PIERWSZA CZĉSTOĝû DRGAē WàASNYCH SàUPÓW W KSZTAàCIE WYDRĄĩONEGO ĝCIĉTEGO STOĩKA

(1)

PIERWSZA CZĉSTOĝû DRGAē WàASNYCH SàUPÓW W KSZTAàCIE WYDRĄĩONEGO ĝCIĉTEGO STOĩKA

Jacek Jaworski

Szkoáa Gáówna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie

Streszczenie. W pracy wyprowadzono wzory na pierwszą czĊstoĞü drgaĔ wáasnych sáupa w ksztaácie ĞciĊtego stoĪka i wydrąĪonego ĞciĊtego stoĪka (rury stoĪkowej). PrzyjĊto, Īe sáup jest z materiaáu sprĊĪystego, a jego masa jest rozáoĪona w sposób ciągáy. Zastosowa- no metodĊ Rayleigha i przyjĊto, Īe amplituda przemieszczeĔ osi drgającego prĊta opisana jest funkcją trygonometryczną. Sposób wykorzystania wzorów pokazano na przykáadach.

Otrzymane wyniki porównano z rezultatami obliczeĔ z innych prac i obliczeĔ wedáug normy PN-77/B-02011.

Sáowa kluczowe: sáup stalowy, okres drgaĔ wáasnych, pierwsza czĊstoĞü drgaĔ wáasnych

WSTĉP

ZnajomoĞü pierwszej (najniĪszej) czĊstoĞci drgaĔ wáasnych giĊtnych konstrukcji wie- Īowych, takich jak: wieĪe, sáupy wsporcze, kominy, potrzebna jest zazwyczaj do okre- Ğlenia jej podatnoĞci na dynamiczne oddziaáywanie porywów wiatru. Obliczenia takie moĪna wykonaü, analizując model konstrukcji w programach MES-owskich. Stosowane są takĪe znane z mechaniki budowli obliczenia metodą energetyczną. Sposoby obliczania okresu drgaĔ wáasnych podawane są czasami w normach do projektowania konstrukcji budowlanych.

ZAKRES I METODYKA BADAē¹

Przedmiotem analizy są sáupy utwierdzone w podstawie i o swobodnym wierzchoáku (wsporniki) z materiaáu sprĊĪystego. Materiaá jest jednorodny, moduá sprĊĪystoĞci po- dáuĪnej i gĊstoĞü materiaáu są staáe. Sáupy mają ksztaát ĞciĊtego stoĪka peánego i ĞciĊtych stoĪków wydrąĪonych (rur stoĪkowych), tak jak pokazano na rysunkach 1 i 2.

Adres do korespondencji – Corresponding author: Jacek Jaworski, Szkoáa Gáówna Gospodarstwa Wiejskiego, Wydziaá Budownictwa i InĪynierii ĝrodowiska, Katedra InĪynierii Budowlanej,

(2)

Zastosowano metodĊ Rayleigha, szczególny przypadek metody energetycznej, w której energia potencjalna ugiĊcia sáupa wywoáanego siáą przyáoĪoną poziomo do jego wierzchoáka porównywana jest z najwiĊkszą energią kinetyczną drgających mas cienkich warstw przekroju porzecznego sáupa. PrzyjĊto, Īe masy te wykonują drgania harmonicz- ne w páaszczyĨnie prostopadáej do osi sáupa, a amplituda tych drgaĔ jest okreĞlona przez arbitralnie przyjĊtą funkcjĊ. Od sposobu przyjĊcia wielkoĞci amplitud zaleĪy dokáadnoĞü metody. Przyjmowane powyĪej zaáoĪenia bliskie są zaáoĪeniu maáych przemieszczeĔ.

Masa prĊta zastĊpowana jest zazwyczaj skoĔczoną liczbą mas, a sposób ich doboru i rozmieszczenia ma istotny wpáyw na pracocháonnoĞü i dokáadnoĞü obliczeĔ, przykáady takich obliczeĔ podano m.in. w pracy Dyląga i innych [2000]. Aby uzyskaü dokáadne roz- wiązania analityczne, w niniejszej pracy przyjĊto, Īe masa prĊta jest rozáoĪona w sposób ciągáy, a sumowanie energii poszczególnych mas skáadowych zastąpiono caákowaniem.

