Problemy statyki i dynamiki powłok walcowych użebrowanych

G H A N I K A z 1 8

B O G D A N S K A L M I E R S K I

PROBLEMY STATYKI I DYNAMIKI

POWŁOK WALCOWYCH UŻEBROWANYCH

SPIS TREŚCI

str.

W s t ę p ... ... 3

Ważniejsze o z n a c z e n ia ...4

R o z d z i a ł I Zginanie powłoki siłami p r o m ie n io w y m i... 5

1. Równania rów n ow agi... ... 5

2. Przypadek promieniowego obciążenia powłoki zamkniętej . 10 3. Rozwiązanie równania (1.2.2) . . ... 12

4. Stan równowagi ż e b e r ... 20

5. Stan obciążenia podpór sprężystych... 26

6. Warunki nierozdzielności przem ieszczeń... 26

7. Składowe przemieszczeń u, v ...29

8. Funkcja w p ły w u ... 30

R o z d z i a ł 'II Przypadek obciążenia stycznego . . . . . . . . 36

1. Równania w y jś c io w e ...36

2. Rozwiązanie układu (II. 1. 1 ) ... 38

3. Warunki nierozdzielności przem ieszczeń... 42

4. Stan p r z e m ie s z c z e ń ...52

5. Funkcje w p ły w u ... 54

R o z d z i a ł III Zagadnienie d r g a ń ... 57

1. Rozważania w s t ę p n e ...57

2. Rozwiązanie równania (II. 1. 5 ) ... 59

3. Warunki zgodności przemieszczeń i częstotliwości własne układu 61 4. Drgania w y m u s z o n e ...68 Spis lit e r a t u r y ...^

POLITECHNIKA SLĄSKA

Z E S Z Y T Y NAUKOWE Nr 73

BOGDAN SKALMIERSKI

PROBLEMY STATYK! I O Y liK !

$3361 [gg, POWŁOK WALCOWYCH OŻEBROWANYCH

P R A C A H A B I L I T A C Y J N A Nr 24

Data ottrarcia przeusodu habilitacyjnego 7, XL 1962 r.

REDAKTOR NACZELNY ZESZYTÓW NAUKOWYCH POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ

F ryderyk Staub

R e c e n z e n c i :

Prof. dr inż. STANISŁAW BODASZEWSKI — Politechnika Śląska Prof. dr inż. JAROSŁAW NALESZKIEWICZ — Warszawa PAN Prof. dr inż. OKTAWIAN POPOWICZ — Politechnika Śląska Prof. dr inż. STEFAN ZIEMBA — Warszawa PAN

Dział Nauki — Sekcja Wydawnictw Naukowych — Politechniki Śląskiej

O d d a n o d o w y k . 7. X I I . 1962 Z a m . 1 G -21 A r k . d r u k 4 '; ,, A r k . w y d . 4*,«

P a p i e r o f f s e t o w y k l . У , 70x100, 70 g N a k ł a d 100+215 C e n a z ł 5,50

W s t ę p

W niniejszej pracy omówiono problem zginania powłok wal­

cowych zamkniętych wzmocnionych żebrami* Autor porusza trzy typy zagadnień, a mianowicie}

1) zginanie powłoki siłami promieniowymi, 2 ) zginanie siłami stycznymi do równoleżnika,

3

Zgodnie z tym podziałem, praca zawiera trzy rozdziały.

Rozpatrywana powłoka została podparta na dowolnej ilości podpór sprężystych, przylegających w płaszczyznach równo­

leżników, których rozmieszczenie - podobnie jak żeber - przy*

jęto dowolnie.

Wszystkie poruszone problemy dotyczą powłok walcowych cienkościennych użebrowanych, zginanych w zakresie sprężys­

tym* Rozwiązania otrzymiano w podwójnych szeregach Fouriera.

Problem potraktowano możliwie ogólnie, zarówno co do spo­

sobu obciążania 4podano funkcje wpływu) jak i na sposób roz­

mieszczenia żeber i podpór. Z uwagi na to, przytoczone roz­

wiązania posiadają liczne technicznie ważne przypadki szcze­

gólne i mogą stanowić punkt wyjścia analizy wytrzymałościo­

wej wielu konstrukcji powłokowych.

■ W a ż n i e j s z e o z n a c z e n i a

A - przekrój poprzeczny żebra

C* - zastępczy biegunowy moment bezwładności skręcanego żebtfa

E* - stała sprężystości materiału żebra E - stałe sprężyny materiału powłoki j - moment bezwładności przekroju żebra

J - biegunowy moment bezwładności przekroju żebra R - promień krzywizny powłoki

L - długość powłoki

y n - ciężar właśoiwy żebra у - ciężar właściwy powłoki d - grubość powłoki

V* - liczba Poissona dla materiału żebra V - liczba Poissona dla materiału powłoki

R o z d z i a ł I

ZGINANIE POWŁOKI SIŁAMI PROMIENIOWYMI 1 o Równania równowagi

Z danej powłoki walcowej wytnijmy element nieskończenie mały o Wymiarach dt i Rdtf, Na element ten działają obcią­

żenia zewnętrzne oraz wewsiętrzne_{x ' 0}

Wielkości zewnętrzne są siłami ciągle rozłożonymi o wymia­

rach Г- L W ogólnym przypadku, wektor obciążenia zewnętrz­

nego posiada trzy składowe₈ q^, q„ i a o kierunkach osi₄ , 4’ i normalnym do powierzchni środkowej powłoki₀ Linie

4 в const i tp s const tworzą na powierzchni walcowej, sieć linii ortogonalnyche Powierzchnię środkową rozpatrywanej po- włoki opisują równania ₁

x в R cos

у e R sinf (1о1е1)

z a R ^

gdzie? R jest promieniem krzywizny powierzchnie

Wielkości wewnętrzne są siłami i momentami rozłożonymi,- ciągle wzdłuż linii 4^ const i w m const o wymiarach F—

i P Ł S B l . . • L c m J

l cm J

Do grupy sił wewnętrznych należąs i T2 - siły osiowe T12 1 T21 - siły styczne oraz N.j N2 - siły poprzeczne,.

Grupa momentów składa się z momentów gnących M- i UL. oraz okręcających M_^2 i

Element powłoki pozostaje w równowadze, gdy suma sił i mo­

mentów działających na ten element równa się zerug zatem musi być spełniony układ równańs

1 l ° * 1 + flT2l\

R l 04 + *<p j ’

J L ^{( QT12} U 1,2

R l 04 ^{+ 0}<f _{Г R} i 0H₁ on2

\ T2

R 'v 04 ' 0«p / R

+ q^| a 0

+ qg а О \Д01 ®2 )

+ 4n

/ ом1р оы \ ,

«г,

т 12 ” Т21 " R . ■ 0

Wielkości wewnętrzne można povdązać ze składowymi stanu odkształcenia [₂] następująco:

Ti . J L ( V «2)

P S \

Tp = -- =:“"T + ^6-1)

^ ₁ - V_й1

ES ■ш g2

T 12 " 1 + V v 2 12 R

ES

*■)

T21 “ 2 (1+V)

*3

■ U)

M 1 - ---- ~ — 7 - ( * « + v O

1 12 (1 - v 2) 1 ^ з

M 2 '

12 (₁—V )

Jak widać, szóste równanie równowagi (l.1.2.f) jest speł­

nione tożsamościowo.

