STATECZNOŚĆ KOLUMNY WSTĘPNIE SPRĘŻONEJ PRZY OBCIĄŻENIU SIŁĄ ŚLEDZĄCĄ SKIEROWANĄ DO BIEGUNA DODATNIEGO SPOCZYWAJĄCEJ MIEJSCOWO NA PODŁOŻU WINKLERA

STATECZNOŚĆ KOLUMNY WSTĘPNIE SPRĘŻONEJ PRZY OBCIĄŻENIU SIŁĄ ŚLEDZĄCĄ SKIEROWANĄ DO BIEGUNA DODATNIEGO SPOCZYWAJĄCEJ

MIEJSCOWO NA PODŁOŻU WINKLERA

Krzysztof Sokół

^1a

, Ilona Cieślińska - Gąsior

^1b

Politechnika Częstochowska

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki

1 Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn

a sokol@imipkm.pcz.pl, ^b cieslinskailona@wp.pl

Streszczenie

W pracy zaprezentowano wyniki badań teoretycznych i numerycznych smukłego układu ciągłego obciążonego si- łą śledzącą skierowaną do bieguna dodatniego miejscowo spoczywającego na podłożu typu Winklera, przy uwzględnieniu wstępnego sprężenia. Obciążenie siłą śledzącą skierowaną do bieguna dodatniego realizowane jest poprzez głowice: wymuszającą i przyjmującą obciążenie, zbudowane z elementów o zarysie kołowym. W pracy wy- znaczono wartości obciążenia bifurkacyjnego kolumny w funkcji wybranych parametrów geometrycznych i fizycz- nych układu w tym parametrów opisujących wstępne sprężenie i podłoże typu Winklera. Uzyskane wyniki symu- lacji numerycznych zostały porównane z rezultatami obliczeń układu liniowego (układu odniesienia). Na podsta- wie niniejszej analizy wyznaczono krzywe obrazujące zjawisko lokalnej i globalnej utraty stateczności rozważanego układu.

Słowa kluczowe: lokalna i globalna utrata stateczności, obciążenie bifurkacyjne, statyczne kryterium stateczno- ści

THE INFLUENCE OF PRESTRESSING ON INSTABILITY OF A COLUMN SUBJECTED TO A FOLLOWER FORCE DIRECTED TOWARDS A POSITIVE POLE PARTIALLY SUPPORTED ON WINKLER ELASTIC FOUNDATION

Summary

In this paper the results of theoretical and numerical investigations on slender system subjected to a follower force directed towards a positive pole partially supported on Winkler elastic foundation taking into account pre- stressing are presented. The external loading is realized by means of forcing and acquiring heads which are com- posed of elements with circular outline. The magnitude of bifurcation load of a column as a function of chosen ge- ometrical and physical parameters (taking into account pre-stressing and Winkler elastic foundation) is obtained.

The results of numerical simulations are being compared to the ones computed for the corresponding linear sys- tem. On the basis of this analysis the curves of local and global instability have been plotted.

Keywords: local and global instability, bifurcation force, static stability criterion

1. WSTĘP

Geometrycznie nieliniowe układy smukłe są tematem wielu prac naukowych, w których rozpatruje się zagad- nienia z zakresu ich stateczności przy różnych sposobach obciążenia i zamocowania. W zakresie badań stateczności układów smukłych rozpatrywano różne przypadki obcią- żenia konserwatywnego (Eulera - por. [1]), swoistego (por.[2]) oraz niekonserwatywnego (uogólnione obciążenie Becka) (por. [3)]. W zakresie modelu kolumn geometrycz- nie nieliniowych wyznaczono obciążenie bifurkacyjne przy prostoliniowej (por. [4]) oraz obciążenie krytyczne przy krzywoliniowej (por. [5]) postaci równowagi statycznej.

