Rozkład temperatur w rekuperatorze Fielda przy krzyżowym przepływie czynników

Seria; ENERGETYKA z. 39 Nr koi. 310

JAN SKŁADZIEŃ

^Instytut Techniki Cieplnej

ROZKŁAD TEMPERATUR W REKUPERATORZE FIELDA PRZY KRZYŻOWYM PRZEPŁYWIE CZYNNIKÓW

Streszczenie. W artykule rozpatrzono wymianę ciepła w kon- wekcyjnym rekuperatorze Pielda przy krzyżowym przepływie czynników. Założono, że temperatura czynnika grzejąceg> nie zmienia się w kierunku prostopadłym do kierunku przepływa, a więc jest jedynie funkcją jednej zmiennej. Po przyjęciu stałych pojemności cieplnych i współczynników przenikania ciepła oraz po pominięciu strat ciepła podano równania o—

pisujące rozkład temperatur dla dwóch wariantów przepływu czynnika ogrzewanego w elemencie Pielda. Dla porównania po­

dano przebiegi temperatur przy tych samych założeniach w wymienniku pętlicowym. W zakończeniu zilustrowano wyprowa­

dzone wzory przy pomocy prostego przykładu liczbowego.

1. Wstęp

Obliczenia rozkładu temperatur w elemencie Pielda przeprowadza się na ogół przy założeniu równoległego przepływu czynników [i], [5], [?], bądź też stałości temperatury czynnika grzejącego [2 ]. W przemyśle spotyka się jednak często wymienniki Pielda z krzyżowym przepływem czynników. Schema­

tycznie przypadek taki przedstawia rys. 1.

W rekuperatorze Pielda istnieją dwa czynniki, trzy strumienie o"az dwie powierzchnie ogrzewalne. W dalszjm ciągu dla ułatwienia będzie używ_me - niezbyt prawidłowo - określenie "czynnik" w odniesieniu do poszczególnych strumieni, a więc będą rozpatrywane trzy "czynniki".

Z bilansu energii przy założeniu stanu ustalonego, po pominięciu strat ciepła oraz przepływu oiepła wzdłuż przegród otrzymuje się układ równań różniczkowych;

k 1 - 2^1 - V " k2 - 3 ^ 2 - V dXdY

k2-3^2 ~ *3) dXdY - I2 “

h1

2 íTT O 2 Jy 1

—

sx

dY

W 1 9*1 k1^_2^(t1 - t2) dXdY = - ^1 dY jjl dX

78 Jan Składzień

Rys.1.WymiennikFieldaz krzyżowymprzepływemczynników a)schematwymiennika,b)modelteoretyczny,c)rozkładtemperaturdlax = const

gdzie;

kj_ j - współczynnik przenikania ciepła od czynnika i-tego do j-tego, t^ - temperatura i-tego czynnika,

W. - bezwzględna wartość pojemności cieplnej strumienia substancji 1 i-tego czynnika,

x , yQ - wymiary powierzchni wymiany ciepła A = x 0y0 , X, Y - współrzędne bezwzględne (rys. 1b).

Przyjęto, że powierzchnie wymiany ciepła pomiędzy czynnikami 1 i 2 o- raz 2 i 3 są takie same. Jest to dopuszczalne, gdyż w równaniach (1) wy­

stępują iloczyny k ^ d Y d Y , a zatem fakt zmiejszenia powierzchni między czynnikami 2 i 3 można uwzględnić biorąc do obliczeń odpowiednio mniejszy współczynnik ^2-3"

Zakładając Wg = W^ oraz przyjmując współrzędne bezwymiarowe:

y = ~ Jo

otrzymuje się:

at„

+ ł2 ~ y * “ af + t3

1 dt3 ł3 + * “®y *2

+

i - t

“ - x2

(2 )

gdzie;

X = 1

-

.

2-3

(Ki_2 ) = ci-2x0y0

(K 2- 3 ) _ łc2-3X 0y0

(3)

Zakłada się przy dalszych obliczeniach stałość wielkości i w -p«a ty111 samym X, i (Kg_.j)..

