STATECZNOŚĆ I DRGANIA SWOBODNE UKŁADU DYSKRETNEGO PODDANEGO DZIAŁANIU OBCIĄŻENIA SWOISTEGO PRZY UWZGLĘDNIENIU TŁUMIENIA W WĘZŁACH KONSTRUKCYJNYCH

STATECZNOŚĆ I DRGANIA SWOBODNE UKŁADU DYSKRETNEGO PODDANEGO DZIAŁANIU OBCIĄŻENIA SWOISTEGO PRZY UWZGLĘDNIENIU TŁUMIENIA W WĘZŁACH KONSTRUKCYJNYCH

Janusz Szmidla

^1a

, Ilona Cieślińska

^1b

1Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn

aszmidla@imipkm.pcz.czest.pl, ^bcieslinskailona@wp.pl

Streszczenie

W pracy zaprezentowano badania teoretyczne mające na celu opis matematyczny układu dyskretnego poddane- go działaniu obciążenia siłą śledzącą skierowaną do bieguna dodatniego. W węzłach konstrukcyjnych badanego układu zamodelowano zewnętrzne tłumienie wiskotyczne. Rozpatrywana kolumna jest układem dyskretnym, w przypadku, którego uwzględnia się skończoną sztywność występujących węzłów konstrukcyjnych, modelowanych za pomocą sztywności sprężyn rotacyjnych. Obciążenie siłą śledzącą skierowaną do bieguna dodatniego realizowa- ne jest poprzez głowice wymuszające i przyjmujące obciążenie, zbudowane z elementów o zarysie kołowym.

W pracy wyznaczono wartości obciążenia krytycznego oraz przebieg zmian częstości drgań własnych kolumny, w funkcji obciążenia zewnętrznego, dla zadanych stałych fizycznych, przy stałej i zmiennej geometrii układu w tym głowicy realizującej obciążenie.

Słowa kluczowe: drgania, tłumienie zewnętrzne, obciążenie krytyczne

STABILITY AND FREE VIBRATION OF DISCRETE SYSTEM SUBJECTED TO A SPECIFIC LOAD

CONSIDERING THE DAMPING

IN THE CONSTRUCTIONAL NODES

Summary

This article concerns the theoretical studies of mathematical description of the discreet system subjected to the load force directed to the positive pole and the tracking force directed to the positive pole. The external viscious damping was modeled in the structural nodes of the studied system. The column considered is a discreet system in case of which the finite stiffness of structural nodes occuring, modeled by rotational spring stiffness, is concerned.The load tracking force directed to the positive pole is realized by forcing heads and the host load, composed of the elements of a circular outline. The heads are real structures, used in experimental studies of continuous systems. The study determined the values of the critical load a vibration frequency changes of their own columns, as a funcjion of an external load for the selected physical constants with a fixed and variable geometry system.

Keywords: vibration, external damping, critical load

1. WSTĘP

W pracy rozpatrywano układ poddany działaniu ob- ciążenia siłą śledzącą skierowaną do bieguna dodatniego – przypadek obciążenia swoistego, które zostało wprowa- dzone do literatury przez L. Tomskiego (por.[1]). Bada- nia teoretyczne miały na celu opis matematyczny struk- tury poddanej działaniu wyżej wymienionego przypadku obciążenia, co prowadzi do określenia jego stateczności przy wykorzystaniu dwóch metod:

- metody energetycznej, polegającej na poszukiwaniu obciążenia, przy którym całkowita energia potencjalna przestaje być dodatnio określona,

-metody drgań, polegającej na znalezieniu takiego obcią- żenia, przy którym swobodny ruch przestaje być ograni- czony.

2. MODEL FIZYCZNY UKŁADU

Układ zbudowany jest z trzech prętów o długościach l1,l2,l3, połączonych sprężynami o sztywnościach skręt- nych c2, c3, Sprężystość zamocowania układu względem podłoża określono przez c1.

Rys. 1. Model fizyczny kolumny obciążonej siłą śledzącą skierowaną do bieguna dodatniego

Obciążenie rozważanej kolumny realizowane jest po- przez głowicę wymuszającą obciążenie charakteryzującą się stałym promieniem krzywizny R. Głowica przyjmują- ca obciążenie opisana jest promieniem krzywizny r.

