II. Steinhaus postawił pytanie (1), jak można elementarnie dowieść, że nie istnieje

(1)

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria I: PRACE MATEMATYCZNE III (1959)

H.

Sz m u s z k o w i c z

(Warszawa)

O pew nym szeregu potęgowym lakunarnym

II. Steinhaus postawił pytanie (1), jak można elementarnie dowieść, że nie istnieje

oo

(1) lim Y ( - l ) nxn.*

Z— >1—0 n=o

Celem tej notatki jest odpowiedź na to i inne pytania H. Steinhausa z tym związane.

1. №ech

O O

(2) Hx) = y V u ’V ’*

71 = 0

w przedziale <0,1). Oznaczając przez x dowolną liczbę przedziału (0,1 ), połóżmy wv — x2~p dla p — 1 , 2 , . . . Ponieważ 0 < wv < 1 oraz limwp = 1, więc aby dowieść, że nie istnieje granica (1), wystarczy

Р —УОО

stwierdzić, że nie istnieje lim f{wp). Jest

P—>00 p - 1

(3) f(wv) = у )” /(» ),

71=0

(4)

v - i

гг=0

V

y < - i r 71

=

1 - 1{ 1 - х ~ п)* dla

p =

2 , 4

V

1 - У ( - -1)п- 1{1 -х ~ п)* dla

p

= 1 , 3

71 = 1 OO

Ponieważ szereg ( — l ) n_1(l — x2~n) jest zbieżny (np. na podsta- wie kryterium Leibnitza, jako szereg przemienny), przeto kładąc

OO

(S) **0(®) = * + У ( - 1 ) * ( 1 - « О**

n = l

P) H. S t e in h a u s , O pewnym szeregu potęgowym, Prace Matematyczne I. 2 (1955), str. 2 76-28 4.

(2)

202 H . S z m u s z k o w i c z

otrzymujemy z (3) i (4) związki

lim f(w2p) = l - g { x ) + j(x), lim f(w2р_ г) = ł + g{x) — f(x).

Р —У 0 0 Р —УОО

Wynika z nich, że jeżeli istnieje lim f(wp), to zachodzi g(x) — f(x).

Р —УОО

Wystarczy więc wskazać liczbę x przedziału (O, 1), dla której g{x) Ф f(x).

Taką liczbą jest np. x = ponieważ

3

S(i) ^{> i +} = 0,28...,

n= 1 4

f ( i ) < £ ( - 1 Г 2 - 2_

и

= 0,273...

n =o

2. Podane w ustępie 1 rozumowanie wiąże się z następującym pomy

słem (2): aby dowieść, że nie istnieje granica (1), wystarczy stwierdzić, że a) Określona w przedziale (0,1) wzorem (2) funkcja f(x) jest jedyną funkcją ciągłą w tym przedziale spełniającą równanie

(6) f(x)-\- f (x2) = X,

dla której istnieje lim f(x).

Х -уО +О

b) Istnieje w przedziale ( 0,1) jedna i tylko jedna funkcja ciągła g(x) spełniająca równanie

(7) g{x) + g{x2) = x,

dla której istnieje lim g(x).

X—> 1 — o

c) Funkcja g(x) nie jest identyczna z funkcją f(x) w przedziale (O, 1).

Twierdzenie a) i druga część twierdzenia b) są udowodnione w pracy H. Steinhausa (1. c.). Przedstawimy krótkie dowody wszystkich twier

dzeń a), b), c); w ten sposób uzyskamy nowy dowód na to, że nie istnieje granica (1).

D o w ó d w a r u n k u a). Wystarczy wykazać, że jeżeli f(x) jest funkcją ciągłą w przedziale ( 0 , 1) spełniającą równanie (6) i istnieje lim f(x),

X - y l ~ 0

to prawdziwy jest wzór (2). Podstawiając x2n zamiast x we wzorze (6) otrzymujemy f{x 2n)-\~ f{x2n+1) — х2П, a stąd

2p 2p

(8) f(x) + 1(afiw 1* j = JĆ (-1 rt/(2”) + /(2,,+1)] = У ( - 1 ) ”*2Я

W = 0 n — O

dla p = O, 1, ... Z założenia, że istnieje lim f(x), wynika z (6), że jest

ж - * о + о

(2) loco citato.

