DRGANIA SWOBODNE WSTĘPNIE SPRĘŻONEJ KOLUMNY GEOMETRYCZNIE NIELINIOWEJ PODDANEJ OBCIĄŻENIU SIŁĄ SKIEROWANĄ DO BIEGUNA DODATNIEGO MIEJSCOWO SPOCZYWAJĄCEJ NA PODŁOŻU TYPU WINKLERA

DRGANIA SWOBODNE WSTĘPNIE

SPRĘŻONEJ KOLUMNY GEOMETRYCZNIE NIELINIOWEJ PODDANEJ OBCIĄŻENIU SIŁĄ SKIEROWANĄ

DO BIEGUNA DODATNIEGO MIEJSCOWO SPOCZYWAJĄCEJ NA PODŁOŻU TYPU WINKLERA

Janusz Szmidla

^1a

, Anna Jurczyńska

^1b

1Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Politechnika Częstochowska

aszmidla@imipkm.pcz.czest.pl, ^ba.jurczynska@imipkm.pcz.pl

Streszczenie

Praca zawiera wyniki badań teoretycznych i numerycznych w zakresie kinetycznego kryterium stateczności miej- scowo spoczywającej na podłożu sprężystym Winklera wstępnie sprężonej kolumny geometrycznie nieliniowej.

Analizowany układ obciążono siłą skierowaną do bieguna dodatniego. Wykorzystując teorię Bernoullego – Eulera, sformułowano energię mechaniczną układu. Na podstawie zasady Hamiltona wyznaczono różniczkowe równania ruchu oraz naturalne warunki brzegowe. Zagadnienie drgań swobodnych rozwiązano za pomocą metody perturba- cyjnej (metody małego parametru). W ramach obliczeń numerycznych wyznaczono zmiany wartości własnych w funkcji obciążenia zewnętrznego przy zadanych parametrach geometrycznych i fizycznych układu, w tym sztywno- ści podłoża oraz parametru wstępnego sprężenia.

Słowa kluczowe: drgania swobodne, kinetyczne kryterium stateczności, wstępne sprężenie, podłoże Winklera

FREE VIBRATIONS OF PRESTRESSED GEOMETRICALLY NONLINEAR COLUMN LOADED BY A FORCE DIRECTED TOWARDS A POSITIVE POLE LOCALLY LYING

ON WINKLER ELASTIC FOUNDATION

Summary

The results of theoretical and numerical analysis of the kinetic criterion of stability of prestressed geometrically nonlinear column locally lying on Winkler elastic foundation are presented in this paper. Considered system is subjected to a force directed towards a positive pole. According to the Bernoulli - Euler’s theory total mechanical energy of structure is defined. Taking into account the Hamilton’s principle, the differential equations of motion and the natural boundary conditions are formulated. The issue of free vibrations is solved by using perturbation method (small parameter method). In the range of numerical analysis, the eigenvalues as a function of external load are determined at various values of geometrical and physical parameters including stiffness of elastic base and prestressing parameter.

Keywords: vibrations, kinetic criterion of stability, prestressing, Winkler elastic foundation

1. WSTĘP

Drgania swobodne i stateczność układów geome- trycznie nieliniowych poddanych obciążeniu konserwa- tywnemu (por. [1, 7, 9, 10, 12]) jak i niekonserwatyw- nemu (por. [4, 5, 6, 7]) były szeroko opisywane w litera- turze naukowej. Analizie poddano między innymi wpływ parametrów geometrycznych i fizycznych układów na wartość przenoszonego obciążenia bifurkacyjnego [9, 10, 12], zakres lokalnej i globalnej niestateczności [9, 10, 12] oraz częstość drgań własnych [9, 10, 11, 12]. Badania dotyczące stateczności oraz drgań poprzecznych kolumn spoczywających częściowo lub wzdłuż całej długości na jednoparametrowym podłożu sprężystym Winklera zawarto w publikacjach [2, 5, 8, 10]. Wstępne sprężenie jako kolejny czynnik, którego uwzględnienie w modelu fizycznym powoduje zmianę obciążenia bifurkacyjnego oraz zmianę zakresu częstości drgań własnych, było przedmiotem rozważań między innymi w pracach [1, 6, 7, 8, 11, 12]. Niniejsza praca jako pierwsza analizuje łączny wpływ miejscowego podparcia podłożem spręży- stym oraz wstępnego sprężenia na stateczność i drgania swobodne układu geometrycznie nieliniowego poddanego obciążeniu siłą skierowaną do bieguna dodatniego. Do sformułowania zagadnienia wykorzystano kinetyczne kryterium stateczności.

