Prace Naukowe Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach. Prace Matematyczne. [T.] 1

PRACE

MATEMATYCZNE

1

PRACE MATEMATYCZNE I

PRACE NAUKOWE

UNIWERSYTETU ŚLĄSKIEGO W KATOWICACH

NR 2

PRACE MATEMATYCZNE

I

R E D A K T O R N A C Z E L N Y

W Y D A W N IC T W U N IW E R S Y T E T U Ś L Ą S K IE G O Kazimierz Popiołek

S E K R E T A R Z R E D A K C JI Adam Jarosz

R E D A K T O R W Y D A W N IC T W W Y D Z IA Ł U M A T E M A T Y K I F I Z Y K I I C H E M II August Chełkowski

R E D A K T O R Z E S Z Y T U Mieczysław Kucharzewski

O P R A C O W A N IE G R A F IC Z N E Tadeusz Siara

Wydawca

U N IW E R S Y T E T Ś L Ą S K I W K A T O W IC A C H , U L . B A N K O W A 12

Nakład 380+25 + 100 nadbitek autorskich. Ark. wyd. 8,5. Ark. druk. 6 “ / w Format B5. Papier druk. sat.

k l. I I I kl. B I. Skład rozp. 12. IX . 1969 r. Druk ukończ, w grudniu 1969 r. Cena zł 11.— . Zam. 751/69. A-070-1343.

D R U K A R N IA U N IW E R S Y T E T U J A G IE L L O Ń S K IE G O , K R A K Ó W , U L . C Z A P S K IC H 4

Ja n Am b r o s ie w ic z : O p rzyw ied ln ości w ie lom ia n ów charakterystycznych pew nych m acierzy

— On the reducibility o f characteristic polynomials o f some m a t r ic e s ...

Ja n Bł a ż: O pewnym równaniu różniczkowym z odchylonym argumentem — Ober eine Differentialgleichung mit verschiebenem Argument ...

Ja n Bł a ż: O istnieniu i ograniczoności rozwiązań pewnego układu równań różniczkowo- całkowych z opóźnionym argumentem — On the existence and boundedness o f solutions o f a system o f differential equations with delayed argum ent...

Ta d e u s z Dł o t k o: Sur l’equilibre asymptotique d’un systóme d’equations differentielles- fonctionnelles fi argument retarde — O równowadze asymptotycznej układu równań różniczkowo-funkcyjnych z opóźnionym a ig u m e n te m ...

Eu g e n iu s z Gł o w a c k i: On approximate solutions o f linear functional equations — O przybli­

żonych rozwiązaniach liniowych równań fu n kcyjn ych ...

Mie c z y s ł a w Ku c h a r z e w s k i: Einige Satze fiber die Funktionen mit Matrizenargumenten —- Kilka twierdzeń o funkcjach z argumentami m acierzo w ym i...

Mie c z y s ł a w Ku c h a r z e w s k i: ICovariante Ableitung der Skalare und Dichten — Pochodna kowariantna skalarów i gęstości...

Mic h a ł Lo r e n s: Remarks on differential concomitants of the covariant tensor — Uwagi o komitantach różniczkowych tensora kow ariantnego...

Ja n u s z Ma t k o w s k i: On some properties o f solutions o f a functional equation — O pewnych własnościach rozwiązań równania fu n k c y jn e g o ...

Ma r e k Ro c h o w s k i: Immersions o f two-manifolds in Euclidean spaces — Zanurzania dwu­

wymiarowych rozmaitości w przestrzeniach euklidesowych...

Ed w a r d Si w e k, An d r z e j Za j t z: Sur les comitants algebriques des densites—O algebraicznych komitantach g ę s to ś c i...

Gr z e g o r z Łu b c z o n o k: Some remarks on connexions of skew-symmetric tensor — Pewne uwagi o koneksji dla tensora skośnie symetrycznego...

Ta d e u s z Dł o t k o: Sur certaines equations intćgro-differer.tielles du n-ieme ordre — O p e ­ wnych równaniach różniczkowo-całkowych rzędu n ...

