ROZWIĄZANIE ZAMKNIĉTE STATYKI PASMA POWàOKI KOàOWEJ I àUKU KOàOWEGO

Acta Sci. Pol. Architectura 15 (1) 2016, 133–140

ROZWIĄZANIE ZAMKNIĉTE STATYKI PASMA POWàOKI KOàOWEJ I àUKU KOàOWEGO

Roman Misiak

Warszawa

Streszczenie. Artykuá dotyczy pasma powáoki koáowej i áuku koáowego, zawiera rozwiąza- nia zamkniĊte statyki tych konstrukcji speániające dowolny ukáad warunków brzegowych, co umoĪliwia zapewnienie wspóápracy z dowolną konstrukcją budowlaną o innym ksztaá- cie. W rozwiązaniu zastosowano obciąĪenie równomierne o kierunku promieniowym oraz obciąĪenie równomierne o kierunku prostopadáym do ciĊciwy, przyáoĪone do krzywizny na caáej dáugoĞci. WielkoĞci siá wewnĊtrznych speániają warunki równowagi wewnĊtrznej i zewnĊtrznej. Przedstawiono przeanalizowany zakres zastosowania rozwiązania dla róĪ- nych stosunków dáugoĞci promienia do gruboĞci pasma lub do wysokoĞci przekroju áuku, w zaleĪnoĞci od kąta rozwarcia krzywizny.

Sáowa kluczowe: pasmo powáoki koáowej, áuk koáowy, statyka pasma powáoki koáowej, statyka áuku koáowego

WSTĉP

W artykule przedstawiono metodĊ dostosowania zginania powáok o ksztaácie walca koáowego do zginania sklepieĔ i áuków koáowych, speániającą na prostych krawĊdziach sklepieĔ lub podporach áuków dowolny ukáad szeĞciu warunków brzegowych. Roz- wiązanie to podano w postaci sumy obciąĪenia z funkcją zawierającą staáe caákowania, a nie w postaci iloczynu (tzn. wielkoĞü obciąĪenia jest mnoĪona przez funkcjĊ rozwią- zania). NaleĪy zwróciü uwagĊ na fakt, Īe w konstrukcji przestrzennej obciąĪenie czĊ- Ğci konstrukcji moĪe wystąpiü w postaci siáy wewnĊtrznej z sąsiedniej czĊĞci konstruk- cji, zawierającej staáe caákowania. W takim przypadku, przy zastosowaniu rozwiązania w postaci iloczynu, wystąpi mnoĪenie staáych caákowania z jednej czĊĞci konstrukcji przez staáe caákowania sąsiedniej czĊĞci konstrukcji, uniemoĪliwiające wstawienie ta- kiego czáonu do warunków brzegowych skáadających siĊ z równaĔ liniowych. Postaü

Adres do korespondencji – Corresponding author: Roman Misiak, ul. IgaĔska 20, 04-087 Warszawa, e-mail: roman.misiak@poczta.onet.pl

© Copyright by Wydawnictwo SGGW, Warszawa 2016

przedstawionego rozwiązania likwiduje tĊ niemoĪliwoĞü. Rozwiązanie moĪe sáuĪyü w praktyce inĪynierskiej do wery¿ kacji obliczeĔ.

Przykáadem zastosowania w konstrukcji przestrzennej bĊdzie przemieszczenie (v_l) wzdáuĪ krzywizny áuku (warunek brzegowy 8-2), które zawiera obciąĪeniową czĊĞü czáonu v_(ij) w postaci: ^{q ar} U_l

Eb M, odseparowaną od pozostaáych funkcji zmiennych za- wierających staáe caákowania. ObciąĪenie q_r moĪe byü zastąpione obciąĪeniem zawiera- jącym staáe caákowania z sąsiedniej czĊĞci konstrukcji przestrzennej (np. brzegową siáą poprzeczną). W identyczny sposób moĪna wáączyü wspóápracĊ przemieszczeĔ promie- niowych (w_l). Poza tym naleĪy podkreĞliü, Īe w niniejszym rozwiązaniu otrzymuje siĊ funkcjĊ przemieszczenia wzdáuĪ krzywizny áuku (v_l), która na przykáad pozwala speániü warunek przylegania górnej powierzchni áuku do krawĊdzi wycinka koáowego opartego na tym áuku.

W opracowaniach Flugge [1972, s. 275–280] i Girkmann [1957, s 549–562] podane są przykáady, w których na krawĊdziach wycinków znajdują siĊ przepony, a nie áuki.