Zazwyczaj przyjmuje siĊ ksztaát amplitudy wychylenia osi prĊta taki sam jak osi ugiĊ- tej pod obciąĪeniem statycznym. Dla tak przyjĊtych zaáoĪeĔ otrzymano we wczeĞniej- szych pracach rozwiązania analityczne [Jaworski i in. 2009a] dla przypadku stoĪka ĞciĊ- tego peánego i pewnego przypadku szczególnego rury stoĪkowej, kiedy tworzące stoĪka zewnĊtrznego i wewnĊtrznego przecinają siĊ na osi podáuĪnej stoĪka w tym samym punkcie. W przypadku ogólnym rury stoĪkowej nie uzyskano rozwiązaĔ analitycznych [Jaworski 2010], gdyĪ wystĊpują w nim caáki z wyraĪeĔ typu: x^pln(ax + b) arctg (Ax + B) dla p = 2, 3 oraz x^pln(ax² + bx + c) arctg (Ax + B) dla p = 0, 1, 2, 3, dla których takie rozwiązania nie są znane.

W niniejszej pracy przyjĊto, Īe ksztaát amplitudy wychylenia osi stoĪka podczas drgaĔ sáupa jest opisany funkcją trygonometryczną, której przebieg pokazano na rysunku 1:

( ) 1 1 cos

y x f 2 x P

H S

§ ·

¨ ¸

gdzie: x, y – wspóárzĊdne, H – wysokoĞü sáupa,

P – siáa pozioma przyáoĪona do wierzchoáka sáupa,

f₁ – przemieszczenie wierzchoáka sáupa pod dziaáaniem siáy P = 1.

PrzyjĊcie powyĪszej, prostej do caákowania funkcji pozwoliáo na uzyskanie roz- wiązaĔ analitycznych postawionego zagadnienia. WstĊpnie analizowano teĪ przyjĊcie amplitudy drgającej osi w ksztaácie paraboli, ale prowadziáo to – w przypadku sáupów w ksztaácie walca – do wiĊkszych niedokáadnoĞci rozwiązania.

Wyniki obliczeĔ wykonanych dla wybranego przykáadu sáupa porównano z rezultatami cytowanych powyĪej prac i rozwiązaniami uzyskanymi wedáug metody podanej w tablicy Z 2-2 normy PN-77/B-02011.

SàUP W KSZTAàCIE RURY STOĩKOWEJ O ZMIENNEJ GRUBOĝCI ĝCIANKI

Jest to przypadek ogólny, ksztaát sáupa i podstawowe wielkoĞci pokazano na rysunku 1.

(3)

Wprowadzono nastĊpujące oznaczenia:

k p

n D

D (2); ^k

p

m d

d (3); ^p

p

d

D D (4) i wyznaczono okreĞlone na rysunku 1 odlegáoĞci L i l w funkcji wysokoĞci sáupa (H):

1

p

k p

D H

L H

D D n (5);

1

p

k p

d H

l H

d d m (6)

ZewnĊtrzną i wewnĊtrzną ĞrednicĊ na wysokoĞci okreĞlonej przez wspóárzĊdną x moĪna wyraziü jako:

Dx dM f1

dx

Dp

Dk

P=1

L

H Dp

Dk

P=1

L

H Dx

dx

dp

dk

l

x dM

dx

f1

x x

y P f1

Rys. 1. Schemat do obliczeĔ okresu drgaĔ wáasnych dla rury stoĪkowej i ĞciĊtego stoĪka oraz zaáoĪony ksztaát amplitudy wychylenia osi sáupa: x, y – osie wspóárzĊdnych, H – wyso- koĞü, L, l – odlegáoĞci wierzchoáka sáupa od punktów przeciĊcia tworzących stoĪka ze- wnĊtrznego i wewnĊtrznego z osią sáupa, D_p, D_x, D_k, d_p, d_x, d_k – zewnĊtrzne i wewnĊtrzne Ğrednice przy wierzchoáku, dla wspóárzĊdnej x i przy podstawie, P = 1 – jednostkowa siáa poprzeczna, f₁ – ugiĊcie wierzchoáka sáupa od siáy jednostkowej, dx – elementarna dáugoĞü, dM – elementarna masa

Fig. 1. Scheme for calculations of the natural period for tube shaped like a cone and for frustum of cone as well as the supposed form of amplitude of cone axis during the vibration:

x, y – coordinate axis, H – height, L, l – distances between the head of column and points of intersection of generating lines of external and internal cones with a cone axis, D_p, D_x, D_k, d_p, d_x, d_k – external and internal diameters at head, for coordinate x and at footing, P = 1 – unit transverse force, f₁ – deÀ ection at the head of column caused by the unit force, dx – in¿ nitesimal length, dM – in¿ nitesimal mass, g – thickness of wall, t – horizontal projection of wall thickness

(4)