Warunki brzegowe dla układu równań (2) przyjmą postać:

t l x =0 = t l d i

y=i

(x) = t.

y=i

(x) (41

80 Jan Składzień

2. Wyznaczenie rozkładu temperatur w elemencie Fielda przy całkowitym wy­

mieszaniu czynnika grzejącego

Układ równań (2) jest w ogólnym przypadku dość kłopotliwy do rozwiąza­

nia. Problem można znacznie uprościć przez przyjęcie założenia,że na sku­

tek wymieszania czynnika jego temperatura jest w każdym poprzecznym prze­

kroju niezmienna. Zatem temperatura t^ jest jedynie funkcją x: t^=t.(x\

podczas gdy czynniki 2 i 3 płyną adiabatycznymi strumieniami,pomiędzy któ­

rymi nie ma wymiany ciepła, a więc tg = tg(x, y)j t^ = t^iK, y).Przyjęte założenia w odniesieniu do czynnika ogrzewanego wydają się uzasadnione, gdyż w rzeczywistości wymiennik Pielda składa się z wielu osobnych elemen­

tów, do których dopływa czynnik o stałej temperaturze na dolocie, a wymie­

szanie następuje po wypływie z elementu. Jeśli chodzi o czynnik 1,to mo­

żliwe są dwa graniczne przypadki: czynnik 1 zachowuje się podobnie jak 2 i 3, tzn. nie ma mieszania oraz ruchu ciepła prostopadle do kierunku pize- pływu i wówczas t^ = t^(x, y) oraz przypadek przyjęty w niniejszym opra­

cowaniu: t1 = t^ix), zakładający niezmienność temperatury czynnika 1 wzdłuż osi y. Wydaje się, że w rzeczywistych urządzeniach występuje przy­

padek pośredni, a rozwiązanie konstrukcyjne wymiennika decyduje, który z przypadków granicznych przeważa.

Po przyjęciu powyższych założeń układ równań (2) przyjmie postać:

at„

U + 1) ł2 " * “ a f ■ + * 3

at^ +

~ d y

=

= ^J

(5)

Ostatnie równanie układu (5) otrzymuje się po scałkowaniu odpowiedniego równania układu (2) w granicach od 0 do 1 względem zmiennej y lub bezpo­

średnio z bilansu energijnego czynnika 1, który przyjmie postać:

f yo

- W^dt^ = / k1 - 2^1 “ V 0

Podobne założenie można przyjąć w odniesieniu do czynnika ogrzewanego^

Wówczas temperatury tg i t^ są funkcją jedynie zmiennej y, podczas gdy t^ = t1(x, y). Ważny będzie wtedy układ równań różniczkowych:

1 3 t 1 t'>+ • ~ = *2

1 dt3

*3 + ’ W = ł2

1 d t 2 [

+ t2 " CK2_ 3'5 ’ W " ^ l t1dX + ł3

(5a)

Przyjęcie niezmiennej temperatury czynnika ogrzewanego w wymienniku Fielda w kierunku prostopadłym do jego ruchu wydaje się być słuszne głów­

nie w odniesieniu do pojedynczego lub grupy równolegle ustawionych elemen­

tów. Zależności wynikowe dla tego przypadku podane są w [3 ].

Rozwiązanie dwu pierwszych równań układu ^5) względem zmiennej y jest dobrze znane [2 ] i ma postać:

t, = t1 + C^e + C2e

r C

n r ^"2 1

t2 - ti + c1 [ 1 + p q ^ y ] e + c2 |^1 + p ę ^ y ]

<^y

(6a)

(6a)

gdzie:

_

^ 1f2 = — H - c + V 1 + 4/3f) 17)

y=0

=t.

y=i y=i Stałe i C2 będące funkcjami zmiennej x za pośrednictwem temperatu­

ry t1 można wyznaczyć z warunków brzegowych: t3

i wynoszą one:

<“ 2 (t1 - t3d) /tg e C1 = 7*2 <“■,

/*2e - Ą e

18)

82 Jan Składzie;!

Po podstawieniu,otrzymanych, zależności do równania (6b), a następnie do 3 z równań układu (5) otrzyma się:

dt,

S T = “ + ^ t3d W

gdzie:

2 <“l

<K1-2> V ~ 6 ^10)

<u'2e “ < V lub po wykorzystaniu (7):

2W2

e = ---- iii- , (10a)