7

15

25

33

41

53

61

71

79

83

91

99

103

P R A C E N A U K O W E U N I W E R S Y T E T U Ś L Ą S K I E G O W K A T O W I C A C H N R 2 P R A C E M A T E M A T Y C Z N E I, 1969

Ja n Am b r o s i e w i c z

O p rzy w ied ln o ści w ie lo m ia n ó w ch arak terystyczn ych p e w n y c h m acierzy

Celem niniejszej noty jest podanie pewnych twierdzeń dotyczących macierzy specjalnych klas. Dzięki tym twierdzeniom szukanie wartości własnych tych macierzy sprowadza się do rozwiązywania równań algebraicznych niższych stopni. Uzyskane to wyniki uogólniają niektóre rezultaty zawarte w pracach [1] i [2]. Rozważane tutaj macierze mają zastosowania w fizyce.

I

Podamy kilka prostych twierdzeń, z których będziemy korzystali w dalszej części pracy.

Tw ie r d z e n ie 1. Jeżeli macierze A i B są przemienne i istnieje taka nieosobliwa macierz T, źe T ~ 1A T = ó i& g{X l , X2, ..., Xn), gdzie X rfX j dla i ^ j , to T ~ 1B T —

=diag(t>!, v2, ... ,v„).

Tw ie r d z e n ie 2. Jeżeli macierze A i B są przemienne i istnieje taka nieosobliwa macierz T, że T ~ l A T = diag(Ax, A2, ..., An) , gdzie Xl —X2 — ... — Xr , zaś X ^ X j dla i , j = r + l , r + 2 , . . . , n , to 7’_1 R7’ = d ia g (C , vr+1, gdzie C jest macierzą kwadratową stopnia r.

Podstawiając w równaniu macierzowym A B = B C ([3], str. 199) C = —A i pro­

wadząc odpowiednie przeliczenia, dostajemy dwa następujące twierdzenia:

Tw ie r d z e n ie 3. Niech będą dane dwie macierze A i B stopni parzystych takie, że A B = —BA. Jeżeli T _1A T = diag(A1( X2, ..., An) , gdzie wartości własne macierzy A są różne i

A , + ^ l # 0 d,a

1 = 0 dla j = n — i + 1 , to T ~ 1 B T = Diag(i?i, v2, ..., v„).

Zapis „D ia g“ oznacza, że macierz T~ l B T ma na drugiej głównej przekątnej elementy vr , v 2, ...,v n, zaś pozostałe elementy równe zeru.

Wniosek I. Niech będą dane dwie macierze A i B stopni parzystych takie, te A B = —BA. Jeżeli T ~ l A T = diag(At , A2, ..., A„), gdzie A ,# 0 (/ = 1, 2, ..., ri) i Aj = A 2 = ... = A.„/2 = —A„ = —A„_ j = ... = — ABy2+j , to T 57’= D ia g (K 1, F 2), gdzie V t i V2 oznaczają macierze kwadratowe stopnia n/2 na drugiej głównej przekątnej.

Rozważmy przypadek, gdy stopień macierzy A i B jest nieparzysty. W tym celu dzielimy macierz T ~ l B T na bloki

j^ i i , ^12, ^13

(1) T ~ l B T = I ^21, ^22 > ^23

1

gdzie środkowy blok jest jednowierszowy, odpowiadający podziałowi macierzy /Z)j 0 0

(2)

/ 0 , F n DjF12 O l ^ / - Fj jDj 1 ri - v13d2\

a f21 a f22 A k23

- -^ 2 1 Oj - a f22 -^ 2 3 0 2

\02 ^31 £»2^32 0 2 F33j ^31 Oj —A F32 - v33d2)

\ 0 0 D 2j Macierze (1) i (2) mają być skośnie przemienne, więc

(3)

Oprócz założeń twierdzenia 3, zakładamy dodatkowo, że A^O i A +A j^O . Wtedy z (3) wynika, że V22= 0 . Ze względu na to, że A+ A{# 0 ( i = 1, 2 , —1)/2), mamy F ,2= 0 , F 32= 0 , F 21= 0 , F23= 0 . Zatem stąd i z twierdzenia 3 dostajemy.

