Problem równowagi statycznej napędu przy momentach bezwładności zależnych od drogi

LUDGER SZKLARSKI, KAZIMIERZ JARACZ

Problem równowagi statycznej napędu

przy momentach bezwładności zależnych od drogi

S potyka s ię pewne p r z y p a d k i, gdy moment b e z w ła d n o ś c i n ie j e s t s t a ł y . W arunki w s p ó łp ra c y s ta b iln e ;] s i l n i k a napę­

dowego z mechanizmem napędzanym, p rz y s ta ły m momencie bez­

w ła d n o ś c i, są d o b rze znane [ i ] . Jako p rz y k ła d y mechanizmów ze zmiennym momentem b e z w ła d n o ś c i można podać n p . maszynę wyciągow ą z bębnami stożkow ym i o ra z mechanizm korbowy ( n p , s p rę ż a rk a t ło k o w a ) . W ty c h mechanizmach moment bezw ładnoś­

c i j e s t z a le ż n y od d r o g i, p r z e b y te j p rz e z pewną masę.

W w ym ienionych przyp a d ka ch w a ru n k i równowagi s ta ty c z ­ n e j napędu z a le ż ą n ie t y lk o od n a c h y le n ia c h a r a k te r y s ty k s ta ty c z n y c h s i l n i k a i mechanizmu napędzanego, le c z je s z c z e dodatkowo od n a c h y le n ia w ykresu momentu b e z w ła d n o ś c i w fu n k ­ c j i d r o g i k ą to w e j. Ten w yraz b ę d z ie w p r z y b liż e n iu s t a ły w p rzyp a d ku maszyn w yciągow ych z bębnami stożkow ym i, pod­

czas gdy d la napędów z mechanizmem korbowym ma on c h a ra k te r f u n k c j i s in u s o id a ln e j, z okresowo z m ie n ia ją cym s ię znakiem .

W obydwu p rzyp a d ka ch te n w yraz dodatkowy może p ro w a d zić do n i e s t a b i l n o ś c i . Wyprowadzimy og ó ln e rów na nie równowagi m e ch a n iczn e j u k ła d u napędowego p rz y z a sto so w a n iu zasady Ha­

m ilto n a i rów na nia E u le ra -L a g ra n g e ' а [ б ] . Założymy p rz y tym , że :

a") n ie w y s tę p u ją s t r a t y w e lem e nta ch m echanicznych,

b ) wymuszenie zew nętrzne równe j e s t sumie a lg e b r a ic z n e j mo­

mentów p rz y ło ż o n y c h do w ałów : momentu M# ( t ) ro z w ija n e ­ go p rz e z s i l n i k ( momentu napędowego s i l n i k a ) i s t a t y c z -

147

nego momentu oporowego

c> osiowy moment bezwładności mas wirujących przeliczony do wału wirnika siln ik a je s t funkcją kąta obrotu, c z y li

J = J ( ^ ,

gdzie Ц> - je s t drogą kątową (kąt obrotu).

Współrzędną uogólnioną w rozpatrywanym przypadku je s t droga kątowa ^ wału. W ruchu wału siln ik a napędowego is tn ie je tylko jeden stopień swobody.

Poszczególne składniki fu n kcji energetycznej układu wynosząs

koenergia kinetyczna T'

= \ JCf)f’d^' = Jj(^)vf2 (1)