NaleĪy teĪ zwróciü uwagĊ na rozwaĪania teorią przybliĪoną zaburzeĔ przy przeponach, zwáaszcza „wydáuĪeĔ İ_ij” [Girkmann 1957, s. 559–562], co odpowiada przemieszcze- niom (v_l) wzdáuĪ krzywizny áuku. PrzyjĊcie áuku zamiast przepony i zastosowanie przed- stawionego w niniejszym artykule rozwiązania dla obciąĪenia g₁ daáoby zamkniĊty wy- nik wspóápracy tych czĊĞci konstrukcji, a nie wynik zaburzeĔ.

W niniejszym artykule wyniki z rozwiązaĔ zostaáy porównane z wynikami otrzyma- nymi w zaáączonym piĞmiennictwie. Przekrój poprzeczny schematu pasma z dodatnim kierunkiem obciąĪeĔ i dodatnimi ich skáadowymi pokazano na rysunku 1.

RÓWNOWAGA SIà I PRZEMIESZCZEē

Konstrukcja pod obciąĪeniem p_r równomiernym na caáej dáugoĞci o kierunku promieniowym (rys. 1)

Pasmo koáowe. Równania równowagi. Siáy i momenty są funkcjami przemieszczeĔ, muszą wiĊc speániaü trzy pierwsze warunki równowagi (5-2) podane przez Flugge [1972, Rys. 1. Schemat przekroju

Fig. 1. Schematic cross section of spherical shell strip

s. 221]. Z uwagi na fakt, Īe bĊdzie rozwaĪane nieskoĔczone pasmo powáoki, do ukáadu równaĔ równowagi wprowadzono:

n_x = n_ijx = n_xij = m_xij = m_ijx = m_x = 0; p_x = p_ij = 0.

Do tych warunków równowagi wprowadzono zaleĪnoĞci (5-12) [Flugge 1972, s. 228] :

2 3

( ) ( ) ( )

2 2 3

2 0

12

d v dw d w

d ^M  d^M  U d ^M

M M M (1-1)

4 2

( ) ( )

2 4 ( )

1 0

12

d w dv p ar

w d D

U d ^M  _M  ^M 

M M (1-2)

Z rozwiązania ukáadu (1) moĪna obliczyü:

przemieszczenia

( ) p ar ( )

w W

M E M (2-1)

( ) p ar ( )

v V

M E M (2-2)

kąt obrotu przekroju wzdáuĪ tworzącej

(

( (

1 dw ; p^r

X v X Ȥ

a d E

§ ·

¨  ¸

© ¹

M M MM M M (2-3)

gdzie:

2 3 2

( ) 12(1 ) (1 5) 1 1 + C2 3cos 4sin

W v U ª C § 2 · C C C º

 «¬«  ©¨¨  ¹¸¸   »»¼

M M M M M ,

2 3

2 2

( ) 1 2 5 6

2 3 4

(1 ) 12 (1 ) )

2 6

(1 12 )( sin cos )},

V v U U C C C C

U C C

­ ª º

 °® «     M » 

« »

° ¬ ¼

¯

   M

M M M M M

M

`

2 3

2 2

( ) 1 2 5 6

3 4

(1 ) 12 ( 1) (1 )

2 6

sin + cos

Ȥ v U U C C C C

C C

­ ª º

 °®  «    » 

« »

° ¬ ¼

¯



M M M M   M

M M

C₁–C₆ – staáe caákowania.

–

–

Siáy wewnĊtrzne wynoszą [Flugge 1972, s. 228]:

( )ȟ r ( )ȟ

n_M p aN_M (3-1)

( )ȟ r 2 ( )ȟ

m_M p a M_M (3-2)

Z równania równowagi (5-1d) [Flugge 1972, s. 220] otrzymuje siĊ siáĊ poprzeczną:

( ) 1 ( )

ȟ r ȟ

q dm p aQ

a d

M MM M (3-3)

gdzie: _{( ) 3 0 4 0}

0

1 cos( ) sin( ), , N_Mȟ C M ȟ C M ȟ ȟ MM

( )_ȟ 1 5 3cos( 0 ) 4sin( 0 ), M_M C C M ȟ C M ȟ

( )_ȟ 3sin( 0 ) 4cos( 0 ) Q_M C M ȟ C M ȟ .

àuk koáowy. ZaleĪnoĞci otrzymano z adaptacji rozwiązania pasma koáowego. Wpro- wadzono okreĞlenie: q_r – obciąĪenie promieniowe na metr, rozáoĪone na szerokoĞci prze- kroju áuku b w ostatnim czáonie równania (4-2)].

Ukáad równaĔ równowagi:

2 3

2 2 3

1 0

12

l l l

l

d v dw d w

d  d  U d

M M M (4-1)

4 2

2 4

1 0

12

l l r

l l

d w dv q a w d Ehb

U d   

M M (4-2)

Z rozwiązania ukáadu (4) wynika:

l q ar l

w W

Eb (5-1)

l q ar l

v V

Eb (5-2)

l qr l

X Ȥ

M Eb M (5-3)

WielkoĞci Wl, Vl i Xijl obliczono z zaleĪnoĞci (2) po wprowadzeniu v = 0. Siáy we- wnĊtrzne otrzymuje siĊ analogicznie jak w zaleĪnoĞci (3).