W pracy (por. [6]) rozpatrywano układ poddany dzia- łaniu obciążenia siłą śledzącą skierowaną do bieguna dodatniego – przypadek obciążenia swoistego, które zostało wprowadzone do literatury przez L. Tomskiego (por. [7]). W pracy (por.[8]) rozważano model kolumny geometrycznie nieliniowej, której wewnętrzny pręt pod- parto częściowo podłożem typu Winklera (por.[9]). W publikacji tej określono energię mechaniczną układu, różniczkowe równania ruchu i warunki brzegowe. Odręb- nym zagadnieniem są badania niestateczności lokalnej i globalnej układów geometrycznie nieliniowych (por. [4, 10, 11]). W pracach przeprowadzono analizę porównawczą dotyczącą wartości obciążenia bifurkacyjnego kolumn geometrycznie nieliniowych oraz odpowiednich kolumn liniowych z uwzględnieniem różnych parametrów fizycz- nych i geometrycznych, w tym pęknięć. Lokalna utrata stateczności występuje przy mniejszych współczynnikach asymetrii sztywności na zginanie układów geometrycznie nieliniowych. W tym przypadku wartość obciążenia bifurkacyjnego tych modeli jest mniejsza od siły krytycz- nej odpowiedniego modelu liniowego.

2. MODEL FIZYCZNY UKŁADU

Obciążenie siłą śledzącą skierowaną do bieguna do- datniego (por. rys.1 a÷c) realizowane jest poprzez głowi- cę wywołującą i przyjmującą obciążenie o zarysie koło- wym (stała krzywizna). Kolumnę obciążono siłą P, której kierunek działania przechodzi przez stały punkt O. Kierunek działania zewnętrznej siły obciążającej jest dodatkowo styczny do linii ugięcia swobodnego końca (x=L) prętów układu. Biegun O umiejscowiono w odle- głości R od swobodnego końca kolumny. Przyjęto zało- żenie, iż podłoże nie narusza symetryczności układu.

W celu zamodelowania miejscowego podparcia podłożem sprężystym pręt wewnętrzny (por. rys.1d) podzielono na trzy pręty o sztywności na zginanie odpowiednio: (EJ)2, (EJ)3 oraz (EJ)4, przy czym:

(^EJ)₂ = (^EJ)₃ = (^EJ)₄

(1) Pręt zewnętrzny ma sztywność (EJ)1

Cała długość elementów jest równa długości całego układuL = l + l + l . Na swobodnym końcu kolumna

połączona jest z głowicą przyjmującą obciążenie poprzez nieskończenie sztywny element o długości l0. Uwzględ- nienie tego elementu jest niezbędne ze względu na rze- czywiste rozwiązanie głowicy realizującej obciążenie, której integralną częścią jest element o długości l0. Sztywność na zginanie wymienionego elementu jest wielokrotnie większa od sztywności na zginanie układu smukłego (por. [2,12])

Rys. 1. Model fizyczny kolumny obciążonej siłą śledzącą a) model kolumny geometrycznie liniowej KL b) model kolumny geometrycznie nieliniowej KN c) model kolumny geometrycznie nieliniowej z miejscowym podłożem sprężystym typu Winklera KNW bez wstępnego sprężenia, d) rozkład sztywności na zginanie kolumny KNW

Oznaczenie WKNW wprowadzono w celu rozróż- nienia układu wstępnie sprężonego. Rozkład sztywności na zginanie kolumny WKNW jest taki sam jak w przypadku kolumn geometrycznie nieliniowych KNW, KN (por. [9]).

Przy opisie podłoża sprężystego Winklera wprowadzono współczynniki opisujące usytuowanie i rozmiar podłoża względem długości kolumny wzór (2.3).

L l l

2 2₁ + ₂

=

α

,

L l2

β =

(2,3) W celu uproszczenia obliczeń w dalszych rozważaniach pręty zewnętrzne rozpatruje się jako jeden o całkowitej sztywności na zginanie równej (EJ)1.

Przy opisie kolumny KN, KNW, WKNW definiuje się współczynnik asymetrii sztywności na zginanie:

( ) ( )

^EJ ₁²

EJ

µ = (4) przyjmując, że suma sztywności na zginanie układu geometrycznie nieliniowego (KN) jest stała (1):

( )

^{EJ const}

i∑ i =

= 2

1

(5) Sztywność na zginanie prętów kolumny (KL) jest taka sama jak sztywność prętów o indeksie 1 kolumny (KN), (KNW), (WKNW).

Do opisu zagadnienia stateczności układów smukłych zastosowano teorię Bernoullego-Eulera oraz teorię umiarkowanych dużych ugięć.

