Teoria - równania równowagi

(1)

MES dla ustrojów prętowych (statyka)

Jerzy Pamin

e-mail: Jerzy.Pamin@pk.edu.pl

Piotr Pluciński

e-mail: Piotr.Plucinski@pk.edu.pl

Katedra Technologii Informatycznych w Inżynierii Wydział Inżynierii Lądowej Politechniki Krakowskiej

Strona domowa: www.CCE.pk.edu.pl

Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic

Teoria - równania równowagi

Zasada prac wirtualnych

δW_int = δW_ext ∀δu Podział na elementy skończone

δW_int = X

e

δW_int^e , δW_ext = X

e

δW_ext^e

Równoważna warunkowi minimum całkowitej energii potencjalnej w przestrzeni przemieszczeń dopuszczalnych.

l^e

x^e, u 1

2

u^e₁

u^e₂

lê xê yê, v

1 2

v^e₁ ϕ^e₁

v₂^e ϕ^e₂

lê xê, u yê, v

1

2

uê₁ vê₁ ϕê₁

uê₂ v₂ê ϕê₂

kratowy ES belkowy ES ramowy ES

Związki elementowe zapisane w lokalnym (elementowym) układzie

(2)

Dyskretyzacja

3

1

2

100kN

10kN/m 50kNm

20kN/m

4 2

3

1

x y

x¹

x²

x³

d6

d₄

d1

d₃

d7

d₂

d₅

d8

d9

d₁₂ d₁₁

d10

Topologia (relacje przylegania)

TOP =

" ₁ ₂ 2 3 3 4

# _{e = 1} e = 2 e = 3

Dane:

Współrzędne węzłów Sztywności prętów EA i EI Warunki brzegowe

Obciążenia Dyskretyzacja:

LW=4, LE=3, LSSW=3, LSSU=LW*LSSW=12 Wektor stopni swobody:

d^e=







dê₁ dê₂ dê₃ dê₄ dê₅ dê₆







, d =







d₁ d2

d₃ d4

d₅ d6

d₇ d8

d₉ d10

d₁₁ d12







Warunki brzegowe:

d₁= d₂= d₃= d₁₀ = d₁₁ = 0

Teoria - równania równowagi

Zmienne dla konstrukcji ramowych

u =

u v

- wektor przemieszczenia (niewiadoma podstawowa)

e =

₀ κ

- wektor uogólnionych odkształceń (e = Lu) s =

N M

- wektor uogólnionych naprężeń (s = De)

p =

p_x p_y

- wektor intensywności obciążenia ciągłego

Aproksymacja Galerkina w elemencie

u(xê) = N(xê)dê, δu = N(xê)δdê

dê - stopnie swobody (s.s.), tj. przemieszczenia wezłowe e(xê) = B(xê)dê, B = LN , δe = B(xê)δdê

s(xê) = D e(xê) = DB(xê)dê

(3)

Teoria - równania równowagi

Zasada prac wirtualnych

δW_int^e = Z l^e

0

δe^Ts dx^e

δW_ext^e = Z l^e

0

δu^Tp dxê+ δdêTfê

f^e - wektor sił przywęzłowych (siły, którymi elementy sąsiednie działają na dany element przez wspólne węzły)

lê xê yê

f₁^e

f₂^e f₃^e

f₄^e f₅^e

f₆^e p_y px

f^e =





 f₁ê f₂ê f₃ê f₄ê f₅ê f₆ê







=







−N1

Q1

−M1

N2

−Q2

M2







Teoria - równania równowagi

Podstawiamy aproksymację

δW_intê = δdêT Z lê

0

B^TDB dxê dê = δdêTKêdê Kê - elementowa macierz sztywności

δW_extê = δdêT Z lê

0

N^Tp dxê + δdêTfê = δdêT(zê + fê)

z^e - węzłowe siły zastępujące obciążenie (ciągłe) przyłożone do wnętrza elementu

Żądamy, aby δW_intê = δW_extê ∀δdê

Elementowe równanie równowagi

Kêdê = zê + fê

(4)

Opis elementu belkowego

Reprezentacja zginania

Definicje przemieszczenia, uogólnionego odkształcenia i uogólnionego naprężenia

u(x) = [v(x)], e(x) = [κ(x)], s(x) = [M (x)]

Równania kinematyczne i konstytutywne w punkcie P (x, y, z) = P (x, 0, 0) = P (x) na osi belki

κ(x)=−d²v(x)

dx² → e = Lu, L =

− d² dx²

M (x)=EI(x) κ(x) → s = De, D =

EI(x)

Opis elementu belkowego

Aproksymacja ugięcia

lê xê yê, v

1 2

v₁^e ϕ^e₁

v^e₂ ϕ^e₂

N DOF_n = 2, N DOF^e = 4 d_w

[2×1]

= {v_w, ϕ_w} d^e

[4×1]= {v₁ê, ϕê₁, v₂ê, ϕê₂} u(xê)

