INZ. DR STEfÄN BRYŁA
STATYKI
2S?S
W U S m & to a g S B S Ę * ' ■ ••
Ü
^ S ä-
S h K Ł ;
in •>*
.- ■ t.f'''viAJ,<mii y.,i. >-if («V >jRfiif-/j'*
2!iSsw* •¡äki*?;- fsfefe'
PODRĘCZNIK STATYKIj BUDOWLI
INŻ. DR STEFAN BRYŁA
PODRĘCZNIK
STATYKI BUDOWLI
DLA ŚREDNICH SZKÓL TECHNICZNYCH
Z E 169 P R Z Y K Ł A D A M I I 807 R Y S U N K A M I W T E K ŚC IE O R A Z 31 T A B L I C A M I P O M O C N I C Z E M I
POLECONY DO UŻYTKU SZKOLNEGO ROZPORZĄDZENIEM MINISTERSTWA WYZNAŃ RELIGIJNYCH I OŚWIECENIA PUBLICZNEGO
Z DNIA 22-go S T Y C Z N IA 1920 ROKU (NR. S. III. 5524/20) W Y D A N IE D R U G IE Z M IE N IO N E I R O Z S Z E R Z O N E
LWÓW i WARSZAWA - 1925
NAKŁADEM KSIĘGARNI POLSKIEJ BERNARDA POŁONIECKIEGO ~
Z PRZEDMOWY DO PIERW SZEGO WYDANIA D o n a p is a n ia książk i n in iejszej s k ło n ił m n ie z u p e łn y b r a k p o lsk ieg o p o d rę c z n ik a s ta ty k i b u d o w li d la ś re d n ic h szk ó ł te c h n icz n y c h .
U k ład p o d rę c z n ik a n ie ró ż n i się za sa d n icz o o d d zieł p o d o b n y c h w in n y c h ję z y k a c h ; z m ia n y , ja k ie w p ro w a d z i
łem , w ięk sze u w z g lę d n ie n ie n ie k tó ry c h d z ia łó w , p o m in ię c ie in n y c h , s p o w o d o w a ło g łó w n ie p ra g n ie n ie o siąg n ięcia w iększej p rz e jrz y s to ś c i i ja sn o śc i p o d rę c z n ik a , o ra z d o s to s o w a n ie się do w y m o g ó w p ra k ty k i. T e n sa m p o w ó d sk ło n ił m n ie d o w p ro w a d z e n ia b a rd z o z n aczn ej ilo śc i p rz y k ła d ó w . P rz y w y b o rz e ich k ie ro w a łe m się ró w n ie ż w y m o g a m i p ra k ty k i. D la teg o też n p . ilo ść p rz y k ła d ó w w d ziale o b lic z a n ia b e le k n a zgi
n a n ie je s t tak w ielk a. N ie k tó re z p rz y k ła d ó w są też n ieja k o p rz y g o to w a n ie m do d z ia łó w n a s tę p n y c h . W p o d rę c z n ik u s ta ra łe m się u w z g lę d n ić te c h n ic z n ą te rm in o lo g ię p o lsk ą tak lw o w sk ą , ja k o też w a rs z a w sk ą .
P rz e z n a c z e n ie k siążk i w y k lu c z y ło z g ó ry m o żn o ść użycia w yższej m a te m a ty k i, o ra z w o g ó le z a w ilsz y c h w y w o d ó w , to też w n ie k tó ry c h m ie jsc a c h m u s ia łe m u ciec się d o dłuższej e le m e n ta rn e j d rogi, a lb o też p o m in ą ć z u p e łn ie d o w o d y , o g ra niczając się ty lk o do w y n ik ó w (p o r. n p . d z ia ł o p a rc iu ziem i).
W z g lą d ten s p o w o d o w a ł też m ie jsc a m i p e w n e n ieścisło ści, w z g lę d n ie u p ro sz c z e n ia .
W y d a n ie d ru g ie d o s to s o w a łe m do p o lsk ic h „P rzep isó w ,, d o ty cz ą c y ch o b lic z eń sta ty c z n y c h w b u d o w n ic tw ie lą d o w e m ur w y d a n y c h p rz e z M in iste rstw o R o b ó t P u b lic z n y c h w r . 1923v W y n ik ły stą d p e w n e z m ia n y i ro z s z e rz e n ia te k s tu , o ra z z w ię k sz e n ie ilo ści p rz y k ła d ó w . Ilo ść ta b lic ró w n ie ż z n a c z n ie w z ro sła .
S t. B r y ł a
S P I S R Z E C Z Y
I. PO DSTAW Y STATYKI BUDOWLI
A. W stęp Str.
§ 1. P o ję cia w stę p n e . 1
§ 2. P o ję cie s i t y ... 1
§ 3. R ów n ow aga s i l ... 2
§ 4
.
W yp adk ow a s i ł ... 3B. S k ła d a n ie i r o z k ła d a n ie s ił na p ła sz c z y ź n ie jj 5. S iły d ziałające w jednej l i n j i ... 4
§ 6. D w ie s iły d ziałające na jed en punkt w różn ych k ieru n k ach 5 § 7. D o w o ln a ilo ś ć s ił d ziałających na jed en punkt w różn ych k i e r u n k a c h ... 6
§ 8. R ów n o w a g a kilku sił w jed n ym p u n k c i e ... 7
§ 9. R ozkładanie s i ł ... 8
§ 10. R ach u n k ow e sk ład an ie i rozkładan ie s i ł ... 9
P rzykłady 1—1 7 ... 12
§ 11. S iły o ró żn y ch k ierun kach i pun ktach zaczep ien ia . . . 20
P rzyk ład y 18—1 9 ... 21
§ 12. W ie lo b o k 's z n u r o w y ...22
§ 13. S iły r ó w n o l e g ł e ... 25
P rzy k ła d y 20—2 6 ... 27
C. M om en t sta ty czn y § 14. Para s i ł ...32
§ 15. M om ent sta ty c zn y s iły p o j e d y n c z e j ... 34
P rzyk ład y 2 7 - 3 0 ... 36
§ 16. Para s ił jako w y p a d k o w a układu sił ... 38
P rzyk ład 3 1 ...39
§ 17. W y k reśln e w y zn a cz en ie m om entu statyczn ego układu sił r ó w n o le g ł y c h ... 39
§ 18. W yk reślne w y zn a cz en ie m om entu sta ty czn eg o układu sił
d o w o ln y c h w zg lęd em d o w o ln eg o b i e g u n a ... 41
P rzykład 32 . . . 42
§ 19. R ach u n k ow e sk ładan ie s ił r ó w n o le g ły c h ...43
§ 20. R ach u n k ow e składanie sił o różn ych k ieru n k a ch n ie p rze ch od zących przez jeden p un kt a le ż ą c y c h na p ła szczy źn ie 44 P rzykłady 3 3 - 3 5 45 D. Ś ro d ek c ię ż k o ś c i fig u r p łask ich § 21. Środek c i ę ż k o ś c i ... 47
§ 22. Środki c ię ż k o śc i pól n iek tórych figur p ła s k ic h ... 49
P rzykłady 36—4 1 ... 50
E. B elk i n a jp r o s ts z e § 23. W yk reślne w yzn aczen ie od d ziaływ ań , s ił p o p rzeczn y ch i m om en tów b elk i p rostej obciążonej ciężaram i sk u p ion em i 56 § 24. R ach u n k ow e w y zn a cz en ie s ił p op rzeczn y ch i m o m en tó w dla układu cięż a ró w s k u p i o n y c h ... 61
P rzykłady. 4 2 —44 63 § 25. O bciążenie jed n ostajn e zu p ełn e ... 65
| 26. O bciążenie jed n ostajn e c z ę ś c i o w e ...69
P rzykłady 45—5 1 ... 72
§ 27. B elka w ystająca cz y li p r z e w i e s z o n a ... 79
Przykłady 52—54 ... 82
§ 28. Belka jed n y m k o ń cem u tw ierd zon a (w sp o rn ik ) . . . . 85
P rzykłady 55—5 7 ... 87
§ 29. O bciążenie n ie je d n o s ta jn e ... 89
P rzykłady 5 8 - 6 3 ... 94
§ 30. Belka ciągła ... 97
P rzykłady 64—65 . . 98
II WYTRZYMAŁOŚĆ MATERJAŁÓW A. W stęp § 3 1 . P ojęcia o g ó l n e ...101
B. W y trz y m a ło ść na r o z c ią g a n ie i ś c is k a n ie § 32. W ytrzym ałość na rozciąganie (ciągn ienie) i śc isk a n ie (c i śn ien ie) ... 104
P rzykłady 66—71 107 § 33. S p ółczyn n ik b ezp ieczeń stw a i n aprężenie d op u szczaln e . . 108
P rzykłady 72—88 110
Str.
