O PEWNEJ METODZIE OBLICZANIA PIERWSZEJ CZĉSTOĝCI DRGAē WàASNYCH SàUPÓW STALOWYCH W KSZTAàCIE WYDRĄĩONEGO ĝCIĉTEGO STOĩKA Jacek Jaworski

O PEWNEJ METODZIE OBLICZANIA PIERWSZEJ

CZSTOCI DRGA WASNYCH SUPÓW STALOWYCH W KSZTACIE WYDRONEGO CITEGO STOKA

Jacek Jaworski

Szkoa Gówna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie

Streszczenie. W pracy wyprowadzono wzory na pierwsz czsto drga wasnych (git- nych) stalowego supa w ksztacie wydronego citego stoka (rury stokowej) o zmien- nej gruboci cianki. Zastosowano pewien przybliony sposób wyznaczania okresu drga

wasnych supa lub innej konstrukcji typu wieowego. Uzyskane rozwizanie zawiera ca- ki, dla których nie jest znane rozwizanie ogólne, konieczne jest ich obliczenie numerycz- ne. Rozwizano take przypadek rury stokowej o staej gruboci cianki.

Sowa kluczowe: sup stalowy, okres drga wasnych, pierwsza czsto drga wasnych

WSTP¹

Obliczanie pierwszej czstoci drga wasnych (gitnych) konstrukcji wieowych (utwierdzonych w podstawie prtów wspornikowych: wie, supów, kominów) wynika najczciej z koniecznoci oszacowania podatnoci konstrukcji na oddziaywanie pory- wów wiatru. Powszechne zastosowanie w tych obliczeniach znalazy programy kompu- terowe, wykorzystujce metod elementów skoczonych, które umoliwiaj przeprowa- dzenie analizy modalnej i okrelenie czstoci drga wasnych konstrukcji. Inne sposoby postpowania dla rónie uksztatowanych konstrukcji wieowych podane s w normie PN-77/B-02011.

METODA OBLICZE

Jedna z przyblionych metod obliczania pierwszej czstoci drga wasnych kon- strukcji wieowych, podana na przykad w tablicy Z2-2 normy PN-77/B-02011, polega na podziale supa na pewn liczb mas skupionych, okreleniu ugicia supa na wysoko- Adres do korespondencji – Corresponding author: Jacek Jaworski, Szkoa Gówna Gospodarstwa Wiejskiego, Wydzia Inynierii i Ksztatowania rodowiska, Katedra Budownictwa i Geodezji, ul. Nowoursynowska 159, 02-776 Warszawa, e-mail: jacek_jaworski@sggw.pl

ci kadej z mas (pod dziaaniem jednostkowej siy poziomej przyoonej do wierzchoka supa) i obliczeniu okresu drga zgodnie z pierwsz form wzoru (1). Korzystajc z tego,

e dla supów (take niektórych wie, kominów) o regularnych ksztatach, wykonanych z materiaów sprystych o staej gstoci, moment bezwadnoci przekroju poprzeczne- go i ugicie mona wyrazi funkcjami cigymi, sumowanie moe by zastpione cako- waniem, jak podano w drugiej formie wzoru (1):

2 2

1 0

1 1

( ) ( )

2 2

z H i i i

f x M x dx M f

T f f

= π

¦

³

(1)

gdzie: T – okres drga,

M_i – wielko i-tej masy skupionej,

f_i – przemieszczenie supa na wysokoci i-tej masy pod dziaaniem siy P = 1, f₁ – przemieszczenie wierzchoka supa pod dziaaniem siy P = 1,

f(x)– przemieszczenie supa pod dziaaniem siy P = 1 na wysokoci okrelonej przez wspórzdn x,

H – wysoko supa.