Konstrukcja pod obciąĪeniem qk równomiernym na caáej dáugoĞci, o kierunku prostopadáym do ciĊciwy, przyáoĪonym do krzywizny (rys. 3)

àuk koáowy. ZaleĪnoĞci otrzymano z adaptacji wyników dla pasma koáowego. Wpro- wadzono okreĞlenie: q – obciąĪenie na metr.

Ukáad równaĔ równowagi:

2 2

2 0

kg kg k

d v dw q a

d Ehb

dM  M  ^M (6-1)

4 2

2 4

1 0

12

kg kg kr

l

d w dv q a

w d Ehb

U d   

M M (6-2)

gdzie: q_k q_k dw⁰²,

M dM

qkr = qkw02,

w₀₂ = sinĮ₀ sin(ij₀ · ȟ) + cosĮ₀ cos(ij₀ · ȟ).

Z rozwiązania ukáadu (6), w sposób podobny jak z ukáadu (4), otrzymuje siĊ zaleĪno- Ğci na przemieszczenia i siáy wewnĊtrzne.

ROZWIĄZANIA SZCZEGÓLNE

Pasmo koáowe utwierdzone na podporach pod obciąĪeniem o kierunku promieniowym (rys. 2)

Dane: ₀ ² ; ; ₀ ⁰ 0, 2; 50.

10 2

ʌ Į M v U

M

Warunki brzegowe:

w_(ij=0) = 0 (7-1)

w(ij=ij0) = 0 (7-2)

X_(ij=0) = 0 (7-3)

Rys. 2. Siáy wewnĊtrzne w powáoce utwierdzonej Fig. 2. Internal forces in the restrained spherical shall

X_(ij=ij0) = 0 (7-4)

v(ij=0) = 0 (7-5)

v_(ij=ij0) = 0 (7-6)

Wyniki rozwiązania równaĔ: C1 = 0,042; C2 = 0,004383; C3 = 0,128; C4 = 0,042;

C5 = 0,868; C6 = –1247.

WartoĞci przemieszczeĔ i siá wewnĊtrznych otrzymano z zaleĪnoĞci (2) i (3), a na rysunku 2 pokazano wykresy siáy normalnej i momentu zginającego.

àuk koáowy utwierdzony na podporach pod obciąĪeniem o kierunku prostopadáym do ciĊciwy, przyáoĪonym do krzywizny (rys. 3)

Dane: 0 2 ; ;0 ⁰

10 2

ʌ Į M

M b = 0,30 m; h = 0,90 m; a = 21,50 m; ^21,50;

l 0,90

U Ul = 23,889;

ij0 = 36°.

Warunki brzegowe:

w(ij=0) = 0 (8-1)

w_{k(ij= ij0)} = 0 (8-2)

Xijk(ij=0) = 0 (8-3)

Xijk(ij= ij0) = 0 (8-4)

vk(ij=0) = 0 (8-5)

v_{k(ij= ij0)} = 0 (8-6)

Wyniki rozwiązania równaĔ: C1k = –10 830; C2k = 3404; C3k = 13 120; C4k = –4232;

C5k = –13 030; C6k = –4233.

Na rysunku 3 pokazano wykresy siáy normalnej i momentu zginającego.

Rys. 3. Siáy wewnĊtrzne w áuku utwierdzonym Fig. 3. Internal forces in the restrained arch

METODYKA BADAē

Badania przeprowadzono w postaci obliczeĔ przykáadów wedáug danych w pracach Nowackiego [1955] i Wierzbickiego [1955], a nastĊpnie porównano te wyniki. Poza tym dokonano innych obliczeĔ, które pozwoliáy okreĞliü zakres zastosowania przykáadów o stosunku promienia do gruboĞci pasma lub wysokoĞci przekroju áuku, w zaleĪnoĞci od kąta rozwarcia krzywizny, aby wyniki byáy zadowalające.

WYNIKI BADAē

Pasmo koáowe pod obciąĪeniem równomiernym o kierunku promieniowym

W pracy Nowackiego [1955, str. 87] znajduje siĊ wzór dla momentu zginającego, zaleĪny od wspóárzĊdnych, które zaczynają siĊ w Ğrodku krzywizny, a koĔczą na prawej podporze. PoniĪej podano stosunki momentów zginających, siá podáuĪnych i poprzecz- nych otrzymanych w niniejszej pracy do otrzymanych w pracy Nowackiego [1955].