IX
C. W y trz y m a ło ść na ś c in a n ie Str.
§ 34. W ytrzym ałość na śc in a n ie ... 115
§ 35. P ołączen ia n i t o w a n e ... 11(5 § 36. O b liczen ie śrub . 120
P rzykłady 8 9 - 9 5 . ., . . 121
i D . W y tr z y m a ło ść na z g in a n ie § 37. O b liczan ie b elek z g i n a n y c h ... 129
§ 38. R ach u n k ow e w y zn a cz en ie m om entu b ezw ła d n o ści p rostok ąta 135 § 39. M om ent b ezw ła d n o ści ze w zględu na o ś ró w n o le g łą do p ew n ej o si c i ę ż k o ś c i ... 136
P rzykłady 9 6 - 1 1 3 137 § 40. E lip sa b e z w ł a d n o ś c i ... 151
P rzykłady 114—116. . 153
§ 41. W yk reślne w y zn a cz en ie m om entu b e zw ła d n o ści . . . . 155
Przykłady’ 117—118 ...157
§ 42. N aprężenia w b elkach, gd y s iły n ie działają w p ła szczy źn ie o s i g ł ó w n y c h ...159
P rzykłady 1 1 9 -1 2 0 . ... 160
§ 43. U gięcie b e l k i ... 161
P rzykłady 121—1 2 2 ... 163
E . W y trzy m a ło ść z ł o ż o n a § 44. W ytrzym ałość złożon a na zgin an ie i rozciągan ie lub śc isk a n ie 164 § 45. Ś cisk an ie i rozciągan ie m im o śro d k o w e ...166
P rzykłady 123—125 ... 167
§ 46. Rdzeń (jądro) przekroju ... 169
§ 47. W yzn aczen ie o s i o b o j ę t n e j ... 173
§ 48. W yzn aczen ie rd zen ia (jądra) p r z e k r o j u ... 174
P rzyk ład y 1 2 6 -1 2 9 ... 175
F. W y tr z y m a ło ść na w y b o c z e n ie § 49. W ytrzym ałość na w y b o c z e n ie ...177
P rzykłady 130—138 ... 183
III. BELKI KRATOWE i W1ĘZARY DACHOWE § 50. O góln e uw agi o b elk ach k r a t o w y c h ... 187
§ 51. O gólny ustrój d a ch ó w ż e l a z n y c h ... . 188
§ 52. O b ciążen ie d a ch ó w ...190
§ 53. O b liczan ie d a ch ó w ż e l a z n y c h ... 191
§ 54. W yzn aczanie od d zia ły w a ń . 195
§ 55. W y k reśln e w y zn a cz a n ie s ił w ew n ę tr z n y c h b elk i k ratow ej 196
$ 56. W yznaczanie od d zia ły w a ń m etod ą rach u n k ow ą . . . . 201
§ 57. R ach u n k ow e w y zn a cza n ie s ił w ew n ę tr z n y c h w p rętach . 202 P rzykłady 1 3 9 -1 4 3 ... 205
* IV. MURY I SKLEPIENIA A. M ury w o ln o s to ją c e 5 58. S tateczn ość (stałość) cia ł . . . . . . . . . . . . 215
P rzykłady 144—146 ... 218
§ 59. T arcie . . . v . . 219
P rzykłady 1 4 7 -1 4 9 ... 221
§ 60. Mury w o ln o stojące ... 222
P rzyk ład y 1 5 0 -1 5 1 ... 224
§ 61. O bliczanie k o m in ó w f a b r y c z n y c h ... 227
P rzykłady 152—153 ... 231
B. S k le p ien ia k § 62. P ojęcia o g ó ln e . 236 jj 63. W yzn aczen ie lin ji ciśn ien ia d la ob ciążen ia sym etryczn ego . 237 P rzykłady 154 243 jj 64. S k le p ien ie ob ciążon e n i e s y m e t r y c z n i e ... 244
P rzykład 155 ... 246
§ 65. S tateczn ość (stałość) p rzy c zó łk ó w i filarów m u ro w a n y ch . 248 P rzykłady 1 5 6 -1 5 7 . 248 C. B u d o w le z ie m n e jj 66. N apór (parcie) w o d y ...250
P rzyk ład y 1 5 8 -1 5 9 ... 252
§ 67. N apór (parcie) z i e m i ...253
§ 68. W yzn aczen ie p ła szczy zn y o d ł a m u ... 255
§ 69. W yk reśln e w y zn a cz en ie naporu z i e m i ...257
§ 70. O b liczan ie p rzy czó łk ó w m o s t o w y c h ...260
Przykłady 160—161 ... 262
jj 71. W zory ra ch u n k o w e na n apór ziem i na ścian ę p io n o w ą . 265 P rzykłady 162—165 ... 267
§ 72. Mury o p o r o w e ...268
Jj 73. F u n d a m e n t y ...269
P rzyk ład y 1 6 6 -1 6 9 ... 276
V. ZAKOŃCZENIE § 74. D ok ład n ość o b licz eń s t a t y c z n y c h ... 279
Str.
VI. T A B L I C E
Str.