( )

p x

D D nL x

L (7); _x d^p( )

d ml x

l (8)

Masa M-elementarnej warstwy materiaáu o gruboĞci dx i gĊstoĞci ȡ, usytuowanej na wysokoĞci okreĞlonej przez wspóárzĊdną x, jest okreĞlona wzorem:

2 2

2 2 2

2

( )

4

( 1) ( 1)

1 1

4

x x

p

dM D d dx

D Hn Hm

n x m x dx

n m

H US

US D

ª §¨ ·¸ §¨ ·¸ º

« »

¬ ¼

(9)

a moment bezwáadnoĞci (J) przekroju poprzecznego:

4 4

4 4 4

4

4 4

2

( ) ( )

64

1 1

64

x x

p

J x D d

D Hn Hm

n x m x

n m

H S

S D

ª §¨ ·¸ §¨ ·¸ º

« »

¬ ¼

(10)

Energia potencjalna (E_p) związana z ugiĊciem statycznym sáupa wynosi:

2 1

1

p 2

E P f (11)

a energia kinetyczna (Ek):

2( ) 2 2( )

2 2

M M

k v x dM y x dM

E Z

³ ³

⁽¹²⁾

gdzie: x, y – wspóárzĊdne, M – masa sáupa,

v – najwiĊksza prĊdkoĞü mas elementarnych warstw, Ȧ – czĊstoĞü koáowa drgaĔ.

Przyjmując ksztaát osi amplitudy drgaĔ w postaci krzywej pokazanej na rysunku 1 i opisanej równaniem (1), otrzymuje siĊ wyraĪenie:

2 2 2 4 4

2 2 4 4 4

2 1

0

2 2 3

2 2

1 2

2 3

1 cos ( 1) ( 1)

2 2 1 1

4

4 2 2

p H k

p

D Hn Hm

E f P x n x m x dx

H n m

H

D f P H F

H

S Z S

U D

S Z

U S

ª º

§ · § · § ·

¨ ¸ « ¨ ¸ ¨ ¸ »

³

(13)

(5)

3 2 2 2 2 2 2 2 2

2

1 1 8 1 64 1 1

2 15 1 1 15 1 1

F n n m m n m

n n m m

S D S D D

S D

ª º ª¬ º¼

¬ ¼

ª º

¬ ¼

Do obliczenia ugiĊcia wierzchoáka sáupa pod wpáywem przyáoĪonej do niego poziomo siáy jednostkowej metodą Maxwella-Mohra skorzystano ze sformuáowania zagadnienia i schematu jego rozwiązania w pracy Jaworskiego i innych [2009a]. UĪywając tablic caáek [Spiegel i Abellanas 1991], otrzymano nastĊpujące zaleĪnoĞci:

2 4 2

1 4 4 4 4 4 4

0 0

4 4

2 1

4 2 2 4

0

64

( ) 1 1

64 1 64 1

H H

p H

p p

x dx H x dx

f EJ x ED n L x m l x

H A B Cx D H

x dx F

e x a x b e

ED x cx d x cx d ED

S D

S S

§ ·

¨ ¸

© ¹

³ ³

³

(15)

gdzie: (16)

1 1

1 1 ;

n L m l

a n m

D D

1 1

1 1 ;

n L m l

b n m

D D

2

2 2

2

2 2

2 1 2 1

1 1 ;

L n l m

c n m

D D

2 2 2

2 2

2

2 2

1 1

1 1 ;

n L m l

d n m

D D

²¹

^;

A a b a ac d

²¹

^;

B ab b bcd

;

C A B D 1 Ad Bd;

ab a b e n1⁴ D⁴m1 ;⁴

2 2 2

1

2 2

2

2 2 2

ln 1 ln 1 0,5

3 2 2

ln arctan arctan

4 4 4

H H

F H D aA bB cC a A b B c d C cD

a b

c d c C c d D

H Hc d H c c

d d c d c d c

§ · § · ª º

©¨ ¹¸ ¨© ¹¸ ¬ ¼u

§ ·

u ¨ ¸

© ¹

Z porównania energii potencjalnej i kinetycznej (Ep = Ek) otrzymuje siĊ koĔcowe wzory na pierwszą czĊstoĞü drgaĔ (Ȧ) i okres drgaĔ (T):

3 2

2

5 1 2

8 EDp

H eF F Z S

U (17)

(14)

(6)

2 1 2

2 4 2

p

H T H F F

T D E e

S U

Z S (18)

W powyĪszych rozwaĪaniach przyjĊto nastĊpujące zaáoĪenia:

D_k > d_k > 0; D_p > d_p > 0; D_k > D_p; d_k > d_p; L > l; przekrój podstawy jest wiĊkszy od przekroju wierzchoáka; sáup o ksztaácie walca nie jest przypadkiem szczególnym tego rozwiązania; Ğrednice przy wierzchoáku sáupa nie mogą byü równe zeru,

D_k – D_p d_k – d_p, a wiĊc g const, czyli gruboĞü Ğcianki nie moĪe byü staáa, a skoro L l i – co za tym idzie – D_pd_k D_kd_p, wiĊc m n.