( 0,5) ( 0,6) ( 0,7) ( 0,8) ( 0,9) ( 1)

( 0) ( 0,2) ( 0,4) ( 0,6) ( 0,8) ( 1)

1,008;

ȟ ȟ ȟ ȟ ȟ ȟ

ȟ ȟ ȟ ȟ ȟ ȟ

M M M M M M

MN MN MN MN MN MN

M M M M M M

( 0,5) ( 1) ( 0,5) ( 1)

( 0) ( 1) ( 0) ( 1)

0,999; 1,008

ȟ ȟ ȟ ȟ

ȟ ȟ ȟ ȟ

N N Q Q

NN^M NN^M QN^M QN^M

Poza przedstawionym przykáadem obliczeniowym dokonano okoáo dwudziestu obli- czeĔ, z których otrzymano, Īe w zakresach: ² ₀ ² i 20, ₀ ² i 42

6 12 14

ʌdM d ʌ Ut M ʌ U t

oraz ₀ ² i 52 16

ʌ Ut

M wyniki byáy równe z wynikami otrzymanymi przez Nowackiego [1955], z dokáadnoĞcią od 0,943 do 1,079.

àuk koáowy pod obciąĪeniem o kierunku prostopadáym do ciĊciwy, przyáoĪonym do krzywizny

àuk utwierdzony na podporach. Wyniki obliczeĔ porównano z otrzymanymi przez Wierzbickiego [1955, s. 371–372] dla obciąĪenia równomiernego prostopadáego do ciĊci- wy, lecz nieprzyáoĪonego do krzywizny o ksztaácie paraboli. Rozwiązanie Wierzbickiego zawiera wzór momentu utwierdzenia, wzór rozporu i wzór reakcji brzegowej prostopa- dáej do ciĊciwy. Przyjmując, Īe róĪnica w obciąĪeniach i ksztaátach jest maáo istotna, otrzymano dokáadnoĞü stosunków: momentów utwierdzenia (1,012), rozporów (0,973) i reakcji (1,003). Porównanie wyników pozwala wnioskowaü, Īe áuk bezprzegubowy o maáej wyniosáoĞci (páaski) i o ksztaácie paraboli moĪe byü obliczany jako áuk koáowy.

PODSUMOWANIE

Przedstawiona metoda dostosowania zginania powáok o ksztaácie walca koáowego do zginania sklepieĔ i áuków koáowych pod obciąĪeniem ciągáym na caáej dáugoĞci zawiera rozwiązania zamkniĊte statyki tych konstrukcji, speániające dowolny ukáad warunków brzegowych, co oznacza zapewnienie wspóápracy z dowolną konstrukcją budowlaną o innym ksztaácie. Rozwiązanie skáada siĊ z wzorów ostatecznych, to znaczy wystĊ- puje w postaci nadającej siĊ do bezpoĞredniego otrzymania wyników obliczeniowych.

Gáówną zaletą postaci rozwiązania jest zaleĪnoĞü od obciąĪenia odseparowanego od sta- áych caákowania, których wartoĞci są otrzymywane z warunków brzegowych opisanych w równaniach liniowych. Wyniki obliczeĔ otrzymane w artykule, porównane z wyni- kami otrzymanymi w inny sposób przez Nowackiego [1955] i Wierzbickiego [1955], są zadowalająco zbliĪone do siebie. Rozwiązanie moĪe byü zastosowane we fragmentach zbiorników koáowych (np. silosy), stropach, mostach itp.

PIĝMIENNICTWO

Flugge, W. (1972). Powáoki. Arkady, Warszawa.

Girkmann, K. (1957). DĨwigary powierzchniowe. Arkady, Warszawa.

Nowacki, W. (1955). Silosy. Budownictwo i architektura, Warszawa.

Wierzbicki, W. (1955). Mechanika budowli. PWN, Warszawa.

CLOSED SOLUTION OF STATICS FOR CIRCULAR SHELL AND CIRCULAR ARCH

Abstract. The article concerns a circular shell band and a circular arch; it includes a closed statics solutions of these structures which meet any system of boundary conditions which means ensuring cooperation with any building structure with a different shape. In the em- bodiment, the load was applied in the radial direction and in the direction perpendicular to the chord, applied to the curve. The amount of the internal forces complies with the internal and of the radius to the thickness of the band or to the height of the arch section depending on the opening angle of curvature.

Key words: circular band shell, circular arch, statics of circular shell band, statics of cir- cular arch.

Zaakceptowano do druku – Accepted for print: 21.03.2016

Cytowanie: Misiak, R. (2016). Rozwiązanie zamkniĊte statyki pasma powáoki koáowej i áuku koáo- wego. Acta Sci. Pol. Architectura, 15 (1), 133–140.