1. S p ó łczy n n ik i sp rę ży sto ści E w kg/cm 2 ... 281
2. Ciężar w ła sn y n ajw ażn iejszych m a t e r j a ł ó w ...281
3. Ciężar i kąt tarcia różn ych gatu n k ów z i e m i ...283
4. Kąt tarcia n iek tó ry ch m aterjałów s y p k i c h ...284
5. Ciężar w ła sn y s t r o p ó w ...284
6. O bciążenia zm ien n e (ru ch om e) s t r o p ó w ... 285
7. Ciężar w ła sn y p o k ry cia d a c h o w e g o ... 287
8. Ciężar w ła sn y d a c h ó w ... 287
9. O bciążenie zm ien n e d a c h ó w ...288
10. N aprężenia d op u szczaln e w b u d o w n ic tw ie lą d o w em . . 289
11. M om enty b e z w ła d n o śc i p rzek rojów . . . . . . . 293
12. M om enty b e z w ła d n o śc i i m om en ty w y tr zy m a ło śc i b ele k p ro stok ątn ych ...294
13. D w u teo w n ik i n orm alne, p rofile n i e m i e c k i e ...296
14. ,, szer o k o sto p o w e Greya, p ro file n iem ieck ie . . 297
15. D w u teo w n ik i, p rofile a u s tr ja c k ie . . 299
16. C eow n iki, p ro file n i e m ie c k ie ...300
17. C eow n iki, p rofile a u s tr ja c k ie ...301
18. K ątow nik i (kątów ki) rów n oram ien n e, p ro file n iem iepk ie . . 302
19. „ „ rów n oram ien n e, p rofile au strjackie . . 304
20. K ątow n ik i n ierów n oram ien n e, p rofile n iem ie ck ie . . . . 308
21. „ „ p ro file austrjackie . . . 310
22. T e o w n ik i (T -ów k i), p rofile n i e m i e c k i e ...313
23. T eo w n ik i, p ro file a u s tr ja c k ie ...314
24. Ć w ierćk ołow n ik i (ćw ie rćk o łó w k i), p ro file austrjackie . . . 315
25. Ć w ierćk ołow n ik i, p ro file n iem ie ck ie ...316
26. R o zsta w ien ie dw u c e o w n ik ó w g dla Ix = Iy . . . . 316
27. S łu p y ż e l i w n e ...317
28. T ab lica ś r u b ... 318
29. T ab lica n itó w ...319
30. S p ółczyn n ik i zm n iejszające na w y b o c z e n i e ...320
XI
E R R A T A
Strona w iersz od zam iast: ma być
28 15 góry rys. 58 (rys. 58)
29 na n 59 pra- P3 P<
w a s!krajna siła
60 1 dołu a f a'T
61 9 i P - Pi
69 17 góry cbt c’’b
69 18 JJ ac ae"
69 1 dołu P = 1 P -■ ap
71 8 p a {21 — a) p a (21 — a)
góry 2 21
71 8 p a - (21 — a) p a 2 (21 — o)3
n 81 S P
79 13 » fg eb
79 14 gf be
79 5 dołu mO m 0
80 2 góry b0b' b0b"
80 3 » ab'b’'c”c’d ’d"f’f"e’’ a'b'b"c"c'd’d"e'e"f’
80 10 9 gf be
80 16 » (np. = bg) (np. dih x= d h )
80 17 9 (np. dihi = dh) (np. = bg)
80 18 a f a T
80 18 » d odatnie ujem ne
80 18 M ujem ne dodatnie
80 17 dołu Z P O l 2 P - 0
,
80 5 M P x= p l P t “ Ph
80 2 n ae ac
81 3 góry 30 3 m
81 10 y>
( 1/2'27 + 1 ) (-¿T + 1)
82 11 dołu 2000 (100 + 150) — 2000 (100 + 150)
83 5 » u jem nego dod atn iego
83 1 » M
-
M92
92
92 93 93 93
94
103 103 105 105 105 105 105 105 105 109
113 117 117 118 132 173 201 217 219 224 256 259 275
5 dołu — * P , | - • k p Ą
4 - v , b Ą
3 » (a + % b)p
O i i (8 a 2 + 12 ab + 1
24
17 góry Pa
a!
/>«
F. ft3
17 * P ~ 2 P 27
1 1 dołu — 0-128 PI = 0- 128 PI
góry u P * 1 u P + 3
2 ’Z* — ł/s - F
5 dołu śc isk a n ie śc in a n ie
4 tl sw o rz n i sw o rz n ie
2 1 góry T 7
22 »
11
T23 V
T
II24 n II
T
25 n
T
II26 n II
T
30 w P ia sk o w io c P ia sk o w iec
14 dołu
sk r e ślić
T ab liczk a n aprężeń d o p u szc za ln y ch pod je st osob n o.
ozn aczen ie stron y 12 16 14
17 11 8
1
13 17 5 7
gory
dołu
dołu góry
131 uległy (rys. 159)
c = 2 d
p. S w p un ktach AC
y»
su c h e sm arow an e P rzykład 150 90°—(?> + e ) + v + 9 0 °+
+ (95+ e) = 180°
acd
'hi (.bt - 3 b b1 + 2bl»)og
113 u ległb y (ry s. 155)
e = 2 d
k p y '
•
punktu S od punktu A F
1,5 sm arow an e P rzyk ład y 150 i 151.
90° —(95 + e) + v -r 90° — - (93 - e) = 180°
acd
¿>4-w>l-5Z>3v - V > 3+2V
2 4 (6 + 5,)
PO D R Ę C Z N IK STATYKI B U D O W L I
I. P odstaw y statyki budowlj.
A. W s t ę p ,
§ 1. P o ję c ia w stę p n e .
B u d o w lę in ż y n ie rs k ą , lu b jej część s ta n o w ią c ą d la s ie b ie p e w n ą c a ło ść k o n s tru k c y jn ą , a w y k o n a n ą z p e w n y c h m a - te rja łó w p o łą c z o n y c h w o d p o w ie d n i sp o só b ze so b ą , n a z y w a m y k o n s t r u k c j ą , czyli z e s p o ł e m , z e s k ł a d e m . T a k ą k o n s tru k c ją je s t w ię c n p . m o s t żelazn y, d a c h d re w n ia n y , m u r c e g la n y i t. d. Z a d a n ie m jej je s t w p ie rw s z y m rz ę d z ie p rz e n ie ś ć n a g r u n t c i ę ż a r y , s i ł y , ja k ie n a n ią d z ia ła ją i to p e w n ie , b ezp ieczn ie, tj. tak, a b y s t a ł o ś ć b u d o w li n ie b y ła n a ra ż o n a n a sz w a n k , a b y siły te n ie z n iw e cz y ły w y tr z y m a ło ści, m o cy k o n stru k c ji. W s k u te k ty c h t. zw . s i ł z e w n ę t r z n y c h (o b ciążeń ) p o w s ta ją w b u d o w li s i ł y w e w n ę t r z n e , k tó re m u s z ą ró w n o w a ż y ć siły z e w n ę trz n e .
N a u k ę b a d a ją c ą i o k re ś la ją c ą w a r u n k i k o n ieczn e, a b y u trz y m a ła się ta r ó w n o w a g a s i ł z e w n ę t r z n y c h i w e w n ę t r z n y c h , o ra z p o z w a la ją c ą o b l i c z y ć w y m i a r y k o n s tru k c ji n a z y w a m y s t a t y k ą b u d o w l i . O b liczen ia te w y k o n u je się sp o so b e m ra c h u n k o w y m lu b w y k re ś ln y m , zależn ie o d tego, czy je d e n czy d ru g i je s t w d a n y m w y p a d k u w y g o d n ie js z y ; b a rd z o często u ż y w a się d la k o n tro li o b u m e to d ró w n o c z e ś n ie . S tatykę, tra k to w a n ą s p o s o b e m w y k r e ś ln y m , n a z y w a m y s t a t y k ą w y k r e ś l n ą .