2. MODEL FIZYCZNY UKŁADU

W pracy rozważa się wstępnie sprężony układ smu- kły będący przesztywnioną ramą płaską miejscowo spoczywającą na podłożu sprężystym Winklera. Kolum- nę zbudowano z trzech prętów (por. rys. 2) o syme- trycznym rozkładzie sztywności na zginanie (EJ)j

i ściskanie (EA)j względem osi układu. Dodatkowo środ- kowy pręt wsparto na pewnym odcinku (miejscowo) podłożem sprężystym Winklera. Pręty o długości L zamocowane są w sposób sztywny, zaś swobodne ich końce połączone są ze sobą masą skupioną m w taki sposób, by zapewnić równość ugięć, kątów ugięć oraz przemieszczeń wzdłużnych poszczególnych prętów.

Obciążenie siłą skierowaną do bieguna dodatniego [3]

realizowane jest poprzez cięgno o regulowanej długości lb

tak, by kierunek siły zewnętrznej P przechodził przez stały punkt O umiejscowiony na nieodkształconej osi kolumny poniżej jej swobodnego końca (biegun dodatni).

W celu uproszczenia obliczeń pręty zewnętrzne rozpatru- je się jako jeden pręt o całkowitej sztywności na zginanie (EJ)1 (por. rys. 1).

Rys. 1. Modele fizyczne rozpatrywanych kolumn: kolumna geometrycznie nieliniowa N oraz wstępnie sprężona kolumna

geometrycznie nieliniowa PN

W pracy analizie poddano następujące przypadki rozpatrywanego układu:

• N - kolumna geometrycznie nieliniowa zbudowana z trzech prętów. Zakłada się równość masy jednost- kowej, sztywności na zginanie oraz ściskanie prętów zewnętrznych. Suma sztywności na zginanie wszyst- kich prętów jest stała (por. wzór (2)). Asymetrię rozkładu sztywności na zginanie całego układu opi- sano zależnością (1):

( ) ( )

EJ₁²

= EJ

µ ₍₁₎

( ) ( )

EJ ₁+ EJ ₂=const (2)

( )

L t U₁ ,

=

∆ (3)

( )

lb

t L W ,

sinβ = ¹ ₍₄₎

• PN - kolumna geometrycznie nieliniowa poddana wstępnemu sprężeniu siłą S0 o strukturze i rozkła- dzie sztywności na zginanie identycznym jak w przypadku kolumny N.

Rys. 2. Modele fizyczne rozpatrywanych kolumn: kolumna geometrycznie nieliniowa miejscowo spoczywająca na podłożu Winklera NW oraz wstępnie sprężona kolumna geometrycznie nieliniowa miejscowo spoczywająca na podłożu Winklera PNW

• NW - kolumna geometrycznie nieliniowa, której środkowy pręt spoczywa na pewnym odcinku ld

na podłożu typu Winklera o sztywności K. Miejsce usytuowania podłoża określono za pomocą parame- tru l_c. W celu zamodelowania miejscowego podpar- cia pręt wewnętrzny podzielono na trzy pręty o sztywności na zginanie odpowiednio (EJ)2, (EJ)3, (EJ)₄, przy czym:

( ) ( ) ( )

EJ 2= EJ 3= EJ 4 (5a,b)

( ) ( ) ( )

EA2= EA3= EA4 (6a,b)