Tw ie r d z e n ie 4. Mec/i będą dane dwie macierze A i B stopni nieparzystych takie, te A B = —BA. Jeżeli 7’ _1/ łT = d ia g (Z )1, A, Z)2), gdzie wartości własne macierzy A są różne i A + A ,#0 oraz

dla j # n — i + 1 Aj + Aj

{

2 2 +2

W^{n io s e k} 1. Mec/i ńgfifc? dane dwie macierze A i B stopni nieparzystych takie że A B = —BA. Jeżeli T ~ 1A T = d ia g (D 1, A, £>2), gJz/e A j # 0 ( i = l , 2, . . . , ri) i Aj =

= A 2 = ... Au i A„ “ A„

2 - i —

. .

T ~ XB T = ^21 0 0

1^31 0

°/

f 0 0 T ~ l B T = 0 0

Kl,\

^31 ^32

°/

+ i ■to

dla A = - A ,

dla A = Aj.

1.1.

W tym punkcie znajdziemy wartości własne macierzy cyklicznej. Znajdowanie wartości własnych takich macierzy jest znane (p. np. [4]). Chodzi tu jednakże o wskazanie innej metody, która stosuje się nie tylko do tych macierzy.

Weźmy macierz cykliczną i rozłóżmy ją na sumę macierzy jak następuje:

OoS3 o a o (0 . an

IIS3

. ^{S3 o}

H

O

\ax 0 j 0 1 O

Druga z tych macierzy B i jak łatwo znaleźć, ma wartości własne a1el , axz2, ....

civzn, gdzie e; ( / = 1 , 2 , . . . , « ) są pierwiastkami z jedności. Zatem T ~ 1B 1T =

= diag(a1e1, a ,e 2, ..., 0 , 8,,). Łatwe rachunki pokazują, że za T można przyjąć macierz

/

1

- ’ \

T = _{« 2} •

1

£

• c n

Ponieważ s; są liczbami różnymi, to istnieje macierz T l . Na mocy twierdzenia (1) macierz T ~ 1B T jest macierzą diagonalną.

1.2.

Rozważmy macierze przemienne z macierzą spełniającą warunek

(5) N 2 — E .

E jest macierzą jednostkową, a N macierzą o elementach z ciała liczb zespolonych.

Macierze N różne od E, spełniające warunek (5) są inwolucyjne, więc wartościami własnymi tych macierzy są liczby ± 1 . Wielomian minimalny tych macierzy ma różne pierwiastki i dlatego istnieje taka nieosobliwa macierz T, że

(6) r - N T . ( D0‘ £ ) ,

gdzie D l i D 2 są macierzami diagonalnymi i D 2= E . Mając daną macierz W znajdu­

jemy jej wartości własne, a następnie z (6) nieosobliwą macierz T. Znaleziona ma­

cierz T, na podstawie twierdzenia 2, sprowadza każdą macierz A przemienną z W do postaci quasi-diagonalnej.

W przypadku ogólnym podanie wzoru na postać macierzy T czy też A nie jest rzeczą prostą. N ie byłoby to zresztą celowe. Niżej wprowadzimy pewne dodatkowe warunki dla macierzy N i znajdziemy wzory na postać macierzy T i A.

Rozważmy przypadek, gdy stopień macierzy N jest liczbą parzystą: n = 2s.

Macierze N i T rozbijamy na bloki kwadratowe stopnia s, jak następuje

- ( t : ; ; ) ■ - ( ¾ ¾ )

Z (5), (6) i (7) dostajemy

N j l + N 12N 21 = E , N 11N 12+ N l2 N 2 l = 0 n 21n 12+n 222 = e , N 21Nu + N 22N 21 = 0.

Ograniczymy się do przypadku

/V11 = 0 i N 22 = 0.

Otrzymujemy wtedy

(8) N 12N 21 = E , N 21N i2 = E .

Postać macierzy T, jak to wynika z (8) i (6), jest

T 1t T,

T = / m i T 12 \

\ N 2 l T l i D l N 21T 12dJ

Rozmieszczając wartości własne macierzy N tak, aby \D2 — D ^ O i D 1= E , D 2= - E, możemy przyjąć T n = T 12= E . Wtedy

<9) t = ( E E ) , r - ^ i ( £ N l 2 ) .

\n 21 - n 2J \e - n 12J

A by znaleźć wzór na postać macierzy A , korzystamy z założenia, że A N —NA.