Przyjęto, że obie głowice: wymuszająca i przyjmująca mają takie same wartości promieni opisujących krzywi- zny, czyli R=r.

Kierunek działania siły obciążającej przechodzi przez stały punkt, O, który jest środkiem krzywizny zarówno głowicy przyjmującej obciążenie jak i głowicy wymusza-

jącej obciążenie. Punkt O jest umiejscowiony w odległości R=r od swobodnego końca struktury.

Masy skupione m2 oraz m3, stanowią zredukowaną masę prętów o długościach odpowiednio l1, l₂. We wszystkich węzłach konstrukcyjnych zamodelowano tłumienie zewnętrzne opisane współczynnikami b1, b2, b3. Przyjęto, że elementy głowic: obciążającej i przyjmującej obciążenie oraz pręty układu są nieskończenie sztywne (por. [2]).

Wyznaczono energię potencjalną struktury uwzględ- niającą związek wynikający z geometrii głowicy wymu- szającej i przyjmującej obciążenie oraz kierunek działania zewnętrznej siły obciążającej. Układ opisano za pomocą trzech zmiennych:

ϕ_i(t),gdzie i=1,2,3 (1) Odpowiednie relacje odnośnie do głowicy oraz prętów układu przyjmują postać:

ϕ3

sin R

y = (2)

^{1 1 2 2 3 3}

ϕ ϕ

ϕ sin sin

sin l l

l

y = + + (3)

Przemieszczenie wzdłużne ∆ nieutwierdzonego końca kolum- ny wynosi:

^{( )}

) cos ( ) cos (

cos _{1 2 2 3 3}

11− ϕ + 1− ϕ + 1− ϕ

=

∆ l l l (4)

Biorąc pod uwagę przemieszczenie opisane zależnościami (2, 3, 4), wyznaczono energię potencjalną w postaci:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

[ ]

(

1 1 2 2 3 3

)

3

3 3

2 2

1 1

2 2 3 3 2 1 2 2 2 1 1 3 2 1

2

1 1

1

2 1 2

1 2 1

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

sin sin

sin sin

cos cos

cos

l l

P l

l l

l P

c c

c V V V V

+ +

+

+

− +

− +

− +

−

− +

− +

= + +

=

(5)

Całkowita energia kinetyczna T jest sumą energii kine- tycznych mas m2 i m₃ (poz. [4]).

2 2 2 1 1 3 2 2 1 1 2 2

1 2 2 



 





∂ + ∂

∂ + ∂



 





∂

= ∂ +

= l t

l t m l t

T m T

T ϕ ϕ ϕ (6)

Energia dyssypacji będąca wynikiem oddziaływania tłumienia wiskotycznego zamodelowanego w poszczegól- nych węzłach konstrukcyjnych wynosi:

( )

^{1 2 2}

(

^{2 1}

)

^{2 3}

(

^{3 2}

)

²

1 2

1 2

1 2

1 ϕ& + ϕ& −ϕ& + ϕ& −ϕ&

= b b b

D (7)

gdzie:

dt d _i

i

ϕ& = ϕ

W zapisie całkowitej energii potencjalnej przyjęto następujące wielkości bezwymiarowe:

l R R c c c c c c c

l P P l

l^* = l , ^* = , ^* = , ^* = , ^* =

2 3 3 2 1 1 2 j

j

*,

*

*

l3

R a l

= ⁱ−

i

(8)

l=l1+l2+l3- całkowita długość kolumny.

Po uwzględnieniu warunku wynikającego z równości przemieszczeń poprzecznych wynikających z wzorów (2) oraz (3) otrzymano:

*

*

*sin sin

sin

lB

l

l_{1 1 2 2}

3

ϕ

ϕ = ϕ ⁺

(9)

3. STATECZNOŚĆ UKŁADU

W niniejszym punkcie na podstawie całkowitej energii mechanicznej rozpatruje się zagadnienie sta- teczności rozważanej kolumny, biorąc pod uwagę minimum energii potencjalnej układu oraz metodę drgań (por. [3]).