W kolejnych punktach pracy zostaną rozpatrzone sáupy o ksztaátach niespeániających po- wyĪszych zaáoĪeĔ, dlatego wzory dla tych sáupów muszą byü wyprowadzone oddzielnie.

SàUP W KSZTAàCIE ĝCIĉTEGO STOĩKA

Podczas analizy pokazanego na rysunku 1 ĞciĊtego stoĪka peánego, prowadzonej ana- logicznie jak w poprzednim punkcie, pozostają waĪne związki (1), (4) i (6).

Masa elementarnego plastra o gruboĞci dx usytuowanego na wysokoĞci okreĞlonej przez wspóárzĊdną x jest okreĞlona wzorem:

2 2 2

2

1

4 4 1

p x

D n Hn

dM D dx x dx

H n S S

U U ^§¨ ^·¸

Z pracy Jaworskiego i innych [2009a] przyjĊto wzór:

4 2 3

1 4 4 2 3 4 3

64 1 1 64

3 3

1 3

p p

H L L H

f SED n H L H L H L L SED n

ª º

« »

¬ ¼ (20)

Energia kinetyczna moĪe byü wyraĪona jako:

2 2 2 2 2 2 2

1

2 0

2 2 2 2 2 3

1

2 3 2 3

1 1 cos

2 1

8 1

8 2 1

p H k

p

D n f P Hn

E x x dx

H n

H

D n f P H F

H n

S Z S

U

S Z

U S

§¨ · §¸ ¨ ·¸

³

(21)

gdzie:

3 2 2 2

3 1 8 2 15 1 1 64 1

F S n n S S n n n (22)

Wzory na czĊstoĞü i okres drgaĔ przyjmują w tym przypadku postaü:

3 3 2

2

4 3

3 8

En Dp

H F Z S

U (23)

–

(7)

(24)

SàUP W KSZTAàCIE RURY STOĩKOWEJ, GDY L = l

JeĞli tworzące stoĪka zewnĊtrznego i wewnĊtrznego przecinają siĊ w jednym punkcie na osi stoĪka, jak na rysunku 2a, czyli gdy L = l, to m = n i speániona jest zaleĪnoĞü:

1 L l H

n

(25)

wtedy masĊ elementarną i moment bezwáadnoĞci moĪna wyraziü jako:

2 2 2 2

2

1 1 4 1

Dp n Hn

dM x dx

H n

S D

U ^§¨ ^·¸

4 4 4 4

4

( ) 1 1

4 1

Dp n Hn

J x x dx

H n

S D §¨ ·¸

Jednostkowe ugiĊcie wierzchoáka sáupa wynosi:

4 2

1 4 4 4 2 3

3

4 3 4

64 1 1

3 3 1 1

64

3 1

p

H L L

f ED n H L H L H L L

H ED n

S D

ª º

« »

¬ ¼

(28)

Wzory na pierwszą czĊstoĞü i okres drgaĔ wáasnych przyjmują postaü:

3 2 3 2

2

4 3 2 2 2

3 1

8 1 8 2 15 1 1 64 1

ED np

H n n n n n

S D

Z U S S S

ª º

¬ ¼

(29)

3 2 2 2

2

3 2

2 1 8 2 15 1 1 64 1

4

3 1

p

n n n n n

T H

D En

U S S S

S D

ª º

¬ ¼

(30)

3 3

3 2 2 2

2

3

4 2

T 3

2 1 8 2 15 1 1 64 1

4

3

p

H F

D En

n n n n n

H

D En

U S

U S S S

S

ª º

¬ ¼

(8)

MoĪna wiĊc zauwaĪyü, Īe:

(30) (24)

1 2

T T

D

(31)

Rozwiązanie dla stoĪka ĞciĊtego peánego moĪna teĪ wykorzystaü w przypadku ĞciĊ- tych ostrosáupów prawidáowych, jak to pokazano w pracy Jaworskiego i innych [2009a].