( ) ( ) ( )

ρA2= ρA3= ρA4 (7a,b) Współrzędne l1, l2 określone są zależnościami:

, 2 2 ²

1

d c d c

l l l l l

l = − = + (8a,b)

• PNW - wstępnie sprężona siłą S⁰ kolumna geome- trycznie nieliniowa miejscowo spoczywająca napodłożu sprężystym typu Winklera

Rys. 3. Modele fizyczne rozpatrywanych kolumn: kolumna geometrycznie liniowa L

• L - kolumna porównawcza charakteryzująca się liniowym rozkładem sztywności na zginanie zbudo- wana z dwóch zewnętrznych prętów kolumny geo- metrycznie nieliniowej N

3. MODEL MATEMATYCZNY

Na podstawie modelu fizycznego kolumny geometrycznie nieliniowej miejscowo podpartej podłożem sprężystym (por. rys. 2), na podstawie teorii Bernoullego-Eulera, zdefiniowano energię mechaniczną układu. Biorąc pod uwagę zależności (3-8), stwierdza się, że całkowita energia potencjalna V składa się z:

• energii sprężystej zginania V1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

∫

∫

∫

∫

−

−









∂ + ∂









∂ + ∂

 +









∂ + ∂









∂

= ∂

1 2 2

1

0

4 2

2 4 4 4 2

4 0

3 2

2 3 3 3 2

3

0

2 2

2 2 2 2 2

2 0

1 2

2 1 1 1 2

1 1

, 2

1 ,

2 1

, 2

1 ,

2 1

l l l

L

l L

x dx t x EJ W

x dx t x EJ W

x dx t x EJ W

x dx t x EJ W

V

(9)

• energii potencjalnej V2 pochodzącej od obciążenia zewnętrznego P

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

, sinβ 2

1

, ,

2 1 2

1

, ,

2 1 2

1

, ,

2 1 2

1

, ,

2 1 2

1

1 0

4 2

4 4 4 2

4 4 4 4

0

3 2

3 3 3 2

3 3 3 3

0

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

0

1 2

1 1 1 2

1 1 1 1

2

1 2

2 1

t L PW P

x dx t x U x

t x EA W

x dx t x U x

t x EA W

x dx t x U x

t x EA W

x dx t x U x

t x EA W

V

l l

l L l

L

+

∆ +

 +













∂ +∂









∂ + ∂

 +













∂ +∂









∂ + ∂

 +













∂ +∂









∂ + ∂

 +













∂ +∂









∂

= ∂

∫

∫

∫

∫

−

− (10)

• energii potencjalnej podłoża sprężystego Winklera V3

( )

( )

∫

−

=

1 2

0

4 2 4 4

3 ,

2 1 ^{l l}

dx t x W K

V (11)

Całkowita energia kinetyczna T jest sumą energii kine- tycznej poszczególnych prętów i energii kinetycznej masy skupionej:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1

( )

1 ²

0

4 2 4 4 4

0

3 2 3 3 3

0

2 2 2 2 2

0

1 2 1 1 1

1 1

2 2 1

, 2

1 ,

2 1

, 2

1

, 2

1

, 2

1













∂ + ∂



 





∂ + ∂

+



 





∂ + ∂

+



 





∂ + ∂

+



 





∂

= ∂

=

−

−

∫

∫

∫

∫

L x l

l l L l L

t t x m W t dx

t x A W

t dx t x A W

t dx t x A W

t dx t x A W

T

ρ ρ ρ ρ

(12)

Rozwiązanie zagadnienia drgań swobodnych kolumny uzyskano na podstawie zasady Hamiltona (por. [9, 10, 12]) stosując własności operacji wariacji:

( )

0

2

1

=

∫

−

t

t

dt V

δ T ₍₁₃₎

gdzie t1, t2- współrzędne czasu, δ- operator wariacji.