N a mocy twierdzenia (2) macierz T ~ l A T ma postać quasi-diagonalną. Po przeli­

czeniach dostajemy

(10) A ~ ( A “ A “ ) .

\n21a12n 21 n 21a12n J

/i n . / Au + A 12N 21 0 \

(11) T ~ A T = ( ).

V 0 A 11—A l2 N 2lJ

Jeżeli zamiast warunku (5) przyjmiemy warunek

(12) N 2 = —E ,

a dalsze ograniczenia na macierz N pozostawimy niezmienione, to rozumując analogicznie otrzymamy

(13) ( E E X . ( E - i N ^

t J e e \ t - 1 = J e - i N " )

\ — i N 2l iN 2J ’ 2 \E iN i2 ) '

<14) A J Al1 Al2 ) ,

\ - N 2 tA 12N 2l —N 21A 11N 12J

(!5 ) T - U T = ( A l l ~ iAl2N21 ° Y

V 0 A 22~\~ iA 22 N 2iJ

Otrzymane wyniki możemy wypowiedzieć w postaci następującego twierdzenia.

Tw ie r d z e n ie 5. Niech A będzie macierzą stopnia n —2s przemienną z macierzą

gdzie N 12 i N 21 są macierzami stopnia s.

Jeżeli N 2—E, to macierz A ma postać (10), T ~ 1A T przyjmuje postać (11),

« T - ( 9).

Jeżeli N 2= —E, to odpowiednio A, T 1A T i Tprzyjmują postać (14), (15) i (13).

W przypadku, gdy stopień macierzy A jest nieparzysty: n = 2 s + 1, przyjmujemy, że macierz N ma postać

gdzie N 13 i N 31 są macierzami kwadratowymi stopnia s, a c = l lub — 1.

Po przeprowadzeniu analogicznych rozważań, jak w dowodzie twierdzenia (5),

Tw ie r d z e n ie 6. Niech A będzie macierzą stopnia n = 2 s +1 przemienną z ma­

cierzą (16).

Jeżeli N 2= E , to A jest macierzą postaci (16)

dostajemy

(17)

dla c = — 1

/ odpowiednio

Jeżeli N 2— —E, to A jest macierzą odpowiednio dla c = i i c = —i, postać i

A u /4)2 A 13

A 2i A 22 — iA 21 N 13

\ ~ ^ 3 i A 13N 3l —i N 3 l A i2 — N 3 lA l l N l3j

^ 4 i i — i A-i 3 N 3t A 1 2 O

T ~ l A T =

^ 1 - ^ 1 3 ^ 3 1 ^12

2A2 i A-22 O

O O An~{-iAi2/

A =

T ~ l A T =

li i 2 A\z

i 2i A 22 iA 2 2N 13

\ ~ N 32A 13N 31 i N 3 lA 12 — N 3 iA 11N 13j

( A „ - i A 13N 31 O O

O A 2 2 2v421

O /l2i A l i + i A l3 N 31) gdzie za T można przyjąć w obu wypadkach

\

/ E 0 Ie o - i N 13\

(19) T = 0 1 0 . T - l = ± 0 2

^ ~ iN 3l 0 iN 31) [e 0 i N 13 1

0

Tw ie r d z e n ie 7. Niech A będzie macierzą stopnia 2s skośnie przemienną z macierzą O 7V12>

N

/ O iV12\

~ \n21 o ) tzn.

Jeżeli N 2 = E, to macierz A ma postać

H

' A T ^ t

\y l n

N A = - A N .

‘ 12

■^21^12^2, — N 2i/4u JV12>

O A,

^11+^12 ^21

- A 12N 21>

O )

gdzie T ma postać (9).

M r = (

U , , - i

iA i2 N 21\

o

r

Jeżeli N 2 — - E , to macierz A ma postać (10) i

0 j i “f* i 4, 2 N 2 ii i — *Al2 N 2i

gdzie T ma postać (13).

Tw ie r d z e n ie 8. Niech A będzie macierzą stopnia n = 2 s +1 skośnie przemienną z macierzą (16), tzn. A N = —N A .