SàUP W KSZTAàCIE RURY STOĩKOWEJ O STAàEJ GRUBOĝCI ĝCIANKI PosáuĪono siĊ rzutem poziomym gruboĞci Ğcianki (t), który jest funkcją gruboĞci (g), jak wynika z rysunku 2b:

l Dp

P=1

L=l

H Dx

dx

dp

x dM

dx

f1

Dk

dk

a

Dp

P=1 dp f1

Dx

dx

x

L

dM H dx

Dk

dk

b

t g

Rys. 2. Schematy do obliczeĔ okresu drgaĔ wáasnych dla przypadków szczególnych rury stoĪ- kowej: a – gdy tworzące stoĪka zewnĊtrznego i wewnĊtrznego przecinają oĞ stoĪka w jednym punkcie, b – o staáej gruboĞci Ğcianki; x – oĞ wspóárzĊdnych, H – wysokoĞü, L, l – odlegáoĞci wierzchoáka sáupa od punktów przeciĊcia tworzących stoĪka zewnĊtrz- nego i wewnĊtrznego z osią sáupa, D_p, D_x, D_k, d_p, d_x, d_k – zewnĊtrzne i wewnĊtrzne Ğrednice przy wierzchoáku, dla wspóárzĊdnej x i przy podstawie, P = 1 – jednostkowa siáa poprzeczna, f₁ – ugiĊcie wierzchoáka sáupa od siáy jednostkowej, d_x – elementarna dáugoĞü, dM – elementarna masa, g – gruboĞü Ğcianki, t – rzut poziomy gruboĞci Ğcianki Fig. 2. Scheme for calculations of natural period in particular cases of tube shaped like a cone:

a – when generating lines of external and internal cone are crossing the cone axis in the same point, b – with constant wall thickness; x – coordinate axe, H – height, L, l – distan- ces between the head of column and points of intersection of generating lines of external and internal cones with a cone axis, D_p, D_x, D_k, d_p, d_x, d_k – external and internal diameters at head, for coordinate x and at footing, P = 1 – unit transverse force, f₁ – deÀ ection at the head of column caused by the unit force, dx – in¿ nitesimal length, dM – in¿ nitesimal mass, g – thickness of wall, t – horizontal projection of wall thickness

(9)

4 2

k p

H D D

t g

H

(32)

Otrzymano zaleĪnoĞci:

( ); 2

x p x x

D D nL x d D t

L (33)

² ²

¹

4 1

x x p

D n Hn

dM D d dx t x t dx

H n

3 3

1 3 3 4 3 3 3 4

8 8

p 1

k p

H H

f F F

Et D n

Et D D S

S (35)

2 2 2 2 2

2 2 1

1 5

0

1 cos ( )

2 2 8

H p

k

D tH f P

E t f P x nL x t dx F

H L

Z S U Z

US S

ª º

§ ·

¨ ¸ « »

³

⁽³⁶⁾

gdzie:

2 2 2

4 2 2

ln 2 ln

2

2 arctan 1 arctan 1

p p d

d d

p d

p p

d

nD t D nD t t

F D t D t

D t D t t

nD D

t D t

t t

ª § · § ·º

« ¨ ¸ ¨ ¸»

¬ © ¹ © ¹¼

(37)

5 _p 3 2 1 16 28 1 2 3 8

F D ¬^ªS n S n ¼^º S St (38)

KoĔcowe wzory na pierwszą czĊstoĞü i okres drgaĔ wáasnych mają postaü:

3 2 3 3

2

4 3 5

1 2

Et Dp n H F F Z S

U

(39)

2 4 5

3 3

2 2

p 1

H F F

T t ED n

U

(40)

WYNIKI OBLICZEē

Obliczenia wykonano dla stalowych sáupów wysokoĞci H = 6 m, Ğrednicy przy podsta- wie Dk = 20 cm i róĪnym stopniu nachylenia Ğcianek. PrzyjĊto moduá Younga E = 205 GPa i gĊstoĞü stali ȡ = 7850 kg·m^–3.

(10)

Na rysunku 3 pokazano zaleĪnoĞü okresu drgaĔ sáupa w ksztaácie ĞciĊtego stoĪka (peá- nego) od nachylenia Ğcianek stoĪka. Wyniki obliczeĔ wáasnych porównano z obliczeniami metodą elementów skoĔczonych w programie ANSYS, wedáug tablicy Z 2-2 normy PN-77/B-02011 i wedáug metody energetycznej, przy zaáoĪeniu, Īe ksztaát amplitudy osi drgającego stoĪka jest taki jak linia ugiĊcia statycznego po przyáoĪeniu do wierzchoáka sáupa siáy poziomej. Wykorzystano tu wyniki pracy Jaworskiego i innych [2009b].