}Q energia potencjalna U

U = 0

( 2 )

składnik wyrażający energię wymuszenia zewnętrznego

t ^ t

ju(t')fC t') d t ' = J[MeCt#> - Ms t (t')] ^ d t' (3)

o o

Funkcja uogólnionej en ergii układu L* opisana je s t rów­

naniem ^

L * ( ^ ) = \ J ( f ) f2 - j" [Me C O - Ms t ( t ' ) ] ^ d t (4) O

Równanie Eulera-Lagrange' a w rozpatrywanym przypadku ma postać

- o

tirl/W'? - ^tK.ct') - M stcf>] at'] - ^jo ^ 2] = o

c z y li

Fo obliczeniu mamy

0

Po przekształceniu

+ 'ł2 H Sp- - ^{H 2 = V} fc) " Mst(t:)

bowiem

d -Jfrft _ Ш J, cft - 3^* T ostatecznie

« ч > ? ♦ s ^ - ^ f - ł 2' V r t - |l»tU ) (75 Różnicę momentu obrotowego Me( t ) rozwijanego przez siln ik i statycznego momentu oporowego Ms t ( t ) nazywamy momentem dynamicznym

MdCt) = MeCt) - Ms t Ct) (8) Z (6) wynika, że moment dynamiczny je s t sumą dwu składowych:

związanej z przyśpieszeniem masy wirującej wirnika silnika oraz związanej ze zmianą momentu bezwładności w czasie ruchu obrotowego. Równanie różniczkowe określające zależność mo­

mentu dynamicznego od momentu obrotowego i momentu statycz­

nego je s t nieliniowym ze względu na if , Zakładając, że osio­

wy moment bezwładności masy wirującej je s t stały i niezależ­

ny od drogi kątowej otrzymujemy liniowe równanie różniczkowe.

Mamy bowiem

J(^ ) = J = idem (9 )

c z y li

Zatem

d J U )

«Ц =

J ? = M Ct) - Ms t( t )

Md(t) = J ^ C t ) = J u ( t )

(10)

W systemie jednostek SI wymiary poszczególnych wielkości są następujące: LM] = N.m, [J] = N.ms , [co] = s .

li dalszym ciągu rozpatrzymy przypadek, gdy równanie momentów układu napędowego można przedstawić zależnością (7)

149

c z y li

gdzie:

Me - M8t = 'b JO ł)

''bsf co + J(^)có

(

)

“ * n

Rozważając pracę układu w pewnym punkcie, oznaczonym

"n ", napiszemy

co =

wtedy uwzględniając (2) , równanie (1) można rozwinąć w sze­

reg i uwzględniając tylko pierwsze wyrazy rozwinięcia otrzymamy :

( ^ H P Me) u (cOą+Aco)-^ Л * Л

+ П \occ / _ “ Mst(n ) T! J ~

M

eCn)

2

Ttłcf ~2--- T W E^n +1Л^^ ( 1 5 )

Dla stanu ustalonego równanie momentów napędu pracują­

cego w otoczeniu punktu (n) będzie

Me (n ) ” Ms t ( n ) = O (14)

O dejm ując ró w n a n ie (4) od ( 3 ) otrzym am y p o m ija ją c w i e lk o ś c i m ałe wyższego rz ę d u

Лам ,

д о 'cHO

1 - Ч & ) . - О ) . - — ■

Rozwiązanie tego równania ma postać

A*t gdzie

óo(t) = ćko(O)

^ j ( - ł ) ]

[ bss-;n - v

) J

J(4>)

A2 =

“ n

(15)

(16)

(17)

( 18 )

Układ z d e fin ic ji będzie stab iln y, gdy po pewnym cza­

sie (t-* -°o ) powróci on do punktu pracy (n ), to znaczy, że Acn winno dążyć do zera, co aa miejsce wówczas, gdy współczynnik przy t w wykładniku potęgowym będzie ujemny.