Jeżeli N 2 = E, to macierz A ma postać

A =

A\\ A 12 A l3

A 2 i o 4 21N 13

^ — N31 4,3 N 3l —1^31/4,2 -1^31 A l3 N l3f

T ~ l A T =

0

0

0 At 1 —A i 3 N

dla c — 1 i

0

M n + 4 , 3N 3, A12 ^O

A =

/ A , , /4,2 /4,3 \

A 2l 0 N 2 ,N ,3

\ ~ b l3i A i3N 3l N 3i /4,2 -^31^13^13/

/ T ~ A T

O

2/121

\4, 1 +/4,3 N 3, O gdzie T jest macierzą (18).

Jeżeli N 2= —E, to

!

A =

4 , , 4,2 4,3

4 2, O '421^13

\N 3 t A t3 N 3i i N 3 lA {2 N 3i A t l N i3J

O O /4,, + 1/4,3^31]

T ~ l A T = \ O O 2A2l

\4i , — i4,3 N 3i A12 O

dla c = i oraz

A =

* A u A 12

A 21 O —iA 2i N i2

^31-^13-^31 —i^31-^12 N 3 l A i i N 13)

/

T ~ l A T =

O

2^21

^1 1 -/ ^ 1 3 ^ 3 1 O

dla c = —i, gdzie w obu przypadkach T jest macierzą (19).

Przyjmując w twierdzeniach w (5) i (6) zamiast macierzy N macierz

O

(

)

gdzie K jest macierzą permutacji, a (* ) oznacza transponowanie i sprzężenie, lub /0 J\

\J 0/

, gdzie /=

dostajemy odpowiednio rezultaty zawarte w pracach [1] i [2].

P R A C E C Y T O W A N E

[1] A . R. Co l l a r: On centrosymmetric and centroskew matrices, Quart. J. Mech. and Appl. Math., 1962, 15, N r 3, pp. 265— 281.

[2] An n a Le e: Ober permutationsinvariante Matrizen, Publis. math., 1964, 11, N r 1— 4, 44— 58.

[3] <t>. P. T a h t m a x e p ; Teopun Mamputf, M ocK B a, 1954.

[4] A . Mo s t o w s k i, M . St a r k: Elementy algebry wyższej, Warszawa, 1965.

Ja n Am b r o s ie w ic z

O N T H E R E D U C IB IL IT Y O F C H A R A C T E R IS T IC P O L Y N O M IA L S O F S O M E M A T R IC E S

Su m m ary

Let A be a matrix such that N 2 = E or N 2 — —E. The author considers matrices A for which A N = N A . The shape o f the matrix T such that T~lA T is a quasi-diagonal matrix, is given. Theo­

rems 5— 8 are generalizations o f some results o f the papers [1] and [2].

Oddano do Redakcji 8 kwietnia 1969 r.

P R A C E N A U K O W E U N I W E R S Y T E T U Ś L Ą S K I E G O W K A T O W I C A C H N R 2 P R A C E M A T E M A T Y C Z N E I, 1969

Ja n Bł a ż

O p e w n y m ró w n a n iu ró ż n ic z k o w y m z o d ch y lo n y m a rg u m e n te m

1. Przedmiotem moich rozważań będzie równanie różniczkowo-funkcjonalne, postaci

ę '(t ) = F ( t , {<p}f+<!(0) dla t > 0 (1)

ę ( t ) = £ (t) dla t < 0

w którym <5(0 oznacza funkcję rzeczywistą, nieujemną, ciągłą dla t^ O , £ (0 jest daną funkcją ciągłą i ograniczoną dla / < 0 ; symbolem {(p}t+Sit) oznaczamy tu funkcję cp(s)e<I>, (gdzie <P oznacza zbiór funkcji ¢)(0 ciągłych dla t e ( —co, + o o ) o wartościach rzeczywistych i takich, że ę (t )= £ ,(t ) dla r < 0 ) zlokalizowaną do przedziału ( — oo, r+ó(/)>. Przez F (t , {ę>},+i(I)) rozumieć będziemy funkcjonał, określony dla wszelkich par (t, (p) e <0, + oo) x $. W równaniu (1) dane są: funkcje

<5(0, { ( 0 oraz funkcjonał F (t , { ę } ) ; niewiadomą jest funkcja ¢)(0, która ma być klasy C 1 dla / ^ 0 i ma spełniać w tym przedziale równanie (1).