Taka metoda postpowania dla supów o staym przekroju walcowym jest powszech- nie znana. Jej zalet jest brak niedokadnoci zwizanej z przyjciem skoczonej liczby mas skupionych, a ograniczeniem – moliwo obliczenia tylko pierwszej czstoci drga

wasnych (gitnych). Podstawow wad jest uproszczenie, polegajce na arbitralnym przyjciu ksztatu drga w postaci linii ugicia. Inne uproszczenia tej metody omówiono na przykad w pracach Awrejcewicza i Kryski [2000] oraz Bijaka-ochowskiego i innych [2006]. Obszerne porównanie wyników oblicze pierwszej czstoci drga wasnych su- pa o przekroju walcowym t i innymi metodami uproszczonymi znale mona w pracy Dylga i innych [2000].

Zastosowanie tego sposobu postpowania dla supów w ksztacie citego stoka (penego) doprowadzio do wyprowadzenia prostego wzoru na obliczenie okresu drga

[Jaworski i in. 2009a]. Uzyskane rozwizanie mona te atwo dostosowa do supów w ksztacie ostrosupów prawidowych, a take pewnego przypadku szczególnego su- pów wydronych, kiedy tworzce stoka zewntrznego i wewntrznego przecinaj si

na osi stoka w jednym punkcie. Porównanie wyników z innymi metodami [Jaworski i in.

2009b] pokazao, e otrzymano zblione wartoci okresów drga dla supów w ksztacie

citych stoków o maych i rednich zbienociach stoka i znacznie rónice si warto-

ci okresów drga dla supów o duych zbienociach stoka.

W niniejszej pracy zastosowano opisan metod postpowania do przypadku supa w ksztacie wydronego citego stoka (rury stokowej o zmiennej gruboci cianki).

Wyprowadzono wzory na okres drga takiego supa. Rozpatrzono te wany, z prak- tycznego punktu widzenia, przypadek supa w ksztacie citego stoka, wykonanego z blachy o staej gruboci, czyli rury stokowej o zmiennym przekroju i staej gruboci

cianki.

SUP W KSZTACIE RURY STOKOWEJ O ZMIENNEJ GRUBOCI

CIANKI

Przy wyprowadzeniu wzorów wykorzystujemy schemat budowy supa i oznaczenia przedstawione na rysunku 1. Przez n, m i D oznaczono odpowiednio stosunki rednic:

k p

n D

=D (2); ^k

p

m d

=d (3); ^p

p

d

α =D (4)

Rys. 1. Schemat do oblicze okresu drga wasnych dla rury stokowej o zmiennej gruboci

cianki: x – o wspórzdnych, H – wysoko, L, l – odlegoci wierzchoka supa od punktów przecicia tworzcych stoka zewntrznego i wewntrznego z osi supa, D_p, D_x, D_k, d_p, d_x, d_k – zewntrzne i wewntrzne rednice przy wierzchoku, dla wspórzdnej x i przy podstawie, P – sia poprzeczna, 1 – sia jednostkowa, k – odlego od wierzcho- ka do punktu przyoenia siy jednostkowej, f₁ – ugicie wierzchoka supa, f_k – ugicia supa na wysokoci okrelonej przez odlego k, dx – elementarna dugo, dM – ele- mentarna masa

Fig. 1. Scheme for calculations of natural period for tube shaped like a cone with variable wall thickness: x – coordinate axe, H – height, L, l – distances between the head of column and points of intersection of generating lines of external and internal cones with a cone axis, D_p, D_x, D_k, d_p, d_x, d_k – external and internal diameters at head, for coordinate x and at foot- ing, P – transverse force, 1 – unit force, k – distance between the head of column and the point of application of the unit force, f₁ – de ection at the head of column, f_k – de ection at the point de ned by a distance k, dx – in nitesimal length, dM – in nitesimal mass

gdzie: Dk – rednica zewntrzna rury przy podstawie supa, Dp – rednica zewntrzna rury przy wierzchoku supa, dk – rednica wewntrzna rury przy podstawie supa, dp – rednica wewntrzna rury przy wierzchoku supa.