A więc dla układu stabilnego warunkiem równowagi bę­

dzie A„ < 0, to je s t

J(^ ) < 0 (19)

V przypadku stałego momentu bezwładności, drugi wyraz liczn ika zeruje się i otrzymamy znany warunek stab iln ej w stanach ustalonych t j . quasistatycznych :

t e l < t e l

W przypadku zmiennego momentu bezwładności (wzór (19)) dochodzi dodatkowy warunek, aby cały lic z n ik wzoru (19) był ujemny. N ajczęściej spotykane s iln ik i mają charaktery­

sty k i z tangensem kąta nachylenia < 0 (gdyż kąt nachyle­

nia je s t > 90° ) ; przy tym charakterystyki są zbliżone do liniowych, więc ich kąt nachylenia waha się bardzo nie­

znacznie dla poszczególnych punktów pracy. 0 ile pierwsze dwa wyrazy liczn ika (19) dają wartość ujemną we wszystkich punktach pracy (przy liniowych charakterystykach momentu obciążenia M ^ ) , to człon prawy może mieć różne wartości zależnie od punktu pracy, t j . od drogi . Je ż e li więc za­

leżność J(^>) ma charakter fu n kcji lin iow ej, to pochodna

^ będzie wartością sta łą i warunek (19)» o ile był speł­

niony w jednym punkcie, to najprawdopodobniej będzie speł­

niony w całym przedziale.

V przypadku parabolicznej zależności J ( ^ ) , pochodna będzie funkcją liniową ^ l warunek (19) może nie być

spełniony w całym obszarze.

151

Jako przykład rozważamy maszynę wyciągową z bębnami stożkowymi ( r y s .1) .

R y s.1 . Schemat kinematyczny in s ta la c ji wyciągowej z bębnami stożkowymi

Moment bezwładności znajduje się w takim przypadku z obliczenia ciężarów podnoszonych i opuszczanych naczyń wydobywczych oraz ciężarów lin . Moment bezwładności wypad­

kowy równa się sumie momentów bezwładności, przeliczonych do bieżącego promienia nawijania każdego bębna C2,3,4,53«

Promienie bezwładności będą funkcją drogi naczyń wydobyw­

czych, a więc i całkowitego kąta obrotu bębnów. Przy danym kierunku ruchu (np. przy podnoszeniu naczynia ładownego) promień nawijania bębna lewego rośnie od wartości 1Ц do Rg, zaś prawego - maleje od R2 do R^.

Wzory na obliczenie mas są podawane w lite ra tu rze fa ­ chowej ( por. np. [ 2 ,3 ,4 ,5 3 ) .

Całkowity moment bezwładności J c maszyny wyciągowej w tym przypadku można przedstawić w p ostaci następującej s

J c J L1 + J L2 + J 1 + J 2 + J B + 2 Jk l

gdzie: i J j^ - momenty bezwładności (zmienne) po­

chodzące od zwisów lin - lewej nawijanej

oraz prawej - odwijanejj

J<l i Jg - momenty bezwładności (.zmienne) pochodzące od naczyń wydobywczych - ładownego oraz próżnegoj

Jg - moment bezwładności bębnów (sta ły )ł

2 J k l - moment bezwładności dwu kół liniowych (s ta ły ).

Wyrażenia na powyższe składowe momenty bezwładności są podane poniżej (w funkcji drogi x przebytej przez naczynie wydobywcze)s

'L1 = ê t a +_c ^L0

= g f o + b12

+ i- ± - a Г]

g L1

E1 ł

"HI

НГ

fi.

Ï

Wykres wypadkowego momentu bezwładności J . przykładowo przedstawia rysunek 2. Na rysunku podano względny moment bezwładności odniesiony do jego wartości początkowej.

fiys.2. Wykres wypadkowego momentu bezwładności w funkcji drogi

Wykres ten może być aproksymowany nawet prostą. W tym przy­

padku pochodna momentu bezwładności względem drogi będzie dodatnia. O ile jednak warunek (9) będzie spełniony, napęd będzie pracował stab iln ie w całym zakresie, co zwykle ma

153

m ie js c e , gdyż n a c h y le n ie k rz y w e j j e s t m a łe , a w ię c wpływ p o ch o d n e j j e s t ró w n ie ż b a rd z o m a ły .

In n y p rz y p a d e k może m ieć m ie js c e p rz y c y k li c z n ie zm ie­

n ia ją c y m s ię momencie b e z w ła d n o ś c i, co ma m ie js c e w napędach z mechanizmem korbowym.