Z kolei składowe stanu odkształcenia powiązane są ze skł&=

dowymi przemieszczeń związkami?

1 Qy w

2 s “F ~ 41 T

a/ 1 / ,

“ H > r * O m

1 O2 w Rw 04

2 R

oc J V ' -Otf;

o 1o4)

1 ,-0 R'² vQ4Qę

Оуч 04'

Ażeby równania równowagi wyrazić w przemieszczeniach postępujemy następującog

1) Z równań równowagi (l®1<>2) rugujemy siły poprzeczne K, i N2o Wtedy układ redukuje się do trzech równańs

OT. 21

+ o«p + R q i + “1 0МЛ OM,

0

° T12 04

OT- . 0 И 19 о м -

Г" + ~ ^“ oT” * * R _q2 s ° (I*1e5) j „ Г о _/0М1

R L 04 ' 04

21 0<p

, 0 ,< * 12 0M2 ,

> + t-W “ * - oГ', - ^2 + Од R e o

2) W związkach (l01o3) uwzględnimy (lo1o4)' Wtedys

ES L1 " R(1 - Лi )

E3 ,•Qv , Ou\

Т^ - ^ Т 7 У ^ - + ’' +ł- )

T_{1 2} - — f _{“ ^ (1} -*>[-£• ( 1 И - 6 )

2 _|Э__ / Ow _ _{V \ 1}

“ c 04 ч^Пе 'J

T, Eo. (< _ уЛ J _ (Jłi 0Ux 2 1* ц ( , - V₂ ) ₂

04 _^

ES 2 М., e - — -- г с

1 1 - v2 L Q 4

[SfjŁ. + V J - l- & Ł - v)l [— + " V ^ ₀<р V 'J

»

■ 2 Г_ ®

. v ) + 7” Р Л д — ]

2 “ “ 1 ,2 Q<f 0 ^ 2 J

1 - V

ES 2 ^{/•„ л} 0 ^-Л

M12 “ _M21 “ ~ _{7 ^ 1} C U } ~ " V)

2 §2

gdzie с = p

0 12 R

3) Wstawiając wreszcie (1₀1эб) do ^Ie1e5) i porządkując, otrzymujemy układ równań różniczkcwychs

1 +У 0 2u [ 1 - V O2 O2 2 + } 2 0 4 2 + Qj> +

2 r2 ( 1 . v ) j L . + ^ L . ] L +

L 04₂ Qf₂ -I]

[(2 . Ą . ] L

+ с

0 2 L

.n o 3

+ ln--- - (2 -V) — ---- + -- ( ^ L4 0 ^ 2 Q ( f 0 r

l l l ‘

E S q2

2

+ R2 q_ . O (1.1.7)

Г₍₂ + ₁}t

L Q£,‘ Qif Id JJ

2

+ (1 + с2 V2 v2 ) w - R2 = o

2 O 2 O 2

tu V « -- -- + --- Oć, Qę_>2

Układ (1.1.7) stanowi warunki równowagi elementu powłoki walcowej, wyrażone w przemieszczeniach. Są to równania, któ­

re otrzymał Goldenwajzer [₂] e Różnica, jaką można zaobser­

wować dotyczy znaków, co wynika ze zmiany zwrotów w i ą^o

2. Przypadek promieniowego obciążenia powłoki zamkniete.i Przy omawianiu tego przypadku uczynimy następujące zało­

żenia:

a) powłoka na brzegach podparta została przegubowo,

b) żebra, znajdujące się w płaszczyznach ₄= x., są pręta­

mi słabo zakrzywionymi i posiadają wspólną oś zginania z powłoką. Ilość ich i rozmieszczenie dowolne,

c) powłoka posiada podpory sprężyste w płaszczyznach 4 » x.. Również i tu ilość i rozmieszczenie dowolne,

J

d) reakcje żeber i podpór sprowadzają się do oddziaływań promieniowych.

Wobec założenia d), dwa pierwsze równanie układu (l*1*7) staną się jednorodne, ponieważ;

q-i * q2 * o

Równania (1.1.7) można. [li] sprowadzić do następującej posta­

ci?

Gw u = фи w

42 w = Gw z

(

.

.

)

gdziej Ф.u

1 +v O2 J L - с2 Г<

2 040<p | 0<f с L(

v -i- ■ 1—V O2 o2

04 .2

04

2

2

. 1 + V 03

- (-o2

04

= ^{v p p}

^

04

0

[(2 -V)

q3 0- +

+ с

0420‘?

]}

[*•

0 2

0

1 ~v 2

q3

0^2 -) . (1.2.2a)

S2 = V (i+v)

,^2 ”V^ 042Q(f +

4_

042

0 2 Г/ \ ₀^ ₀

1 - с (₂-v) -- - + —

L nn2 a.r2.

]j.. (I.2.2b)

4 _-

1 - V 02 \ 02

- l r r + -VTT-) т Ы ^ 2

M

f -

w

1 “ V 4 ? / О2 1 -v О2 % v + с ^ i 2 + 2 ^ 9

[2

d2 1 - У.

z ® R - у -

(l®2®2d)

(l.₂.₂e) n

Ażeby wyznaczyć przemieszczenia u i v należy» po zna­

lezieniu funkcji w wrócić do dwóch pierwszych rownan układu (1.2*2)*

3. Rozwiązanie równania I ŁZ»£ji

Ze względu na przegubowe zamocowanie brzegów powłoki, rozwiązania będziemy pcszukiwąć w formie

w s ^ We31 sin SJLia-. cos n<e d.3.1) m_»1 iteO

tu mn

n я 1

R

/?*;

Ф 2 ⁱⁱ _{I w}

Rys.2

Przyjęcie formy ;Ie3ol) jako rozwiązania,zapewnia znika­

nie na brzegach naprężeń normalnych momentów gnących oraz przemieszczeń v i w<,

Wstawiając ( l . 3 o l ) do 4I 02e2) otrzymujemy?

oo oo

S

^rni mn шп ₁ w

П*1 ZteO

gdzie §

Яш" v (i+v) ł ^ 2_ !1 ₊ °2 _{[(г _v) +n2i}

V J L E L - Ł + n2 + c2

1 L 1

+

[ , + e * ( Ł i _ * , ? ) ] .