Znane a priori geometryczne warunki brzegowe oraz warunki ciągłości, z uwzględnieniem zależności (5), zapisano w postaci:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

Lt U

(

L l t

)

U

t l L W t L W

t l L W t L W

t W t W

t U t U t W t W

I I

I I

, ,

, ,

, ,

0 , 0 ,

0

0 , 0 , 0 , 0 , 0

2 3 1

2 3 1

2 3 1

2 1

2 1

2 1

−

=

−

=

−

=

=

=

=

=

=

=

(14a-i)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

l t U

( )

t U

(

l lt

)

U

( )

t U

t W t l l W t W t l W

t W t l l W t

W t l W

I I

I I

, 0 , , 0 ,

, 0 ,

, 0 ,

, 0 , , 0 ,

3 2

4 4

1 2

3 1 2 4 4

1 2

3 1 2 4 4

1 2

=

−

=

=

−

=

=

−

=

(15 a-f)

Uwzględniając wariację energii mechanicznej układu (9- 12) w równaniu (13), otrzymano:

- różniczkowe równania ruchu poszczególnych prętów w kierunku poprzecznym do osi kolumny:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 , 2 , 1 , , 0

, ,

2 1 , ,

2 2

2 4

4

=

∂ = + ∂

+













∂

∂















 





∂ + ∂

∂ + ∂

∂ −

∂

t i t x A W

x t x W x

t x W x

t x EA U

x t x EJ W

i i i

i i i i

i i i

i i i

i i i i

ρ

(16)

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) (

,

) (

,

)

0

, ,

2 , 1 ,

4 2 4

4 4 2 4

4 4 4 2

4 4 4 4

4 4 4

4 4

4 4 4 4

=

∂ + + ∂

+













∂

∂





















∂ + ∂

∂ + ∂

∂ −

∂

t x t KW

t x A W

x t x W x

t x W x

t x EA U

x t x EJ W

ρ

(17)

- brakujące naturalne warunki brzegowe oraz warunki ciągłości:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

,

( )

, 0 ,

, ,

0 , ,

1 1

1

2 3 3 1

1

2 3 3 1

1

=

−



 



 −

+

+

− +

=

− +

t L W l m

t L t W L W P

t l L W EJ t L W EJ

t l L W EJ t L W EJ

b I

III III

II II

&

&

(18a,b)

( ) ( ) ( ) ( )

( )

l t W

( )

t W

(

l lt

)

W

( )

t W

t W t l l W t W t l W

III III

III III

II II

II II

, 0 ,

, 0 ,

, 0 ,

, 0 ,

3 2

4 4

1 2

3 1 2 4 4

1 2

=

−

=

=

−

=

(19a-d)

gdzie cyfry rzymskie oznaczają rząd pochodnej po xj, a kropki po zmiennej t.

Po uwzględnieniu w różniczkowych równaniach ruchu (16-17) definicji siły wzdłużnej:

( ) ( ) ( )

4 , 3 , 2 , 1 , , 2

, 1 ²

 =

























∂ + ∂

∂

∂

∂

− ∂

= j

x t x W x

t x U EA x

S

j j j j

j j j j

j (20)

równania przyjmują postać:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 , 2 , 1 , , 0

, ,

2 2

2 2 4

4

=

∂ = + ∂

∂ + + ∂

∂

∂

t i t x A W

x t x S W x

t x EJ W

i i i

i i i i

i i i

ρ

(21)

( ) ( ) ( )

( ) (

,

) (

,

)

0 , ,

4 2 4

4 4 2 4

2 4 4 2

4 4 4

4 4 4 4

=

∂ + + ∂

∂ + + ∂

∂

∂

t x t KW

t x A W

x t x S W x

t x EJ W

ρ

(22)

Rozkład sił wewnętrznych w poszczególnych prętach kolumny na podstawie równania (20) oraz pod uwzględ- nieniu zależności (6) i wstępnego sprężenia opisano zależnością:

( )

( ) ( )

1 2 ^{0, 1,2,3,4}

= + ±

= S j

EA EA P EA

S_j ^j (23)

4 3

2 S S

S = = (24)

gdzie S0-siła wynikająca ze wstępnego sprężenia.

