . . . kn .
Wówczas dla dowolnego i ∈ {1, . . . , n} mamy:
k1 . . . ki + ki0 . . . kn = k1 . . . ki . . . kn + k1 . . . k0i . . . kn oraz
k1 . . . c · ki . . . kn = c · k1 . . . ki . . . kn , dla dowolnych i, j ∈ {1, . . . , n}, i 6= j, mamy:
k1 . . . ki . . . kj . . . kn = − k1 . . . kj . . . ki . . . kn .
Wnioski:
k1 . . . 0 . . . kn = 0,
k1 . . . ki . . . ki . . . kn = 0,
k1 . . . ki + c · kj . . . kj . . . kn = k1 . . . ki . . . kj . . . kn .
Niech A ∈ Matn×n(R). Przez Aij oznaczmy macierz otrzymaną z macierzy A przez wykreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.
Rozwinięcie Laplace’a względem i-tego wiersza:
|A| = (−1)i+1ai1· |Ai1| + (−1)i+2ai2· |Ai2| + . . . + (−1)i+nain· |Ain|.
Rozwinięcie Laplace’a względem j-tej kolumny:
|A| = (−1)1+ja1j·|A1j|+(−1)2+ja2j·|A2j|+. . .+(−1)n+janj·|Anj|.
Macierz odwrotna
Niech A ∈ Matn×n(R) będzie macierzą kwadratową.
Macierz B ∈ Matn×n(R) nazywamy odwrotną do macierzy A, jeśli AB = BA = In.
Oznaczenie macierzy odwrotnej: A−1.
Przykłady.
1. Macierzą odwrotną do A =
"
1 a 0 1
#
jest macierz
"
1 −a 0 1
#
.
2. Macierz A =
"
1 2 3 6
#
nie posiada macierzy odwrotnej.
3. Macierzą odwrotną do macierzy diagonalnej:
A =
c1 0 . . . 0 0 c2 . . . 0 ... ... ...
0 0 . . . 0 0 0 . . . cn
,
gdzie c1, . . . , cn 6= 0, jest macierz
A−1 =
c−11 0 . . . 0 0 c−12 . . . 0 ... ... ...
0 0 . . . 0 0 0 . . . c−1n
Niech A ∈ Matn×n(R), Aij – macierz otrzymana z macierzy A przez wykreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.
Liczbę Dij = (−1)i+j · |Aij| nazywamy dopełnieniem algebraicz- nym elementu aij. Macierz dopełnień algebraicznych oznaczamy przez AD:
AD =
D11 D12 . . . D1n D21 D22 . . . D2n
... ... ...
Dn1 Dn2 . . . Dnn
.
Twierdzenie. Macierz odwrotna do macierzy A istnieje dokład- nie wtedy, gdy det A 6= 0, i wówczas
A−1 = 1
det A · (AD)T.
Dowód. Jeśli macierz A jest odwracalna, to A · A−1 = I, więc det A · det A−1 = det(A · A−1) = det I = 1,
skąd det A 6= 0.
Pozostaje wykazać, że jeśli det A 6= 0, to macierz A jest odwra- calna i macierz odwrotna wyraża się podanym wzorem.
Rozważmy rozwinięcie Laplace’a względem i-tego wiersza:
det A =
a11 a12 . . . a1n ... ... ...
ai1 ai2 . . . ain ... ... ...
aj1 aj2 . . . ajn ... ... ...
an1 an2 . . . ann
= ai1Di1 + ai2Di2 + . . . + ainDin.
Jeśli zamiast i-tego wiersza wstawimy j-ty wiersz, gdzie j 6= i, to otrzymamy:
0 =
a11 a12 . . . a1n ... ... ...
aj1 aj2 . . . ajn ... ... ...
aj1 aj2 . . . ajn ... ... ...
an1 an2 . . . ann
= aj1Di1 + aj2Di2 + . . . + ajnDin.
Dla dowolnego i mamy:
ai1Di1 + ai2Di2 + . . . + ainDin = det A, a dla dowolnych i 6= j:
aj1Di1 + aj2Di2 + . . . + ajnDin = 0.
Możemy to zapisać tak:
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n
... ... ...
an1 an2 . . . ann
·
D11 D21 . . . Dn1 D12 D22 . . . Dn2
... ... ...
D1n D2n . . . Dnn
=
det A 0 . . . 0 0 det A . . . 0 ... ... ...
0 0 . . . det A
.
Mamy zatem
A · (AD)T = det A · I.
Analogicznie pokazujemy, że
(AD)T · A = det A · I.
Jeśli det A 6= 0, to otrzymujemy równości A · 1
det A · (AD)T = 1
det A · (AD)T · A = I, które oznaczają, że macierz A jest odwracalna oraz
A−1 = 1
det A · (AD)T.
Definicja. Minorem macierzy A ∈ Matm×n(R) nazywamy wy- znacznik jej podmacierzy kwadratowej:
ai1j1 ai1j2 . . . ai1j
k
ai2j1 ai2j2 . . . ai2j ... ... ... k
ai
kj1 ai
kj2 . . . ai
kjk
,
gdzie 1 6 i1 < i2 < . . . < ik 6 m, 1 6 j1 < j2 < . . . < jk 6 n.
Definicja. Rzędem macierzy A ∈ Matm×n(R) nazywamy najwięk- szy stopień jej niezerowego minora.