§ 2. P o ję c ie siły .
P rz y c z y n ę r u c h u (lu b sp o c zy n k u ) c ia ł n a z y w a m y s i ł ą . Istn ie n ie sił p o z n a je m y p o ich w p ły w ie n a d a n e ciała. Istn ie je w ię c n p . siła lu d z k ic h m u s k u łó w , s iła ciężkości, siła p a ry , e le k try c z n o ści, w ia tr u i t. d.
B r jła : Podręcznik atatyki budów 1L 1
D la o k re ś le n ia w ie lk o śc i siły n ależy p o r ó w n a ć ją z in n ą z n a n ą p o w sz e c h n ie siłą, czyli z t. zw . j e d n o s t k ą s i ł y . Za ta k ą je d n o stk ę p rz y jm u je się z w y k le p rz y m n ie jsz y c h siła c h 1 kg, p rz y w ię k sz y c h 1 t ( = 1000 k g). N p. siła p io n o w a P —
= 250 kg oznacza, że s iła P d ziała ta k sam o , ja k d z ia ła łb y cię
ż a r 250 kg, z a w iesz o n y np. n a sz n u rz e .
A by siłę d o k ła d n ie oznaczyć, trz e b a z n a ć n ie ty lk o jej
1) w i e l k o ś ć , ale tak że jej 2) p u n k t z a c z e p i e n i a , t. j.
p u n k t, w k tó ry m siła d zia ła n a ciało , i 3) k i e r u n e k tej siły.
W sta ty c e w y k re ś ln e j o zn acza się siły o d c in k a m i p r o sty c h o o d p o w ie d n ie j dłu g o ści i k ie ru n k u , z a c h o w u ją c p e w ie n s to s u n e k d ług ości o d c in k a do w ie lk o śc i siły. N p. n iec h 1 cm p rz e d s ta w ia 100 kg, to d la o zn a cz e n ia siły 250 kg u ży jem y p ro s te j o d ług ości 2,5 cm . K ie ru n e k , w k tó ry m siła działa, czy li t. zw . z w ro t (tok) siły, znaczy się s trz a łk ą , s k ie ro w a n ą w ty m że k ie ru n k u (ry s. 1). Siłę n a z y w a m y a lb o je d n ą lite rą (n p. P, P „ P 2, O, G i t. d.) alb o też d w ie m a (np. A B ), k tó ry c h p o rz ą d e k oznacza z a ra z e m z w ro t siły. N p. A B o zn acza siłę
R ys. 2 i 3,
d z ia ła ją c ą A do B, n a to m ia s t B A o z n a cz a ło b y siłę d z ia łają c ą o d B d o A. P u n k t z a czep ien ia leżeć m u si o c z y w iśc ie n a kie
r u n k u siły; m o ż n a go je d n a k d o w o ln ie w z d łu ż niego p rz e s u w a ć . P o z n a ć to m o ż e m y z ry s. 2 i 3. C iężar 20 kg z a w ieszo n y tu ż p rz y h a k u H ciąg n ie go z tą s a m ą siłą, co takiż c ię ż a r z a w ie sz o n y n a sz n u rk u d łu g im HG (rys. 3), a w ię c zacze
p ia ją c y d u żo niżej.
U ży w ając sło w a „ k ie ru n e k s iły “ m a m y z w y k le na m y śli
„ z w ro t s iły “.
§ 3. R ó w n o w a g a sił.
Je śli w p u n k c ie A, w k tó ry m d z ia ła s iła P, z a cz e p im y siłę ró w n ą , a w p ro s t p rz e c iw n ą tej sile, n p . siłę O (rys. 4), to ru c h p u n k tu A n ie n a stą p i, a sta n ta k i n a z y w a m y r ó w n o w a g ą s ił.
W m y śl § 2 ró w n o w a g a n a s tą p i też, gdy ró w n e , a w p r o s t p rz e c iw n e siły d ziałają nie w ty m s a m y m p u n k c ie , a le w d w u
'P - 250 kg
R ys. 1,
§ 3. W yp adk ow a sił. 3
¡różnych p u n k ta c h , leż ą c y ch je d n a k n a k ie ru n k u o b u sił. Siłę
~0 (rys. 5) m o ż n a b o w ie m , p rz e s u n ą ć do p u n k tu A i z ró w n o w a ż y ć ją z siłą P ró w n ą , a w p r o s t p rz e c iw n ą .
W yżej p o w ie d z ie liśm y , że k a ż d a k o n s tru k c ja b u d o w la n a
•musi b y ć w ró w n o w a d z e . W y n ik a stąd , źe siło m n a n ią d z ia -
-łającym (np. w ia tr, śnieg, c ię ż a r p o k ry c ia dla d a c h ó w , c iężar Judzi, w o z ó w d la m o stó w i t. d.) p rz e c iw s ta w ić m u si s a m a siły in n e w su m ie sw ej ró w n e , a w p r o s t p rz e c iw n e o b c ią ż e n iu , czyli ró w n o w a ż ą c e je. Siły te n a z y w a m y o d d z i a ł y
w a n i a m i , o d p o r a m i l ub r e a k c j a m i . N p. słu p (rys. 6) o b c ią ż o n y n g ó ry siłą P w y w o łu je u d o łu re a k c ję g r u n t u
•() — P. R ó w n ież w e w n ą trz sam ego c ia ła p o w s ta je p rz e c iw d z ia ła n ie ró w n e i p rz e c iw n e sile P.
N a k o n s tru k c ję b u d o w la n ą d z ia ła z w y k le n ie je d n a siła, a le ró w n o c z e ś n ie w iększa ilo ść s ił z e w n ę trz n y c h i to często d z ia ła ją c y c h na ró ż n e p u n k ty . Z a m ia st u w z g lę d n ić je w szy stk ie p o k o lei w o b liczen iu , s ta ra m y się d la u p ro sz c z e n ia ro b o ty z n a le ź ć ta k ą je d n ą siłę, k tó ra b y z a stą p iła w sz y stk ie siły d z ia
łające czyli z ł o ż y ć j e w j e d n ą s i ł ę , w y w ie ra ją c ą te n sam w p ły w n a ciało, co w sz y stk ie siły ra z e m w zięte. T a k ą siłę n a z y w a m y w y p a d k o w ą , zaś siły, z k tó ry c h o n a p o w sta je , s k ł a d o w e mi .
R ys. 4.
P
/ /
R ys. 5. R ys. 6.
§ 4. W y p a d k o w a sił.
i*
Z d ru g ie j s tro n y k o n ie c z n ą n ie ra z rzeczą je s t z a stą p ić p e w n ą d a n ą siłę s iła m i in n e m i, k tó re w sw e m d z ia ła n iu s ą jej r ó w n o w a r te czyli r o z ł o ż y ć ją n a sk ła d o w e.
P rz y ro z w ią z y w a n iu o b u ty c h z a d a ń trz e b a w z ią ć p o d u w a g ę czy siły z a cz e p ia ją w je d n y m i ty m s a m y m p u n k c ie czy też w ró ż n y c h p u n k ta c h , o ra z czy d z ia ła ją w je d n y m i ty m sa m y m k ie ru n k u czy też w ró ż n y c h k ie ru n k a c h . Z k o le i za jm ie m y się w ięc s k ła d a n ie m i ro z k ła d a n ie m sił d la p o szczeg ó ln ych w y p a d k ó w .