(3)

O pewnym szeregu potęgowym lakunarnym 2 0 3

lim f(x) = 0,i tym samym lim f{xz2p+1) = 0. Z (8), przez przejście*

X —*04-0 P —>oo

do granicy, otrzymujemy szukaną równość (2).

D o w ó d w a r u nk u b). Określona w przedziale (0, 1) wzorem (5) funkcja g(x) jest ciągła. Istotnie, na mocy nierówności Bernoulliego

1 x 1 +

1 -ж 2 "П\2П

x2~n ) > 1 ф 2 п- l - x 2~n

x2~n > 2n(l — x2~n) i stąd ( l ~ x 2 n) < 112nxj wyrazy szeregu

OO

(9) 2 ( - i n i - x > ~ ’‘ )

n= 0

są # więc dla 0 < a < x < 1 bezwzględnie mniejsze od odpowiednich

OO

wyrazów szeregu ^ ( l j 2 na), skąd wynika, że szereg (9) jest jednostaj-

n = o

nie zbieżny w przedziale <a, 1) przy każdym a e ( 0 , l ) . Ponieważ, jak łatwo sprawdzić, funkcja g(x) spełnia równanie (7), więc pozostaje jesz

cze do wykazania, że na odwrót, gdy g(x) jest funkcją ciągłą w przedziale (0,1) spełniającą równanie (7) i istnieje lim g(x), to prawdziwy jest

Х - + 1 — o

wzór (5). Podstawiając x2~n zamiast x we wzorze (7) otrzymujemy g(x2~n)-\-g(x2~n+1) = x2~n, a stąd

2p 2p

g ( x ) - g ( x ^ ) = j Ć ( - i )n- ' [ g ( ^ ~ n) + g ( ^ ~ n+1)] =

n = l n —

1

oraz

2 p

(10) g(x) = »(ж2- 2р) + У ( - l ) n( 1 - ® - “ )* n=l

dla p = 1 , 2 , . . . Z założenia, że istnieje lim g(x), wnioskujemy, wobec

Ж-^-1-O

(7), że lim g(x) — i tym samym lim g(x2~2p) = \. Ъ (10), przez przej-

x—>1 — 0 p—*50

ście do granicy, otrzymujemy szukaną równość (5).

D o w ód w a r u n k u c). Ponieważ funkcja g(x) jest określona wzo

rem (5), wystarczy powołać się na nierówność g{\) Ф f{\) udowodnioną w ustępie 1.

3. Korzystając z poprzednich uwag łatwo rozstrzygnąć również postawione (1. c.) pytanie, czy funkcja h(x), określona w przedziale (0,1) wzorem

OO OO

ft(®) =

n = o n = l

(

11

)

(4)

2 0 4 H . S z m u s z k o w i c z

со *

jest w tym przedziale identycznie == 0; przy tym (0Д ( — l ) nx~n ozna-*

oo n = l

cza uogólnioną sumę szeregu £ ( — l ) nx2~n przy metodzie (СД, tzn. meto-

П — 1 CO

dzie pierwszych średnich arytmetycznych. Ponieważ szereg £ ( — l ) n

n—1

posiada uogólnioną sumę przy metodzie (Ci), równą — a szereg

oo

£ ( — l ) n(l — x2~n) jest zbieżny, więc różnica tych szeregów, tzn. sze-

n = l co

reg J £ ( —■ l ) nx2~n, posiada uogólnioną sumę przy metodzie (СД, równą

n = l OO

— 2 ( — 1)л(1 — хг~п) —■ — g(x). Tym samym Ji(x) — f ( x ) —g(x), a więc, łi=i

na podstawie uwagi z ustępu 1, funkcja Ji{x) nie jest w przedziale (0,1) identycznie = 0 .

А. Шм у ш к о в и ч (Варшава)

О Н ЕК О ТО Р О М Л А К У Н А Р Н О М С ТЕП ЕН Н О М РЯДЕ

РЕЗЮМЕ

Автор приводит краткое доказательство несуществования границы (1).

Дается ответ на некоторые другие вопросы поставленные X . Штейнхаузом (1.с.), в частности доказывается, что функция определенная формулой (5) является единственной непрерывной функцией на интервале (0,1), которая удовлетворяет уравнению (7) и для которой существует предел lim д(х). Эта функция и фун-

х-*\ —о

кция f(x) определенная формулой (2) нетождественны. В результате функция h(x) определенная формулой (11) не может Тождественно исчезать на интер

вале (0,1).

