ZADANIA OTWARTE - grupa młodsza. Dzień pierwszy.
Każde zadanie należy umieścić na OSOBNEJ, PODPISANEJ kartce.
1. Dany jest trójkąt ABC, w którym odcinki AD, BE i CF są jego wysokościami. Czy zawsze można zbudować z nich trójkąt?
2. Wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych dodatnich (a, b) takich, że 175|ab oraz a + b = 175.
3. Dany jest czworokąt wypukły ABCD wpisany w okrąg. Niech M będzie punktem przecięcia się prostych AB i CD, zaś niech N będzie punktem przecięcia się prostych AD i BC. Wykaż, że dwusieczne kątów AM D i AN B są prostopadłe.
4. W trójkąt równoramienny ABC o podstawie AB = 12 i ramionach AC = BC = 10 wpisano kwadrat tak, że dwa jego wierzchołki leżą na boku AB, zaś dwa pozostałe leżą na pozostałych bokach trójkąta. Wyznacz bok tego kwadratu.
5. Dana jest szachownica rozmiarów 8 × 8 z odciętymi dwoma przeciwległymi rogami. Czy możemy pokryć ją płytkami wymiarów 1 × 2?
ZADANIA OTWARTE - grupa młodsza. Dzień drugi.
Każde zadanie należy umieścić na OSOBNEJ, PODPISANEJ kartce.
1. Czy można załadować 870 ton mosiężnych płyt o masie jednej płyty nieprzekraczającej 8 ton na 17 platform o nośności 58 ton każda?
2. Pokaż, że dla każdych liczb x, y należących do przedziału (0, 1) spełniona jest nierówność
x(1 − y)2+ y(1 − x)2¬ (1 − xy)2.
3. W trójkącie ABC punkt M jest środkiem boku AB oraz∠ACB = 120o. Pokaż, że CM
√ 3 6 AB.
4. Dany jest równoległobok ABCD. Punkt M jest środkiem odcinka AD, zaś punkty K i L dzielą odcinek BC na równe odcinki BK, KL i LC. Odcinki KM i LM przecinają przekątną AC w punktach odpowiednio X i Y. Oblicz stosunek odcinków AX i XY.
5. Odciniki AD i BE są wysokościami trójkąta ABC. Po zewnętrznej stronie trójkąta ABC zbudowano kwadrat ABKL oraz prostokąty BN M D oraz AEP Q, przy czym BN = BC oraz AQ = AC.
Udowodnij, że pole kwadratu ABKL jest równe sumie pól prostokątów AEP Q i BN M D.
ZADANIA OTWARTE - grupa młodsza. Dzień trzeci.
Każde zadanie należy umieścić na OSOBNEJ, PODPISANEJ kartce.
1. Wyznacz wszystkie liczby naturalne n takie, że obie liczby n2+ n + 1 oraz n2+ n + 3 są pierwsze.
2. Miara każdego kąta sześciokąta ABCDEF jest równa 120o. Wykaż, że symetralne boków AB, CD i EF przecinają się w jednym punkcie.
3. Okręgi O1 i O2 są styczne wewnętrznie w punkcie S oraz cięciwa AB okręgu O1 jest styczna do okręgu O2 w punkcie C. Wykaż, że ∠CSA = ∠CSB.
4. W siedemnastokącie foremnym wyróżniono 10 wierzchołków. Pokaż, że można spośród wyróżnionych wierzchołków wybrać takie cztery A, B, C, D, że ABCD jest trapezem.
5. W pewnym czworościanie każdy wierzchołek połączono odcinkiem ze środkiem okręgu opisanego na przeciwległej ścianie. Okazało się, że każdy z tych odcinków jest wysokością czworościanu. Uzasadnij, że ten czworościan jest foremny.