B, Składanie i rozk ład an ie s ił na płaszczyźnie..
§ 5 . S iły d z ia ła ją c e w jed n ej linji.
W y p a d k o w a R d w u lu b w ięcej sił P 1( P 2, P 3... d z ia ła ją cy ch w je d n e j lin ji w ty m s a m y m k ie ru n k u ró w n a się s u m ie w sz y stk ic h sił: ^ „ p ^ + p ^ ... ,
'////zzfZZ. ’/////\y ///A P o r. ry s. 7 i 8. H a k H cią g n ięty je s t tą sa m ą siłą R *= 4 kg b ez w z g lę d u n a to , czy za cz e p io n e są n a n im trz y cię ż a ry o w ie lk o śc i łączn ej R - P 1Jr P2 + + P3 = 1 + 2 + 1 = 4 kg, czy też je d e n cię
ż a r o w ie lk o śc i 4 kg.
Je śli siły d z ia ła ją w k ie ru n k a c h p rz e c iw n y c h , to n ależy je o d jąć o d siebie, czyli „d o d ać a lg e b ra ic z n ie “ ; siło m b o w ie m d z ia łają c y m w p e w n y m k ie ru n k u d a je m y z n a k + , siło m w k ie ru n k u w p r o s t p rz e c iw n y m z n a k — . J e ś l i w ię c siła A B (ry s. 1) m a z n a k + , to>
siła B A o trz y m a z n a k — .
Rys. 7 i 8.
< -
- o dM P.-P, s
< ocM
Rys. 9 i 10.
N d o ZK>zy
N p. p r ę t MA7, n a k tó ry d z ia ła ją siły P , = 30 kg i P2 =
*= 20 kg cią g n ięty je s t w k ie ru n k u siły w iększej, t. j. P x z siłą
— — 20 = 10 kg (ry s. 9 i 10).
P rz y w ięk szej ilo ści sił zasa d a sk ła d a n ia p o z o sta je la sam a..
N p. d la ry s. 1 1 w y p a d k o w ą je s t fig* ( P t + P 2) — (P% + P J - W y n ik a s tą d r e g u ł a :
§ 6. D w ie s iły działające na jed en punkt. 5
W y p a d k o w a s i ł , d z i a ł a j ą c y c h w j e d n e j I i n j i , r ó w n a s i ę s u m i e a l g e b r a i c z n e j s i ł s k ł a d o w y c h .
Je śli s u m a sił, d z ia łają c y ch w je d n y m k ie ru n k u , r ó w n a się su m ie sił, d z ia ła ją c y c h w k ie ru n k u p rz e c iw n y m , to w y p a d k o w a R — 0, czyli n a s tę p u je ró w n o w a g a . N p. p r ę t R S (rys.
1 2) nie p o ru sz y się w c a le ; a lb o w ie m w p r a w o ciąg n ie go siła 2 + 6 = 8 kg, w le w o zaś 3 + 5 = 8 kg, a w y p a d k o w a
(2 t 6) — (3 + 5) = 8 — 8 = 0.
§ 6. D w ie siły d zia ła ją ce na jed en p u n k t w r ó ż n y c h k ieru nkach.
J e śli n a d a n y p u n k t A (ry s. 13) d z ia ła ją d w ie siły o k ie r u n k a c h , tw o rz ą c y c h ze s o b ą p e w ie n kąt, n p . P i = A B o ra z P-i — AC, to w y p a d k o w ą zn ajd ziem y , k re ś lą c z p u n k tu B r ó w n o le g łą do siły P2 z C zaś ró w n o le g łą d o P u P rz e k ą tn ia A D o trz y m an e g o w ten sp o só b ró w n o le g ło h o k u d a je k ie ru n e k i w ie lk o ść w y p a d k o w e j R. N iech n p . d w u lu d z i s ta r a się p rz e c ią g n ą ć s z n u ra m i jak iś c ię ż a r A , je d e n z n ic h w k ie ru n k u A B z siłą P u d ru g i w k ie ru n k u A C z siłą P 2, to c ię ż a r zn ajd zie się o sta te cz n ie w p u n k c ie D. R ó w n o le g ło b o k A B C D n azy w a m y r ó w n o ł e g ł o b o k i e m s i ł .
Aby u n ik n ą ć p o m y łe k p rz y w y z n a c z an iu p o ło ż e n ia siły w y p a d k o w e j R, n ależy p rz y ją ć w w y k re s ie o b i e siły d zia
ła ją c e o d w ę z ł a , t. j. ja k n a ry s. 13., a n ie ja k n a ry s. 14.
Rys. 11.
R ys. 12.
A
C
Ity s. 13.
B
Rys. 14.
W te d y dla sił o d n ie sio n y c h w te n sp o só b o d p u n k tu A, k ie
r u n e k w y p a d k o w e j b ęd zie też o d 4 , a z a te m k u p rz e c iw le g łem u w ie rz c h o łk o w i D ró w n o le g ło b o k u sił. N a ry s. 14 o d n iesio n o je d n ą siłę o d siły A, d ru g ą do A, a w ię c i w y p a d k o w a R ' z o sta ła z n a le z io n a b łęd n ie.
Z a m ia st k re ś lić cały ró w n o le g ło b o k ABG D , w y sta rc z y w y k re ś lić tró jk ą t A B D lu b A C D ; trz e c i b o k tego tró jk ą ta A D d a je w p r o s t k ie ru n e k i w ie lk o ść w y p a d k o w e j. T ró jk ą t te n n a z y w a m y t r ó j k ą t e m s i ł (rys. 15 i 16).
P o n ie w a ż d o p u n k tu D d ojść m o ż n a a lb o d ro g ą A B D a lb o A C D , p rz e to p rz y s k ła d a n iu sił o b o j ę t n y j e s t p o r z ą d e k , w j a k i m s i ł y s k ł a d a m y , p o d o b n ie p rz y s u m o w a n iu liczb o b o ję tn y je s t p o rz ą d e k d o d a jn ik ó w .
R
p, p*
? , ---
R y s - 17 i 18.
Uttfaga: D la sił, zam yk ających sob ą bardzo ostry kąt, d łu gość w y p adk ow ej jest p ra w ie ró w n a su m ie d łu g o śc i sk ła d o w y c h (por. rys. 17), a ze zm n iejszan iem się tego kąta aż do zera (t. j. dla s ił id ą cy ch w jed nym i ty m sam ym kierunku) ró w n o leg ło b o k , w zg lęd n ie trójkąt s ił p rzech od zi w jedną lin ję o d łu g o ści rów n ej su m ie obu sk ład ow ych ,, a w ię c id en tyczn ą z o m ó w io n ą w g 6 (rys. 18).
§ 7. D o w o ln a ilo ś ć s ił d z ia ła ją cy ch na jed en punkt w r ó ż n y c h kierunkach.
Je śli w d a n y m p u n k c ie d z ia ła w ię k sz a ilo ść sił, to p o stą p im y w sp o só b n a s tę p u ją c y (ry s. 19 i 20).
