Warunek równowagi bryły sztywnej:

http://pl.wikipedia.org/

linia węzłów

ψ

„punkt zamocowania”

http://suppiya.wordpress.com/2008/04/06/falling_cat/

Warunek równowagi bryły sztywnej:

Znikanie sumy sił przyłożonych i

sumy momentów sił przyłożonych.

Precesja koła rowerowego

mg

r

→

L

→

→

∆ + L L

→

∆ L

→

→

→

→

→

×

=

∆ =

∆

F r

M t M L

→

→

→

⊥

∆ ⊥

∆ r F

t L

L mgr t =

∆

= ∆

Ω ϕ

Częstość precesji:

J L r

≡

→

Oznaczenia na

poprzednich wykładach

L

∆ L

=

∆ ϕ ϕ

∆

Niezwykłe własności żyroskopów

• Kolej jednoszynowa

• Kompas żyroskopowy

Twierdzenie Steinera

S x’, x

y’ y

z’ z

O

m_i

→

r

is

d

→

r

i

I_s - moment bezwładności względem

osi równoległej do osi z przechodzącej przez środek masy S

I - moment bezwładności względem osi równoległej do osi przechodzącej przez środek masy i odległej od niej o d.

∑ ⁺

= m

_i

[( x

_i^'

)

²

( y

_i^'

)

²

] I

is i

is i

is i

z z

y y

d x

x

=

=

+

=

' '

'

,

Dobieramy osie układów wsp. tak aby:

∑ ∑ ∑

∑

∑

+ +

+

=

= +

+ +

= +

+

=

i is

i is

is i

is is

is i is

is i

m d

x m d

y x

m

y d

d x x

m y

d x

m I

2 2

2

2 2

2 2

2

2 )

(

) 2

( ]

) [(

∑ ^m

ⁱ

^x

^is

^{= 0}

Z definicji układu środka masy:

Stąd: 2

md I

I = _s +

Obliczanie momentów bezwładności prostych brył

• korzystanie z symetrii

• całkowanie

• skalowanie i tw. Steinera

R

m

Obręcz o promieniu R i masie m

Moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek ciężkości, prostopadłej do płaszczyzny obręczy.

Dzielimy obręcz na kawałeczki o masie m_i

2 2

2

2

)

( x y m R mR

m

I = ∑

_{i i}

+

_i

= ∑

_i

=

x y

m_i

x_i y_i

Płaski krążek

r

dr R

Dzielimy krążek na cienkie obręcze o promieniu r i szerokości dr.

dr R r

r m R dr

r m r

dm

dI

² ₂ ²

2

₂ ³

2 =

=

= π π

Moment bezwładności takiego pierścienia:

Sumując przyczynki od obręczy dla wszystkich r 0 do R dostajemy:

2 4

4 2

0 3

2

2

) 1 0 4 (

1 2

2 R mR

R dr m

R r I m

R

=

−

=

= ∫

Moment bezwładności kuli

R z

dm r

Dzielimy kulę o masie m na cienkie krążki o promieniu r i wysokości dz każdy.

Masa takiego krążka

dz R r

dz m r R

dm m

² ₃ ²

3

4

3

3

4 =

= π

π

Moment bezwładności krążka:

dz z

R R dz m

R r

dI m

₃ ⁴ ₃

(

^{2 2}

)

²

8

3 4

3 2

1 = −

=

∫

∫

∫ ^{− = − = − +}

=

−

R R

R

R

dz z

z R R R

dz m z

R R dz m

z R R

I m

0

4 2

2 4

3 0

2 2 2

3 2

2 2

3

( 2 )

4 ) 3

8 ( 2 3 )

8 ( 3

Sumując przyczynki od krążków dla różnych z dostajemy :

2 2

5 3

2 4

3

5

) 2 5 1 3

1 2 4 (

) 3 5

1 3

2 1 4 (

3 R R R R R mR mR

R

I = m − + = − + =

Moment bezwładności sfery

R

m_i r_i

2 2

2 2

2 _i

(

_{i i}

)