Oprócz równania (1) rozpatrywać będziemy równanie kształtu

(2)

= F ( t , { ę M}t + m ) dla <Kt<JW

<Pm( 0 = <Pm( M ) d l a t ^ M

= m d l a t ^ O

W dalszym ciągu wykażemy twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań tych równań w pewnej klasie <P* funkcji i pokażemy, że rozwiązanie ę (0 £ # * rów­

nania (1) jest granicą, przy M - * + oo, ciągu rozwiązań ę M(t) c # * równań typu (2).

W pracy wykorzystuję idee prof. A . B ie l e c k ie g o , który badał wszechstronnie równania liniowe typów (1) i (2) i któremu dziękuję za udostępnienie mi swych wyników.

Przed sformułowaniem założeń wprowadzimy jeszcze pewne oznaczenia. Przez # 0 oznaczać będziemy zbiór funkcji ¢)(0 £ ¢, zlokalizowanych do przedziału <0, + oo);

symbolem |<p|* oznaczać będziemy sup|<p(s)|; dla prostoty zapisu w dalszym ciągu zamiast symbolu F (t , {ę>},+a(()) pisać będziemy F (t , ę ).

2. Odnośnie funkcji, występujących w równaniu (1), przyjmujemy następujący układ założeń.

Z a ło ż e n ia (Z).

1° Jeśli t^ O , ę e 0 , to F (t , ę ) = ę ( t ) e <P0.

2° Jeśli ( p e 0 , f ¢ ¢ , ¢ ) ( 0 = ^ ( 0 dla s ^ t + 8 ( t ) , to F (t , c p )= F (t, \p).

3° Istnieje funkcja L (t ), ciągła i nieujemna dla />0, taka, że dla każdej pary (/, ¢)), (t, i/0 iloczynu <0, + oo)x4> zachodzi nierówność

| F (^ ¢>)-F(^0)|<L(OII¢>-^^'|*.t.^(o•

4o Istnieje stała k , k > l , taka że dla 0 jest

\F(t, O )K fc L (t ).

5° Zachodzi nierówność

i+ łC O

* / L ( s ) d s

t

s u p - = ^ < 1 . *)

o «» k

6° Funkcja początkowa ¢ (0 jest ciągła i ograniczona dla 0:

|«(f)l<i| dla « 0 . 7° Stała p spełnia nierówność

r i + l 1 - q

3. Twierdzenie o istnieniu rozwiązania równania (1).

Oznaczmy przez $ * zbiór funkcji ę (/) e 4>. spełniających warunek m ;

(3) IM I = sup — --- < p = const,

( -00. + 00) * f L(s)ds

e gdzie

i

+1 j £ ( s ) d s dla < ^ 0 , J L ( s ) d s = 0

0 10 dla t < 0 ,

i rozważmy transformację T, określoną w zbiorze # wzorem

(4) 0 ( 0 = T ( * ) = ¢ (0 )+ J F (s , <p)ds dla t > 0

o

¢ (0 dla ts;0 .

Pokażemy, że przy założeniach (Z ) zachodzi inkluzja T (0 * )c z 0 * oraz że transfor­

macja T jest zbliżająca.

*) Założenie to zaproponował prof. A. Bie l e c k i.

Istotnie, niech ę e # *, wtedy dla 0 jest

zaś dla / > 0 otrzymujemy oszacowania

10 (01

O o

t t

1+ j L ( s ) M , * +aw d s + f c j L ( s ) d s <

O o

« + *(*)

t k J L(u)du t

< ł + |l9ll j L ( s ) e ° ds + fc f L(s)d ss*

o

& * + «<(>/ L(s)d.v

e * t k J L(u)du * £ L(s)ds

< jj + ||ę>||sup--- ---J f e L (s )e ° ds + e <

o «» k o

t t t ,

S L(s)ds k f L(s)ds k S L(s)ds k f L(s)<b

ś r , + \\cp\\qe0 + e < f o + I M I q + l ) e 0 *Zpe 0 . Wynika stąd, że ||<ż>|Kp, czyli że T(<P*)cz<P*.