Н. Sz m u s z k o w i c z (Warszawa)

ON A C E R T A IN L A C U N A R P O W E R SERIES S U M M A R Y

The author gives a short proof of non existence of the limit (1). The answer on some other related questions asked by H . Steinhaus (1. о.) is also given, eg. there is proved that the function g(x) defined by (5) is the only continuous function on (0,1) which satisfies the equation (7) and for which lim g (аз) exists. This function and the function f(x) defined by (2) are not iden-

X - y l — 0

tical. Consequently, h(x) defined by (11) cannot identically vanish on (0,1).

II. Steinhaus postawił pytanie (1), jak można elementarnie dowieść, że nie istnieje

H.

(Warszawa)

O pew nym szeregu potęgowym lakunarnym

II. Steinhaus postawił pytanie (1), jak można elementarnie dowieść, że nie istnieje

(1) lim Y ( - l ) nx*n.

Z— >1—0 n=o

Celem tej notatki jest odpowiedź na to i inne pytania H. Steinhausa z tym związane.

1. №ech

O O

(2) Hx) = y V u ’V ’*

w przedziale <0,1). Oznaczając przez x dowolną liczbę przedziału (0,1 ), połóżmy wv — x2~p dla p — 1 , 2 , . . . Ponieważ 0 < wv < 1 oraz limwp = 1, więc aby dowieść, że nie istnieje granica (1), wystarczy

stwierdzić, że nie istnieje lim f{wp). Jest

(3) f(wv) = у )” /(» ),

(4)

гг=0

y < - i r 71

1

- 1{ 1 - х * ~ п) dla

2 , 4

1 - У ( - -1)п- 1{1 -х * ~ п) dla

= 1 , 3

Ponieważ szereg ( — l ) n_1(l — x2~n) jest zbieżny (np. na podsta- wie kryterium Leibnitza, jako szereg przemienny), przeto kładąc

(S) 0(®) = * + У ( - 1 ) * ( 1 - « О

otrzymujemy z (3) i (4) związki

lim f(w2p) = l - g { x ) + j(x), lim f(w2р_ г) = ł + g{x) — f(x).

Wynika z nich, że jeżeli istnieje lim f(wp), to zachodzi g(x) — f(x).

Wystarczy więc wskazać liczbę x przedziału (O, 1), dla której g{x) Ф f(x).

Taką liczbą jest np. x = ponieważ

S(i) > i + = 0,28...,

f ( i ) < £ ( - 1 Г 2 - 2_

= 0,273...

2. Podane w ustępie 1 rozumowanie wiąże się z następującym pomy­

słem (2): aby dowieść, że nie istnieje granica (1), wystarczy stwierdzić, że a) Określona w przedziale (0,1) wzorem (2) funkcja f(x) jest jedyną funkcją ciągłą w tym przedziale spełniającą równanie

(6) f(x)-\- f (x2) = X,

dla której istnieje lim f(x).

b) Istnieje w przedziale ( 0,1) jedna i tylko jedna funkcja ciągła g(x) spełniająca równanie

(7) g{x) + g{x2) = x,

dla której istnieje lim g(x).

c) Funkcja g(x) nie jest identyczna z funkcją f(x) w przedziale (O, 1).

Twierdzenie a) i druga część twierdzenia b) są udowodnione w pracy H. Steinhausa (1. c.). Przedstawimy krótkie dowody wszystkich twier­

dzeń a), b), c); w ten sposób uzyskamy nowy dowód na to, że nie istnieje granica (1).

D o w ó d w a r u n k u a). Wystarczy wykazać, że jeżeli f(x) jest funkcją ciągłą w przedziale ( 0 , 1) spełniającą równanie (6) i istnieje lim f(x),

to prawdziwy jest wzór (2). Podstawiając x2n zamiast x we wzorze (6) otrzymujemy f{x 2n)-\~ f{x2n+1) — х2П, a stąd

(8) f(x) + 1(afiw* 1 j = JĆ (-1 rt/(*2”) + /(*2,,+1)] = У ( - 1 ) ”*2Я

dla p = O, 1, ... Z założenia, że istnieje lim f(x), wynika z (6), że jest

lim f(x) = 0,*i tym samym lim f{xz2p+1) = 0. Z (8), przez przejście

do granicy, otrzymujemy szukaną równość (2).