_{i i i i}

i

i

r m x y m x m y

m

I ⁼ ∑ ⁼ ∑ ^{+ =} ∑ ⁺ ∑

2 2

2

i i i

i i

i

x m y m z

m ∑ ∑

∑ ^{= =}

Z symetrii:

Zatem:

) 3 (

2

_{2 2 2}

2 2

i i

i i i

i i

i

x m y m x y z

m

I = ∑ + ∑ = ∑ + +

2 2

2

2

y z R

x

_i

+

_i

+

_i

=

Ponieważ:

2 2

3 2 3

2 R m mR

I = ∑

_i

=

Ten sposób można stosować do obliczania momentów bezwładności innych

brył, np.. do obliczenia momentu bezwładności krążka względem osi pokrywającej się z jego średnicą, wykorzystując fakt, że znamy moment bezwładności względem osi prostopadłej do jego powierzchni…

Symetria i skalowanie

Moment bezwładności można często wyznaczyć posługując się

argumentami skalowania i tw. Steinera Obliczmy moment bezwładności pręta o masie m i długości L, względem osi prostopadłej

przechodzącej przez jego środek masy

L L

Korzystając z analizy wymiarowej dochodzimy do wniosku, że moment ten powinien mieć postać:

mL

2

I = α

α - pewien współczynnik bezwymiarowy

Podzielmy w myśli pręt na dwie równe części i obliczmy (korzystając z tw. Steinera) ich sumaryczny moment bezwładności względem środka pręta:

2 2 2

2

1

2 m 2 L 2 m 2 L 4 mL 4 mL 16

I = +

 





 



 



 

 + 

 

 



= α  α

Ale I=I

1

2 2

2

16 4

mL mL = α mL +

α 12

= 1

α

²

12

1 mL

I =

Toczenie bez poślizgu…

F_n

F_s

mg α α T

) sin( α mgR

RF F

R

M =

_⊥

=

_⊥

= dt M

I d

₂

=

2

α dt M I d ω =

ϕ

dt d ϕ ω =

M I ε =

toczenie bez poślizgu to

R

= a ε

…jako obrót względem chwilowej osi obrotu

I

mgR sin( α )

ε = ) sin(

2

α I g

a = mR

I – moment bezwładności względem chwilowej osi obrotu

mR

2

I I =

_s

+

Z tw. Steinera

2 2

2 2 3

mR I

mR I

=

=

I_s – moment bezwładności Względem środka masy

dla walca dla obręczy

Obręcz toczy się wolniej!

ε- przyspieszenie kątowe

R

ω = υ

Jeśli chcemy znać wartość siły tarcia…

Toczenie jako złożenie ruchu obrotowego i postępowego…

 



=

−

= TR I

T mg

ma

s

ε

α )

sin(

ruch postępowy

ruch obrotowy

względem środka masy toczenie bez

poślizgu

R

= a ε



 



=

−

= R a T I

T mg

ma

s 2

) sin( α

 



 



=

= + R a T I

mR g I

a mR

s s

2

2 2

) sin( α

 



 



=

=

) 3 sin(

1

) 3 sin(

2

α α mg T

g a

Walec

 



 



=

=

) 2 sin(

1

) 2 sin(

1

α α mg T

g a

Obręcz

Żeby toczenie odbywało

się bez poślizgu, siła tarcia musi mieć odpowiednią wartość!

Zwiększając kąt α przy danym współczynnika tarcia f można doprowadzić do

poślizgu…(sprawdzamy eksperymentalnie dla walca i obręczy)

Wtedy siła tarcia przyjmuje maks.

wartość T_max =fmg cos(α) F_n

F_s

α α T

ϕ

Toczenie bez poślizgu gdy T<T_max !!!

Ruch obręczy – przykład połączenia ruchu postępowego i obrotowego

Ruch środka masy V

Obrót

ω

Obręcz wraca …

T

• ruch z poślizgiem (T=Tmax)

• ruch bez poślizgu (wartość siły tarcia dostosowuje się do sytuacji….)