Biorąc pod uwagę model fizyczny kolumny, określa się zgodnie z teorią zginania Bernoullego – Eulera składowe energii potencjalnej.

Całkowita energia potencjalna V to suma energii:

- sprężystej zginania V1:

( ) [ ( ) ] ( ) [ ( ) ]

( )

∫

[ ( ) ] ( )

∫

[ ( ) ]

∫

∫

+ +

+ +

=

2 0

4 2 4 4 4 3

3 2 0

3 3 3

2 1 2

0 2 2 2 1

2 0

1 1 1 1

2 1 2

1

2 1 2

1

l II l II

l II L II

dx x y EJ dx

x y EJ

dx x y EJ dx

x y EJ V

(6)

gdzie:

( ) ( )

4 3 2

2 1

2

, , , , =

= k

dx x y x d y

k k k k

kII

(7)

- potencjalnej V2 wynikającej z obciążenia zewnętrznego P:

( )

( )

( )

( )

( ₀) ( )

[

₁

]

²

1 2

0 4 4 4 4 4

2 2

4 3

0 3 3 3 3 3

2 2

3 1

0 2 2 2 2 2

2 2

2

0 1 1 1 1 1

2 2

2 1

2 1 2 1 2

1

2 1 2

1

2 1 2

1

2 1 2

1

L y l R P t L U P

dx EA

dx EA

dx EA

dx V EA

I

l I I

l I I

l I I

L I I

x x U

y

x x U

y

x x U

y

x U x y

− +

⋅ +

+ +

+ +

+ +

+

=

∫ 

 +

∫ 

 +

∫ 

 +

∫ 

 +

) , ( ) (

) (

) (

) (

) ) (

(

) ( ) (

) ) (

(

) ) (

(

(8)

- potencjalnej podłoża sprężystego V3:

= ∫

( )

l

x dx K y V

2 0

4 4 4

2

3 2

1 ( )

(9)

przy czym :yk(xk), Uk(xk) jest, odpowiednio, przemiesz- czeniem poprzecznym oraz wzdłużnym prętów układu gdzie k=1,2,3,4,

Wzór na całkowitą energię potencjalną ma następującą postać:

V V V V

3 2

1 + +

=

(10)

Zagadnienie stateczności modelu kolumny geometrycznie nieliniowej rozwiązano, stosując zasadę minimum energii potencjalnej, polegającej na poszukiwaniu obciążenia, przy którym energia potencjalna przestaje być dodatnio określona (por.[13]).

δV = ⁰

(11) gdzie: δ – operator wariacji

Wykorzystując związek (10), po obliczeniu wariacji energii potencjalnej otrzymano:

- równania przemieszczeń poprzecznych:

( ) ( )

+

( )

j = ⁰

II j j j IV j

jy x S y x

EJ j = 1 ,,23

(

EJ

)

₄y₄^IV

( )

x₄ + S₄y₄^II

( )

x₄ + Ky₄

( )

x₄ = ⁰

(12-13) Przy czym Sk opisuje wartość poszczególnych sił we- wnętrznych w prętach.

- różniczkowe równania przemieszczeń w kierunku nieod- kształconej osi kolumny:

( )

¹₂

( ( ) )

² ^{= 0, = 1,2,3,4}

 



U x + k

dx d

k I k k

I k k

x

y

(14)

oraz równania przemieszczeń wzdłużnych poszczególnych prętów układu:

^{= − − x∫k}

(

k

)

k

I k k

k k k

k k x dx

EA S x

U x y x

0

2

2

1 ( )

) (

) ) (

(

(15)

-Uwzględnienie geometrycznych warunków brzegowych (16-23)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

, , ,

, , ,

, ,

,

L y l R L y

y l y y l y

y l y

y l y

l y L y

y y

l y L y

y y

I I I

I I

I I

I I

1 1 0

3 2 4 4 1 2

3 2 4

4 1 2

3 3 1

2 1

3 3 1

2 1

0 0

0 0

0 0 0

0 0 0

−

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

^(16-23)

kolumn KNW,WKNW w zależności (11) pozwala uzyskać naturalne warunki brzegowe:

( ) ( ) ( ) ( )

¹

[ ( )

_{1 1}

( ) ( )

_{3 3}

( )

₃

]

⁰

0 3

3 3 1

1 + =

− −

+ EJ y L EJ y l

l l R y EJ L y

EJ ^{III III II II}

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

, , , , ,

0 0 0 0 0

2 1

3 2 4

4 1 2

3 2 4

4 1 2

=

−

=

=

=

=

∑

=

P S

y l y

y l y

y l y

y l y

i i

III III

III III

II II

II II

(24-29) przy czym:

S₂ = ^S₃ = ^S₄^.