[jsi (и * 4 + n2 ) % с2 _{2 V 1 2 V “ / T} Ф₄ 4 - * ¥ ■_{1 Z 2} ”2 ’ 2 ^1- v) + n2

A 2

^ I o 3 » 2 a )

W równaniu (lo3o2) "z" reprezentuje promieniowe obcią­

żenie powłokio Ha obciążenie to składa się s i' dowolne obciążenie zewnętrzne,

2) reakcje żeber, 3) reakcje podpór,

tzn0 ^{1 - Y}

И

Ad 1)

Obciążenie zewnętrzne dane jest funkcją q = q (4»^)»

która jest funkcją parzystą względem niezależnej tp* Funkcję tę można przedstawić szeregiem:

oo oo

q(4,f) ■ ^ Лщн qmn sin cos n f (le3o4) m=1 n*0

gdzie:

qmn = ^/qC4»f) Sin cos n? d£ d<p (le3o5)

Oczywiście obszarem całkowania jest powierzchnia 0 < 4 < 1 O <jr Ad 2)

Reakcje żeber obciążają powłokę wzdłuż obwodu przylegania w płaszczyźnie 4 = Xj_ prostopadłej do osi powierzchni środ­

kowej.

Obciążenie to składa się z sił i"momentów" q„ rozło­

żonych ciągle«, Zateas

q* = q* + q* (l.3e6)

a) Siły reakcji q* działają wzdłuż pasa przylegania żebra o szerokosci R Дх.e Jeżeli na żebro działają

siły 1

to z warunku zgodności sił oddziaływanie na powłokę przedsta­

wimy zależnością?

R A x . (1.3,7)

i=1 gdzie? p - ilość żeber.

Ze względu na stan obciążenia ^równania (l,3,4) i (1.3,5)), q*(f) można przedstawić szeregiem-trygonometrycznym:

q±* (f) -

(1.3.8)

n

dla n * 0

Ze względu na konieczność przedstawienia podwójnym szeregiem Fouriera mnożymy (lo3«8) przez funkcję

f( 4 . Ах±) в i 1

dla dla 0 ‘ dla

4 < X

4 < xi + Ax.

Ł, > +Дх^^

Rozwijając f(4, * v A x ± ) w szereg wg sin otrzymu- jeny:

i

mjr Ax^

00 2

- 2 — г -3'sln

(2 xi +

—

ms₁ * _{2 1}

. sta “ Ł a . 3.9)

Wstawiając (l.3»8) do (1.3.7) oraz mnożąc otrzymane wyra-

¥f stawiając l1.3.8; do Llo.// oraz żenię przez f(4, хА Д х ±) otrzymujemy г

а - - i 2

i_»1 ms₁ n_»0 тлтАх.

О Д_П шшшттшшшттшт

2 ^ »*■ sin SŁ?£&. . cos n ч^йЗ . Ю )

^ X . J-

m l Ax.

2 1

Dla dostatecznie małych A x ±

2 в q*, тях.

< - - S 2 2 ^ s i n - r 1 • s l n 1 о о з п ,е

1 я \ ltt*1 П я О , \

(I.3.II) b) q* jest obciążeniem promieniowym równoważnym momen­

towi skręcającemu żebro s^( i? ) Ы .

oo oo к

- Z Z I >

=1 m₌₁ rt₌₀

(p.) ^.

У o oao:Ii5xU

££T mn

sin

mjr (xi + Axi)

- sin ^{COS IKf}

(1,3.1 2)

Eys04

R m ЗГ Axi Mnożąc licznik i mianownik (1„3.12) przez 1 otrzymany%

P o® __ i

s - - ż s s

(1.3.13) marAxi

5ŁŁ (x. + 4 ł ) - sin — l . изг4‘ лло 1 i - 1 1— .... — e s m - r 5 cos n f

m ЖАх.

2 41 R Ax±

_,

mn ₁ R ₁

s m

Wielkość q^i R Дх.^ jest współczynnikiem szeregu(s)

oo

s* Ы . 2

\

Dla dostatecznie małych A x (l<>3013) upraszcza się i ostatecznie przyjmuje następującą postaóe

■ Y ’ у 1 y ' 2 ” sni и т ж х ± 2 2Li A L \ m ^ L R Г ₀₀₃ T " •

i»1 ms1 nsO

„ sin cos n«p (1.3.1 5)

Ad 3)

Reakcje podpór sprężystych przedstawimy analogicznies зек ss£ 3€xsS sf: ь- г о л r \

q1 + q2 ч!оЗо1б)

„„ v— i r—*i i 2 a . ęs Ж x.

“ = - L I Х л - 2“ - * ---

XX sin

„ sin cos n f (lo3«17)

3? 5E£

3Qt V V V Л 2

mjrxi

q2 “ " _{j=1 m}

Z,.

I

^m

^{1 1}

m -Xi

• sin y - ^ c o s n e p (1.3.18)

gdzie r jest ilością podpór sprężystych.

Jeżeli tak przedstawione obciążenia powłoki, uwzględnimy najpierw w równości \103»3), a następnie w równaniu ^(i ,3,2) to po uproszczeniach otrzymamy związek pomiędzy współczynni­

kami odpowiednich szeregów»

A oto wynik naszych działań?

f Tf mn mn ■ G

w mn

к m »ж + s .

ni R o i ' 2

L r V 1 НЯ

3=1

i=1 m ж x.

cos — j— ) -

mjrx. „ ^ гажх.

Л 5Й И Х sxn - ' lltJ' + s . ---- - COS

f 4 ]

(1.3.19)

Vt ten sposób ugięcie powłoki można zapisać szeregiem?

V е! -spn г ₂ Х_-1 / * т к х ±

2 j Z j \ m Bmn | V - — Z . 4 i 3l I1- T - +

W

m=1 nssO L i=1

+ v ~ r c o s - T * }-

n sr=^r mJTx. „ тягх.л

■f 1 _{sin - И} *»1?8 _{~ n«}

•j*1 (1,3.20)

gdzieś

mn

,2 G

~L ŚLmn

„2 1 - V w mn st N

B _ - R « O — 4 . 3 . 2 Q a )

а

G e l ^ ( £ i | L + n 2_{) 2} + c2 (n₆ Ć + J L ^ n2)

w mn _{2 ^2} ' l ₂

[2 (1 -V) + n2] i,I.3o20b)

4o Stan równowagi żeber

W ogólnym przypadku żebro jest obciążone siłami promie- niowymi q , stycznymi p* i momentami sH (patrz rys05 ) 0

Zgodnie z założeniem przedstawia sobą pręt kołowy słabo zakrzywiony₀ Równanie różniczkowe równowagi takiego pręta, otrzymamy jako szczególny przypadek układu (le105), gdy wielkości sił nie zależą od zmiennej £ e

Wtedy г

d T 12

TZT _{+ ЕчГ °}

d T d M

77 + T I T + liV 0 ^ 4*1>

1 d2 M m ^

" Г “ г _ 2 ^п°

d f

Zastępując siły i momenty jednostkowe przez wielkości' bezwzględne, tzne kładąc %

s Г [kG]

Ш2<х В M [kGcm]

[kG/cm]

У * = q* [kG/cm]

oraz zakładając, żc na pręt nie działają obciążenia, ^ J***

poprzeczne o kierunku osi 4 przepiszemy układ (1.4.1; w zmo dyfikowanej formie %

d M + R f

R

a<i' (l.4.1a)

d /

d2 ^--- T + R qX ■ 0

Rys .5

Si>a rozciągająca zależy od wydłużenia, jednostkowego fi .