Wahadło fizyczne

α

α

mg O

d

O – punkt zawieszenia wahadła

d - odległość od punktu zawieszenia do środka masy

I – moment bezwładności względem O

S

dt M

I d

₂

=

2

α

)

2

sin(

2

α α

I mgd dt

d = −

2

0

2

=

+ α

α

I mgd dt

d

Dla małych kątów α :

Równanie oscylatora harmonicznego

I

= mgd

ω mgd

T = 2 π I

Częstość drgań Okres drgań

O’

l

F

⊥

d

F

M = −

_⊥

Wahadło rewersyjne

Jaką długość l musi mieć wahadło matematyczne, aby miało okres T identyczny z wahadłem fizycznym?

g l mgd

I π

π 2

2 =

md

l = I

długość zredukowana wahadła fizycznego Jaki okres będzie miało wahadło fizyczne jeśli zawiesimy je w punkcie O’ odległym o l od punktu O?

) (

2 '

' mg l d

T I

= π −

I’ – moment bezwładności względem O’

z twierdzenia Steinera:

)

2

(

' I m l d

I =

_s

+ − I = I

_s

+ md

²

)

2

(

2

lmd md md l d

md I

I

_s

= − = − = −

l d l

m d

l m d

l md

I ' = ( − ) + ( − )

²

= ( − )

g T l d

l mg

l d l

T m = =

−

= π − 2 π

) (

) 2 (

'

Czyli:

Zatem: T=T’

Przy zawieszeniu

w punktach O i O’

okresy są równe!

α

α

mg O

d

S

O’

l

F

⊥

Długość zredukowana dla pręta zawieszonego na jednym z końców

L

l

mgd

T

_p

= 2 π I

²

3

1 mL I =

g T

_p

L

3 2 π 2

=

2 d = L

g

T = 2 π l okres wahadła matematycznego okres wahań pręta

L l 3

= 2

Zawieszając obok siebie pręt i kulkę na nitce o długości 2/3 L

można się przekonać, że okresy ich drgań są równe...

Wahadło rewersyjne

Wahadło składa się z pręta zaopatrzonego w dwie stałe osie pryzmatyczne O i O’

(osie pryzmatów zwrócone do środka)

Przesuwając masy m₁ oraz m₂ można zmienić położenie

środka ciężkości wahadła. Masy przesuwamy dopóty, dopóki okresy wahań wokół osi O i O’ nie zrównają się, wtedy

Odległość OO’ będzie odpowiadała długości zredukowanej wahadła fizycznego l. Znając odległość OO’= l oraz okres drgań T

można wyznaczyć przyspieszenie ziemskie, tak jak zrobił to H. Kater w 1818 r...

2

4

2

T g π l

=

m₂ O

O’

m₁ l

g T = 2 π l

Grawimetria – badanie zmian siły ciężkości w terenie (na jednakowym poziomie lub zależności od wysokości)

(poszukiwanie kopalin, badanie wyrobisk i innych form wewnątrz ziemi…

Dokładność współczesnych grawimetrów – 10^-8 g = 0,01 mGal (1 Gal = 0,01 N/kg)

Uderzenie bryły

O

S

F O’

W jakiej odległości od punktu O należy uderzyć bryłę, aby bryła podczas uderzenia dokonała obrotu wokół punktu O?

Ruch postępowy środka masy:

m t ma

F ∆

= ∆

= υ

Aby ruch środka masy można było opisać jako obrót wokół punktu O to powinien być spełniony związek:

l d

ω υ = ∆

∆ d

d – odległość środka masy od punktu O

∆ω - przyrost prędkości obrotowej bryły

ml t

Fl ∆

= ∆ υ

mld t

Fl ∆

= ∆ ω

I t

Fl ∆

= ∆ ω

Fl

– moment siły F względem punktu O,

więc powinno być spełnione dla ruchu obrotowego bryły…

Zatem:

md

l = I

Czyli bryłę należy uderzyć dokładnie w odległości równej długości zredukowanej wahadła fizycznego...

Uderzenie pręta

L

l=2/3L

obrót wokół końca

F

F

F

ruch postępowy koniec pręta się cofa…

S

O’

O

O’ O’

O’ – środek uderzenia pręta (trzymanego na końcu)

Trzeba uważać gdzie się trzyma młotek…

F

O’ S O

Tu należy trzymać, żeby nie bolało!