(30) Warunek (23) wynika z geometrii głowicy realizującej obciążenie (por. [12]), przy czym w zależnościach (12,13)

oraz (14) uwzględniono definicję siły wzdłużnej w posta- ci:

( ) ( ( ) )

2

1 2



 



 +

−

= k

I k k

I k k k k

k _dx ^{U x} y x

EA d

S (x ) ( )

(31)

3. WYNIKI OBLICZEŃ

Biorąc pod uwagę rozwiązanie zagadnienia brzegowe- go uzyskanego na podstawie równań przemieszczeń poprzecznych (12,13) oraz warunków brzegowych (16-23, 24-29), przeprowadzono badania numeryczne odnośnie do stateczności rozważanego układu.

Na rys. 2 zaprezentowano zmianę wartości siły bifur- kacyjnej modelu kolumny geometrycznie nieliniowej (KN) oraz siły krytycznej modelu kolumny liniowej (KL) w funkcji współczynnika asymetrii sztywności na zginanie µ. Wykreślone krzywe obrazują zjawisko lokal- nej i globalnej utraty stateczności rozpatrywanego ukła- du. Parametr obciążenia krytycznego ^λ*_cr wyrażono w postaci bezwymiarowej (wzór 32) (por. [9, 12]). W zakresie zmian wartości współczynnika µ (0, µgr) obcią- żenie bifurkacyjne (KN) (utrata prostoliniowej równo- wagi statycznej) jest mniejsze od obciążenia krytycznego kolumny (KL). Za lokalną utratę stateczności odpowiada niestateczność pręta o mniejszej sztywności na zginanie.

Usunięcie z modelu kolumny geometrycznie nieliniowej tego pręta powoduje nagły wzrost siły krytycznej (przej- ście od punktu A1 do punktu A2). W związku z powyż- szym w zakresie zmienności współczynnika rozkładu asymetrii sztywności na zginanie prętów µ następuje lokalna utrata stateczności układu. W przypadku µ >

µgr występuje globalna utrata stateczności układu.

Rys. 2. Zmiana krytycznego parametru obciążenia λ^*cr w funkcji współczynnika asymetrii rozkładu sztywności na zginanie µ dla

,

* 0.2

0 =

l R^* = 0.5

∑

=

= ₂

2 2

i i

cr cr

EJ l P

) (

λ*

i=1,2

(32)

Na rys. 3 zaprezentowano zależność pomiędzy warto- ściami obciążenia krytycznego kolumny (KL) i bifurka-

cyjnego układu (KN) i (WKN) w funkcji współczynni- ka µ. Porównując przebieg krzywych kolumny (WKN), stwierdzono, że wstępne sprężenie (układu siły ^λ*₀ wzór (33)) należy stosować w ograniczonym przedziale zmian współczynnika asymetrii sztywności na zginanie µ.

Pozytywne efekty wstępnego sprężenia uzyskuje się, gdy parametr obciążenia bifurkacyjnego ^λ*_cr kolumny (WKN) jest większy od tego parametru układu (KN).

Rys. 3. Zmiana bezwymiarowego parametru obciążenia bifurka- cyjnego^λ*_cr modelu kolumny nieliniowej WKN w funkcji współczynnika asymetrii rozkładu sztywności na zginanie µ dla

2

0 0.

