3. Wyznacznik macierzy kwadratowej
KaŜdej macierzy A= An moŜna przyporządkować liczbę rzeczywistą, zwaną
wyznacznikiem macierzy. Wyznacznik macierzy A= An oznaczamy symbolem detA lub A. Liczbę n nazywamy stopniem wyznacznika.
Wyznacznik definiuje się rekurencyjnie w zaleŜności od jego stopnia.
Niech n=1, czyli A= A1 =
[ ]
a11 . Wtedy detA≡ a11 =a11.Przykłady
2
2 = , −3 =−3.
Niech n=2, czyli
=
=
22 21
12 11
2 a a
a A a
A .
Wtedy
21 12 22 11 22 21
12
det 11 a a a a
a a
a
A= a = ⋅ − ⋅ .
Przykłady
2 3 ) 2 ( ) 4 ( 4 1 2
3
1 = ⋅ − − − ⋅ =
−
− , 1 ( 1) 0 0 1
1 0
0
1 = ⋅ − − ⋅ =−
− .
Niech n=3, czyli
=
=
33 23 31
23 22 21
13 12 11
3
a a a
a a a
a a a A
A .
Wtedy stosujemy metodę (regułę) Sarrusa. Polega ona na dopisaniu do wyznacznika dwóch pierwszych kolumn
−
⋅
⋅ +
⋅
⋅ +
⋅
⋅
=
= 11 22 33 12 23 31 13 21 32
32 31
22 21
12 11
33 32 31
23 22 21
13 12 11
det a a a a a a a a a
a a
a a
a a
a a a
a a a
a a a A
33 21 12 32 23 11 31 22
13 a a a a a a a a
a ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
− .
Analogicznie metodę Sarrusa moŜna zastosować po dopisaniu dwóch pierwszych kolumn.
Przykład
25 0 0 40 0 0 15 0 2
5 0
0 1
3 0 2
0 5 0
4 0 1
−
=
−
−
− + +
= .
7 0 0 0 8 1 0
2 0 1
1 2 0
0 1 2
2 0 1
1 2 0
−
=
−
−
−
− +
=
−
−
−
−
−
.
Niech teraz n≥2. Opiszemy ogólną metodę obliczania wyznaczników, zwaną metodą Laplace’a. Najpierw dla macierzy A= An postaci
=
nn n
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
K K K K K
K K
2 1
2 22
12
1 12
11
określamy macierz stopnia n−1, która powstaje z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny, czyli
=
+
−
+ +
+
− + +
+
− +
−
−
−
−
−
+
−
+
−
nn j
n j
n n
n
n i j
i j i i
i
n i j
i j i i
i
n j
j
n j
j
ij
a a
a a
a
a a
a a
a
a a
a a
a
a a
a a
a
a a
a a
a
A
K K
K K K K
K K K
K K
K K
K K K K
K K K
K K
K K
1 , 1 , 2
1
, 1 1
, 1 1 , 1 2
, 1 1 , 1
, 1 1
, 1 1 , 1 2
, 1 1 , 1
2 1
, 2 1 , 2 22
21
1 1
, 1 1 , 1 12
11
Wyznacznik tej macierzy detAij nazywamy minorem (podwyznacznikiem) stopnia n−1 i oznaczmy symbolem M . WyraŜenieij
ij j i
ij M
D =(−1)+ ⋅ nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu a .ij
Teraz moŜna podać wzór Laplace’a :
in in i
i i
i D a D a D
a
A= ⋅ + ⋅ +K+ ⋅
2 2 1
det 1 , i∈
{
1,2,K,n}
.Uwaga
Wzór Laplace’a moŜna zapisać takŜe w postaci
j nj j
j j
j D a D a D
a
A 1 1 2 2 2
det = ⋅ + ⋅ +K+ ⋅ , j∈{1,2,K,n}. Przykłady
− =
⋅−
−
⋅
− +
⋅−
−
⋅
− +
⋅ −
−
⋅
=
−
−
− + + +
1 3
4 ) 3
1 ( 5 0 3
2 ) 3
1 ( 5 2 1
2 ) 4
1 ( 1 5 1 3
2 4 3
0 2 1
3 1 2
1 1
1
36 18 18 ) 6 15 ( ) 1 ( 2 ) 2 20 ( 1
1⋅ ⋅ − + ⋅ − ⋅ − + = + =
= .
=
−
−
−
⋅
−
⋅
− +
−
−
⋅
−
⋅
=
−
−
−
−
+ +
0 5 4
7 0 0
0 6 3 ) 1 ( ) 2 ( 0 5 4
8 0 0
0 6 3 ) 1 ( 1 0 5 4 0
8 0 0 2
7 0 0 1
0 6 3 0
1 3 1
2
54 126 72 ) 0 105 0 0 168 0 ( 1 ) 2 ( ) 0 120 0 0 192 0 ( ) 1 (
1⋅ − ⋅ + + − − − + − ⋅ ⋅ − + − + − =− + =
= .