Jeżeli

1 = A E £ ^{Je 4.2)}

Natomiast moment zginający M zależy od zmiany krzywizny x

Ы Jy. a . 4.3)

Wielkości 6 i >f określamy na podstawie (1.1.₄) x 1 /dv

6 s W ^ , + W ) R dtp

U.4.4)

* ____ 3- (d— JL. _ d £ S

“ R2 ( d f2 d « '

Uwzględniając najpierw (1.4.4) odpowiednio w ^1.4.2) i (1.4.3), a następnie ^1.4.2) i VI.4.3) w '4I.4.1a), otrzymamy układ równań różniczkowych'równowagi pręta, wyrażony w prze­

mieszczeniach

ЛЕ -d2 V* d W *n EJ d3 W* d2 V*n -я „

v ^--- „ --- + P =* 0

R dtp R d f J d f ^

Л X 3 M JE ^.4.5)

EJ -d4 W* d-ł V*n ЛЕ -dV* „,*ч _*

--- г 4 4--- T"} ~ T ;“ d? + ) + <1 = 0

R d«T dtp П ач

Układ (1.4.5) jest analogiesny do układu (1.1.7). Jeżeli teras na żebro działa tylko obciążenie promieniowe qS , to po wyrugowaniu z układu składowej v 'otrzymamy:

,2 ,2 2 ,2 к

( - % - + 0 - к (1.4.6)

dtp- d«f' d<f“

gdzieś

2 2

К s “Г _iS

Hr“ + “И

Rozwiązania będziemy poszukiwali w formie

H*

oo

V A. w *

Z a П П ^{COS n f}

(

.

.

)

n^O

Podstawiając (l.3.s) i (1.4.7) do (1.4*6) napiszemy:

\2 ~ \ _{- 2} _я

А. П Г ( П - I

П

№=0

У К n2 (n2 - 1)2 « * COS n v — К £ \ , 1,2 £ 003 “ » n=0 (1.4.8)

Porównując współczynniki

2 / 2 л\2 л -гг_2 я

n (n - 1) Mn » К n q^ (1.4.9)

Wyliczony z (1.4,9) współczynnik W* wstawiamy do (1.4.7) i ostatecznie otrzymujemy szereg^reprezentujący ugięcie ze­

bra w zależności od obciążenia q .

'ti* = К V -- cos n (₁.₄._{1 0})

n ф 1 co łatwo Stwierdzić obliczając wypadkową z sił q‘

I tak:

ЗГ

-ж

I q* cosf Rdi?* Nx

-X X (1.4.1 1)

qH sin«f R d<f = H,r -X

Wstawiając wartość (1*3.8) do (1.4.11) otrzymamy X

Z analizy stanu równowagi wynika, żeg

H « H ■ 0 (l<,4o12)

X у

a zatem musi być równy zeru pierwszy wyraz szeregu qs

q* - O (lo4o13)

Zgodnie z uwagą uczynioną na początku ustępu, oprócz sił q działają momenty skręcające s_{* 0}

Rozpatrując stan równowagi elementu pręta stwierdzimy*

żej

1 + dM + s ((f) R d ( f - M s ₀ (lo4»14)

Tymczasem?

s W

N M * d M

d0 M Rdq G* o C*

(lo4^e1 5⁾

gdzie G = -- —^{* E} 2(1+^)

stąd г

G .C* d0* i-r a

---~ (.I.4.15a)

a pochodna

dM G* . C* d2 0* (1*4.16)

G* « С *

Dzieląc równanie (1.4.14) przez --- ^ * dtp, oraz pod­

stawiając w miejsce ~ ~ prawą stronę (Х.₄.₁₆) otrzymamy:

S* (<?) (1.4.17) d (f

gdzies

M* = (1.4.17a)

G о С

Rozwiązania (1.4.1 7) poszukiwać będziemy w formie oo

0*s* \ \ <if COS n<f (1.4.18) Z_j n n

n₌₀

Wstawiając (1.3.14) i (1.4.18) do (1.4.17) oraz dokonując analogicznych przekształceń do tych, jakie towarzyszyły wyznaczeniu \< ostatecznie otrzymamy!

b*

OO JL g*

~

2

o n

n₌₂ Również i tu s* в 0.

5. Stan obciążenia podpór sprężystych

'Wprowadzimy trzy wielkości k^, k^ i k ^ Stała k^ cha­

rakteryzuje podatność podpory na przesunięcia promieniowe, k₂ - na przesunięcia styczne, wreszcie stała kj reprezen­

tuje podatność podpory na obrót₀ Stałe są tak dobrane, żeg

Jak widać zakładamy, że stan obciążenia podpór sprężystych jest liniową funkcją uogólniDisych przemieszczeń,,

Si niniejszym rozdziale założymy k^ ^ 0«

6. Warunki nierozdzielności przemieszczeń

Z równania (l03e18) nie można bezpośrednio wy zniżyć szu­

kanych wartości ponieważ sni, i s.^ są nieznane, tfartości te można wyznaczyć uwzględniając warun­

ki nierozdzielności przemieszczeń powłoka - żebro i powłoka - podpora sprężysta*

Zgodność przemieśzczeń v/ymagas ażeby na styku^żeber oraz podpór z powłoką zachodziła nierozdzielność ugięć i obrotów*

Ш formie matematycznej zapiszemy т/arunki nierozdzielności następującog

k W ^tw«CV?Ł s q ^JfŁjb (Io5o1)

k^ V a P (lo5o2)

k^ 0 « s ( T e 5 o 3 )

1 R

1

R 3"

1 2 ,3

oraz P

V. oparciu o związki (l#3»19)ir (l«4.10), (l.4«19)t (l«5*l) iz (1.5.3) otrzymamy zależności równoważne (1.6.1)

X Qnii* + Sni Snii’^ + i-

^ 3

i=1 3*1

+ 4 ’ 4 i . - Sioi* - 0 (I*6-2a)

u*

P * r

V (q*. Q ._{/ .} чЧпх т з * + s*. 3 .nx П13 . )+ V (q*!f /— > тд П33 + s!hпз П Snii * ^ +33

i=1 0=1

+ O®*, - OL ■» = O (l.6*2b) V j поз' иоз

(₃’ * ₁» ₂, ... r)

i (4 _{w + +} i <<з w +s" +

i*s1 3*1 '

+ sSl' Sl ó V ' Snoi- ■ ₀

(i’ • 1, 2, ... p) (l.6.2o)

i <4 w ♦ -Ł W > +M W + s3 _{V > ł}

i»1 3*1

т ж х и Ф ху Б sin

шп пь=1 gdzie:

“ т х х „ ф а

V f,~

2

2jr<=• - т5ГХ/“ m₅rxf' --X -r. ---- ---- gj_n

L o * _____ łi---

^ oi' (n₂ - ₁f

« т г х у

SioV'- Вшп Snn sin 1 m=1

поз k^,

« шл-х^ изгх^

V ? “TT" > В m sin “чг— cos — r-—

V ł2 / . шп 1 1

m₌₁

r2 •e2’oo 2 шях^ mjrxV' S _j\uv e ^'“_T32v,'"‘"/ В _шп ^{mŁ cos —}₁ ^{cos л} ₁

h 10*1

V <, __£

°noi’ “ n2

gr V_{2"1 1} пигх., Snoi’ я т 1 Б

1

0=1

ч_{*35 1}

" W e k3 .,

(lo6o3a)