Odlegoci L i l od wierzchoka supa do punktu przecicia tworzcych stoka zewntrz- nego i wewntrznego z osi stoka mog by okrelone w funkcji wysokoci supa (H):

;

1 1

p p

k p k p

D H d H

L H l H

D D n d d m (5)

zewntrzn za i wewntrzn rednic na wysokoci okrelonej przez wspórzdn

x mona wyrazi jako:

( ); ( )

p p

x x

D d

D x L d x l

L  l  (6)

Masa elementarna (masa plastra o gruboci dx usytuowanego na wysokoci okrelonej przez wspórzdn x) jest zalena od gstoci materiau(U) i mona j okreli wzorem:

2 2 2

2 2 2 2 2

2

( )

( 1) ( ) ( 1) ( )

4 4

x x Dp

D d

dM dx n x L m x l dx

H

π − π ª º

= ρ = ρ ¬ − + − α − + ¼ (7)

Wprowadzajc dla skrócenia zapisu dalszych wzorów oznaczenia:

a = n –1 (8); b = D(m – 1) (9); c = (n – 1)L (10); d = D(m – 1)l (11) mas elementarn moemy wyrazi jako:

2 2 2 2 2 2

2 ( ) 2( ) ( )

4 Dp

dM a b x ac bd x c d dx

H

π ª º

= ρ ¬ − + − + − ¼ (12)

Moment bezwadnoci przekroju poprzecznego supa mona okreli, jak nastpuje:

4 4 4

4 4 4 4 4

4

( )

( ) ( 1) ( ) ( 1) ( )

64 64

x x Dp

D d

J x n x L m x l

H

π − π ª º

= = ¬ − + − α − + ¼ (13)

Ugicie swobodnego (górnego) koca supa pod dziaaniem przyoonej poziomo do wierzchoka siy P = 1 obliczy mona metod Maxwella-Mohra jako:

2 4 2 4

1 4 4 4 2 4 4 4 2

0 0 0

64 64 ( )

( ) ( 1) ( ) ( 1) ( )

H H H

p p

x dx H x dx H

f K x dx

EJ x ED n x L m x l ED

= = =

π − + − α − + π

³ ³ ³

(14) Ugicia na jednostk siy w odlegoci k od wierzchoka supa (0  k  H) mo- na natomiast okreli, przykadajc si P = 1 do wierzchoka supa, a si jednostkow

w punkcie odlegym o k od wierzchoka (k jest tu traktowane jak wielko staa):

4

2 1

4

( ) 64

( ) ( )

( )

H H H

k

k p k k

x x k H

f dx K x dx k K x dx

EJ x ED

§ ·

− ¨ ¸

=

³

³

³

Okrelone poniej wyraenia K₁(x) i K₂(x) mona przeksztaci do innej, wygodniej- szej do cakowania postaci:

1 4 4 4 4 4 1

2

2 2 2 2 2

( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (2 2 ) ( )

K x x

a b x c d

n x L m x l

x

a b x c d a b x ac bd x c d

= = α +

− + −

− + − α − +

α β + γ

+ +

+ + + + + + + +

(16)

2 1

2 4 4 4 4 4 1

2 2

2 2 2 2 2

( ) ( )

( ) ( )

( 1) ( ) ( 1) ( )

( ) ( ) ( ) (2 2 ) ( )

x

K x x K x x

a b x c d

n x L m x l

x x x

a b x c d a b x ac bd x c d

D 

  

   D  

D E  J

 

       

(17)

gdzie a, b, c, d – jak we wzorach (8–11), a D1, D2, E, J oraz A, B, C, D okrelone zostay zalenociami (18) i (19):

1 2

2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2

;

;

D B

AB CD AB CD

a b a b c d c d

a b a b c d c d

α = − α =

− −

+ + + +

β = −α − α γ = −α − α

− + − +

(18)

2 2 2 2

2 2 2 2

( )(2 2 ) ( )( ) ( )( )

( )(2 2 ) ( )( ) ( )( )

a b c d

A a b ac bd a b c d a b a b

a b c d

a b c d

B c d ac bd c d c d a b c d

a b c d

+ +

= − + − − + − − +

+ +

+ +

= + + − − + − − +

− −

(19)

2 2 2 2

2 2 2

( )(2 2 ) ( )( ) ( )( )

( )(2 2 ) ( )( )

a b c d

C a b ac bd a b c d a b a b

a b c d

a b c

D c d ac bd c d c d

a b

+ +

= + + − + − − − +

− −

= − + − + − + −

+

2( )( )

d a b c d c d

+ + −

+

(19)