=
−
−
−
⋅
−
⋅
− +
−
−
⋅
−
⋅
=
−
−
−
−
+ +
0 5 4
7 0 0
0 6 3 ) 1 ( ) 2 ( 0 5 4
8 0 0
0 6 3 ) 1 ( 1 0 5 4 0
8 0 0 2
7 0 0 1
0 6 3 0
1 3 1
2
54 ) 9 ( ) 14 ( ) 9 ( 5 8 4
6 ) 3
1 ( ) 7 ( 1 ) 2 5 (
4 6 ) 3
1 ( 8 ) 1 (
1 2 3 2 3 = ⋅ − + − ⋅ − =
−
⋅ −
−
⋅
−
⋅
⋅
−
− +
⋅ −
−
⋅
⋅
−
⋅ + + .
Uwaga
Macierz kwadratową, której wyznacznik jest równy zeru nazywamy macierzą osobliwą, natomiast macierz o wyznaczniku róŜnym od zera nazywamy macierzą nieosobliwą.
Macierz odwrotna
Macierz B nazywamy macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej A , jeŜeli I
A B B
A⋅ = ⋅ = .
Macierz odwrotną do macierzy A będziemy oznaczać symbolem A . A zatem mamy−1 równość
I A A A
A⋅ −1 = −1⋅ = . Sposoby wyznaczania macierzy odwrotnej:
1. z definicji,
2. metodą operacji elementarnych, 3. metodą wyznacznikową.
Przykład
Wyznaczyć na podstawie definicji macierz odwrotną do macierzy
= 7 2
3
A 1 .
PoniewaŜ macierz A jest macierzą stopnia drugiego, a więc macierz odwrotna teŜ musi być tego samego stopnia. RozwaŜmy macierz
= d c
b
B a ,
gdzie a, b , c, d są nieznane. Z definicji mamy
I B A⋅ = , czyli
=
⋅
1 0
0 1 7
2 3 1
d c
b
a ,
skąd
=
⋅ +
⋅
⋅ +
⋅
⋅ +
⋅ +
1 0
0 1 7
2 7 2
3 3
d b c a
d b c
a .
PowyŜsza równość prowadzi do dwóch układów równań
=
⋅ +
⋅
=
⋅ +
0 7 2
1 3
c a
c a
=
⋅ +
⋅
=
⋅ +
1 7 2
0 3
d b
d b
skąd znajdujemy a=7, c=−2 oraz b=−3, d =1. Zatem
−
= −
1 2
3
B 7 .
Sprawdzimy teraz, czy B⋅A=I.
=
⋅ +
⋅
−
⋅ +
⋅
−
⋅
− +
⋅
⋅
− +
= ⋅
⋅
−
−
1 0
0 1 7 1 3 ) 2 ( 2 1 1 ) 2 (
7 ) 3 ( 3 7 2 ) 3 ( 1 7 7 2
3 1 1 2
3
7 .
Ostatecznie moŜemy stwierdzić, Ŝe wyznaczona macierz B , jest macierzą odwrotną do macierzy A , czyli
−
= −
−
1 2
3
1 7
A .
Przykład
Stosując metodę operacji elementarnych wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy
= 7 2
3
A 1 .
Metoda operacji elementarnych polega na utworzeniu macierzy
[
A I]
,a następnie wykonując operacje elementarne, sprowadzeniu tej macierzy do postaci
[
I B]
.Wtedy B=A−1.
Mamy więc kolejno
−
⇔ −
⋅
−
⇔ −
⋅
−
1 2
3 7 1 0
0 1 3
1 2
0 1 1 0
3 1 1 2
0 0 1 7 2
3
1 1 2
1 2
w w
w w
skąd wynika, Ŝe
−
= −
−
1 2
3
1 7
A .
Przykład
Stosując metodę wyznacznikową znaleźć macierz odwrotną do macierzy
= 7 2
3
A 1 .
Schemat metody wyznacznikowej
Niech A=An- macierz kwadratowa stopnia n. Wykonujemy kolejno następujące czynności
1. obliczamy detA (jeŜeli detA=0, macierz odwrotna nie istnieje), 2. obliczamy dopełnienia algebraiczne D , ij i, j=1,2,K,n,
3. tworzymy macierz dopełnień D=
[ ]
Dij ,4. tworzymy macierz dołączoną Ad =DT, 5. wyznaczamy macierz odwrotną według wzoru
Ad
A− = A⋅ det
1 1
.