Siła wewnętrzna Sj może przyjmować wartości dodatnie (w przypadku prętów ściskanych) lub ujemne (w przy- padku prętów rozciąganych), w zależności od wartości obciążenia zewnętrznego P oraz siły S0.

Po rozdzieleniu zmiennych: przemieszczenia xj oraz czasu t: Wj

( )

xj,t =wj

( )

xj ⋅cos

( )

ωt, j=1,2,3,4 ₍₂₅₎

oraz uwzględnieniu znaków sił wewnętrznych w prętach otrzymano następujące równania ruchu dla zagadnienia drgań swobodnych:

( ) ( )

1

( )

^{0, 1,2,3}

2 0 1

2 0

1 x +k w x −Ω w x = i=

w_i^IV _{i i i}^II _{i i i i} (26)

( )

_{4 40}² ₄₁

( )

₄ ²_{40 41}

( )

_{4 1 41}

( )

₄ 0

41 x +k w x −Ω w x +Kw x =

w^{IV II} (27)

( ) ( )

1

( )

^{0, 1,2,3}

2 0 1

2 0

1 x −k w x −Ω w x = i=

w_i^IV _{i i i}^II _{i i i i} (28)

( )

_{4 40}² ₄₁

( )

₄ ²_{40 41}

( )

_{4 1 41}

( )

₄ 0

41 x −k w x −Ω w x +Kw x =

w^{IV II} (29)

gdzie:

4 , 3 , 2 , 1 ) , (

)

2 (

=

= j

EJ t k S

j j

j (30)

4 , 3 , 2 , 1 ) , (

) ( ₀²

2= =

Ω j

EJ A

j j j

ω

σ (31)

4 4

1 (EJ)

K = KL (32)

Rozwiązanie równań różniczkowych uzyskano na pod- stawie metody małego parametru, która polega na rozwijaniu w szeregi potęgowe względem parametru amplitudy ε (przy założeniu, że ε<<1) nieliniowych członów równań różniczkowych.

4. WYNIKI OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

W celu umożliwienia porównania wyników użyto nastę- pujących bezwymiarowych parametrów:

- parametr obciążenia zewnętrznego

( ) ( )

1 2 2

EJ EJ

PL

= +

λ ₍₃₃₎

- parametr sił wewnętrznych w prętach

( ) ( ) ( ) ( )

_{1 2}

2 2 2

2 1

2 1 1

EJ EJ

L S

EJ EJ

L S

= +

= + λ λ

(34a,b)

- parametr wstępnego sprężenia

( ) ( )

1 2 2 0

0 EJ EJ

L S

= +

λ ₍₃₅₎

- parametr obciążenia krytycznego (kolumna L)

( ) ( )

1 2 2

EJ EJ

L P_kr

kr= +

λ ₍₃₆₎

- parametr obciążenia bifurkacyjnego

( ) ( )

1 2 2

EJ EJ

L P_b

b= +

λ ₍₃₇₎

- parametr częstości drgań własnych

( ) ( )

( )

( ) ( )

1 2 4 2 2 1

EJ EJ

L A A

+

= +

Ω ρ ρ ω

(38)

- parametry geometryczne i fizyczne układów, w tym parametry podłoza sprężystego Winklera

( ) ( )

L

l l L l l L l l EJ EJ

K KL _c = ^c _d = ^d _b = ^b

= + ^{* * *}

2 1

4

* , , , (39)

Na rysunkach 4-5 przedstawiono zmianę parametru częstości drgań własnych Ω w funkcji wartości obciążenia zewnętrznego λ kolumny nieliniwej N oraz kolumny nieliniowej miejscowo wspartej podłożem sprężystym Winklera NW. Krzywa odpowiadajaca podstawowej czestosci drgań własnych przyjmuje nachylenie dodatnie, zerowe bądż ujemne, a wartość równą zeru osiąga przy sile odpowiadajacej sile bifurkacyjnej. Krzywe charakterystyczne uzyskano przy nastepujących wartościach parametrów podłoża:

K^*=10, lc*=0.5, ld*=0.8 oraz przy długosci cięgna lb*=0.125.