W powyszych wyraeniach mianowniki musz by róne od zera, co niesie ze sob

nastpujce ograniczenia:

n – 1  0, z czego wynika, e Dk  Dp, a wic powierzchnia zewntrzna supa nie moe by walcem, czyli przypadek walca nie jest przypadkiem szczególnym tego rozwizania,

m – 1  0, z czego wynika, e dk  dp, a wic powierzchnia wewntrzna nie moe by

walcowa,

a – b  0, co prowadzi do warunku, e gk  gp, a wic grubo cianki nie moe by

staa i dlatego przypadek supa w ksztacie rury stokowej z blachy o staej gruboci nie jest przypadkiem szczególnym tego rozwizania i jest analizowany oddzielnie, c – d  0, co prowadzi do warunku, e Dp  dp, a wic grubo cianki przy wierzcho- ku supa (gp) nie moe by równa zero.

Ponadto trzeba doda, e wzory zostay wyprowadzone dla supa, którego grubo

cianki i rednica zewntrzna przy podstawie s wiksze ni przy wierzchoku jak na rysunku 1.

Korzystajc z tablic wzorów matematycznych [Spiegel i Abellanas 1991], obliczono cak z K2(x) w granicach od 0 do H:

1 2

2 1 2

0

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

( ) ( )

( ) ln

( )

( ) ( )

( ) ln

( ) 2( ) ( )

2( ) ( ) ln

2 ( ) ( )

( ) ( )

H c d a b H c d

K x dx H

a b a b a b c d

c d a b H c d H

c d

a b a b

ac bd a b H ac bd H c d

a b a b c d

ac bd c d

a b ad bc

α α − − + −

§ ·

=¨© − + + ¸¹ − α − − +

+ + + + β

−α + +

+ + +

ª γ + º + + + + +

+« −β » +

+ + +

« »

¬ ¼

β + β +

+ −

+ −

³

2 2

2 2

1

( )

( )( )

( ) ( )

arctg arctg

ac bd a b ad bc

a b H ac bd ac bd

ad bc ad bc F

ª + γ + º×

« »

+ −

« »

¬ ¼

ª + + + + º

× ««¬ − − − »»¼=

(20)

Oznaczajc wynik cakowania przez F₁ (20), ugicie wierzchoka supa mona wy- razi jako:

4 4

1 4 2 4 1

0

64 64

( )

H

p p

H H

f K x dx F

ED ED

= =

π

³

1)

2) 3)

4)

Analogicznie, cakujc K1(x) i K2(x) w granicach od k do H, otrzymamy wyraenia podane we wzorach (22) i (23):

1 2

1

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ln ln

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 2( ) ( )

ln (22)

2( ) ( ) 2( ) ( )

H

k

a b H c d a b H c d

K x dx

a b a b k c d a b a b k c d a b H ac bd H c d

a b a b k ac bd k c d

α − + − α + + +

= + +

− − + − + + + +

β + + + + +

+ +

+ + + + + +

³

2 2 2 2

2 2

(ac bd) 1 arctg(a b )H (ac bd) arctg(a b )k (ac bd)

ad bc ad bc ad bc

a b

ª º

β + + + + + + +

§ ·

+ γ −¨© + ¸¹ − ««¬ − − − »»¼

( )

1 2 1

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )

( ) ln

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

ln ( ) ( )

( )

( ) ln( ) 2( ) ( )

2( ) ( ) ( ) 2

H

k

c d a b H c d

K x dx H k

a b a b a b a b k c d

c d a b H c d H k

a b k c d

a b a b

ac bd a b H ac bd H c d

a b a b a b k

α α α − − + +

§ ·

=¨© − − + ¸¹ − − − − + − +

α + + + + β −

− + +

+ + +

+ +

ª γ β + º + + + + +

+« − »

+ + + +

« »

¬ ¼

³

2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

( ) ( )