1 + yi + A/K ctgh [ifCK2_3) Y 1/4 + 1/KJ

Rozwiązanie równania (9) po wykorzystaniu warunku brzegowego t^| = ^id przyjmie postać:

*1 = Ł*id - ł3d> e"^X + ł3d

Po uwzględnieniu (11) i wyrażeniu stałych i jako funkcji zmiennej x otrzymuje się ostatecznie:

<“l /2y <“? <“ly /i-e e - ¿(-e ce

*2 = t3d + ^ 1 d " t3d) e X ^ — JT ) ^12- f*2e ~ < V

iS /ii /i <“2y

<“?e e - <“ie e

* 3 = t 3d + ^ 1 d “ ł 3d^ e ^ ~ ~ J r2 ~ j n ^

<“2 ” H

Łatwo sprawdzić przez podstawienie, że zależności (11), (12) i (13) speł­

niają układ równań (5) oraz warunki brzegowe (4), jak również wynikającą 3t,

z nich zależność: = 0.

y=1

Po wprowadzeniu wielkości bezwymiarowych :

& J j J L h ś : (14)

1 1 ^d 3^d rozwiązanie układu równań (5) przyjmie postać:

@1 ^{= e (}1 1^a)

<“2y <“2 <“ly / i , e ^ e £ - Jl^e Ł e

0 2 = 0 1 ( 1 . 2 1--- (la.)

¿2 * - < V

u eV 1 y . / l / 2 y

®3 = W --- k --- * l13a)

p 2 e - ^ e

gdzie /@ jest określone zależnością (10^a).

Przyrost temperatury czynnika ogrzewanego wyrażony bezwymiarowo wynie­

sie na podstawie (12a) po uwzględnieniu (7)i

@ _ z2m ~ ^3d _ q _________________2__________ = — — = = - (15) 0 t1d “ ł3d 1 1 + V 1 + 4/* ctgh [ae (K2_ 3) y 1/4 + 1/«]

Dla W.j-— ao (K^_2 ) “""0* a zatem (8— 0 i 0^— — 1. Wówczas:

0 „ t2wmax ~ t3d _ = = = = = ___ --- ---- (15^a)

°max 1 d “ t3d 1 + yi+4/K ctgh [ « ( K 2_ 3) ^1/4 + 1/«*]

Jest to wzór identyczny z podanym w £2]. Zależność (15a) jest równocześ­

nie ważna dla x = 0. Można więc napisać:

0 o = 0 q e-P1 (15b)

84 Jan Skłaazień

gdzie 0 jest przyrostem temperatury czynnika ogrzewanego 0 dla x =

max 0

= 0. Po scałkowaniu lewej strony równości (15b) względem zmiennej x w gra­

nicach od 0 do 1 otrzymuje się średnią wartość temperatury czynnika ogrze­

wanego na wylocie (wyrażoną bezwymiarowo):

t,. - t, , W,

®ś r = Cr _ t3 ) = r 1 Ci - e ) (16) 31 t1d 3d śr W2

Ilość ciepła Q oddaną przez czynnik 1 można wyznaczyć z zależno­

ści (1 6 ) lub rozpatrując bezpośrednio czynnik 1 i wyniesie ona:

Q = w -|(t1d ~ t1w) (17)

gdzie:

ł1w " tll |x=1. = t3d + Ct-ia ” t3d) e B lub

Q = w -,(t1d - t3d)(1 ^{- e-*) (17a)} Gdy powierzchnia wymiany ciepła A = xQy wówczas:

W

^ raax = T T y r T W i1 0 b 1

Sprawność 7 omawianego wymiennika wyniesie:

Sdzie Om ot jest ilością ciepła oddaną przez czynnik 1 gdy powierzchnia A— *-<*>.

Gdy W.J-— « :

7 . 0 = l im . . 1 - 1 + t f T + 7 / » ____ _ (18a, 1 - e~*.max 1 ^{+ yi + ą}/X ctgh [ * ( K 2_3 ) y 1 /4 + tW ] *

Dla A — 7^{«, = 1„}

3. Wymiennik Fielda z odwróconym kierunkiem przepływu czynnika ogrze­

wanego

Schemat wymiennika Fielda z odwróconym kierunkiem przepływu czynnika ogrzewanego podaje rys. 2.