S k ła d a m y d o w o ln e d w ie siły n p . P4 i Pa w e d le ry s. 15 (§ 6) w w y p a d k o w ą R it n a s tę p n ie Ą i P3 w w y p a d k o w ą 1?2, k tó ra z a stę p u je w ię c siły P u P3 i P 5; id ą c d alej w te n sp o só b d o c h o d z im y do o sta tn ie j siły P 6, k tó ra zło żo n a z w y p a d k o w ą R $ d a je siłę R ja k o w y p a d k o w ą w sz y stk ic h sił P 1?.. P 6. Z ry s. 20 w id a ć je d n a k , że r y s o w a n ie w y p a d k o w y c h częścio w y ch R t, P 2> R3, je st z b y te c z n e; w y s ta rc z y b o w ie m p o c z y n a ją c od p u n k tu A o d n ieść w sz y stk ie siły P ^ .. P s w o d p o w ie d n ic h k ie ru n k a c h . O trz y m a n y w ten sp o só b ciąg o d c in k ó w 0123450 n a z y w a m y c i ą g i e m s i ł l u b w i e l o b o k i e m s i ł , a p ro s ta łąc z ą ca p u n k t p o c z ą tk o w y 0 tego ciągu z p u n k te m k o ń c o -
w y m 5 o z n a c z o n a lin ją k re s k a —k r o p k a --- t. zw . z a m y k a j ą c a , d aje w ie lk o ść w y p a d k o w e j o z w ro c ie (strza łce ) o d 0 do 5 (czyli 05). P o d o b n ie , ja k p rz y sk ła d a n iu d w u sił, o b o ję tn y je s t i tu p o rz ą d e k , w ja k im s k ła d a m y w ięk szą ilo ść
§ 8. R ów n ow aga kilk u s ił w jed nym p u n k cie. 7
Rys. 19 i 20.
s ił; należy ty lk o p a m ię ta ć , a b y siły o d n o sić w e w ła ś c iw y m k ie ru n k u , t. j. o d p o w ie d n io do strz a łk i. N p. n a ry s. 2 1 o trz y m a liś m y w y p a d k o w ą o w ie lk o śc i d o b re j m im o z m ie n io n e g o
R ys. 21. R ys. 22.
p o rz ą d k u , n a to m ia s t n a ry s. 2 2, w y p a d k o w a m a fałsz y w ą w ie lk o ść i k ie ru n e k , gdyż P3 z o stało o d m ie rz o n e w k ie r u n k u p rz e c iw n y m .
§ 8. R ó w n o w a g a kilku s ił w jed n ym p u n k cie.
P o n ie w a ż w y p a d k o w a R d z ia ła tak sam o , ja k w sz y stk ie je j s k ła d o w e ra z e m w zięte, p rz e to d la z ró w n o w a ż e n ia ty c h
sk ła d o w y c h w y s ta rc z y zaczep ić w p u n k c ie 0 (ry s. 23) siłę ró w n ą , a w ręcz p rz e c iw n ą w y p a d k o w e j. Je śli z a te m w y p a d k o w a m a w ie lk o ść R, a k ie ru n e k 04 (od 0 d o 4), to siła ró w n o w a ż ą c a m u si m ie ć w ie lk o ść —R, a k ie r u n e k 4 0 (od 4 do 0). Jeśli tę siłę 4 0 w łą c z y m y te ra z w ciąg sił, to p rz y u w z g lę d n ie n iu stałego k ie ru n k u s trz a łe k b ę d z ie n im 012340, t. j. p u n k t p o c z ą tk o w y zejdzie się z k o ń c o w y m . W ie lo b o k (ciąg) tak i n a z y w a m y z a m k n i ę t y m .
D l a r ó w n o w a g i k i l k u s i ł p r z e c h o d z ą c y c h p r z e z j e d e n p u n k t m u s i z a m k n ą ć s i ę z a t e m o d p o w i e d n i c i ą g s i ł .
%
IR
0 <>-i N'*'
R ys. 24.
Jeśli w tej sa m e j lin ji p ro s te j d z ia ła p a r ę sił, to r ó w n o w a g a n a stą p i, gdy z a cz e p im y siłę — R r ó w n ą s u m ie a lg e b ra ic z n e j sił d z ia ła ją c y c h , ale o zn a k u p rz e c iw n y m . P o r.
ry s. 24, o d su n ię to tu d la lepszego u w y d a tn ie n ia w y k re s siły R o d w y k re s u s ił P u P2, P3; w rze c z y w isto śc i leż ą o n e w je d nej p ro ste j, m ia n o w ic ie s iła R d ziała w k ie ru n k u NO z a z n a c z o n y m lin ją k re s k o w a n ą .
§ 9 . R o zk ła d a n ie sił.
Jeśli d a n ą siłę P m a m y ro z ło ż y ć n a d w ie sk ła d o w e , to z a d a n ie to nie jest śc iśle oznaczo ne. Czy w e ź m ie m y b o w ie m p o d uw agę siły P x i P 2, czy P t ’ i P2’, czy w re s z c ie P ” i P . ” (ry s. 25), to k ażd a z tych g ru p r ó w n o w a r ta je s t z d a n ą siłą P.
D o p ie ro , gdy z n a n e n a m b ę d ą a lb o a) k i e r u n k i o b u s i ł , a lb o b) w i e l k o ś ć i k i e r u n e k j e d n e j z n i c h , a lb o c) w i e l k o ś ć o b u sił, m ożem y z a d a n ie ro zw ią z a ć . W te d y m a m y do cz y n ie n ia z z a g a d n ie n ie m w rę c z p rz e c iw n e m niż w § 6. S p ro w a d z a się on o w o g ó le do z b u d o w a n ia tr ó jk ą ta (tró jk ą ta sił) z d a n y c h trz e ch części sk ła d o w y c h , m ia n o w ic ie : w w y p a d k u a ) z jed n eg o b o k u , t. j. w ie lk o śc i siły P i z k ie r u n k ó w o b u
§ 10. R ach u n k ow e sk ładan ie i rozk ład an ie sił. 9
p o z o s ta ły c h b o k ó w , (sił sk ła d o w y c h ), w w y p a d k u b ) z d w u b o k ó w i ic h k ie ru n k ó w czyli k ą ta m ię d z y n im i z a w a rte g o ; w w y p a d k u c) z a ch o d z ą c y m b a rd z o rz a d k o w p ra k ty c e , z trz e c h b o k ó w .
Z w y k le d a n e są k ie ru n k i o b u s k ła d o w y c h , t. j. k ą ty a i /5, ja k ie te sk ła d o w e z a w ie ra ją z siłą P , k tó rą m a m y r o z łożyć. W te d y n a sile P = A B (rys. 26) k re ś lim y tró jk ą t o b o k a c h A C i CB ró w n o le g ły c h do d a n y c h k ie r u n k ó w ; d łu g o ści AC i CB o trz y m a n e w te n sp o só b d a ją n a m w p r o s t w ie l
k o ść sił P t i P 2.
U w aga. S iła P2 o w ie lk o śc i CB działa n ie w p u n k cie C, ale w A, ta k , że CB daje tylk o jej* w i e l k o ś ć i k i e r u n e k , ale n ie p ołożen ie.
