Analiza matematyczna 1 lista zada« nr 6 szeregi liczbowe

Analiza matematyczna 1

lista zada« nr 6 szeregi liczbowe Rozgrzewka

1. Rozstrzygnij zbie»no±¢ szeregów:

X

n

n

n²+ 1, X

n

1

2ⁿ− 1, X

n

(−1)ⁿ 2n + (−1)ⁿ. 2. Rozstrzygnij zbie»no±¢ szeregów:

X

n

n²

2ⁿ, X

n

2ⁿ n! .

3. Udowodnij, »e je±li szereg P_nan jest zbie»ny, to szereg P_n^a₂ⁿⁿ te» jest zbie»ny.

‚wiczenia

1. Rozstrzygnij zbie»no±¢ szeregów:

X

n

n²

n⁴+ 1, X

n

(−1)ⁿ

n + 1 + (−1)ⁿ, X

n

3ⁿ+ 2ⁿ

n 3ⁿ+ 1, X

n

(−3)ⁿ+ 2ⁿ n 3ⁿ+ 1 .

Uwaga: ostatni przykªad jest trudny!

2. Rozstrzygnij zbie»no±¢ szeregów:

X

n

n^K

Lⁿ , X

n

Lⁿ

n! , X

n

2ⁿ+ 3ⁿ

4ⁿ+ 5ⁿ, X

n

(n!)²

(2n)!, X

n

nⁿ (2n)!.

3. (a) Udowodnij, »e je±li szereg P_nanjest bezwzgl¦dnie zbie»ny, to zbie»ne s¡ szeregi P_na²_noraz P

nan

n.

(b) Podaj przykªad szeregu zbie»nego P_na_n, dla którego szeregi P_na²_n oraz P_n^|a_n^n| s¡ roz- bie»ne.

(c) Korzystaj¡c z twierdzenia Abela, udowodnij, »e je±li szereg P_na_n jest zbie»ny, to równie»

szereg P_n^a_nⁿ jest zbie»ny.

4. Przestawianie wyrazów

(a) Niech an= ⁽⁻¹⁾₂kⁿ gdy 2^k≤ n < 2^k+1 (k ≥ 1). Udowodnij, »e P^∞_n=2an= 0.

(b) Niech bn = ₂¹k gdy 2^k ≤ n < 2^k+ 2^k−1 oraz bn = ⁻¹₂k gdy 2^k+ 2^k−1 ≤ n < 2^k+1 (k ≥ 1).

Udowodnij, »e P^∞_n=2b_n jest rozbie»ny.

Odpoczynek

3. (a) Udowodnij, »e je±li P_na²_n i P_nb²_n s¡ zbie»ne, to zbie»ny jest szereg P_nanbn. (b) Wywnioskuj, »e je±li P_na²_n jest zbie»ny, to zbie»ny jest szereg P_n^a_nⁿ.

(c) Udowodnij, »e je±li dla ka»dego ci¡gu (bn) takiego, »e P_nb²_n jest zbie»ny, szereg P_nanbn

jest zbie»ny, to szereg P_na²_n jest zbie»ny.

4. Przestawianie wyrazów Zaªó»my, »e szereg P_nan jest zbie»ny, ale nie bezwzgl¦dnie zbie»ny.

Udowodnij, »e dla dowolnej liczby rzeczywistej g mo»na tak poprzestawia¢ wyrazy tego szeregu, by otrzyma¢ sum¦ g.

5. Zaªó»my, »e ci¡g (an) liczb dodatnich jest zbie»ny do zera. Niech P^∞_n=1a_n = ∞. Udowodnij, »e dla ka»dej liczby g ∈ R istnieje ci¡g (εn) taki, »e εn∈ {−1, 1}oraz P^∞_n=1ε_na_n= g.

6. Sumowanie w sensie Abela

(a) Szereg P_n≥0(−1)ⁿ jest rozbie»ny, ale jest sumowalny w sensie Abela. Wyznacz warto±¢ tej sumy.

(b) Podobnie wyznacz sum¦ P_n≥0(−1)ⁿn.

(c) Udowodnij, »e je±li ci¡g sum cz¦±ciowych (An)szeregu P_n≥0anjest zbie»ny w sensie Cesàro:

n→∞lim

A0+ A1+ A2+ ... + An

n + 1 = g

dla pewnego g, to szereg P_n≥0an jest sumowalny w sensie Abela i sum¡ jest g.

Mateusz Kwa±nicki