Dla podanego schematu przepływu czynników układ równań różniczkowych, wynikający z bilansów energii przy założeniu niezmienności temperatury czynnika 1 względem zmiennej y, przyjmie postać:

1 ” 2 0tr ł2 + * “3 7 = *'1

at

łi + * a r - = / łs

1 ^ o

Warunki brzegowe będą następujące:

dy

(19)

V t2 | y = 0 = t 2 d i t 2 |y=1 = t 3|y=1 Postępując analogicznie jak uprzednio oraz wprowadzając:

(2 0)

(14a)

otrzyma się rozwiązanie postaci:

0 1 = e~Px

(

)

<“2 -<^y - Ą y 0 2 = 01 ( 1 . ^ e. e , -

y

u <“2 - ^ e^1

®3 " 9,i' - ^ >

<“2e " < V

gdzie j i |8 są określone zależnościami ^7) i (10a).

(22)

(23)

86 Jan Składzień

©

Rys.2.WymiennikFildaz odwróconymkierunkiemprzepływuczynnikaogrzewanego a)schematprzepływuczynników,b)modelteoretyczny,c)rozkładtemperatur

Łatwo można sprawdzić, że zgodnie z fć] @ określone tu wzorem:

max

0 = ^3wmax t2 d

max T1^{d "} 2^d

jest takie samo jak uprzednio (równanie (15a)). Zrozumiały staje się więc jednakowy z obu przypadkach przebieg zmian temperatury czynnika 1, a tym samym i równość 0 Q dla takiego samego x. Identyczne będą też w tych sar mych warunkach wielkości & g r , Y i Q.

4. Wymiennik pętlicowy

Dla porównania i uzyskania pełniejszego obrazu rozpatrzono wymiennik ciepła pętlicowy z krzyżowym przepływem czynników przedstawiony na rys.3, który może być również uważany za odmianę wymiennika przedstawionego naiy- sunku 2b.

Dla powyższego wymiennika równania bilansu przyjmą postać:

W„ at„

k 1 - 2 ^ 1 “ t2 ) = x 7 * T y

W„ 9t, c1-3lt1 * V * " *T • “ 5y

k 1-2^1 “ t2^ + k 1-3^ł1 " = “ y^ ' ~8x

Po wprowadzeniu bezwymiarowych wielkości:

124)

*1 “ ^ 1 - 2 ^ = °* ŁK> 1 > = ~± T -

k1-3x0y0 k1-3xoy0

5

1 ---

3 2

i założeniu stałości temperatury wzdłuż osi y, tzn. t^ = t.j(x) otrzy­

ma się:

88 Jan Składzień

Rys.3.Wymiennikpętlicowyz krzyżowymprzepływemczynników ) schematwymiennika,b)modelteoretyczny,c)rozkładtemperatur

Warunki brzegowe będą takie same jak poprzednio:

b1 x»0 ^fc1^d» _y=Q ^ł2^d*

y=i y=1 (26)

Rozwiązanie dwóch pierwszych równań układu (25) po wykorzystaniu warun­

ków brzegowych przyjmie postać:

t2 - t, - lt1 - t2d) e t ^ )

»1

127)

(28)

Po podstawieniu zależności tych do ostatniego z równań układu (25) otrzy­

ma się ostatecznie:

Cl a "* i ^ 2_ 1) y - 0 ,11 ^{- e} 2 -1 ⁾

129)

(30)

gdzie:

@ 3 - « lti - eiK> 1 )y)

p łi - ł2^{d , , k}1- z V b . (r , ^ 1 - 2 +k1-3^oyo V - *2d 2-1 "i- z ---

T e r }

W 2

131)

(32)

Całkowity względny przyrost temperatury czynnika ogrzewanego wyniesie:

(33) L

Dla W p*00 lub x = 0 otrzyma się:

ą . > 4 ^ 4 . e t 1 . .-“ .'j 0 ^*1^d 2^d 1

1 - e -(*.) max

(33«)

90 Jan Składzień

a stąd:

®o = ®o e~ n C33b)

°max

W

®śv = 177 Ł1 - e~ ^ 134)

ć.