Schemat k in e m a ty c z n y mechanizmu korbow ego p rz e d s ta w ia r y s .

3

B y s .3 . Schemat k in e m a ty c z n y mechanizmu korbowego Moment b e z w ła d n o ś c i mechanizmu korbowego w yraża s ię w spo­

sób n a s tę p u ją c y :

'k -- m

(ST

■r^sin^p

д /l^ -i + r s in

-]

Ponieważ długość łą c z n ik a 1 j e s t z n a c z n ie w ię k s z a n iż promień r , w ię c w zó r powyższy można u p r o ś c ić , p o m ija ją c

i c o s ^ w s to s u n k u do 1 / r , w tedy . ?

s in ^

J k « m -2 - 2 f, m г sin ^ — — г sm^ G _2 . _2 n (24) g d z ie : G - c ię ż a r e le m e n tu m ,( ^ J s .3 ) o ru c h u lin io w y m ;

m - je g o masa.

U w z g lę d n ia ją c s t a ł y moment b e z w ła d n o ś c i w a łu i s p rz ę g ła J Q , moment b e z w ła d n o ś c i mechanizmu korbow ego w yraża s ię n a s tę ­ p u ją c o :

Przebieg funkcji Pochodna funkcji

sin vjf> = j . + Jv

CO.

o ' "k

przedstawia rysunek 4 . (2 5 ) 'n 'ЪСР

rbJkCf)

wyraża się w sposób następujący G г . sin 2sP

B ys.4. Przebieg funkcji sin if2

Jak widać, funkcja ta okresowo zmienia znak, ponadto wpływ je j zależy od przyjętego punktu pracy, charakteryzującego się przyjętą prędkością con.

LITERATURA

1. Szklarski L ., Pełczewski V. i in ni, Dynamika układów elektromechanicznych. PWN, Warszawa-Kraków 1963.

2 . Popowicz 0 ., Transport kopalniany, cz.A . Wyciągi szybo­

we. Wyd.Górniczo-Hutnicze, Katowice 1957.

3 . German.A.P., Szklarski F .N ., Eudnicznyje podjemnyje usta- nowki. Moskwa-Leningrad 194-7*

A. Obrąpalski J . , Elektryczne maszyny wyciągowe. Państw.Wyd.

Techn. 1954-.

5. Praca zbiorowa pod red. 1 .Szklarskiego, Napędy elektrycz­

ne maszyn wyciągowych, cz.1 i 2 . Wyd.II. PWN, Warszawa- Kraków 1966.

6. Szklarski L ., Jaracz K ., Wybrane zagadnienia dynamiki układów napędowych. PWN, Warszawa Iw druku).

155

STEADI-STATE PERFORMANCE OF ELECTRIC DRIVES WITH DISTANCE DEPENDENT INERTIA

Summary

There are some cases when in ertia of given driving system is not constant.

The conditions of stable collaboration of driving motor with driven mechanism with constant in ertia at steady-state are well known. But there do ex ist several machines with varying in e rtia . Most common cases are concerned with

e le c tric winders with conic drums ( f i g .1) and crank mechanism, e .g . piston compressor ( f i g .3) • In those mechanisms the mo­

ment of in ertia depends on the sistance travelled by some mass.

Figure 2 shews the moment of in ertia versus angular distance p lot of conic-drum winder, figure h shows the in ertia versus distance plot of a crank mechanism.

In th is case the conditions of stable performance of the system depend not only on the slope of ch aracteristics of motor and driven mechanism, but on an additional term as well (formula 19)» The la tte r depends on the slope of in ertia versus angular displacement ch a ra cte ristics. This additional

term may be regarded constant with conic drum winders, where as with the crank mechanism i t is represented by sine curve (formula 2 6 ), with periodically changing sign .

In both cases th is additional term may cause in s ta b ility .