A by w ię c uniknąć p om yłek , n ajlepiej trójkąt sił zrob ić osob n o, a od punktu A w y k r e ślić s iły sk ła d o w e P, i P2 r ó w n e i ró w n o leg łe do s ił zn a le zio n y ch z tego oso b n o n ak reślon ego trójkąta sił. R ów n ież przez n a r y so w a n ie rów n o leg ło b o k u s ił (a n ie trójkąta) unika się tej p om yłk i.
§ 10. R a c h u n k o w e s k ła d a n ie i r o z k ła d a n ie sił.
W e źm y p o d u w ag ę siłę P i p rz y jm ijm y d o w o ln y u k ład p ro s to p a d ły c h osi s p ó łrz ę d n y c h x y (ry s. 27). Jeżeli siłę P m a m y ro zło ż y ć n a d w ie s k ła d o w e ró w n o le g łe do ty c h osi, to z tró jk ą ta A B C o trz y m a m y n a w ie lk o ść o b u sk ła d o w y c h w z ó r :
W ie lk o ści P ' i P ” są z a ra z e m r z u t a m i siły P n a osi s p ó łrz ę d n y c h .
W z o ry 2 p o słu ż ą ró w n ie ż do w y z n a c z en ia w y p a d k o w e j u k ła d u sił P u P 2... (p o r. ry s. 28). P rz y jm ijm y z n ó w d o w o ln y u k ła d p ro s to p a d ły c h osi s p ó łrz ę d n y c h x y i o d n o sz ąc siły P u P 3... je d n a p o d ru g ie j w e d le § 7 o d r z u ć m y je k o lejn o
C
R ys. 25. R ys. 26.
P ' — P COS a
P " == P Sin a 2
n a o bie osi. W te d y rz u ty p o szczeg ó ln y ch s ił (t. j. s k ła d o w e sił ró w n o le g łe do osi) w y n o sz ą :
P \ — a b ’ = Pl cos at P’ 2 = b ’ c’ = P2 cos °2 — P ’\ — a b ” ^ P 1 sin ax P” 2 = b ” c” = P2 sin a2 ...
A lg eb raiczn e s u m y r z u tó w p o szczeg ó ln y ch sił, są rz u ta m i w y p a d k o w e j n a o d p o w ie d n ie osi. W y n o sz ą o n e :
Ra = Pl COS ai + P , COS a2 + ... = Pi + P \ + ... ) 2 R y — P j sin a, + Po sin a2 + ... — P i ” + P ”2+ ... i
P ra w d z iw ą w ie lk o ść w y p a d k o w e j R z n a jd z ie m y sk ła d a ją c jej rz u ty R x, R y w je d n ą siłę w y p a d k o w ą . Z am y k ają o n e z so b ą k ą t p r o s ty ; w y p a d k o w ą z n a jd z ie m y z a te m na p o d s ta w ie tw ie rd z e n ia P ita g o ra s a ;
R = V R X, + R y, ...4 K ie ru n e k jej o k re ś la się r ó w n a n ie m :
Ry ^
COS ar = ~ j ^ - ...3 P rz y o b lic z an iu R x i R y z w z o ru 3 trz e b a p a m ię ta ć , że z ależn ie o d w ie lk o śc i k ą ta a m o g ą p o szczeg ó lne w y ra z y p rz y j
m o w a ć w a rto ś c i u je m n e i z e ro w e . N p. d la ry s . 28 m a m y : f t, = P t cos aj + P2 cos a2 + P3 cos a3 — P4 cos a4
R y = P i S in ° i + Py. s i n a i ~ P 3 s i n «3 — P < s in a ,
J e śli z a ch o d z i ró w n o w a g a sił, to m u sz ą się s p e łn ić w a r u n k i: 2?:r = 0 Ry — 0 ...6 tj. D l a r ó w n o w a g i s i ł p r z e c h o d z ą c y c h p r z e z j e d e n p u n k t m u s i s u m a i c h r z u t ó w n a d w i e d o w o l n e o s i s p ó ł r z ę d n y c h r ó w n a ć s i ę z e r u .
Jeżeli n p . siły P t ... P5 rz u c o n e n a d w ie d o w o ln e osi x x i x ’x ’ (ry s. 29), d a d z ą d la o b u ty ch o si s u m ę r z u tó w ró w n ą z e ru , to p o z o sta ją o n e m ię d z y so b ą w ró w n o w a d z e .
N a jw y g o d n iej je s t p rz y jm o w a ć d w ie o sie p ro s to p a d łe do sie b ie ; zazw yczaj p rz y jm u je m y też je d n ą z n ic h p io n o w ą , d ru g ą p o zio m ą. W te d y z a sa d a p o w y ż sz a b rz m i;
D l a r ó w n o w a g i s i ł p r z e c h o d z ą c y c h p r z e z j e d e n p u n k t s u m a s k ł a d o w y c h p o z i o m y c h s i ł , o r a z s u m a s k ł a d o w y c h p i o n o w y c h m u s z ą b y ć r ó w n e z e r u , d l a k a ż d e j o s i z o s o b n a .
C zasem z a m ia s t rz u to w a ć , w y g o d n ie j je st zn a le ź ć w ie l
k o ść w y p a d k o w e j lu b sk ła d o w e j n a p o d s ta w ie w y k re s u , u w z g lę d n ia ją c p ra w a ro z w ią z y w a n ia tró jk ą ta .
D la d w u sił o trz y m a m y w te d y :
R = ] ^ P 1 2 + P1 2— 2 P1 P 2c o sa . . . . 4 a (P o r. też p rz y k ła d 16).
§ 10. R ach un kow e sk ład an ie i rozkładanie sił. 11
Rys. 29.
Rys. 27.
R ys. 28.
-VX.l
P r z y k ł a d y 1 — 17.
1. N a p al m o sto w y p rz e n o sz ą się o b u s tro n n ie z z a strz a łó w n a c h y lo n y c h p o d k ą te m 45° siły P Ł = P , — 2400 kg. Z ja k ą siłą c isn ą o n e n a s łu p ? (ry s. 30).
a) R o z w ią z an ie w y k re ś ln e : P rz y jm u je m y , że 1 cm r y su n k u p rz e d s ta w ia np. 1 0 0 0 kg, o d c in a m y w p rz e d łu ż e n iu k ie ru n k ó w P t i P , siły 2400 kg, t. j. po 2,4 cm i sk ła d a m y je w e d łu g § 6. D ług o ść p r z e k ą tn i ac o d c z y ta n a w p o d z ia le sił d a je w y p a d k o w ą . N a ry s. 30 d łu g o ść ac w y n o s i 3,4 cm , z atem w y p a d k o w a P = 3400 kg.
b) R o z w ią z an ie r a c h u n k o w e : Z w z o ru 3 z n a jd z ie m y : Ry = P t sin a, + P s sin a, = 2 P s i n 45°—2.2400.0,707 = 3394 k g = R . (S k ła d o w a Iix — P y cos at — P2 cos a2 = O, w ię c R y = R). W p o ró w n a n iu z w y n ik ie m , ja k i o trz y m a liś m y w w y k re sie , m a m y o 6 kg m n ie j. B łą d ten m u sia ł się w k ra ś ć w s k u te k n ie u n ik n io n e j n ied o k ła d n o ści ry s u n k u , je st je d n a k ta k m ały , że u w z g lę d n ia ć go nie p o trzeb a, te m b a rd z ie j, że w y n ik i i-a c h u n k o w e z re g u ły z a o k rą g la m y d la u z y sk a n ia w iększej p rz e jrz y s to ś c i r a c h u n k u .