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum całkowitej energii potencjalnej jest zerowanie się pierw- szej pochodnej tej energii względem współrzędnych ϕ^j, czyli:

V 0

∂ =

∂

ϕj

(10) Ostateczna postać energii potencjalnej rozważanej kolumny opisanej przez dwie współrzędne uogólnione ϕj

(j =1, 2) po uwzględnieniu zależności (9) przyjmuje postać:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

[ ]

( )

_^































+ +

+

+

− +

− +

− +

−

− +

− +

=

2 3 3 2 2 1 1

3 3

2 2

1 1

2 2 3 3 2 1 2 2 1 1

2 2 1 1 1

2 1

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

sin sin

sin

cos cos

cos

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

l l

l l P

l l

l P

c c

c V

B

(11) Warunkiem koniecznym istnienia minimum całkowitej energii potencjalnej jest zerowanie się pierwszej po- chodnej tej energii względem współrzędnych uogólnio- nych ϕj:

( )











 + + + − + − + −

∂ =

∂ 1

1 2 1 2

1 ₃₁² _{1 1 1} ¹² _{1 3 2} ²

1 2 1

] ) ( [ ]

[

*

*

*

*

*

**

*

* Pl

a c aa l a P

l P a c c V c

ϕ ϕ

(12)

2 2

* 2

* 2 2

* 3 2

* 2

*

2

* 3 1 2

* 1

*

2 2

)]

1 ( ) 1 ( 1 [ 2 1

) 1

2 ( ϕ ϕ

ϕ  ^{+ + − + −}









 −



 



 − +

∂ =

∂ Pl c a Pl a

a c a a l c P V

(13) Po zgrupowaniu wyrażeń zapisano równanie przestępne na wartość obciążenia krytycznego (por. [4])

0 1 1

1 2 1 2 1

2 1 2 1

1 1

2 2 2 2 3 2

2 3 1 2 1

2 2

3 1 2 2 1 1

1 2 1 3

1 =

− +

− +

− +

−

− +

−

−

− + +

) ( ) ( ]

) ( [

] ) ( [ )

(

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

a l P a

l c a P

c a a l P

l a P

c a a l a P

l P a c c

(14)

4. METODA DRGAŃ

Bierze się pod uwagę równania Lagrange’a II rodzaju (por.[2]). Uwzględniając energię potencjalną (5), energię kinetyczną (6) oraz energię dyssypacji (7), wyznaczono odpowiednie pochodne i otrzymano:

0 1 1

1 1

1

2 1 2 1

2 2 2 1 2 1 2 2 2

3

1 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 3

1 2 2

3 1 2 1 2 1 2

2 2 2

=

− +

− +

+

− +

− +

− + +

+

− +

− +

+

] ) ( ) ( [

) ( )

( ) ( [

] ] ) ( [ [

) (

*

*

*

*

*

*

*

*

*

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

γ ϕ

&

&

&

&

&

&

&

&

a a

m a c l

b

m c l a b

l P a

c

l a P

c a a l P c

l l m

(15)

( )

0 1

2 1 2 1

1 1

2 2 1 1 2 1 2 2 2

3

1 2 2 2 2

2 1 2 2 2

1 2 2 2

3 1 2 1

1 1 1 2 1 3 1 2 1 2

2 2 2 1 2

2 2 1 2

=

− + +

+

−

− +

− +

− +

+

− + + + + + +

] ) ( [

) ( }

] ) ( [ {

[ ) (

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

γ ϕ ϕ

&

&

&

&

&

&&

&&

&

&

a a a m c l

b

m c l

b m c l

b l

a P c a a l P

a l P a c c c

l l m c

l l m

(16) Rozwiązanie równań [15, 16] przyjęto w postaci:

t j

i φ e^ω

ϕ = , j=1,2 (17)

2 2

c l m

i = ω

Ω

(18) 3

2 1

2 2

, , , =

= i

m c l B_i bⁱ

(19) gdzie :

Bi – bezwymiarowy parametr tłumienia zewnętrznego w węzłach konstrukcyjnych układu,

Ω – bezwymiarowy parametr częstości drgań własnych układu.

