Analiza I, ISIM Lista zada« nr 2 1. Poka», »e
x + y = max{x, y} + min{x, y}.
2. Dla dowolnych x, y ∈ R udowodnij [x + y]≥ [x] + [y],
[x 2 ]
≤ [x]
2 , [−x] ≤ −[x].
3. Poka», »e m(x) = m(y) wtedy i tylko wtedy, gdy x − y ∈ Z.
4. Przy pomocy indukcji wyka»:
a)
∑n k=1
k = n(n + 1)
2 , b)
∑n k=1
k2 = n(n + 1)(2n + 1)
6 ,
c) 30|(n5− n) d)
∑n k=1
k3= (1 + 2 +· · · + n)2
5. Poka», »e |x| + |y| = max{|x + y|, |x − y|}.
6. Udowodnij nierówno±¢ trójkata: |x + y| ≤ |x| + |y|, a nast¦pnie poka» ||x| − |y|| ≤ |x − y|.
7. Poka», »e m(nx) = m(nm(x)).
8. Niech ξ b¦dzie liczba niewymiern¡. Poka», »e ci¡g an= m(nξ) jest ró»nowarto±ciowy.
9. Poka», »e dla ka»dego n ∈ N liczba a) 34n+2+ 1jest podzielna przez 10;
b) 4n+ 15n− 1 jest podzielna przez 9;
c) n7− n jest podzielna przez 7.
10. Wyka», »e dla n ≥ 2 oraz a1, . . . , an, dowolnego ci¡gu liczb dodatnich, zachodzi nierówno±¢
(1 + a1)(1 + a2)· . . . · (1 + an) > 1 + a1+· · · + an. 11. Udowodnij nierówno±¢
1 + 1
√2+ 1
√3 +· · · + 1
√n >√ n.
Nast¦pnie wyka», »e lewa strona jest wi¦ksza ni» 2(√
n + 1− 1).
12. Dane s¡ liczby a0, a1, .., aN takie, »e a0 = 1 i an+1 = 2an+ 1. Wyra¹ an jawnym wzorem.
Wskazówka. Poka» przez indukcj¦ an+1= an+ 2n+1. 13. Udowodnij wzór
(a + b)n=
∑n k=0
(n k )
akbn−k.
14. Poka» wzory
∑n k=0
(n k )
= 2n,
∑n k=0
(−1)k (n
k )
= 0.
15. Zbadaj kiedy zachodzi równo±¢ w nierówno±ci pomi¦dzy ±redni¡ arytmetyczn¡, a geome- tryczn¡.
16. Poka» nierówno±¢
n! <
(n + 1 2
)n
. Wskazówka. U»yj nierówno±ci
(k + 1 k
)k
= (
1 + 1 k
)k
≥ 2.
17. Udowodnij przez indukcj¦ nierówno±¢
(1 + x)n≥ 1 + nx + (n − 1)x2 dla x > −1 i n ∈ N i porównaj j¡ z nierówno±ci¡ Bernoulliego.
18. Korzystaj¡c z nierówno±ci Bernoulliego, poka» tzw. odwrotn¡ nierówno±¢ Bernoulliego (1 + x)β < 1 + βx, 0 < β < 1, x >−1.
19. Korzystaj¡c z odwrotnej nierówno±ci Bernoulliego, poka» »e
√n
a− 1 < a− 1
n , a > 1.
20. Niech b¦dzie dana liczba rzeczywista α > 1. Wyka», »e dla dowolnego y > 0 (1 + y)α> 1 + yα.
21. Uzasadnij, »e dla ka»dego n ∈ N,
∑n k=1
1 k2 < 2.
Popraw ten wynik, aby zast¡pi¢ 2 przez 7/4. Wskazówka: k12 < (k−1)k1
22∗. Poka», »e dla dowolnej liczby a ≥ 0 oraz ka»dego n ∈ N istnieje jedyna liczba b ≥ 0 taka,
»e bn= a.
23∗. redni¡ harmoniczn¡ liczb dodatnich a1, .., an nazywamy liczb¦ H = 1 n
a1+a21 +..+an1 . Udo- wodnij, »e ±rednia harmoniczna jest niewi¦ksza od ±redniej geometrycznej.
24∗.Dla a, b > 0, udowodnij nierówno±¢ a6+b4 9 ≥ 3a2b3− 16
25∗.Wyka», »e dla ka»dego n ≥ 6 kwadrat ( gur¦ geometryczn¡) mo»na podzieli¢ na n kwadra- tów.
26∗.Na pªaszczy¹nie poprowadzono n prostych, z których »adne dwie nie s¡ równolegªe i »adne trzy nie przechodz¡ przez ten sam punkt. Wyznacz liczb¦ cz¦±ci, na które te n prostych dzieli pªaszczyzn¦.
27∗.Poª¡czono n punktów strzaªkami w taki sposób, »e ka»da para ró»nych punktów jest poª¡- czona strzaªk¡. Udowodnij, »e istnieje 'centrum', czyli punkt, z którego mo»na doj±¢ do ka»dego innego w co najwy»ej dwóch krokach, id¡c zgodnie z kierunkiem strzaªek.