W zakresie maáych zbieĪnoĞci Ğcianek stoĪka wszystkie krzywe mają podobny przebieg, a róĪnice pomiĊdzy wartoĞciami okresu drgaĔ są niewielkie. Dla sáupa w ksztaácie walca wyniki wszystkich obliczeĔ są bliskie rozwiązaniu równania drgaĔ poprzecznych prĊta, które okreĞla tzw. fale stojące [np. Dyląg i in. 2000], z którego wynika dokáadny wzór na okres drgaĔ:

3 4 2

1,787 MH 1,787 H

T EJ D E

U (41)

Dla metody energetycznej i przy zaáoĪeniu, Īe amplituda drgaĔ osi prĊta o staáym przekroju koáowym ma ksztaát linii ugiĊcia pod dziaáaniem siáy statycznej, okres drgaĔ wyraĪa siĊ jako:

2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20

Dp [cm]

0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,22 0,24

0,20 0,26

0 T [s]

8 4 2,666 2 1,6 1,333 1,143 1

n=

8

0,125 0,25 0,375 0,5 0,625 0,75 0,875 1

0

Dk

Dp

=Dk

Dp

1 n ANSYS

J. 2009b dla fali stojącej for standing wave

H=6m

Dk=20cm Dp

0,04

obl. wáasne this paper

Rys. 3. Porównanie wyników obliczeĔ okresu drgaĔ wáasnych stalowego sáupa w ksztaácie ĞciĊ- tego stoĪka o róĪnym stopniu nachylenia Ğcianek: T – okres drgaĔ, D_k – Ğrednica przy podstawie sáupa, D_p – Ğrednica przy wierzchoáku sáupa, n – stosunek Ğrednic zewnĊtrz- nych, H – wysokoĞü sáupa

Fig. 3. Comparison of calculation results of natural period of steel columns in form of frustum of cone with different inclination of generating line: T – period, D_k – diameter at column footing, D_p – diameter at column head, n – external diameters ratio, H – height

(11)

11 4 1,7612 35

MH H MH

T S EJ D EJ (42)

a przy zaáoĪeniu, Īe jest ona opisana funkcją trygonometryczną jak we wzorze (1):

³ ³

2 3 8

1,7274 3

MH MH

T EJ EJ

S S

(43) RóĪnice miĊdzy wynikiem obliczenia okresu drgaĔ sáupa w ksztaácie walca wedáug wzoru (41) a wynikami kolejnych obliczeĔ nie przekraczają: w programie ANSYS – 0,25%, wedáug PN-77/B-02011 – 0,75%, wedáug wzoru (42) – 1,5%, a wedáug wzoru (42) – 3,4%.

W zakresie duĪych zbieĪnoĞci Ğcianek stoĪka róĪnice pomiĊdzy rozwiązaniem MES i wedáug PN-77/B-02011 pozostają dla rozpatrywanego przykáadu stosunkowo niewiel- kie (gdy D_p = 0, czyli dla stoĪka, nie przekraczają one 7%), natomiast wyniki obliczeĔ metodą energetyczną coraz bardziej od nich odbiegają wraz ze zwiĊkszającą siĊ zbieĪ- noĞcią stoĪka. Istotne znaczenie ma tu przyjĊty ksztaát amplitudy osi drgającego stoĪka.

Przy zaáoĪeniu z pracy Jaworskiego i innych [2009b], gdy D_p dąĪy do zera, to krzywa T = T(D_p) teĪ dąĪy do zera, a przy zaáoĪeniu z tej pracy, krzywa T = T(D_p) dąĪy wtedy do nieskoĔczonoĞci.

Dla ogólnego przypadku rury stoĪkowej (stoĪka wydrąĪonego) porównano sáupy o zróĪnicowanych kątach nachylenia Ğcianki zewnĊtrznej (róĪnych wartoĞciach D_p) i ta- kiej budowie, Īe l = 2/3L (rys. 4). Przy duĪych kątach nachylenia stoĪka zewnĊtrznego

2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20

Dp [cm]

0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,19 0,20

0,18

0 T [s]

0,10

H=6m

Dk=20cm Dp

dk=14

Ll

l = ²₃L

Rys. 4. Okres drgaĔ wáasnych rur stoĪkowych, dla których l = 2/3L, o róĪnym stopniu nachyle- nia Ğcianek: T – okres drgaĔ, D_k, d_k – zewnĊtrzne i wewnĊtrzne Ğrednice przy podstawie sáupa, D_p – Ğrednica zewnĊtrzna przy wierzchoáku, H – wysokoĞü sáupa, L, l – odlegáoĞci wierzchoáka sáupa od punktów przeciĊcia tworzących stoĪka zewnĊtrznego i wewnĊtrz- nego z osią sáupa