^Io6o3b)

vlo6o3c)

4Io6o3d)

4Io6<>3e)

( l o 6 . 3 f )

(1*69Jg)

(Io6o33a)

( l,,6 03 i )

(Io 6 o 3 j)

Sii* qn^ * Sni ₁ Snj da^e bezpośrednio rozwiązanie proble­

mu powłoki walcowej, wzmocnionej żebrami i podporami^sprę- żystymi| wstawiwszy bowiem wyznaczone wielkości do równania (Io3o1 9) jednoznacznie określamy składową radialną "w" prze­

mieszczeń

Układ (lo6e2) zawiera 2 (r + p) niewiadomych co odpowia­

da ilości równańe Rozv/iązanie układu względem niewiadomych

7o Składowe przemieszczeń u, у .

Pozostałe składowe przemieszczeń powierzchni środkowej powłoki u i v będziemy poszukiwali w formie?

" ■ X 003 п т

ПЪ1 iteO

(1.7.1)

oo oo

Z ^ T. 3to i з 1 л п '* п Ы nsO

Zadanie, tak jak przy wyznaczaniu składowej W, sprowadza się do wyznaczenia u i у 0 Wielkości te wyznaczymy na

x u mn mn t

podstawie znanej składowej U. Z dwóch pierwszych rownan układu (le2e2) wynika, że?

*u mn

umn G uw mn ran

Ф mn

Д . 7 . 2 )

mn Q wmn

W ШП

о ХГ”7 Ш «7Гyiii ф Х у 1

V P ~ Z Bn m sir- ~ i ---sin T " Cl.6.3a) m=1

2jr%p. тдгх„ mjrxy>

S---ш -r- 2_, m cos — j— sin — -— ^I₀6₀3b) gdzie:

У

* * * L2 Й П

K M

Qnoi’ * (I.6.3c)

mjrx.y-

“ W *

Bim V sta T “

m=1

C r - i ^ 7 ii-6.3»)

2~i m j T x u ш х х ^

V v “ ^ Z, Bmn m sin cos “ T ~ Clo6o3f) m=1

P 2 ^ о шх,, mjrxV'

V v “ " T “ ^ Bmn m cos ~ cos ~ T “ E=1

iij

Snoi* " 9--- (Io603k) n

oo [ Ul JT X

Snoi> - " f " Z Bmn m • V 003 ~ Г * Cl-6-31) Kfc=1

sS 3> =

* зек ж ± ЭОЕ d a- e

bezpośrednio rozwiązanie probie­

rni’ V) * ni nj

mu powłoki walcowej, wzmocnionej żebrami i podporami ^sprę­

ży s tymi $ wstawiwszy bowiem wyznaczone wielkości do równania (lo₃o_{1 9}) jednoznacznie określamy składową radialną "w" prze­

mieszczono

Układ (lo6o2) zawiera 2 (r + p) niewiadomych co odpowia­

da ilości równań o Rozwiązanie układu względem niewiadomych

7„ Składowe przemieszczeń u, y..

Pozostałe składowe przemieszczeń powierzchni środkowej powłoki u i v będziemy poszukiwali w formie %

oo oo

z

Шз₁ n_»0

<1.7.1)

V

oo oo

I

m=1 nsO

Zadanie, tak jak przy wyznaczaniu składowej W, sprowadza się do wyznaczenia i vm » Wielkości te wyznaczymy na podstawie znanej składowej HS0 Z dwóch pierwszych równań układu (le2e2) wynika, żes

gdzieś

Ф.u шп

1 +v mn х

2 1 1 + ć

^IeT e2a)

-V mjr 11 - V m‘

$v mn

Г 2 _ 2 m JT

“ “ + n2 + o2 [z (1-V) Ł 4 r + “2

] jj

. ^ „ г] п | ) ( с г [М ^ , „ |

, ₁ +V m₂x₂

- V — --- — n ^(l07e2b)

Na podstawie znanych przemieszczeń u, v i w, można wyz­

naczyć składowe wewnętrzne w oparciu o związki ,I01 об

8. Punkc.ia wpływu

Przeprowadzony tok rozwiązania narzuca pewne ograniczenia, odnośnie sposobu obciążenia powłoki» Ograniczenie polega na

tym, że funkcja q(4»<?) z założenia powinna być parzystą względnej niezależ­

ne j <p o Dla wyznacze­

nia przemieszczeń przy dowolnej formie q(4 , <f) rozwiążemy za­

danie pomocnicze pro­

wadzące do wyznacze­

nia funkcji wpływu®

Obciążymy powłokę siłą skupioną P = 1, działająca w punkcie 0 współrzędnych i » x 1 e x prostopadle do powierzchni środ­

kowej powłoki®

Rys. 7

x+6 я wtedy:

2— I / sin cos n f d4 df ••• (₁.₈.₁)

Sun ”

1

X 3T-7p

Wykonując całkowanie; oraz przechodząc do granicy, gdy £ i ip dążą do zera otrzymujemy:

e ?.(- l £ sin (,1.8.2)

тип ar L R 1

?fstawiamy (1.8.2) do układu (1.6.2) i wyznaczamy wielkości qni’ qnj» sni 1 snj’ a określamy z (1.3.19) wm . fi ten sposób mamy określone składowe u,v i w- w zależności

od współrzędnej x, określającej położenie siły ^ P = 1»

Dla odróżnionia tak o b l i c z o n y c h przemieszczeń, będziemy je oznaczali przez ulw, v0 ) i wij' i odpowiednio wspoł- czyrmiki szeregów przez u ^ (x), (x) i w ^ (x). Zatem

mamy: * . .

u W =

X

I

тлг4

1 cos n q пь1 IfcsO

I

z

пь1

1 '

vA1 > =

I

I

m=1 n = 0

Przenieśmy siłę P « 1 z położenia у m m do położenia (patrz rys.8) określonego współrzędną y) •

Ponieważ:

sin n(sr+if—ip)= sin n (-ar + <f -ip) ** (** 1 )n sin n (<f“ip) (lo8.4) oraz

COS n(jr+f-l/)) = cos n (—3T+<P— Ip) = (— 1 )n cos n(f-Tp) U.8.5)

przeto odpowiednie składowe przemieszczeń jednostkowych będące jednocześnie poszukiwanymi funkcjami wpływu, okre~

ślą wzory:

u '1 \х,тр, £,,<?) - Х Лтп^"1^П 003 °°S П mn

t<’> (х,тр,₄, ) - X ^ “1)П V^ )(z)o sin sin n (<e-v)

11111 (Io8o6)

w ^1 \ x , T p , 4 ,<f) - X ^ m n ^ " 1 ^n wm n ^ x ^ e s i n 1 ? * s c o s n mn

W ten soosób m o ż e m y dla dowolnego obciążenia normalnego q(x,Y>) określić stąn przemieszczeń powłoki walcowea* i ta*.

u(4,«p) = R2J j q (*>v) d x d ?

v(4,(f) - R

2JJV^ _(х»?» 4»<*0

_{(x»y) d}

w(4,<?) = R2J J U.V»4»«p) q d x d1?