D o w ó d w a r u nk u b). Określona w przedziale (0, 1) wzorem (5) funkcja g(x) jest ciągła. Istotnie, na mocy nierówności Bernoulliego

1

x 1 +

1 -ж 2 "П\2П

x2~n ) > 1 ф 2 п- l - x 2~n

x2~n > 2n(l — x2~n) i stąd ( l ~ x 2 n) < 112nxj wyrazy szeregu

(9) 2 ( - i n i - x > ~ ’‘ )

są # więc dla 0 < a < x < 1 bezwzględnie mniejsze od odpowiednich

wyrazów szeregu ^ ( l j 2 na), skąd wynika, że szereg (9) jest jednostaj-

nie zbieżny w przedziale <a, 1) przy każdym a e ( 0 , l ) . Ponieważ, jak łatwo sprawdzić, funkcja g(x) spełnia równanie (7), więc pozostaje jesz­

cze do wykazania, że na odwrót, gdy g(x) jest funkcją ciągłą w przedziale (0,1) spełniającą równanie (7) i istnieje lim g(x), to prawdziwy jest

wzór (5). Podstawiając x2~n zamiast x we wzorze (7) otrzymujemy g(x2~n)-\-g(x2~n+1) = x2~n, a stąd

g ( x ) - g ( x ^ ) = j Ć ( - i )n- ' [ g ( ^ ~ n) + g ( ^ ~ n+1)] =

n = l n —

oraz

(10) g(x) = »(ж2- 2р) + У ( - l ) n( 1 - ® * - “ ) n=l

dla p = 1 , 2 , . . . Z założenia, że istnieje lim g(x), wnioskujemy, wobec

(7), że lim g(x) — i tym samym lim g(x2~2p) = \. Ъ (10), przez przej-

ście do granicy, otrzymujemy szukaną równość (5).

D o w ód w a r u n k u c). Ponieważ funkcja g(x) jest określona wzo­

rem (5), wystarczy powołać się na nierówność g{\) Ф f{\) udowodnioną w ustępie 1.

3. Korzystając z poprzednich uwag łatwo rozstrzygnąć również postawione (1. c.) pytanie, czy funkcja h(x), określona w przedziale (0,1) wzorem

ft(®) =

11

jest w tym przedziale identycznie == 0; przy tym (0Д ( — l ) nx*~n ozna-

cza uogólnioną sumę szeregu £ ( — l ) nx2~n przy metodzie (СД, tzn. meto-

dzie pierwszych średnich arytmetycznych. Ponieważ szereg £ ( — l ) n

posiada uogólnioną sumę przy metodzie (Ci), równą — a szereg

£ ( — l ) n(l — x2~n) jest zbieżny, więc różnica tych szeregów, tzn. sze-

reg J £ ( —■ l ) nx2~n, posiada uogólnioną sumę przy metodzie (СД, równą

— 2 ( — 1)л(1 — хг~п) —■ — g(x). Tym samym Ji(x) — f ( x ) —g(x), a więc, łi=i

na podstawie uwagi z ustępu 1, funkcja Ji{x) nie jest w przedziale (0,1) identycznie = 0 .

(1) lim Y ( - l ) nxn.*

- 1{ 1 - х ~ п)* dla

1 - У ( - -1)п- 1{1 -х ~ п)* dla

(S) **0(®) = * + У ( - 1 ) * ( 1 - « О**

S(i) ^{> i +} = 0,28...,

2. Podane w ustępie 1 rozumowanie wiąże się z następującym pomy

Twierdzenie a) i druga część twierdzenia b) są udowodnione w pracy H. Steinhausa (1. c.). Przedstawimy krótkie dowody wszystkich twier

(8) f(x) + 1(afiw 1* j = JĆ (-1 rt/(2”) + /(2,,+1)] = У ( - 1 ) ”*2Я

lim f(x) = 0,i tym samym lim f{xz2p+1) = 0. Z (8), przez przejście*

nie zbieżny w przedziale <a, 1) przy każdym a e ( 0 , l ) . Ponieważ, jak łatwo sprawdzić, funkcja g(x) spełnia równanie (7), więc pozostaje jesz

(10) g(x) = »(ж2- 2р) + У ( - l ) n( 1 - ® - “ )* n=l

D o w ód w a r u n k u c). Ponieważ funkcja g(x) jest określona wzo

jest w tym przedziale identycznie == 0; przy tym (0Д ( — l ) nx~n ozna-*