ALGEBRA I R 8 grudnia 2014 Semestr zimowy
Kolokwium
Uwagi organizacyjne: każde zadanie rozwiązujemy na osobnej kartce. Każde za- danie należy podpisać imieniem i nazwiskiem własnym oraz prowadzącego ćwiczenia.
Na wszelki wypadek prosimy też o podanie numeru grupy. Prosimy o sprawdzenie, czy telefon komórkowy jest wyłączony a kalkulator i inne pomoce naukowe (np. tablice ma- tematyczne) schowane. W razie wątpliwości prosimy o kontakt z asystentem.
Zadanie 1. Udowodnij tożsamość trygonometryczn¸a
N
X
k=1
cos3(kϕ + α) = sin
3(N +1)ϕ 2
cos 3N ϕ2 + 3α
4 sin 3ϕ2 +
3 sin
(N +1)ϕ 2
cos N ϕ2 + α
4 sinϕ2 − cos3α dla ϕ ∈ R\{2sπ, s ∈ Z}, N ∈ N, α ∈ R.
Zadanie 2. Znajdź przeciwobraz zbioru S := {z ∈ C| Im z > 1} wzgl¸edem odwzorowa- nia
f : C \
−3 2
→ C : z 7→ 2z − 1 2z + 3,
a nast¸epnie wyznacz obraz g(S) tego zbioru wzgl¸edem odwzorowania g : C \
−3 2
→ C : z 7→ z2.
Zadanie 3. Niech układ e1, . . . , en, gdzie n ≥ 3, b¸edzie układem liniowo niezależnym w przestrzeni wektorowej V nad ciałem K charakterystyki zero. Dowieść, że układ e1+ e2, e2 + e3, . . . , en + e1 jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy liczba n jest nieparzysta. Czy to jest jeszcze prawda dla dowolnego ciała K?
Zadanie 4. Dana jest przestrzeń liniowa M2(C) nad R. Zdefiniujemy V = x11 x12
x21 x22
| x11+ x22= 0, x12 = ¯x21
⊂ M2(C),
W = 1 0 0 1
, 0 i i 0
,
i 0 0 i
,
0 1
−1 0
⊂ M2(C).
Udowodnij, że V to podprzestrzeń liniowa M2(C). Podaj wymiar i baz¸e podprzestrzeni V i W . Dowieść, że M2(C) jest sum¸a prost¸a podprzestrzeni V, W i podaj rozkład wektora
a = 3 + 2i 3 − i 2 + i 1 − 2i
wzgł¸edem V ⊕ W . Jeżeli rozpatrujemy M2(C) jako przestrzeń liniow¸a nad C, czy M2(C) jest sum¸a prost¸a V , W ?
1