[1×1]

= [v(x^e)] = N(x^e)

[1×4]

d^e

[4×1] , N = [N₁ê N₂ê N₃ê N₄ê]

0 l^e

1

xê N₁ê(xê) = 1 − 3 ^x_leê

²

+ 2 ^x_le^e

³

0 l^e

1

xê N₃ê(xê) = 3 ^x_leê

²

− 2 ^x_le^e

³

0 l^e x^e

N₂ê(xê) = xê

1 − ^x_le^e

²

0 l^e x^e

N₄ê(xê) = xê

h x^e l^e

²

− ^x_l_e^ei

(5)

Opis elementu belkowego

Aproksymacja krzywizny i momentu zginającego, macierz sztywności

e(x^e)

[1×1]

= [κ(xê)] = LN(xê) · qê = B(xê)

[1×4]

· d^e

[4×1]

s(x^e)

[1×1]

= [M (x^e)] = D

[1×1]

· B(x^e)

[1×4]

· d^e

[4×1]

K^e

[4×4]

=

l^e

Z

0

B^TDB dx^e

Kê = EêIê lê3







12 6lê −12 6lê 6lê 4lê2 −6lê 2lê2

−12 −6lê 12 −6lê 6lê 2lê2 −6lê 4lê2







Opis elementu belkowego

Obliczenie węzłowych sił zastępujących stałe obciążenie rozłożone

lê xê yê

z₁^e

z₂^e z₃^e

z₄^e p_y

p_yl^e 2 p_yl^e2

12

p_yl^e 2

p_yl^e2 12

z^e =

l^e

Z

0

N^T

p_y dx^e

z^e =







p_yl^e p_y2l^e2

p12_yl^e 2

−p_yl^e2 12







(6)

Równowaga globalna

Transformacja T

^e

: globalny → lokalny

Macierze określone w lokalnym (elementowym) układzie współrzędnych będą oznaczane nadkreśleniem.

d¯ê = Têdê, zê = TêT¯zê, Kê = TêTK¯êTê Równania równowagi elementu w lokalnych współrzędnych

¯fê = ¯Kêd¯ê − ¯zê

Równania równowagi elementu w globalnych współrzędnych fê = Kêdê − zê

Agregacja

K =X

e

K^e, d = X

e

d^e, z = X

e

z^e, f = X

e

f^e

f = K d − z = w + r

w - wektor zewnętrznych sił skupionych przyłożonych w węzłach r - wektor reakcji podpór

Algorytm obliczeń

3

1

2

100kN

10kN/m 50kNm

20kN/m

4 2

3

1

x y

x¹

x²

x³

d₆ d₄

r3

d₇

d5

d₈

d9

r₁₁ r₂

r1 d₁₂ r10

Równowaga układu

K d = w + z + r

Wektory globalne:

d =







d₁ d2

d₃ d₄ d₅ d₆ d₇ d₈ d₉ d₁₀ d₁₁ d₁₂







, r =







r₁ r2

r₃ r₄ r₅ r₆ r₇ r₈ r₉ r₁₀ r₁₁ r₁₂







Warunki brzegowe:

d₁= d₂= d₃= d₁₀ = d₁₁ = 0 Zatem:

r₄= r₅= r₆= r₇= r₈= r₉= r₁₂ = 0 Równowaga elementu

¯fê= ¯Kêd¯ê− ¯zê

(7)

Algorytm obliczeń MES dla konstrukcji prętowej

Równowaga zdyskretyzowanego układu (węzłów) K d = w + z + r

plus podstawowe (kinematyczne) warunki brzegowe

Statyka

1. Podział na elementy (określenie numerów, osi, topologii), przygotowanie pliku z danymi

2. Obliczenie macierzy elementowych ¯K^e, K^e, agregacja macierzy globalnej K

3. Obliczenie wektorów elementowych ¯z^e, z^e, agregacja wektora globalnego z, określenie wektora sił zewnętrznych przyłożonych w węzłach w

4. Rozwiązanie układu równań Kd = w + z + r z uwzględnieniem kinematycznych warunków brzegowych, tzn. obliczenie

niewiadomych przemieszczeń węzłowych d i reakcji r

Algorytm obliczeń MES dla konstrukcji prętowej

Statyka (c.d.)

Podział macierzy na bloki

K₁₁ K₁₂ K₂₁ K₂₂

d₁ d₂

=

w₁+ z₁ w₂+ z₂

+

r₁ r₂

Zadane przemieszczenia d₂ = ˆd, zatem r₁ = 0 K₁₁d₁ = w₁+ z₁− K₁₂d → dˆ ₁ → d r = Kd − z − w

5. Obliczenie sił przywęzłowych w elementach d → dê → ¯dê → ¯fê = ¯Kêd¯ê − ¯zê lub d → dê → fê = Kêdê− zê → ¯fê

6. Narysowanie wykresów sił przekrojowych, sprawdzenie równowagi