W przypadku nieskończonej powierzchni wymiany ciepła A = xQyo— <*> :

^ max W2 I32a)

więc:

r? _ Q _ 1 — e- 7

T ‘ w " 7 7 7 ^ U 5 )

Gdy W^*~00 , wówczas omawiany wymiennik pętlicowy zachowuje się Jak zwyk­

ły dwuczynnikowy wymiennik ciepła ze stałą temperaturą czynnika grzejące­

go i otrzymuje się wtedy dobrze znane wzory, a w szczególności sprawność wymiennika wyrazi się zależnością:

-IK )

?oo= 1 - e z (35a1

5. Przykład

Dla zilustrowania podanych wzorów wykonano przykładowo obliczenia dla następujących danych:

W 1 = W 2 = 500 lig* k 1-2 ~ k 1-3 = 30 ~2~ » k ?-3 = 20 “ 2^— » A = 50 m 2

& m deg J m deg

Dane powyższe mają wartości tego rzędu, jak w obecnie stosowanych elemen­

tach Pielda w przypadku gazowych czynników roboczych (powietrze-spaliny).

Współczynnik przenikania ciepła ^2-3 ma “niejszą wartość ze względu na zmniejszenie powierzchni wymiany ciepła między czynnikami 2 i 3 o około 1/3 w stosunku do powierzchni między czynnikami 2 i 1. Obliczenia poniż­

sze mają charakter sprawdzający. W przypadku obliczeń konstrukcyjnych,przy przyjętych uprzednio założeniach, obliczenie powierzchni wymiany ciepła dokonuje się bardzo łatwo przy pomocy zależności (17a), z której można ob­

liczyć wykładnik potęgowy fi zależny bezpośrednio od powierzchni (wzór (10a)) za pośrednictwem liczby kryterialnej

Obliczenia wykonano dla trzech rozpatrzonych uprzednio wariantów (rys.

4a). Po wykonaniu odpowiednich obliczeń otrzyma się dla poszczególnych przypadków następujące zależności:

Na podstawie powyższych zależności wykonano wykresy przedstawione na ry­

sunku 4b i 4c.

Należy zaznaczyć, że wszystkie uwagi odnośnie przebiegu temperatur poda­

ne w pracy [2] są w dalszym ciągu aktualne. Przebieg temperatur dla i =

= const różnego od zera będzie podobny, jak na rys. 4b, jedynie wszystkie krzywe ulegną obniżeniu w jednakowym stopniu dla danego x.Wykres tempera­

tury dla przypadku III (rys. 4c) będzie się niemal pokrywał z wykresem ©u j j-

Jak widać z rys. 4 najkorzystniejszy jest układ III, co było do prze­

widzenia, ze względu na większą powierzchnię ( k ^ ^ > k2- 3^ oraz ze wzglę­

du na korzystniejsze warunki wymiany ciepła (brak odpływu ciepła od ogrze­

wanego czynnika 2). Najmniej korzystny jest wariant II,który daje co praw­

da ten sam efekt cieplny co przypadek I, jednak jest wtedy wyższa maksy­

malna temperatura ścianki (wysokie @2 = ©3 dla y = 1). Wysoka i sprawność oraz rosnąco - malejący przebieg temperatury ®2 w przypadku I wynikają z przyjęcia stosunkowo dużej powierzchni ogrzewalnej.

I: 0 1 = e-°»683x

02 = O j(1 - 0,00320e4 ,37 2y - 0,31 4e_ 1 »373y)

= ®-|(1 - 0 ,99 9e“ 1,373y - 0 ,0 0 1 e4 ' 372y)

II: 01 = e-°*683x

®2 = ®1^1 “ 0,999e“ 4’372y _ 0,001e1,373y)

©3 ⁼ 6^(1 ^- 0^,00320^e1 ,373y - 0,314e~4,372y) III: 01 = e_0»998x

@2 ^{= ®i C}1 ^{- e“3y)} 0 3 = ©.,(1 - 0,0025e3y)

I, II: &śr = 0,495;

V

=

,

;

92 Jan Składzień

Rys. 4. Wyniki obliczeń przykładu liczbowego

a) schemat przepływu czynników, b) rozkład temperatur w funkcji anienrej y, c) rozkład temperatur w funkcji x

Obliczenia przeprowadzone dla tych samych danych przy założeniu t^ =

= t1 (x, y); t2 = t2 ^y) i t^ = t^iy) na podstawie zależności podanych w [3 ] dają wypiks

& Q = const =■ Q^r = 0,452

Strumień ciepła obliczony przy tych założeniach jest więc nieco mniejszy

^o niecałe 10%) niż uprzednio. Różnica jest jednak stosunkowo niewielka.