Wyznaczono równanie przestępne na wartość częstości drgań własnych:

) )

(

(Ω²l₁^*2+Ω²γl₂^*2+c^*₁+1+a₁²c₃^*+P^*l₁^*a₁−1+B₁Ω+B₂Ω+B₃Ωa₁² (20)

0 1

2 1 2 1

1 1

1 1

2 2 1 3

2 2

2 1 1 2 2 1 2 2

2 2 3 2 2

2 2 2 3 2 2 2

=

− Ω +

+ Ω

−

− +

− +

+ Ω

−

+

− + + Ω +

− +

− + + Ω

)]) ( [

] ) ( [ (

]) ) [(

) ( ) ( (

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

a a B

l B a P

c a a l l P

a B B a

l P a

c l

γ γ

(21) Wyznaczone na podstawie związków (20, 21) warto- ści częstości drgań własnych są liczbami zespolonymi, Ω czyli: (por. [5]).

ib a+

Ω= (22) Biorąc pod uwagę zależność (17), otrzymuje się::

ibt at t ib a

t e e e

e^ω = ^{( + )} = ⋅

(23)

Parametr a zespolonej wartości częstości drgań wła- snych Ω, odpowiada za amplitudę drgań układu (współ-

czynnik zaniku amplitudy drgań). Jeśli wartość tego parametru będzie ujemna, to drgania kolumny będą zanikać w funkcji czasu, natomiast w przypadku wartości dodatniej parametru, amplituda drgań będzie narastać w czasie:

a> 0 – drgania układu narastają w funkcji czasu a< 0 – drgania układu zanikają w funkcji czasu

Wartość częstości tłumionych drgań własnych Ω jest wyznaczana przez część urojoną określaną, jako ib.

5. WYNIKI OBLICZEŃ

5.1 WYNIKI BADAŃ NA PODSTAWIE STATYCZNEGO KRYTERIUM

UKŁADU

Na podstawie zależności (14) wyznaczono wartość krytycznego parametru obciążenia Pc* układu.

Rys. 1. Zmiana krytycznego parametru obciążenia Pc* w funkcji parametru R* w zakresie R* є <0,1>kolumny obciążonej siłą śledzącą skierowaną do bieguna dodatniego

Rys. 2. Zmiana krytycznego parametru obciążenia Pc* w funkcji parametru R* w zakresie R* є <0,1>kolumny obciążonej siłą

śledzącą skierowaną do bieguna dodatniego Na wykresach 1, 2 zaprezentowano zmianę krytycz- nego parametru obciążenia Pc* w funkcji parametru R*, czyli promienia głowicy realizującej obciążenie śledzące siłą skierowaną do bieguna w zakresie R* є < 0, 1> . Każdy z przebiegów zmian obciążenia krytycznego Pc*, które wyznaczono przy różnych relacjach pomiędzy sztywnościami węzłów konstrukcyjnych układu (wykres 1), charakteryzuje się maksymalną wartością obciążenia krytycznego Pc* .

5.2 WYNIKI NA PODSTAWIE KINETYCZNEGO KRYTERIUM STATYCZNEGO

5.2.1 DYNAMIKA UKŁADU

BEZ UWZGLĘDNIENIA TŁUMIENIA

Rys. 3. Przebieg krzywych częstości drgań własnych na płasz- czyźnie (por. [3])

Na wykresie 3. zaprezentowano wyniki odnośnie do zmian częstości drgań własnych układu, uzyskane na podstawie równań (15, 16). Przy przyjętej geometrii i stałych fizycznych prętów układu przedstawiono wpływ zmian promienia głowicy realizującej obciążenie na wartość parametru . Zakres zmian wartości własnych jest charakterystyczny w przypadku układów typu:

dywergencyjnego, lub dywergencyjnego pseudoflattero- wego. W przypadku nieuwzględnienia tłumienia w układzie jest liczbą rzeczywistą.

5.2.2 DYNAMIKA UKŁADU PRZY ZMIENNYM TŁUMIENIU

Biorąc pod uwagę przyjęty model fizyczny i matema- tyczny układu przy uwzględnieniu tłumienia w węzłach struktury analizowano przebiegu częstości własnych w funkcji obciążenia zewnętrznego, przy zmieniającym się parametrze R*.

Rys. 4. Przebieg częstości urojonej Im(Ω) drgań własnych funkcji siły krytycznej przy zamodelowaniu tłumienia w węzłach

konstrukcyjnych o zmiennych wartościach B1, B2, B3

Przyjęto, że na wykresie 4 część urojona Im(Ω) sta- nowi tłumioną wartość częstości drgań układu. Rozważa- no zmienne wartości tłumienia w układzie, które nie spowodowały znaczących zmian w przypadku podstawo- wej częstości drgań własnych. Przy przyjętych parame- trach geometrycznych i fizycznych, w tym głowicy realizującej obciążenie, rozważana kolumna jest typu dywergencyjnego - pseudoflatterowego.