Dla zilustrowania opisanej metody wyznaczenia

wpływu przytoczymy przykład» Rozpatrzymy powłokę walcową wzmocnioną jednym żebrem» Założymy ponadto, ze połączenie

żebra z powłoką nie przenosi momentu skręcającego, a* więc ŻG Układ ( i ^ l ^ r e d u S j e ^ w takim przypadku do jednego równanias

* A 4. П* C* - 0 , - 0 (lo8.8)

qn1 * Qn11 Śl1 ° T«>1 *ю1

Stąd

^nol ĆI.8.9)

— 7 ?

4n11 Sio1 gdzie

^no1 “ > вш ' V Sin Z

1

m-1 2(- 1)п

ar L R

2

z

тзгх^

(1.8.9)

OO Ш jb -Л-Л

V в Sin ^ s i n — ^

</_, mn 1 1

ш ЗГ

m-1

тггх., л ч

in2 ----1 Ч.8.9Ъ)

о * _____h ______ r£ / r₂ i % i

”no1 ,_2 , %2 “ * -T 7 ) ~ --- — •*

— » / ь

з4

( n “ O E* J A (n 2 - t) 2

R4 ___ 1 E* J (n₂ - 1f Tymczasem z ^1*3.20) wynika» żej

(l.8.9c)

w ^ = в

mn mn I 3rL R

Г 2 (- 1)п _ . ш д г х 2 . ЩЯГзс1 "|

L

S i n T - - - - r ^ l S i n “ T LJ a

2 ( - 1)' n

xL R ^

OO

Z

s t o ^ S - ² L ^ 1

L i n m x x 1

2 L тзгх

1 sin

П5Г X1 1

. --- --- ---. s in ШРЕ!

l t 2 № 1 H2

2 V о

T )В sin2 — -Ł +

■ь Z_j mn 1

J T _____

E3s1 EJV,n - O ■ .

^ 1 . 8 , 1 0 )

»

Zatem funkcje wpływu dla omawianego przypadku przyjmą kształt:

Ы , 2 Ф в

u' \x,^,4,<o) = \ X -- 2ŁJEŁ — SEL ъ ^ Z L mn л-С L R

mn w 11111

L R *

OO

Q f X . m X X 1

'mn "XIi — Sin T “ У Б_ sin sin

д у х m=1

\ —i p m x x . 2 -r

> В sin — r-i- + --- fLJi

/ , mn 1 л * , 2 \2

m=s1 2 ^{EJ ^ -} 1^Г

mjr x.

oo

v^(x,ip,4,<e) ш y ^ \ 2 ш Bmn . 1121 S G I R *

ran v/ mn

^ m x x.

V

^ “ 1 1 m ,

. тзгх пь1 __________ _______ _______ _L

Isin - у ” “ ~ sin i

Z

^ 11111 X 2 EJ (n “ 1 )£

* sin 2Ł£SjsL sin n (^-.ip) (l,8.1l)

oo W (1) (x,ip,4t«p) = У " ^

2 В mn mn jtI R * mn

Z

mn 1 1

, . тзгх m*1

•| s in —

Z

m®1

П V* «sB-saS1 mx4 ,

P r z y wzroście ilości żeber i podpór rośnie ilość działań*

Forma ostatecznego wyniku oczj^wiście jest również coraz bardziej skomplikowana. Ogólność rozwiązania umożliwia rów- nież rozpatrywanie powłok utwierdzonych sztywnie na brzegach, względnie w jakiejkolwiek innej płaszczyźnie równoleżnikowej.

Wystarczy wtedy założyć podporę dla której k^ s k_

Zadanie, które zostało tu rozwiązane można byłoby rozsze­

rzyć - przy zachowaniu identycznego toku rozumowania - na przypadek powłoki wzmocnionej w płaszczyznach południkowych

R o z d z i a ł II

PRZYPADEK OBCIĄŻENIA STYCZNEGO

1. Równanie wyjściowe

W niniejszym rozdziale zostanie podano rozwiązanie zagad­

nienia powłoki walcowej użebrowanej obciążonej siłami o kie­

runkach stycznych do kół równoleżnikowych \,rys9)^

Założenia a), b), c) podane w rozdziale I na str.10 i 11 będą nadal obowiązywać0 Ostatnie z założeń, tzn* założenie d), nieco rozszerzymy^ przyjmiemy, że oprócz oddziaływań

promieniowych istnieją oddziaływania o kierunkach stycznych do osi żebra, czy podpory. Innymi słowy, z uwagi na stan obciążenia, będziemy również uwzględniali naprężenia tnące na styku powłoki z żebrem, czy z podporą. Zatem spośród

V q2* V tylk° q1 Prz^ mierr° ' ' równe zeru*

Równania równowagi (1.1.7) i (1.4.5) przekształcimy, adaptując je do potrzeb postawionego obecnie zadanie |12|

Ь ц u n — L^2 V “ L -|3 ^

fiv . Gy z + Fv Y (П.1.1)

+ F Y w d4 5*

d / 4 b

D W³⁵ - (-4

, _3€

1-3- + d f

л -*

d p _ a

d 3 _ £ d/3

‘II.1.2) Ł £

d/>3 gdzieś

? 2

O* 1 -V *TT . л N L 11 = 9|2 + 2 9^ 2 1 »1a) L Л-±-1 • /»■■■;■ (ll.1.1b)

12 2 0 3 4

L13 - (H.1.1c)

G w s rw” O f V 1 + V d2 П

/ ć>2 ... 1 - V

4 2 + 2 d(pc -) .

р.. ) (1 + с2 72 v2) - V 2 ф - (ll.l.le) - R'² 1 - V*

E S ( n e1e1f)

Znaczenie symboli , G i Z podane zostały w rozdziale I L(I.2.2c), ^Ie2e2d) i (I.2.2e)],

.2 2 2

j) s 0 ■ + 1) i^IIoleSa)

d Г d r

a „ - A J - (ligi 02b) R4*

Ъ « (lIo1o2c)

R4

Układ równań różniczkowych (II.1.2) uzupełnia równanie (l.4.17)o

2. Rozwiązanie układu (IIa1.1)

Ze względu na sposób obciążenia powłoki i sposób zamoco=

wania brzegów, można przewidzieć i poszukiwać rozwiązania w formiej

Я V sin eos n m

mn mn 1 r

00

z

00 mss1

Z

Z

m?s1

Z

(П.2.1) я V sin sin n ^ •

mn mn Ь 7

Wstawiając (ll020l) do dwóch ostatnich równań układu (lIo1ol) otrzymany

Z Z »*'“

m n *)