Fig. 4. Natural period of tubes shaped like a cone, when l = 2/3L, with different inclination of generating line: T – period, D_k, d_k – external and internal diameters at column footing, D_p – diameter at column head, H – height, L, l – distances between the head of column and points of intersection of generating lines of external and internal cones with a cone axis

(12)

(dla D_p < 5 cm, co odpowiada n > 4) wraz ze zmniejszaniem siĊ D_p krzywa T = T(D_p) gwaátownie roĞnie. Porównanie z obliczeniami wedáug PN-77/B-02011 pokazuje, Īe dla maáych kątów nachylenia stoĪka (dla D_p > 12,5 cm, co odpowiada n < 1,6) wyniki nie- wiele siĊ róĪnią, a przy duĪych kątach nachylenia stoĪka wyniki róĪnią siĊ znacznie.

Dla szczególnego przypadku rury stoĪkowej, kiedy tworzące stoĪka zewnĊtrznego i wewnĊtrznego przecinają siĊ w jednym punkcie na osi stoĪka (l = L), na rysunku 5 pokazano przebieg krzywych T = T(D_p) dla rur o róĪnych gruboĞciach Ğcianek. Rzut poziomy gruboĞci Ğcianek przy podstawie wynosiá odpowiednio: 1, 4, 7 i 10 cm, ten ostatni przypadek odpowiada stoĪkowi ĞciĊtemu peánemu. Charakter krzywych T = T(D_p) i porównanie z wynikami wedáug PN-77/B-02011 są tu podobne jak w przypadku stoĪka ĞciĊtego peánego.

Wyniki dla rur stoĪkowych o staáej gruboĞci Ğcianki pokazano na rysunku 6. Jest to istotny w praktyce przypadek rury stoĪkowej wykonanej z blachy. UwzglĊdniono trzy gruboĞci Ğcianki (ich rzuty poziome (t) wynoszą odpowiednio 3 i 5 cm). JeĪeli nie jest speániony warunek, Īe D_p > 2t, to zagadnienie traci sens ¿ zyczny, brak wiĊc wyników dla duĪych kątów nachylenia tworzącej stoĪka przy t = 3 i 5 cm. Przebieg krzywych T = T(D_p) jest podobny jak na sąsiednich rysunkach. Porównanie z wynikami wedáug PN-77/B-02011 wskazuje na rosnącą róĪnicĊ wyników wraz ze zwiĊkszającym siĊ kątem nachylenia stoĪka (zmniejszającą siĊ wartoĞcią D_p). Rury o mniejszej gruboĞci Ğcianki charakteryzują siĊ mniejszym okresem pierwszej czĊstoĞci drgaĔ (T), widaü to zarówno na rysunku 6, jak i 5.

2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 Dp [cm]

0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,22 0,24

0,20 0,26

0 T [s]

dk=0 (Į=0)

dk=6 cm (Į=0,3) dk=12 cm (Į=0,6) dk=18 cm (Į=0,9)

H=6m

Dp

Dk=20cm dk

0,09 0,08 0,07

Rys. 5. Okres drgaĔ wáasnych rur stoĪkowych, dla których l = L, o róĪnym stopniu nachylenia Ğcianek i róĪnej gruboĞci Ğcianek: T – okres drgaĔ, D_p, d_p, D_k, d_k – zewnĊtrzne i we- wnĊtrzne Ğrednice przy wierzchoáku i przy podstawie sáupa, Į – stosunek Ğrednic przy wierzchoáku sáupa, H – wysokoĞü sáupa, L, l – odlegáoĞci wierzchoáka sáupa od punktów przeciĊcia tworzących stoĪka zewnĊtrznego i wewnĊtrznego z osią sáupa

Fig. 5. Natural period of tubes shaped like a cone, when l = L, with different inclination of gen- erating line and different wall thicknesses: T – period, D_p, d_p, D_k, d_k – external and inter- nal diameters at head and at footing, Į – ratio of diameters at column head, H – height, L, l – distances between the head of column and points of intersection of generating lines of external and internal cones with a cone axis

(13)

PODSUMOWANIE

Przy zastosowaniu do sáupów wspornikowych w ksztaácie rur stoĪkowych metody energetycznej i zaáoĪeniu, Īe ksztaát amplitudy wychylenia osi stoĪka podczas drgaĔ sáu- pa opisany jest funkcją trygonometryczną (1), otrzymano rozwiązanie analityczne na czĊ- stoĞü i okres pierwszej postaci drgaĔ wáasnych. Podano teĪ wzory dla stoĪka peánego, gdy l = L i gdy t = const, przypadki te wymagają oddzielnego rozwiązania.