W naszym przykładzie mamy
1. detA=1≠0, co oznacza, Ŝe macierz odwrotna istnieje;
2. D11 =(−1)1+1⋅7 =7, D12 =(−1)1+2 ⋅2 =−2, D21 =(−1)2+1⋅3 =−3, D22 =(−1)2+2⋅1 =1;
3.
−
= −
1 3
2
D 7 ;
4.
−
= −
1 2
3
d 7
A ;
5.
−
= −
−
⋅ −
− =
1 2
3 7 1
2 3 7 1
1 1
A .
Rząd macierzy
Niech A=Am×n - macierz prostokątna o wymiarach m×n. Rzędem macierzy A nazywamy maksymalną liczbę liniowo niezaleŜnych wierszy macierzy i oznaczamy symbolem r( A).
Uwagi
1. Rząd macierzy A jest równy wymiarowi podprzestrzeni liniowej generowanej przez wiersze tej macierzy.
2. Maksymalna liczba liniowo niezaleŜnych wierszy macierzy jest równa maksymalnej liczbie liniowo niezaleŜnych kolumn tej macierzy.
3. r(A)≤min(m,n).
Metody wyznaczania rzędu macierzy 1. z definicji,
2. za pomocą operacji elementarnych, 3. za pomocą wyznaczników.
Przykład
Korzystając z definicji wyznaczyć rząd macierzy
=
5 3 2
4 2 2
4 1 3
A .
Niech
[
3 1 4]
1 =
w , w2 =
[
2 2 4]
, w3 =[
2 3 5]
. Tworzymy kombinację liniową3 0
3 2 2 1
1⋅w +a ⋅w +a ⋅w =
a ,
czyli
[
3 1 4]
2[
2 2 4]
3[
2 3 5] [
0 0 0]
1⋅ +a ⋅ +a ⋅ =
a ,
skąd otrzymujemy układ równań
=
⋅ +
⋅ +
⋅
=
⋅ +
⋅ +
=
⋅ +
⋅ +
⋅
0 5
4 4
0 3
2
0 2
2 3
3 2
1
3 2
1
3 2
1
a a
a
a a
a
a a
a
który, jak łatwo sprawdzić ma rozwiązanie niezerowe, np. a1 =2, a2 =−7, a3 =4. Oznacza to, Ŝe r(A)<3.
Tworzymy wobec tego kombinację złoŜoną z dwóch wektorów, np.
2 0
2 1
1⋅w +a ⋅w =
a ,
czyli
[
3 1 4]
2[
2 2 4] [
0 0 0]
1⋅ +a ⋅ =
a ,
skąd dostajemy
=
⋅ +
⋅
=
⋅ +
=
⋅ +
⋅
0 4
4
0 2
0 2
3
2 1
2 1
2 1
a a
a a
a a
który ma rozwiązanie zerowe a1=a2 =0, co oznacza, Ŝe wektory w1 i w2 są liniowo niezaleŜne, a zatem r(A)=2.
Przykład
Wyznaczyć rząd macierzy za pomocą operacji elementarnych
=
5 3 2
4 2 2
4 1 3
A .
Idea tej metody polega na sprowadzeniu macierzy A do postaci kanonicznej (bazowej), tzn.
"
' O
O R Ik
Wtedy r(A)=k. Wobec tego
⇔
⋅
⇔
⋅
−
⋅
⇔
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
4 2 1
2 3
1 3
1 2
0 0 0
4 4 0
4 1 3
7 4
7 7 0
4 4 0
4 1 3
2 3
2 3
5 3 2
4 2 2
4 1 3
w w
w w
w
w w
⇔
⋅
⇔
−
0 0 0
1 1 0
1 0 1
0 0 0
1 1 0
3 0 3
0 0 0
1 1 0
4 1
3 w1 w2 31 w1
skąd wynika, Ŝe r(A)=2. Przykład
Wyznaczyć rząd macierzy za pomocą wyznaczników
=
5 3 2
4 2 2
4 1 3
A .
Rząd macierzy jest równy najwyŜszemu stopniowi wyznacznika róŜnego od zera, który moŜna utworzyć z elementów tej macierzy przez skreślenie pewnej liczby wierszy i kolumn (liczba skreślonych wierszy lub kolumn moŜe być równa zeru).
RozwaŜmy wyznacznik stopnia trzeciego
0 10 36 16 24 8 30 3 2
2 2
1 3
5 3 2
4 2 2
4 1 3
=
−
−
− + +
= ,
co oznacza, Ŝe r(A)<3. Weźmy więc wyznacznik stopnia drugiego 0
4 2 2 6
2 1
3 = − = ≠ ,
skąd wynika, Ŝe r(A)=2.