Ol. 2.2) У Ъ ' A J2 v sin 003 njź?« G Z ł F Y

X 1 / 1 лип “ ш шп 1 r w w Ш n

Powłoka znajduje się pod działaniem?

a) obciążenia zewnętrznego reprezentowanego przez funkcję co do której zakładamy, że jest parzystą wzglę­

dem niezależnej <p9 b) reakcji podpór i żeber»

Ha oddziaływania podpór i żeber składają sięs

\ 5S3£ S€

1) reakcje promieniowy q i q » 2) momenty s33* i s ,

3, reakcje o kierunku współrzędnej f - p** i p »

Poszczególne reakcje można, analogicznie jak w rozdziale I przedstawić podwójnymi szeregando

Jeżeli na podporę, czy żebro działają siły i momenty przed­

stawione szeregami?

n

n

s . « * 2 Л 1 V 3in

n

to obciążenie powłoki można scharakteryzować następującos oo o© j *■

Z S . ( Z

Y * 2 R2 1 - V

L E (У

r m^x.

px . sin - +

*ni 1

m n is1

o2 <,4a)

^4 __30S _ * _ #1 . ШП \ •_ ^ Pn^ sxn — ^ ^ Jsm cos n/$

j=i

2 R‘2 1 -V*

L E<f

o o o o

z a . z »

П1 L

m^x.\ ^гх.\i \ ST— i

H + Z '

d-1

m«y< ^{Н А X .}

+ s„-! n;j L cos ,1 sin sin n / ^IIo2o4b)

gdzieś

Pmn s T i j y s i n S T ^ cos n / dŚ dj^ JIo2o4c) Po wstawieniu (lI„2o4) do (ll0202) i wykonaniu uproszczeń otrzymany

R2 *1« y 2

•»« v® = 2 1 7 ---- ~ "

- G_TO1

\ ' / X Z _ i ^ i

т Л х . m шл x.

, i к m ^ n_\

sin — -i- s --=?»» cos — V— -) -5-

1 E l L 1

is*1

m.tfx. „ пьжх.УП с^. sxn + eJJ “ Г cos - 5-*)]+

je1

+ з?vmn _j»1

)

(ll.2.5a)

1 - V*

^ _{mn mn} V.J ss 2 —у f _-Ьо - _лr •

• Г Gv/■ДШ

S _(c&

+

i=1

■■■—i X • __ —

V / «ж > л мй m<fr + Sin “ 1 + Snd L C°S

3-1 P

m.tf" x.

wmn

m.v x.

- 4 :ia . V n *

v sin ~ T “ + Z pn d sin i

ie1 *"1 (n.2.5b)

+ T pmn:

Współczynniki występujące w równaniach <II.2.5) są następu­

jącej

Gлгап ^{. Ą Ł Ł +} + =2 [(г -,o ♦ n2]) -

J

2 2 ,1+4' m Л

2 l2

1 - V ,m2 ^ 2 2n2 2 /Ш2 Я ? . 1_ -_У J2. \ Gwmn “ “ D2"" 2.2 2 n ) e

. [ 2 ( 1 - V ) + n2J ( l l . 2 . 6 b )

,тп2 .Ж2 1 - V 2 \ Г- 2 ,т2Л 2 , 2n2 T Pvmn = ' + 2 n ) L1 + C + n ) |+

+ V2 S ¥ - ( l l . 2 . 6 c )

l2

jp 3 G vI I . 2o6d)

w mn v mn

3# Yiarunki nierozdzielności przemieszczeń

Z układu (ll.2*5) nie można bezpośrednio wyznaczyć współ-

3£ 9€ 553€ 5f3£ 3 6 €

czynników ^ i Vm , ponieważ p^, c^., Рп±т Pnj, ą^, s*. i в30? są nieznaczne,

ni nj

Wielkości te można będzie wyznaczyć z warunków nieroz­

dzielności. Warunki te można aapisać równaniami г V 4xif^) - V*

V(x.,^) - V**

w(x±,^) ■ w*

w(x.,y?) = W3?5

1 0W(x., <p)

*——- — _R 1_{.0 X±}.. . ** & ₁

.1

л <p) ш

4 — r h r - ■

J

Porównując wypisane warunki z warunkami (l*6«l) widzimy, że ilość równań zwiększyć się o dwaj uwzględniliśmy bowiem zgodność przemieszczeń V na podporach i w'miejscach połą­

czeń żeber z powłoką. t

Podstawą do określenia prawych stron <,11*3.1) będą równa­

nia przytoczone w pierwszym ustępie niniejszego rozdziału (1 1.102) oraz równania vl»4e17)» Д.5.0» Д.5вЗ) rozdzia-

łul, , ,

Rozwiązania dla przemieszczeń żeber i podpor poszukiwać będziemy w formies

T “ S j Яп Tn cos Ibs1

Oo t

• ’ Z Яп Wr sin rup (ll.3e2)

Пгз1

9 « ^ 7 Яп 9 n sin ntfi Пгз1

Podstawiając (11.3.2) oraz (II.2.3) do równań (ll«1e2) i (Д.4о17) opisujących stan równowagi elementu pręta-,kołowe­

go, otrzymamys

2 / 2 л \2 -rK _L. = -fi- aH - q*

- n (n -1) Pn - a Pa b a %

3 . o w ,1 1 ч 2 зг 1 s n 3 я

Stąd stan odkształcenia żebra w zależności od obciążeń opisują szeregi?

oo

v* -

5

+ n (— + COS n f

в

♦ “2 +

oo Tj2 Я

2

Natomiast przemieszczenia podpór sprężystych, w oparciu o 4I»5ol), vI05e2), С1°5«3) oraz 4II.203) i <Д1оЗо2) zapi­

szemy'- w formie s

O O Ш

s:— j У305 » 7 -J %

/ i 'TL — ■ " COS П (p

n 2

oo 35*

w * * 8 ^ ^ --- Sin n ^ 4IIo3e5) Пп

5SS

Z (11.2,5) W znaczamy V i • Następnie wprowadzamy tak wyliczone współczynniki ao ^Ix<?Z»l), й ten sposób prze­

mieszczenia powłoki są wyznaczone jako funkcje obciążeń oraz reakcje podpór i żeber). В dalszym ciągu znaj­

dujemy kąty obrotów. Tak określone przemieszczenia i kąty obrotu powłoki porównujemy, zgodnie z <,11.3*1)» z odpowie­

dnimi przemieszczeniami i kątami obrotu żeber i podpór sprę­

żystych.

Zatem otrzymamy*

2

- 2 ITlJ ^ - V2) ^ 4 ^ sin ~ T “ *

1*1 п ы

. sin & £ - •

E L i T~Ti=1 m=1

G m^fx. шЯх./ n2 0

vmn _x .___x 0 R (л ,2\

• ~~o 1 1 “ E L ó ^ •

mn

y~~, G тЛ'х. и й х.1

^ E С sin ~ ^ 31n

, .. л mn

j«*1 m=1

- * ^ 4 - v a) + Ż '

3=1 m=1

m^? x . m^r x./ rv ./ ł^Ł. *,2 >\

o cos sin — r-^ + 2 — &— (1 - V )

1 1 E L J

00 P__ т«Жх_. m«# х^,

Z

X* o o

m^ Xi' R2 1 - V2 V

• в ш - у * - * - *---1 - 2 j

Ю»1

__ m ^ x . -jaa

mn S2 sin шп

n2 (n2 - 1 ) 2

*

4 ]

c-fc ♦ £ - > *

♦-£■>•

4П . З .

s 1» 2f ₀₀₀ p) P

1Г

00 V

i s1 ms1

G т Л х .