Niech teraz ę> £ # *, \p cd>* i niech ę — T((p), \j/ = T(ij/). Wtedy dla 0 jest oczywiście \ćp(t) — ij/(t)\=0; dla / > 0 mamy zaś oszacowanie

10 ( 0 - 0 (01 < J \F( s , «jff) - F ( s , ^)| ds < f L (s)\cp - *l/\‘s+i W ds <

o o

k J L(s)ds s

e ‘ « (L (u )d u ,

sup---— — J lc L (s )e° d s < g

tso k o

Stąd

l l 0 - 0 l l < « l k » - 0 l l > ¢ £ (0 ,1 ).

Z powyższych rozważań i z twierdzenia Banacha o punkcie stałym wynika następ pujące

T w i e r d z e n i e \. Jeżeli spełnione są założenia (Z ), to równanie (1 ) posiada w kla­

sie <P* dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to jest granicą ciągu kolejnych przybliżeń {(pn(t)}, gdzie <pn{t) = T(yp„_j), <p0(t) = cp0 & $ *.

4. Twierdzenie o istnieniu rozwiązania równania (2).

Przyjmijmy oznaczenia, wprowadzone w punkcie 1 pracy, z tym, że zamiast zbioru <P rozważajmy teraz zbiór <PM funkcji ę (?) c <P i spełniających dodatkowy warunek ę M{t) = ę M( M ) dla t ^ M . Podobnie przez rozumieć będziemy zbiór funkcji ę M(t) e <ł>M, zlokalizowanych do przedziału <0, + oo). Wreszcie przez $'M ro­

zumieć będziemy zbiór funkcji ę ( t ) c # * , spełniających dodatkowy warunek ę M(t) = <pM( M ) dla t ^ M , z normą, określoną związkiem (3).

2 ■— P r a c e m a t e m a ty c z n e I, 1969 — 17 —

Rozważamy transformację TM , określoną na zbiorze <PM wzorem

¢(0) + S F (s ,(p M)d s dla 0

¢ (0 )+ \ F { s , ę M)d s dla t > M

0

¢(0

Podobnie jak poprzednio dowodzi się następującego twierdzenia:

Tw ie r d z e n ie 2. Jeżeli są spełnione założenia (Z ), to w klasie $*M istnieje dokładnie jedno rozwiązanie równania (2). Rozwiązanie to jest granicą przy v~* oo ciągu kolejnych

przybliżeń gdzie

<Pm (0 = W M~ >), ę°M( t ) = ę 0M e ^ M .

5. Rozwiązanie równania (1) jako granica ciągu rozwiązań równań postaci (2).

Niech {M i} oznacza rosnący ciąg liczb dodatnich, taki że lim A/f = + oo i niech

oo

<PmXt) oznacza jedyne rozwiązanie równania

dla 0 < / < M ,

(6) = <Pm,(M,) dla t > M t

<Pm,(0 = ¢ (0 dla t < 0 , i

W dalszym ciągu, dla prostoty oznaczeń, będziemy pisać <Pm, ( 0 = M 0 , * = 1 . 2 , ...

Niech { ^ i(;)(0 } oznacza dowolny podciąg ciągu {^ (/ )), ./ = 1 ,2 , ... Pokażemy, że ciąg {i/ ^ )(0 } jest wspólnie ograniczony i jednakowo ciągły w każdym przedziale domkniętym <0,b } , 0 < b < + oo; (dla / < 0 jest to oczywiste).

Rozważmy w tym celu ciąg { ^ ) ( / ) ) , v = 0 , 1 , 2 , . . . , kolejnych przybliżeń rozwiązania i/ii(J)(/) równania (6), określony wzorami

(7)

(¢( 0 ,

^ ' > ( 0 = U ( 0 ) ,

^ J , ( 0 = W ^ W)) :

¢ ( 0 ) + J.F (s, }j))d s , o

M i ( j )

¢ (0 )+ J ^ ( s , ! I/Vnj))d s, t ^ M iU) o

¢ ( 0 , « 0 .

Wykażemy wpierw indukcyjnie, że dla t e { — oo, + oo) zachodzi nierówność

( 8 )

* S L(s)Js

M (J)( t ) K p e » v = 0, 1, 2, ...