2 ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

arctg arctg

ac bd k c d

ac bd c d ac bd

a b ad bc a b ad bc

a b H ac bd a b k ac bd

ad bc ad bc

+ + + +

§ β + β + + γ + ·

+¨¨© + − − + − ¸¸¹×

ª + + + + + + º

׫ − »

− −

« »

¬ ¼

(23)

Jeli teraz do wzoru (15) wstawimy wyniki cakowania (22) i (23) oraz gdy stay pa- rametr k zostanie zastpiony przez zmienn x, to wyraenie na ugicie supa na dowolnej wysokoci moe zosta zapisane w nastpujcej postaci:

4 4 2

( ) 64 ( )

p

f x H F x

= ED

π (24)

gdzie F2(x) oznacza wyraenie:

( )

1 2

2 1 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

( ) ( )

( ) ln

( ) ( )

( )

( ) ( )

ln ( ) ( )

( )

( ) ln( ) 2( )

2( ) ( )

c d x a b H c d

F x H x

a b a b a b a b a b x c d

c d x a b H c d H x

a b a b x c d

a b a b

x ac bd a b H ac bd H

a b a b

ª º

α α − − + −

ª º

=«¬ − − + »¼ − − α ««¬ − + − »»¼ − + − +

ª + º + + + −

−α ««¬ + + + »»¼ + + + + β + +

ª γ −β β + º + + + +

+« − »

+ +

« »

¬ ¼

2 2

2 2 2 2 2

( )

( ) 2( ) ( )

c d a b x ac bd x c d

+ +

+ + + + +

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

arctg arctg

ac bd x ac bd c d x

ad bc

a b ad bc a b ad bc

a b H ac bd a b x ac bd

ad bc ad bc

ª β + β − γ + −β + γ º

+« + − »×

+ − + − −

« »

¬ ¼

ª + + + + + + º

׫«¬ − − − »»¼

(25)

Druga forma wzoru (1) na okres drga supa w ksztacie rury stokowej przyjmuje wic posta:

2 2 2 2 2 2 2

2 2 1 0

2 16 ( ) ( ) 2( ) ( )

H

p

T H F x a b x ac bd x c d dx

ED F

ρ ª º

= π

³

Nie jest znane rozwizanie ogólne caki wystpujcej pod pierwiastkiem we wzorze (26). Wynikajce std konsekwencje zostan omówione dokadniej w dalszym rozdziale tej pracy.

SUP W KSZTACIE RURY STOKOWEJ O STAEJ GRUBOCI CIANKI Rozwizanie jest analogiczne do przedstawionego w poprzednim rozdziale przypad- ku ogólnego – schemat budowy supa i podstawowe oznaczenia zamieszczono na ry- sunku 2. Przez t oznaczono rzut poziomy gruboci cianki (g), a zwizek midzy tymi wielkociami jest nastpujcy:

2 2

4 ( )

2

k p

H D D

t g

H

+ −

= (27)

Po oznaczeniu stosunku rednic przez n, jak we wzorze (2), odlego L moe by wy- raona jak we wzorze (5). rednice – zewntrzn i wewntrzn, na wysokoci okrelonej przez wspórzdn x mona wyrazi jako:

k p p

x p p

D D D

D x D x D

H L

= − + = + (28); d_x =D_x−2t (29)

Mas elementarn na wysokoci okrelonej przez wspórzdn x okrelono równa- niem:

2 2 ( )

4

p

x x p

dM D d dx t D x D t dx

L

ª º

π ª º

= ρ ¬ − ¼ = ρ𠫬 + − »¼ (30)

a wyraenie na moment bezwadnoci moe zosta przeksztacone do rónych postaci, na przykad:

4 4

2

2 2 2

( ) ( ) ( )

64 8

2 ( ) ( 2 2 )

k p

x x p

k p k p

p p p

D D

J x D d t x D t

H

D D D D

x D t x D D t t

H H

ª − º

π π

= − = « + − »×

¬ ¼

ª§ − · − º

« »