Rys. 4. Przebieg krzywych dwóch pierwszych częstości drgań kolumn nieliniowych N oraz NW (µ=0.1, lb*=125, K^*=10,

lc*=0.5, ld*=0.8)

Rys. 5. Przebieg krzywych dwóch pierwszych częstości drgań kolumn nieliniowych N oraz NW (µ=0.2, lb*=125, K^*=10,

lc*=0.5, ld*=0.8)

Rysunki 6-7 prezentują pływ uwzględnienia wkolumnach nieliniowych N oraz NW wstępnego sprężenia siłą λ₀ = 1.37. Wzrost obciążenia bifurkacyjnego na wskutek wstępnego sprężenia jest większy dla mniejszych wartości współczynnika asymetrii rozkładu sztywności na zginanie µ.

Rys. 6. Przebieg krzywych dwóch pierwszych częstości drgań kolumn nieliniowych N, NW, PN oraz PNW (µ = 0.1,

lb*

= 0.125, K^* = 10, lc*

= 0.5, ld*

= 0.8)

Rys. 7. Przebieg krzywych dwóch pierwszych częstości drgań kolumn nieliniowych N, NW, PN oraz PNW (µ = 0.2,

lb*

= 0.125, K^* = 10, lc*

= 0.5, ld*

= 0.8)

Przebiegi dwóch pierwszych częstości drgań własnych wstepnie sprężonych kolumn nieliniowych PN oraz PNW bez obciążenia zewnętrznego przedstawiono na rysunkach 8-9. Poprzez punkty G1 oraz G2 oznaczono wartości wstepnęgo sprężenia, przy których kolumny tracą stateczność. W przypadku kolumny PNW uwzględnione podłoże charakteryzuje się następującymi parametrami: K^* = 10, l_c^* = 0.5, l_d^* = 0.8.

Rys. 8. Przebieg dwóch pierwszych częstości drgań układu PN bez obciążenia zewnętrznego (µ = 0.1, lb* = 0.125)

Rys. 9. Przebieg dwóch pierwszych częstości drgań układu PNW bez obciążenia zewnętrznego (µ = 0.1, lb*

= 0.125, K^* = 10, lc*

= 0.5, ld*

= 0.8)

Rys. 10. przedstawia sposób obciążenia wstępnie sprężonej kolumny goemetrycznie nieliniowej miejscowo spoczywającej na podłożu Winklera PNW.

Wpoczątkowej fazie układ poddano wstępnemu sprężaniu do wartości parametru λ₀ = 1.37 (z początku układu współrzędnych do punktu S) a następnie obciążeniu zewnętrznemu do siły odpowiadającej zerowej podstawowej częstości drgań. Odpowiedź dynamiczną układu obciążonego w opisany sposób zaprezentowano na rys. 11.

Rys. 10. Sposób obciążenia wstępnie sprężonej kolumny geome- trycznie nieliniowej spoczywającej na podłożu Winklera PNW

(µ = 0.1, lb*

= 0.125, K^* = 10, lc*

= 0.5, ld*

= 0.8)

Rys. 11. Przebieg częstości drgań własnych układu PNW obciążonego siłą zewnętrzną (µ = 0.1, lb* = 0.125) Na rys. 11 podano dodtakowo wartości obciążenia krytycznego kolumny liniowej L oraz obciążenia bifurkacyjnego kolumn nieliniowych N, NW, PNW.

Układy N oraz NW przenoszą mniejsze obciążenia aniżeli porównawczy układ liniowy, więc znajdują się w zakresie lokalnej niestateczności. Dopiero uwzględnienie w modelu wstępnego sprężenia spowodowało wzrost obciążenia bifurkacyjnego powyżej obciążenia krytycznego kolumny L, a tym samym wyjście z zakresu lokalnej niestateczności.