* =

l , R^* = 0.5

∑

=

=

₂

2 2 0 0

i

EJ

i

l S

) ( λ

*

i=1,2 (33)

Rys. 4. Zmiana bezwymiarowego parametru obciążenia bifurka- cyjnegoλ^*_crmodelu kolumny nieliniowej KN oraz nieliniowej podpartej podłożem sprężystym KNW w funkcji współczynnika

asymetrii sztywności na zginanie dla parametru l₀^* = 0.2, ,

* = 0.5

R l1 = ^0.2,l₂ = 0.6, l₃ = 0.2

∑

=

= ₂

1 2

4

i

EJ KL K

) (

*

i=1,2

(34) L

R R L l l

=

=

*

* 0

0

Na rys. 4 przedstawiono wartość obciążenia bifurkacyj- nego układu geometrycznie nieliniowego w funkcji współczynnika asymetrii sztywności na zginanie dla wybranych wartości sztywności podłoża typu Winklera o odpowiednio dobranej sztywności K^* (wzór 34) częściowo podpierającego środkowy pręt kolumny. W efekcie uzy- skano wzrost wartości bezwymiarowego parametru obciążenia bifurkacyjnego kolumny (KNW) powyżej obciążenia bifurkacyjnego modelu kolumny geometrycz- nie nieliniowej (KN) oraz zmniejszenie wartości granicz- nego współczynnika asymetrii sztywności na zginanie µgr.

Rys. 5. Zmiana obciążenia bifurkacyjnego wstępnie sprężonej kolumny WKNW w funkcji współczynnika asymetrii rozkładu

sztywności na zginanie dla parametrul₀^* = 0.2, R^* = 0.5, ,

.2

1 = 0

l l₂ = 0.6, l₃ = 0.2

Na rys. 5 przedstawiono wzrost wartości obciążenia bifurkacyjnego modelu kolumny geometrycznie nielinio- wej przy jednoczesnym uwzględnieniu podłoża typu Winklera oraz wstępnego sprężenia. Wartość granicznego współczynnika asymetrii sztywności maleje, zmniejszając obszar lokalnej utraty stateczności. Wykazano, że dobranie odpowiednich parametrów wstępnego sprężenia i podłoża sprężystego umożliwia ‘wyjście’ układu z zakresu lokalnej niestateczności.

Rysunki 6, 7 przedstawiają przebieg krzywych granicz- nych współczynnika asymetrii sztywności na zginanie µ w zależności od wartości parametru sprężystego podłoża K^* oraz wstępnego sprężenia ^*

0

λ . Na podstawie zapre- zentowanych krzywych wyznaczono obszar lokalnej utraty stateczności prostoliniowej postaci równowagi statycznej przy wybranych parametrach głowicy realizu- jącej obciążenie.

Rys. 6 Wpływ sztywności podłoża sprężystego na wartość parametru obciążenia bifurkacyjnego kolumny KNW oraz na

wyjście układu z obszaru lokalnej utraty stateczności dla parametru l₀^* = 0.2, R^* = 0.5, l₁ = ^0.2, l₂ = 0.6,

2

3 = 0. l

Rys. 7. Wpływ wstępnego sprężenia modelu kolumny nieliniowej na wyjście z zakresu lokalnej niestateczności przy

współczynniku asymetrii rozkładu sztywności na zginanie i parametrów l₀^* = 0.2, R^* = 0.5, l1 = ^0.2, l₂ = 0.6,

2

3 = 0. l

4. WNIOSKI

Analiza otrzymanych wyników numerycznych pozwa- la stwierdzić, że rozważany układ w zależności od warto- ści współczynnika asymetrii sztywności na zginanie charakteryzuje się lokalną lub globalną utratą stateczno- ści. Parametr asymetrii sztywności na zginanie µ wpływa na wartość siły bifurkacyjnej modelu kolumny geome- trycznie nieliniowej. W zakresie badań wpływu wstępne- go sprężenia na stateczność modelu geometrycznie nieli- niowej kolumny obciążonej siłą śledzącą skierowaną do bieguna dodatniego określono zakres wartości wstępnego sprężenia, dla którego otrzymuje się wzrost obciążenia bifurkacyjnego kolumny powyżej granicy lokalnej utraty stateczności (tj. obciążenie, przy którym układ geome-

trycznie nieliniowy traci prostoliniową postać równowagi statycznej). Stwierdzono, że wstępne sprężenie kolumny w całym możliwym zakresie jest z punktu widzenia otrzymanej wartości siły bifurkacyjnej niewskazane.

Dotyczy to szczególnie dużych wartości siły sprężającej, dla których otrzymuje się wyniki przeciwne do oczekiwa- nych (znaczące zmniejszenie obciążenia bifurkacyjnego).