Rys. 30.
2. O bliczyć, jak w ie lk a siła p rz e n o s i się n a te n sa m słu p , je śli z e strza ły n a c h y lo n e do p o z io m u p o d k ą te m a = 3 0 u.
O trz y m a m y tu R = R y = 2 P sin 30° = 2 X 2400 X £ = 24f>0 kg.
3. N a fila r ceg lan y c isn ą o b u s tro n n ie sk le p ie n ia z siłą P \ — P 2—:1600 kg p o d k ą te m 30°. J a k w ie lk a siła (w y p a d k o w a ) d z ia ła n a fila r? (C iężar w ła s n y fila ra n a le ż y p o m in ą ć ).
Z a d a n ie to ro z w ią z u je się ta k sam o , ja k z a d a n ie 1 ; w y - k re ś ln ie o trz y m u je m y R ==1600 kg (ry s. 31). R a c h u n k o w o : R = 2 P s i n 30° = 2.1600. V2 = 1600 kg.
P rzykłady 1—17. 13 4. F ila r ceglany, ja k n a p rz y k ła d z ie 3, w aży G = 9200 kg.
J a k w ie lk ą siłą ciśn ie f ila r n a g r u n t?
D o c ię ż a ru fila ra G — 9200 kg n ależy d o d a ć siłę w y p a d k o w ą c iś n ie ń o b u sk le p ie ń , ró w n ie ż p io n o w ą . Z atem całk o w ite c iśn ie n ie n a g r u n t : P — G + R — 9200 + 1600 = 10800kg.
5. N a m u r p io n o w y o c ię ż a rz e C = 6000 kg c iśn ie sk le p ie n ie p o d k ą te m a = 30° z siłą P = 1 0 0 0 kg. Z naleźć c a łk o w ite c iśn ie n ie na f u n d a m e n t m u r u ab. (rys. 32).
R a c h u n k o w o o trz y m u je m y (z w z o ru 3):
Rx = 6000 cos 90° + 1000 cos 30° = 0 + 1000.0,866 == 8 6 6 kg, co z a o k rą g lim y n a R * = 870 kg.
R v = 6000 sin 9 0 °+ 1 0 0 0 sin 30°= 6000.1 + 10 00 .0,5 = 6500 kg, a z a te m w y p a d k o w a z w z o ru 4:
R — 1/ R \ + R \ = l / 8 7 0 2 + 65002 = 6560 kg.
6. N a fila r m o sto w y d z ia ła ją je d n o s tro n n ie z a strz a ły w ią z a n ia ro z p o ro w e g o p o d w ó jn e g o Pi = 2500 kg, P2 = 4000 kg,
p rz y c z e m k ą ty n a c h y le n ia ic h do p o z io m u , w y n o sz ą a = 60°,
< ' 2 = 35°. Z naleźć ich p a rc ie n a fila r (rys. 33).
R x = 2500 cos 60° + 4000 cos 35° = 1250 + 3270= 4520 kg R,j = 2500 sin 60° + 4000 sin 35° = 2170 + 2300 = 4470 kg
C a łk o w ite p a rc ie n a fila r:
R = J /4 5 2 0 2 + 44702 = 1 /2 04304 + 199809 i? 6360 kg.
K ąt n a c h y le n ia p a rc ia w y p a d k o w e g o do p o z io m u :
7. N a k o m in działa w śro d k u w y so k o śc i p o z io m a siła w ia tr u W — 2 0 0 kg, s ta ra ją c się w y w ró c ić go około k r a w ę -
y — too%
Rys. 32. R ys.{33.
R .. 4 4 7 0
a = — 4520 = 0 , 9 8 9 a = 44° 42’
dzi A ; sile tej p rz e c iw d z ia ła c iężar k o m in a C = 1500 kg s ta ra ją c się u trz y m a ć go w stałości. N ależy zn aleźć w y p a d k o w ą (rys. 34).
W y k re śln ie o trz y m a m y z ró w n o le g ło b o k u sił w y p a d k o w ą R o w ielk o ści 1510 kg, p rz e c h o d z ą c a jeszcze p rze z p o d sta w ę A B k o m in a. K om in w ię c n ie w y w ró c i się.
R a c h u n k o w o :
R = "[/"2002 + 15002 + 1 5 0 0 2 == 1513 kg.
8. Z naleźć ra c h u n k o w o w y p a d k o w ą sił p rz e d s ta w io n y c h n a ry s. 27 i 28, p r z y c z e m :
P l = 2 0 kg, P2 = 40 kg, = 35 kg, P4 = 30'kg al — 45°, a, = 60° «J = — 20°, « , = — 150°.
R ys. 34. Rys. 35.
ftc = 20 cos 4 5 ° + 4 0 cos 60®+ 35 cos 20° — 30 cos 30° = 14,1 + + 20 + 32,9 — 26,0 = + 41,0 kg.
R j — 2 0 sin 4 5 ° + 4 0 sin 60° — 35 sin 20° — 30 sin 3 0 ° = 14,1 + + 34,6 — 12,0 - 15,0 = + 21.7 kg.
R = 1 /4 1 ,0 * + 2 1,V = 46,4 kg + 21,7
9<1~ + 4 1 ,0 ’ a = 26° 56’
9. C h o d n ik w s p ie ra się n a w s p o rn ik u ABC, u m ie sz c z o n y m w m u rz e (rys. 35). Z naleźć siły w e w n ę trz n e w p rę ta c h
•w sp o rn ik a, jeśli n a C p rz e n o s i się c ię ż a r P — 800 kg.
Z tró jk ą ta sił C n m o trz y m a m y :
P — 1070 kg P ” = 1330 kg.
W AC p a n u je ścisk an ie, w B C ro zciąg an ie. G d y b y śm y p rz e k ro ili p rę ty A C i B C , a ch cieli, ab y p u n k t C n ie z m ie n ił p o ło że n ia, m u sie lib y ś m y A C p rz y tw ie rd z ić np. sz n u re m , k tó ry b y łb y cią g n ięty siłą P, zaś p r ę t B C n a le ż a ło b y p o d e p rz e ć .
R a c h u n k o w o o trz y m u je m y :
[g a = = 0,75 a = 36° 52’
P' = = 1067 kg
tg a 0,75 °
P 8 0 0 1333 kg.
P rzykłady 1 — 17. 15
sin a 0,60
Rys. 36.
f i l f ą i O . W p u n k c ie w ie rz c h o łk o w y m w ię z a ra d a c h o w e g o (rys! 36) d z ia ła p io n o w a siła P = 1000 kg. Z naleźć siły w z a s trz a ła c h AC i BC.
^ R o z k ła d a m y w y k re ś ln ie siłę P o trz y m u ją c w o b u za
s trz a ła c h siły ró w n e P = 707 kg. R a c h u n k o w o z n a jd z ie m y z tró jk ą ta C E F\
p> _ i ^ = _ ł °2iL_ = 707 k«
- 2 s i n a 2 sin 45°
P rz e k ro iw s z y z a strz a ły w ię z a ra i r o z u m u ją c jak w zad. 8, p o jm ie m y ła tw o , że w z a strz a ła c h p a n u je ściskanie.