5. WNIOSKI

Celem pracy było przeprowadzenie rozważań teore- tycznych i numerycznych odnośnie do drgań swobod- nych wstępnie sprężonej kolumny geometrycznie nieli- niowej miejscowo wspartej na podłożu sprężystym typu Winklera. Analiza otrzymanych wyników pozwala na sformułowanie następujących wniosków:

- Na podstawie zmiennego nachylenia krzywych na płaszczyźnie parametr częstości drgań własnych Ω - parametr obciążenia zewnętrznego λ rozważany układ można zaliczyć do typu dywergencyjnego lub dywergen- cyjnego - pseudoflatterowego. Wartość obciążenia bifur- kacyjnego uzyskano przy zerowej wartości podstawowej częstości drgań własnych.

- Zarówno uwzględnienie podłoża sprężystego typu Winklera, jak i wstępnego sprężenia skutkuje zmianą obciążenia bifurkacyjnego. Podłoże sprężyste i wstępne sprężenie o odpowiednio dobranych parametrach mogą powodować wzrost obciążenia bifurkacyjnego powyżej wartości obciążenia krytycznego kolumny liniowej (wyj- ście z zakresu lokalnej utraty stateczności).

- Podłoże sprężyste oraz wstępne sprężenie układu powoduje wzrost wartości częstości drgań własnych.

Praca wykonana w ramach pracy BS/PB 1-101-3021/11/P Politechniki Częstochowskiej

Literatura

1. Adetunde I. A.: Dynamical analysis of prestressed Euler-Bernouli beam. „Research Journal of Physics” 2007, 1, p. 64–72.

2. Aristizabal-Ochoa J. D.: Stability of slender columns on an elastic foundation with generalised end conditions.

„Ingenieria e Investigacion”, 2013, No. 33, Vol. 3, p. 34–40.

3. Gajewski A.: Pewne problemy optymalnego kształtowania pręta ściskanego siłą skierowaną do bieguna. „Mecha- nika Teoretyczna i Stosowana” 1970, 2, 8, s. 159-173.

4. Kounadis A. N.: The existence of regions of divergence instability for nonconservative systems under follower forces. „International Journal of Solids and Structures”, 1983, 19, 8, p. 725-733.

5. Lee H. P.: Dynamic stability of a tapered cantilever beam on an elastic foundation subjected to a follower force.

„International Journal of Solids and Structures”, 1996, 33, 10, p. 1409-1424.

6. Przybylski J.: Instability regions of a prestressed compound column subjected to a follower force. „Journal of Theoretical and Applied Mechanics”, 1999, 1, 37, p. 147-162.

7. Przybylski J.: The role of prestressing in establishing regions of instability for a compound column under con- servative and non-conservative load. „Journal of Sound and Vibrations”, 2000, 231, 2, p. 291-305.

8. Rao G. V.: Transition foundation modulus for the vibration problem of uniform initially stressed simply sup- ported beams on Winkler foundation. „Indian Journal of Engineering & Materials Sciences”, 2003, 10, p. 92-94.

9. Sokół K.: The local and global instability and vibration of a nonlinear column subjected to Euler’s load. „Scien- tific Research of the Institute of Mathematics and Computer Science”, 2010, Vol. 9, Iss. 1, p. 187-194.

10. Szmidla J.: Drgania i stateczność kolumn spoczywających na podłożu typu Winklera realizujące wybrane przy- padki obciążenia konserwatywnego. Zeszyty Naukowe Politechniki Rzeszowskiej, s. “Mechanika”, 2008, 258, 74, p. 321-332.

11. Tomski L., Kukla S.: Vibrations of a prestressed two-member compound column. „Journal of Theoretical and Applied Mechanics”, 1992, 3, 30, p. 625-638.

12. Tomski L., Szmidla J., Uzny S.: The local and global instability and vibration of systems subjected to non- conservative loading. „Thin-Walled Structures”, 2007, 45, 10-11, p. 945-949.