Wstępne sprężenie powinno być stosowane dla kolumn charakteryzujących się lokalną utratą stateczności.

Uwzględnienie w modelu fizycznym modelu kolumny nieliniowej podłoża typu Winklera podnosi wartość obciążenia bifurkacyjnego. Wraz ze wzrostem sprężysto- ści podłoża rośnie wartość bezwymiarowego parametru obciążenia λ^*_cr. Podłoże sprężyste o odpowiednio dużej sztywności powoduje „wyjście” układu z obszaru lokalnej utraty stateczności.

Badania zostały przeprowadzone w ramach grantu BS / MN-1-101-302/ 14 / P realizowanego na Politechnice Czę- stochowskiej

Literatura

1. Leipholz H.H.E.: On conservative elastic systems of the first and second kind. “Ingenieur –Archov” 1974, 43, p.

255-271.

2. Tomski L, Szmidla J.: Drgania i stateczność układów smukłych. Rozdz.III: Drgania swobodne i stateczność kolumn poddanych działaniu swoistemu – sztywne węzły konstrukcyjne układu wymuszającego i przyjmującego obciążenie, Pr. zbior. pod kier. nauk. i red. L. Tomskiego. Warszawa: WNT, 2004.

3. Beck M.: Die Knicklast des einseitig eingespannten tangential gedruckten Stabes. ZAMP 1953, 4, 1953, p. 225- 228, 476-477.

4. Tomski L., Szmidla J.: Local and global instability and vibration of overbraced Euler’s column. “Journal of Theoretical and Applied Mechanics” 2003, 41(1), p. 137-154.

5. Tomski L., Uzny S.: Free vibration and the stability of a geometrically non-linear column loaded by a follower force directed towards the positive pole. “International Journal of Solids and Structures” 2008, 45, p. 87-112.

6. Tomski L., Szmidla J.: Drgania swobodne i stateczność obiektów smukłych, jako układów liniowych lub nielinio- wych. Rozdz.VI :Drgania swobodne i stateczność wspornikowych kolumn geometrycznie nieliniowych poddanych obciążenie swoistemu. Pr. zbior. pod kier. nauk. I red. L. Tomskiego. Warszawa: WNT, 2007.

7. Bogacz R., Imiełowski Sz., Tomski L.: Stability and vibration of column structures subjected to generalized concentrated load : theoretical and experimental study. Dynamics of Continua - International Symposium, Physikzentrum Bad Honnef, 9 -13 September 1996, p. 45-54.

8. Szmidla J.: Drgania i stateczność kolumn spoczywających na podłożu typu Winklera realizujące wybrane przy- padki obciążenia konserwatywnego, Zesz. Nauk. Pol. Rzesz. s. „Mechanika” 2008, 258, 74, s. 321-332.

9. Szmidla J.: Drgania swobodne i stateczność układów smukłych poddanych obciążenie swoistemu. Rozdz. III:

Drgania swobodne i stateczność kolumny geometrycznie nieliniowej niecałkowicie spoczywającej na podłożu sprę- żystym typu Winklera. Częstochowa: Wyd. Pol. Częstoch., 2009.

10. Sokół K., Uzny S.: The regions of local and global instability of a two-member slender system with crack. “Ma- chine Dynamics Research” 2014, 2, 38 p. 75-83. .

11. Sokół K.: The local and global instability and vibration of a nonlinear column subjected to Euler’s load. “Scien- tific Research of the Institute of Mathematics and Computer Science” 2010, 19 p. 187-194.

12. Tomski L., Szmidla J.: Drgania swobodne i stateczność obiektów smukłych jako układów liniowych lub nielinio- wych. Rozdz. VIII: Drgania swobodne i stateczność kolumny geometrycznie nieliniowej częściowo spoczywającej na podłożu sprężystym typu Winklera. Pr. zbior. zbiorowa pod kier. nauk. I red. L. Tomskiego. Warszawa:

WNT, 2007.

13. Tomski L.: Drgania i stateczność układów dyskretnych. Rozdz. 3: Drgania swobodne i stateczność układów smukłych o jednym oraz o dwóch stopniach swobody. Częstochowa: Wyd. Pol. Częstoch., 2006