~ шп sin mn m^x./

R

• sin 1 " 2 Е Ы

i»1 m=>1

G . m ran * ш л x . m.vr x ,/ ^2

cos — ■£• — sin — "Y ' !\ \ 7 S3S

> 2 ^ ^ • 3-1

О С

• s

mai 321

G... it ШЛХ,

----sin “~ r ^ sin — r

i?.— 1 1

т-Жх., r2

i ’ 2 n ? ^ 1 ^ ) ‘

л \ SS£

L

ćŁi

3-1 ^{e h1}

ш я *$ , m -*xs' m “ oos ~i s“ _{~ 1}

mn

* 2 r f y ( 1 - y 2 > Ż i*1

PУШП ^{ШЛ X.}

•ni z_j £ Ш*1

sin Ш1

ш я х

sin 1'

1 + 2 Ё Ъб

%°°

4 ^ - л Z > s Z

Шв1

Б\УШ1 шп

m Ж-х.^ r2 1

- _ _ _

Z

vj* — 1, 2, .... г )

. r2 i _ = j d V * У 3 ® . sin ^

2 ’ТЗ'" E Z_i ^ Z_J J2„_ 1 • 3-s1 Шгй1

m^ Xi „ R2 1 - V 2 Л

.sin i “ L J E L

G т^Гх. т л x.,

wmn „ „ ___ i i o ____ ____

* Q 1 ' 1 ~ Ъ6E

cmn r

mn

P O O

Z i Z

i»1 ra»1

R2 1 - V 2

V « У A s a sin

■ — *.

JL

Z jйгап i i 2 м *

л у s** у ^ n cos

E L ^ n3 Z_j 1

J-1

. m^ xi . _ К2 1 - V 2 v _r яж

. sin — J-- sxn - + 2 --- £— 2 j РПз e

j»1 V 5! F

\ msi Z_J ,Q

ms1 ИП

sin

ш л x . d2

— -i sin Ł + Щ - E

OO

Z

+

X ai'

\ Jt . l

' pni + r - '

2 - 1 ж

a

(i' “ 1 s 2, ООО P ) I

2 R2 1 -V2 у

" 2 L E Z j is1

O G

i Z

XQa1 G

Л sin mn

т д а с .

X T“ 0

т ^ г x ./ p2

_• „ Л 0 --- 1 - V2 P

■ Z is1

oc 3Ł. Z

maił в sxn J ~ 2 L<J E L

G. т Я х

wmn x _^{• Ш Л X .}fl 0 £ _ 1 - V 2

e cos x x Ł LJ E

(ИоЗвбс)

m

“mn

- 2

G а.'Гх. ш й x

в*И "“mn

vmn . „ . ___

~ — sxn - y * sxn --

j a_— i

R2 1 - V 2 JY

* Z - ż

J , Z_J ПЛ

G

Ltf E L - nó

3И

m w mn ,9

m^1 mn

т М х ш Я х , r2 1 _у2

sin sin ~ + 2

Ъб E

i 4

i-1

z

F

-2SŁ gin 2 mn

тйх^

1

т.ягх./

sin "•■■ 1"-“i +

2 “2 ■ LJ

1 - V 2 E

r

\ ' ^30£

Z j pnj d-1

Z

m=1

P m^?x.

™ sin - T - l .

ran 1

т Л .

sin --—у-Д' R2

+

1 - V 2 E

oo

z

F тЛх.,

vmn . л

p sin — r-^- =

*mn ^{£ „} 1

mn

JS€

qn,r

V

vll.3.6d)

j;

p

-,2 ,2 _ s:— r v2Łi G iix.

R 1 - V i5? \ 1 \ ' я S \ '\ ' УЛШ1 УЛШ1 . ___ x Ż j iii Z j “

l£ E L __

. „ „ mn

1=1 a=1

ш л х 1' , £ i - v 2 л г v .* V „2 003 1 ■ LS E T2 Z j ni 2-i

i=1 1

Gvjmn m ’'rxi m‘Vxi’ „ П2 1 - v'2 Si

— — cos cos - 2 sL

'mn

т л х.

Gr шлх. тЛх., р2 <

тот i . ... ... 3. - £ _ 1- У — м

— ---cos - у — cos - у - * Ь<У Е Ь ШХ1

г о

оо

ZST-1 «я X -1 j V i

Z

3*1 m=1 ^ m n

o S L 1 -

^ Л

ST

“ 1><У E T2 Z _ J °пз Z_J

j=1 m=1

P m«?£x. m3łXy jj2 ^ _ ^2 ^ *4 1 я . cos — j-J- cos — y - 1 + 2 Ё T~ / | Pni *

i=1 3' m^x. m^x./ r2 -i _ y2 . > m - 5 - i * 2 Sy-

IZi m=l 11111

Л V ** V m

• — Z рпз Z j “

je1 !Qs1

P т Я х . m jix.,

- S E - sin _ _ 1 cos — =-1

a « 1 1

2 *■ — »•> .2 *<r x 1 p vjnm m«#x., s .i XXП.1-/

’ кз г (II.3.6f) + _ S L 1 - - Z . - Ł У p j 2 S - m 0 0S — -З-'.гМ- + * E L Z j P” > Ą m 1 V

E = 1

(3* = 1, 2, x*)

4* Stan przemieszczeń

Stan przemieszczeń powłoki można uznać za znany z chwilą określenia składowych, u, v i w* Na pytanie, jak określić niewiadome reakcje, odpowiedzieliśmy w poprzednim rozdziale

Po wyznaczeniu р*±, p^f, ą^, ą^* >ni i s^., bez trudu można wyznaczyć u,v, i w« Zaczniemy od V i M • Wyliczając

z ill»2.5) v i w i wstawiając te ydelkości do (II„2*1)

.4 mn mn

otrzymamy:

О С 0 3

,

£ . У

V "

Ló

G i^— iP mj£x.

vmn l \ ; я . i

~ \ 2 j ^ i 3111 i=i

Z

j=i

m ^ x,

3in ^{-1 + sЭ5Х} nj

m м L cos

P V -1 * ШЛ'Х. v~- ™ т.Жх.

+ ( Z j ?ni sin — + Z " pnj sin “T ^ +

Ш i=1 j-1

2 Pmn)mn sin cos n<f (XI®4o1aj

W m 2 ^{LS E}

z

z

Gwmn Г \

x m^ Xi

“ 7 — Z j (qni s i n ~ T ^

^-mn Lr r

lsal

тлх. _ шЛх.

~ .+ S . “ r— cos J* m,yi _-Ł ni L