W zakresie maáych kątów nachylenia tworzącej stoĪka (niewielkiej zbieĪnoĞci rur stoĪkowych, dla n < 1,6) zgodnoĞü obliczeĔ wáasnych z wynikami wedáug PN-77/B- -02011 i metodą elementów skoĔczonych jest dobra. Gdy roĞnie kąt nachylenia tworzą- cej stoĪka (dla n > 2), róĪnice pomiĊdzy wynikami obliczeĔ róĪnymi metodami stają siĊ coraz wiĊksze. Dla sáupów o ksztaácie bliskim stoĪkowi (gdy n > 8) obliczony wedáug wyprowadzonych wzorów okres drgaĔ (T) gwaátownie roĞnie i dąĪy do nieskoĔczonoĞci, gdy n ĺ , a D_p ĺ 0.

Natomiast przy rozwiązaniu metodą energetyczną i zaáoĪeniu, Īe ksztaát amplitudy wychylenia osi stoĪka peánego podczas drgaĔ sáupa jest taki jak linia ugiĊcia statycznego po przyáoĪeniu do wierzchoáka sáupa siáy poziomej, okres drgaĔ (T) dla sáupów o ksztaá- cie bliskim stoĪkowi wyraĨnie maleje, dąĪąc do zera, gdy n ĺ , a D_p ĺ 0.

2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20

Dp [cm]

0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,22 0,23

0,21

0 0,13

H=6m

Dk=20cm Dp

0,24 T [s]

t = 5 cm

t = 3 cm t = 1 cm

t

Rys. 6. Okres drgaĔ wáasnych rur stoĪkowych ze Ğciankami o staáej gruboĞci, o róĪnym stopniu nachylenia Ğcianek: T – okres drgaĔ, D_p, D_k – Ğrednice zewnĊtrzne przy wierzchoáku i przy podstawie sáupa, H – wysokoĞü sáupa, t – rzut poziomy gruboĞci Ğcianki Fig. 6. Natural period of tubes shaped like a cone with walls of constant thickness, with differ-

ent inclination of generating line: T – period, D_p, D_k – external diameters at head and at footing, H – height, t – horizontal projection of wall thickness

(14)

PIĝMIENNICTWO

Dyląg Z., Jakubowicz A., OráoĞ Z., 2000. WytrzymaáoĞü materiaáów. T. 2. WNT, Warszawa.

Jaworski J., 2010. O pewnej metodzie obliczania pierwszej czĊstoĞci drgaĔ wáasnych sáupów stalowych w ksztaácie wydrąĪonego ĞciĊtego stoĪka. Acta Scientiarum Polonorum, Archi- tectura 9 (3), 3–15.

Jaworski J., Boniecka M., Nycz M., 2009a. Obliczanie pierwszej czĊstoĞci drgaĔ wáasnych sáupów stalowych o zmiennym przekroju poprzecznym. CzĊĞü I. Wyprowadzenie wzorów. Acta Scientiarum Polonorum, Architectura 8 (1–2), 3–20.

Jaworski J., Boniecka M., Nycz M., 2009b. Obliczanie pierwszej czĊstoĞci drgaĔ wáasnych sáupów stalowych o zmiennym przekroju poprzecznym. CzĊĞü II. Wyniki. Acta Scientiarum Po- lonorum, Architectura 8 (3–4), 21–31.

PN-77/B-02011 ObciąĪenia w obliczeniach statycznych. ObciąĪenia wiatrem.

Spiegel M.R., Abellanas L., 1991. Formulas y tablas de matematica aplicada. McGraw-Hill / Inte- ramericana, Madryt.

FIRST NATURAL FREQUENCY OF COLUMNS IN FORM OF TUBES SHAPED LIKE A CONE

Abstract. Formulas for calculations of the ¿ rst natural frequency of vibration for columns in a form of frustum of cone and tubes shaped like a cone are derived. Elastic material and continuous distribution of the column mass was assumed. Rayleigh’s method was used and the form of amplitude of cone axis during the vibration was supposed to be described by a trigonometric function. The application of derived formulas was presented using some examples and results obtained are compared with those given in other papers and calculated according to Polish standard PN-77/B-02011.

Key words: steel column, post, natural period, ¿ rst natural frequency

Zaakceptowano do druku – Accepted for print: 20.02. 2013