× «¬¨¨© ¸¸¹ + − + − + »¼

(31) Rys. 2. Schemat do oblicze okresu drga wasnych dla rury stokowej o staej gruboci cianki:

x – o wspórzdnych, H – wysoko, L, l – odlegoci wierzchoka supa od punktów przecicia tworzcych stoka zewntrznego i wewntrznego z osi supa, D_p, D_x, D_k, d_p, d_x, d_k – zewntrzne i wewntrzne rednice przy wierzchoku, dla wspórzdnej x i przy podstawie, P – sia poprzeczna, 1 – sia jednostkowa, k – odlego od wierzchoka do punktu przyoenia siy jednostkowej, f₁ – ugicie wierzchoka supa, f_k – ugicia supa na wysokoci okrelonej przez odlego k, dx – elementarna dugo, dM – elementarna masa, g – grubo cianki, t – rzut poziomy gruboci cianki

Fig. 2. Scheme for calculations of natural period for tube shaped like a cone with constant wall thickness: x – coordinate axe, H – height, L, l – distances between the head of column and points of intersection of generating lines of external and internal cones with a cone axis, D_p, D_x, D_k, d_p, d_x, d_k – external and internal diameters at head, for coordinate x and at footing, P – transverse force, 1 – unit force, k – distance between the head of column and the point of application of the unit force, f₁ – de ection at the head of column, f_k – de-  ection at the point de ned by a distance k, dx – in nitesimal length, dM – in nitesimal mass, g – thickness of wall, t – horizontal projection of wall thickness

Ugicie swobodnego (górnego) koca supa pod dziaaniem przyoonej poziomo do wierzchoka siy P = 1 okrelono metod Maxwella-Mohra:

2

1 3

0 0

8 ( )

H H

x

f x dx K x dx

EJ Et

= =

³

³

a wystpujca we wzorze (32) funkcja K3(x) moe by, jak pokazano niej, przeksztaco- na do wygodniejszej do cakowania postaci:

2

3 2

2 2 2

2 2

2

2 2

2 2 2

( )

( ) 2 ( ) ( 2 2 )

( 2 ) ( )( 2 2 )

( )

1

( ) 2 ( ) ( 2

k p k p k p

p p p p

k p

p p p p p

p

k p

k p p k p k p p p p

K x x

D D D D D D

x D t x D t x D D t t

H H H

D D

D D t x D t D D t t

D t H

D D

D HD t H x D t D HD x D HD D t x D D t

= =

ª º

− − −

ª + − º §«¨ ·¸ + − + − + »

« » « »

¬ ¼ ©¬ ¹ ¼

− − + − − +

=¨§ − ·¸ − −+ − −§¨ − ·¸ + − − + − +

© ¹ © ¹

2 )t2

ª º

« »

« »

« »

« »

« »

« »

¬ ¼

(33) Wykonujc cakowania analogicznie do przedstawionych w poprzednim rozdziale, wynik obliczenia moemy zapisa jako:

3

1 3 3 2 3

0

8 8

( ) ( )

H

k p

f K x dx H F

Et Et D D t

= =

π

³

gdzie F3 jest nastpujcym wyraeniem:

2 2

3 2 2 2

( )

( ) ln ( 2 ) ln

2 ( )

2 ( ) arctg 1 arctg 1

k p k

p p

p p

k p p

D t D D t t

F D t D t

D t D t t

D D t D t

t t

− − +

= − − − +

− − +

ª § · § ·º

− − ¬«« ©¨ − −¹¸ ©¨¨ − ¸¸¹»»¼

(35)

Ugicie od siy jednostkowej w odlegoci k od wierzchoka supa mona zapisa

jako:

4

( ) 8

( )

H H

k

k x k

x x k

f dx K x dx

EJ Et

= − =

³

³

gdzie K4(x) jest okrelone wzorem:

4 2

2 2 2

( )

( )

( ) 2 ( ) ( 2 2 )

k p k p k p

p p p p

x x k

K x

D D D D D D

x D t x D t x D D t t

H H H

= −

ª º

− − −

ª + − º §«¨ ·¸ + − + − + »

« » « »

¬ ¼ ©¬ ¹ ¼

(37) Analogicznie do przypadku opisanego w poprzednim rozdziale mamy do obliczenia dwie caki. Po wstawieniu w wyniku cakowania x w miejsce k otrzymamy wyraenie na ugicie supa na wysokoci okrelonej przez wspórzdn x w postaci:

2 2 2 4

( ) 8 ( )

( _{k p})

f x H F x

Et D D t

=π − (38)

gdzie:

2 4

2 2

2 2 2 2

2

( )

( ) ( ) ln

( )

( 2 ) ( )

2( ) 2 ln( ) 2( )( )

2 2

(

2( ) arctg 1 arctg

p k

p k p

k p

p

p p p k

k p k p k p p

p p

k p k k

p

k p

D t D t

F x H D t x

D D

D D

x D t

H

HD D t D t D t t

D D x D D D D D t

x x D D t t

H H

D D D D

Ht D t x

D D H t

ª − º −

« »

=«¬ − + − »¼ − + − +

ª − − º − +

−««¬ − + ¼»» − + − − + − + +

− −

ª º § ·

− − «¬ − + »¼ ¨© − −¸¹

) ( )

p p

D x D t

H t

ª § + − ·º

« ¨ ¸»

« ¨ ¸»

« ¨¨ ¸¸»

« © ¹»

¬ ¼

(39) Wstawiajc wyprowadzone zalenoci do wzoru na okres drga, otrzymamy dla supa o staej gruboci cianki nastpujce wyraenie:

2 0 2

2 4

1 3 0

( ) ( )

2 2 8 ( ) ( )

( )

H

H k p

p

k p

f x M x dx

D D

T H F x x D t dx

f E D D t F H

ª − º

= π = π ρ « + − »

− ¬ ¼

³ ³

(40) Podobnie jak w przypadku caki ze wzoru (26), take dla caki wystpujcej pod pier- wiastkiem we wzorze (40) nie jest znane rozwizanie ogólne.

OCENA PRAKTYCZNEJ PRZYDATNOCI WYPROWADZONYCH WZORÓW We wzorach (26) i (40) na okres drga wystpuj wyraenia F₁ i F₃. Ich wartoci wynikaj z sumowania poszczególnych skadników podanych we wzorach (20) i (35), jedne z nich maj znak dodatni, a inne ujemny. Obliczenia te trzeba wykonywa z du

dokadnoci, gdy wynik sumowania jest liczb okoo 10⁵ razy mniejsz od wyrazów, które dodajemy. Zachowanie wymaganej dokadnoci oblicze nie stanowi tu jednak istotnej trudnoci.

Rozkadajc na elementarne skadniki wyraenia pod znakami cakowania we wzo- rach (26) i (40), otrzymamy szereg caek, midzy innymi z wyrae typu:

1

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 2 1 1 1 1 1

1 2 1 1 1 1

ln ( ); ln ( ); arct ( );

ln( ) ln( ); ln( )arctg( );

ln( )arctg( )

p p p

p p

p

x a x b x a x b x c x g a x b x a x b a x b x c x a x b a x b x a x b x c a x b

+ + + +

+ + + + +

+ + +

gdzie p jest liczb cakowit z przedziau od 0 do 3, a₁, b₁ c₁ za mog by dowolnymi staymi. Obliczenie caek z wyrae typu:

3 2 3 2 2 3 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

3 2

1 1

ln ( ); ln ( ); ln( ) ln( );

arctg ( )

x a x b x a x b x c x a x b a x b x c

x a x b

+ + + + + +

+

i z wyrae, w których x przed logarytmem lub arkustangensem wystpuje w niszych potgach, nie nastrcza trudnoci. Problem stanowi natomiast obliczenie caek z wyrae

typu:

1 1 1 1

ln( )arctg( )

xp a x b a x b dla p = 2, 3 oraz

1 2 1 1 1 1

ln( )arctg( )

xp a x +b x c+ a x b+ dla p = 0, 1, 2, 3

Nie s znane rozwizania ogólne tych caek, wartoci caek oznaczonych musz by

obliczone przy uyciu metod numerycznych.