' Dla porównania wykonano obliczenia powierzchni elementu Fielda przy sta­

łej temperaturze czynnika grzejącego dla takiej samej ilości przekazane­

go ciepła jak w przypadku I i II (rys. 4a), przy czym do obliczeń wykona­

nych na podstawie [2] przyjęto » @^r oraz stałą temperaturę @ 1 równą średniej arytmetycznej dla x = 0 i x = 1 . Obliczona powierzchnia wynio-

O

sła 30 m", a więc różnica wynosi 40% w porównaniu do powierzchni otrzyma­

nej przy założeniu przepływu krzyżowego. Przy mniejszych sprawnościach roz­

bieżność, co jest zrozumiałe, będzie szybko malała i tak np. jeśli przyj­

mie się przy przepływie krzyżowym A = 25 m^ (7 = °»95) różnica wyniesie 12%

zaś przy A = 10 n? ( 7 = 0,7) tylko 2,5%.

LITERATURA

[1 ] Hobler T. - Ruch ciepła i wymienniki, WNT, 1968.

[2 ] Kcstowski E. - Rozkład temperatur w opromieniowanym elemencie Fielda, ZNPS, Energetyka z. 28, 1968.

[3 ] Madejski J. - Teoria wymiany ciepła, PWN, 1963.

[4 ] Michiejew M. - Zasady wymiany ciepła, PWN, 1953.

[5 ] Około-Kułak W. - Trójczynnikowe wymienniki ciepła, ZNPS,- Mechanika z.

1, 1954.

[ć] Około-Kułak W. - Równowartość trój strumieniowych rekuperatorów ciepła, ZNPS, Energetyka z. 28, 1968.

w Shao Ti Hsu - Engineering Heat Transfer, New York, 1963.

PACHOJIOSEHME TEMI1EPATYP B PEKYREPATOPE SMbflA B CJiyhAE KPECTOBOrO IIPOIUMBA TEHJI0H0CKTEJ1EH

P e 3 10 u e

B C T a T b e n p H B e s e H T e n x o o 6 u e H b KOHBexunoHHOM p e x y n e p a T o p e $ t u i b a a b c jiy -

^ a e K p e c T O B o r o re^eauu T e n x o H o c n T e J i e i i . P a c c u o T p e H O c j i y n a f t , x o r x a T e s n e p a - T y p a r p e n ą e r c T e r u io H o c u T e jia M e H a e T c a T o a b K o b HanpaajieHHH T e i e H H a , t s k h m

94 Jan Skladzieri

ofipa30M oHa S B J ia e ic a $yHKnneii ojH oii nepeMeHHoii. IIph h st o nocToaHHhie r e - njioëMKocTH m K0 3$iÿimneHTfci tenjiooOw eH a. IipeH eepexeH K noTepH T e n a a . fljia 3Toro cjiy u att .naHbi ypaB H em ia K3o6paxaj3m ne p a c n p e a e jie H n e T etuiepaT yp jjia n,Byx c a y s a e B TeueH na H arpeB aeM oro T e n io H o c m e M b sjieMeHTe $HJib,na, a i a K * e jijih n eT eB o ro p e K y n e p a T o p a . lioHicpeTHhik npHMep, npnBe,neKHt'ii b paÈOTe k jijib c t j Hpy- eT noayvenH tie pe3yjn>T aT ti.

THE TEMPERATURE DISTRIBUTION IN THE CROSSPLOW FIELD RECUPERATOR

S u m m a r y

There has been considered, heat exchange in the convective crossflow Field recuperator. It was assumed that the heating medium temperature is constant in normal direction to the flow; thus it depends merely on one variable. Assuming constant capacity rates, heat transfer coefficients and neglecting heat losses, there have been derived the equations describing the temperature distribution for two cases of flow of the internal fluid in the Field recuperator. For comparison the temperature profile in the multipass exchanger with the same assumptions is given. As a conclusion the derived relations have been used for solving a simple problem.