Matematyka Dyskretna Lista zada« 1
M. Michalski, 24.02.2021
1. Zamie« liczby na posta¢ dziesi¦tn¡: 5 12, 1
9, 35 11, 7
32, 33 20.
2. Zamie« liczby na posta¢ wymiern¡: 3.52, 0.(75), 1.(1), 0.234(56), 0.3267(123), 0.77(9).
3. Przedstaw liczby z zad. 1 i 2 w postaci: binarnej, trójkowej, szóstkowej, szesnastkowej.
4. Poka», »e liczba √
2 nie jest wymierna.
5. Udowodnij, »e liczba jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy jej rozwini¦cie pozycyjne w dowolnej podstawie jest od pewnego miejsca okresowe.
6. Poka», »e dla dowolnej liczby naturalnej n zachodz¡ nast¦puj¡ce relacje podzielno±ci:
a) 6 | 10n− 4 , b) 133 | 11n+1+ 122n−1 c) 43 | 6n+ 72n+3 d) 3
n(n2+ 5)
2 .
7. Udowodnij, »e istnieje liczba postaci 11. . . 1, która dzieli si¦ przez 197.
8. Algorytmem Euklidesa wyznacz: NWP(18, 84), NWP(546, 308), NWP(231, 95), NWP(256, 42).
9. Zastosuj rozszerzony algorytm Euklidesa w zad. 8 do wyznaczenia staªych x i y w to»samo±ci Bezout mx + ny = NWP(m, n)
10. Zaimplementuj algorytm Eukidesa w wersji podstawowej i rozszerzonej w dowolnym j¦zyku programowania.
11. Rozªó» nast¦puj¡ce liczby na czynniki pierwsze: 24, 32, 105, 252, 1073, 6325, 75600.
12. Rozªó» liczb¦ 100! na czynniki pierwsze.
13. Iloma zerami zako«czona jest liczba 1000! ?
14. Wyznacz wzór na najwy»sz¡ pot¦g¦ k liczby pierwszej p, która dzieli liczb¦ n! .
15. Zbuduj tabliczki dodawania i mno»enia modularnego w Zn dla n od 2 do 9. Opisz jakie ró»nice zachodz¡
mi¦dzy tabelkami dla n pierwszych i zªo»onych.
16. Korzystaj¡c z utworzonych tabelek wyznacz wszystkie rozwi¡zania nast¦puj¡cych kongruencji liniowych:
(a) 5x = 2 (mod 7) (b) 4x = 2 (mod 7) (c) 4x = 3 (mod 7) (d) 5x + 2 = 3 (mod 7)
(e) 5x = 2 (mod 6) (f) 4x = 2 (mod 6) (g) 4x = 3 (mod 6) (h) 3x + 2 = 5 (mod 6)
(i) 5x + 1 = 4 (mod 8) (j) 6x + 4 = 0 (mod 8) (k) 6x + 8 = 5 (mod 9) (l) 3x + 5 = 7 (mod 9)
17. Znajd¹ wszystkie rozwi¡zania nast¦puj¡cych kongruencji:
(a) 9x + 6 = 0 (mod 18) (b) 4x + 5 = 1 (mod 15) (c) 6x = 10 (mod 15)
(d) 6x = 9 (mod 15) (e) 20x + 2 = 10 (mod 36) (f) 14x + 2 = 9 (mod 21)
(g) 24x = 40 (mod 64) (h) 15x + 72 = 3 (mod 111)
(i) 75x = 48 (mod 90)