Trzeba tu te zauway, e budowa okrelonych wzorami (25) i (39) wyrae F2(x) i F4(x) jest taka, e caki z ich poszczególnych skadników s takimi liczbami, e wynik ich sumowania jest liczb okoo 10⁵ razy mniejsz od wyrazów, które dodajemy (po- dobnie jak to miao miejsce dla wyrae F1 i F3). Aby uzyska wiarygodne wyniki, wy- magana jest wic bardzo dua dokadno oblicze (co najmniej sze pierwszych cyfr znaczcych pewnych). Zachowanie takiej dokadnoci stanowi istotn trudno, take przy uyciu nowoczesnych programów obliczeniowych.

Przykady oblicze wykonanych przez autora wskazuj, e tylko w niektórych przy- padkach uzyskano realne wartoci okresu drga, w innych dokadno oblicze wykona- nych w programie komputerowym okazaa si za maa.

WNIOSKI

Przeprowadzone rozwaania pozwalaj na sformuowanie nastpujcych wniosków:

1. Stosujc przyjt metod postpowania, uzyskano wzory na obliczenie zwizanego z pierwsz czstoci drga wasnych okresu drga supa w ksztacie wydronego sto- ka, czyli rury stokowej o zmiennej (a take o staej) gruboci cianki.

2. Wyprowadzone wzory na okres drga zawieraj caki, dla których nie jest znane rozwizanie ogólne. Nie ma wic moliwoci uproszczenia tych wzorów do wygodnej dla praktycznych oblicze inynierskich postaci, jak to ma miejsce w przypadku supów w ksztacie citego stoka penego [Jaworski i in. 2009a].

3. Przy liczeniu okresu drga wymagana jest bardzo dua dokadno obliczenia war- toci caek z poszczególnych wyrae, gdy dodawane s takie wielkoci, e ich suma jest liczb okoo 10⁵ razy mniejsz od poszczególnych skadników.

4. Ze wzgldu na konieczn, trudn do uzyskania przy zastosowaniu komercyjnych programów du dokadno obliczenia wartoci caek trzeba uzna, e stosowanie wy- prowadzonych w pracy wzorów nie jest wygodn metod dla inynierskich oblicze

pierwszej czstoci drga supów w ksztacie wydronego citego stoka.

PIMIENNICTWO

Awrejcewicz J., Krysko W., 2000. Drgania ukadów cigych. WNT, Warszawa.

Bijak-ochowski M., Jaworski A., Krzesiski G., Zagrajek T., 2006. Mechanika materiaów i kon- strukcji. T. 1. O cyna Wydawnicza PW, Warszawa.

Dylg Z., Jakubowicz A., Oro Z., 2000. Wytrzymao materiaów. T. 2. WNT, Warszawa.

Jaworski J., Boniecka M., Nycz M., 2009a. Obliczanie pierwszej czstoci drga wasnych supów stalowych o zmiennym przekroju poprzecznym. Cz I. Wyprowadzenie wzorów. Acta Scientiarum Polonorum, Architectura 8 (1–2), 3–20.

Jaworski J., Boniecka M., Nycz M., 2009b. Obliczanie pierwszej czstoci drga wasnych supów stalowych o zmiennym przekroju poprzecznym. Cz II. Wyniki. Acta Scientiarum Po- lonorum, Architectura 8 (3–4), 21–31.

PN-77/B-02011 Obcienia w obliczeniach statycznych. Obcienia wiatrem.

Spiegel M.R., Abellanas L., 1991. Formulas y tablas de matematica aplicada. McGraw-Hill / Inte- ramericana, Madryt.

ON SOME METHOD FOR THE CALCULATION OF FIRST NATURAL FREQUENCY OF STEEL COLUMNS IN FORM OF TUBES SHAPED LIKE A CONE

Abstract. Formulas for calculations of the rst natural frequency (of transverse vibrations) for tube columns shaped like a cone with variable wall thickness are derived. Some appro- ximated method for calculations of the natural period for columns and towers is employed.

The general solution for some integrals involved in the obtained formulas is unknown and thus numerical calculations are necessary. The case of a tube shaped like a cone with con- stant wall thickness was also resolved.

Keywords: steel column, post, natural period, rst natural frequency

Zaakceptowano do druku – Accepted for print: 10.10.2010