Uwaga. Rozwiązanie każdego z dziesięciu zadań należy pisać na osobnej kartce podpisanej imieniem, nazwiskiem i numerem indeksu. Każde zadanie warte jest 5 punktów.

(1)

Metody Numeryczne (III INF)

Egzamin, 3-02-2016

Uwaga. Rozwiązanie każdego z dziesięciu zadań należy pisać na osobnej kartce podpisanej imieniem, nazwiskiem i numerem indeksu. Każde zadanie warte jest 5 punktów.

1. Rozpatrzmy dwa algorytmy obliczania f (x) = 3x − √

9x

²

+ 10 dla x > 0:

(a) wprost z powyższego wzoru,

(b) z równoważnego wzoru f (x) = −10/(3x + √

9x

²

+ 10).

Który z nich należy zastosować do obliczenia f (x) w arytmetyce fl podwójnej precyzji dla x = 5 ∗ 10

¹⁴

z możliwie małym błędem względnym? Podaj krótkie uzasadnienie.

2. Pokaż, że macierz

A =







4 2 −2

2 2 1

−2 1 21







ma rozkład Choleskiego A = LDL

^T

. Wyznacz ten rozkład i za jego pomocą rozwiąż układ równań A~ x = ~b, gdzie ~b = [0, 2, 4]

^T

.

3. Dla danych parami różnych liczb rzeczywistych x

₀

, x

₁

, . . . , x

_n−1

definiujemy macierz kwadratową n × n jako

V =

^h

x

^j_i ⁱⁿ⁻¹

i,j=0

(przyjmujemy, że 0

⁰

= 1),

gdzie i oznacza numer wiersza, a j numer kolumny. Zaproponuj algorytm rozwiązania układu równań V ~ x = ~b, gdzie ~b ∈ R

ⁿ

, kosztem O(n

²

) operacji arytmetycznych.

4. Wyznacz w bazie Newtona wielomian p interpolujący dane:

p(1) = 1, p

⁰

(1) = 2, p

⁰⁰

(1) = 4, p(2) = 3.

Oszacuj błąd interpolacji w normie jednostajnej C([1, 2]) dla funkcji f ∈ C

⁴

([1, 2]).

5. Dla funkcji całkowalnych f : (−1, 1) → R definiujemy kf k :=

^R−1¹

|f (x)|

²

dx

1 2

. Niech Π

₁

oznacza przestrzeń liniową wielomianów stopnia co najwyżej jeden. Czy dla funkcji f (x) = e

^x

istnieje wielomian w ∈ Π

₁

taki, że

kf − wk = inf

v∈Π1

kf − vk ?

Odpowiedź uzasadnij. Jeśli jest twierdząca, to podaj przyklad takiego wielomianu w.

Czy jest on wyznaczony w sposób jednoznaczny?

6. Ile wynosi maksymalny rząd kwadratury opartej na pięciu jednokrotnych węzłach:

0, ±1, ±a, gdzie a ∈ (0, 1), przybliżającej

^R₋₁¹

f (x) dx? Odpowiedź uzasadnij.

CIĄG DALSZY NA NASTĘPNEJ STRONIE !

(2)

2

7. Dla n ∈ N

⁺

= {1, 2, 3, . . .} niech F

_n

:=

f : [0, 1] → R | f jest stała na

i n , i + 1

n

dla i = 0, 1, . . . , n − 1

. (a) Czy istnieje kwadratura Q

_n

(f ) =

^Pⁿ_j=1

a

_j

f (x

_j

) taka, że Q

_n

(f ) =

^R₀¹

f (x) dx dla

każdej f ∈ F

_n

?

(b) Czy istnieje kwadratura Q (o skończonej liczbie węzłów) taka, że Q(f ) =

^R₀¹

f (x) dx dla każdej f ∈

^S^∞_n=1

F

_n

?

Odpowiedzi uzasadnij.

8. Wykaż, że równanie

x − 1

4 sin(2x) + 3 = 0

ma dokładnie jedno rozwiązanie oraz, że metoda iteracyjna x

_n+1

= 1

4 sin(2x

_n

) + 3

jest zbieżna do rozwiązania tego równania dla dowolnego x

₀

∈ R.

9. Jacek i Wacek zaimplementowali w Octave metodę iteracyjną Newtona znajdowania zera funkcji, a następnie, niezależnie od siebie, przeprowadzili testy numeryczne swo- ich implementacji na tym samym komputerze, ale dla różnych funkcji. Oto wyniki, jakie uzyskali (z braku miejsca podane są z ograniczoną dokładnością):

Jacek Wacek

Równanie sin

²

(x) = 0 cos(x +

^π₂

) = 0

Dokł. rozw. x

^∗

= π x

^∗

= π

Iteracja i Przybl. rozw. x

_i

Błąd |x

_i

− x

^∗

| Przybl. rozw. x

_i

Błąd |x

_i

− x

^∗

|

0 2.50e+00 6.42e-01 2.50e+00 6.42e-01

1 2.87e+00 2.68e-01 3.25e+00 1.05e-01

2 3.01e+00 1.31e-01 3.12e+00 2.59e-02

3 3.08e+00 6.50e-02 3.15e+00 6.43e-03

4 3.11e+00 3.25e-02 3.14e+00 1.60e-03

5 3.13e+00 1.62e-02 3.14e+00 3.96e-04

6 3.13e+00 8.11e-03 3.14e+00 9.84e-05

7 3.14e+00 4.05e-03 3.14e+00 2.44e-05

Czy możesz stwierdzić, że jeden z nich ma błąd w implementacji?

10. Dla dwóch macierzy:

A

₁

=

"

5 9 9 5

#

, A

₂

=

"

8 9 9 8

#

,

zastosowano metodę potęgową

~

y

_k

= A~ x

_k−1

, ~ x

_k

= ~ y

_k

/k~ y

_k

k

₂

, k = 1, 2, 3, . . . z wektorem początkowym ~ x

₀

= [10, 1]

^T

/ √

101. Czy w obu przypadkach ciąg {η

_k

}

^∞_k=1

zdefiniowany jako η

_k

= ~ x

^T_k

A~ x

_k