Wykresy 5 i 7 przedstawiają zakres zmian współ- czynnika zaniku amplitudy drgań Re(Ω) w funkcji obciążenia zewnętrznego. Wykazano stabilizujący wpływ tłumienia na drgania układu.

Rys. 5. Przebieg części rzeczywistej Re(Ω) częstości drgań własnych w funkcji siły krytycznej przy zamodelowaniu tłumie- nia w węzłach konstrukcyjnych o zmiennych wartościach B1, B2,

B3

Rys. 6. Przebieg części urojonej Im(Ω) częstości drgań własnych w funkcji siły krytycznej przy zamodelowaniu tłumienia w węzłach konstrukcyjnych o zmiennych wartościach B1, B2, B3

Wykres 6. prezentuje przebieg zmian części urojonej Im(Ω) częstości drgań tłumionych, przy zmieniającym się parametrze R*. Wykazano, że dla kolumny rozpatrywany układ niezależnie od wartości promienia głowicy wymu- szającej jest typu dywergencyjnego. Wartość obciążenia krytycznego układu uzyskano przy spełnieniu warunku Im (Ω)=0.

Rys. 7. Przebieg części rzeczywistej Re(Ω) częstości drgań wła- snych w funkcji siły krytycznej, przy zamocowaniu tłumienia w węzłach konstrukcyjnych o zmiennych wartościach B1, B2, B3

6. PODSUMOWANIE

W pracy wyznaczono wartości obciążenia krytyczne- go oraz przebieg zmian częstości drgań własnych kolum- ny, przy zadanych stałych fizycznych oraz zmiennej geometrii układu w tym głowicy realizującej obciążenie.

Po przeprowadzeniu analizy wykresów uzyskanych na podstawie przeprowadzonych obliczeń numerycznych układu o dwóch stopniach swobody realizującego obcią- żenie siłą śledzącą skierowaną do bieguna dodatniego, stwierdzono brak wpływu zewnętrznego tłumienia wi- skocznego zamodelowanego w węzłach konstrukcyjnych na wartości krytycznego parametru obciążenia Pc*.

Analizując zakres zmian częstości drgań własnych, wykazano niewielki wpływ tłumienia zamodelowanego w węzłach konstrukcyjnych układu na zmianę charakte- ru wartości własnych.

Literatura

1. Tomski L., Gołębiowska-Rozanow M., Szmidla J.: Drgania swobodne kolumny obciążonej siłą i momentem, Free Vibration of a Column Loaded by a Force and Bending Moment. In: XVI Symposion „Vibrations in Phys- ical Systems”, Poznań – Błażejewko,1994, s. 317 – 319.

2. Tomski L., Szmidla J.: Drgania swobodne i stateczność kolumn poddanych działaniu swoistemu – sztywne węzły konstrukcyjne układu wymuszającego i przyjmującego obciążenie. W: Drgania i stateczność układów smukłych, rozdz. 3. Praca zbiorowa pod kierownictwem naukowym i redakcją L. Tomskiego. Warszawa: WNT, 2004.

3. Tomski L., Uzny S.: Drgania swobodne i stateczność układów smukłych poddanych obciążeniu konserwatyw- nemu lub nie konserwatywnemu. W: Drgania i stateczność kolumn poddanych obciążeniu swoistemu uogólnio- nemu i śledzącemu z siłą skierowaną do bieguna dodatniego (realizacja techniczna poprzez elementy liniowe i kołowe, rozdz. 4. Praca zbiorowa pod kierownictwem naukowym i redakcją L. Tomskiego. Warszawa: Wyd.

Nauk.PWN, 2012.

4. Tomski L., Szmidla J.: Drgania swobodne i stateczność układów podanych działaniu obciążenia swoistego.

W: Drgania swobodne i stateczność obiektów smukłych, jako układów liniowych lub nieliniowych, rozdz. 4.

Praca zbiorowa pod kierownictwem naukowym i redakcją L. Tomskiego. Warszawa: WNT, 2007.

5. Bogacz R., Janiszewski R.: Zagadnienia analizy i syntezy kolumn obciążonych siłami śledzącymi ze względu na stateczność. Prace Instytutu Podstawowych Problemów Techniki PAN,6. Warszawa: IPPT PAN, 1986.