Jest to oczywiste dla 0; przyjmijmy więc, że t€ <0, + 00).

Wtedy

t k i L(s)ds

\ KjM = l€ (° )l< * l < P ^ p e 0

Załóżmy, że dla t^ O zachodzi nierówność (8 ); wtedy zgodnie z (7) otrzymamy

1 ^ / ( 0 1 ^ ( 0 ) 1 + \ \ F ( s , r t(j)) - F ( s , 0 ) \ d s + J |F(s, 0)|d s^

^ 7 + J L (s ) l*Ai(j)ls+^(s) ds + fc J L (s )c / s ^

o o

« + <5(5)

t k i L(u)du l

< ł / + j L ( s ) p e ' ds + k J L ( s ) d s ^

t+ «< t)

k S L(s)ds ,

ę e I * J L(u)du k S L(s)ds

< »/ + s u p --- p | k L (s )e “ d s + e 0 <

t » o k o

t t t ,

k J L(s)ds k i L(s)ds k f L(s)ds k J L(s)ds

<*1 + qpe 0 + e 0 < (rj + q p + l ) e 0 < p e 0

»/ + 1 gdyż zgodnie z założeniem 7° ( Z ) zachodzi nierówność p ^ .

1 - q

Przechodząc w nierówności (8) do granicy przy v -» + 00, otrzymujemy nierówność t + h

k S L(s)ds

(9) 1^.(/)(01 < p e 0

z której wynika wspólna ograniczoność funkcji *Pi<j){t),j= 1 ,2 , ... w przedziale <0, ó ).

Dla wykazania jednakowej ciągłości funkcji *Aio)(0 w przedziale <0, ó> przyj­

mijmy, że liczby t oraz f+ A należą do przedziału <0, A> (jednakowa ciągłość funkcji ipi(jf o ) dla 0 jest oczywista). Wtedy

l + * t+ h

\ h u i t + h ) - ^ iU)(t)\<\ i \ F { s , ł iU))\ds\ś\ i \F( s , i/zhj) ) —F ( s , 0)|<fs| +

f f

+ |' |F(s, 0)|ds|<| L (s )| ^ U)|;+a(j)ds| + f c 'j L (s )d s < ^ (6 )| A | ,

r t f

gdzie .d(ó) jest pewną niemalejącą funkcją zmiennej b.

N a mocy twierdzenia Arzeli dla przedziałów prawostronnie otwartych, z ciągu 1 ^/0 )(0 } można wybrać podciąg {>Aio(»))(0}> k = 1 , 2 , ... , niemal jednostajnie zbieżny do pewnej funkcji i/+(/):

1p *(t) = lim ij/iU(k))(t) (niemal jednostajnie dla t e ( — 0 0 , + 00) ) ,

k-*oo

przy czym i/f*(0 =£(0 dla f< 0 .

Pokażemy, że funkcja $ * (t) spełnia równanie (1); niech /£<0, 7">, gdzie T jest dowolnie dużą liczbą dodatnią.

Wtedy

A = 1 ^ ( 0 - ^ ( 0 ) - f F (s , ^ *)d s| < | i/ r*(0 -^ iaW)(0l + O

t t

+ I |P ( s > ( s > ^ u (* )))lds < M * (0 - ^iadŁ))(0l + J ^ ( s) l ^ * —

o o

i

< |i/r*(0 — ^itK*))(0l + -L J |^* — ^<(j(ik))ls+a(j) >

o

gdzie Z, jest stałą dodatnią, spełniającą dla /£<0, T } nierównośćL ( t ) ^ L . Ponieważ ciąg {^,0()1))(0} jest jednostajnie zbieżny w przedziale <0, T*>, gdzie T * —

= max ( t + 8 (t)), do funkcji więc dla dostatecznie dużych k będzie (6<o,r>

A < e + s L T = e ( l + L T ) , przy czym e jest dowolnie małą liczbą dodatnią.

Ponieważ ponadto stała T była dowolna, więc A = 0 w całym prze­

dziale ( - 00, + oo).

Zatem

(1 0 ) r a ) =

¢ (0 )+ }F (s , iA * )d s dla 0, o

.^ (0 dla t^ O ,

co oznacza, że funkcja ^ * (0 jest rozwiązaniem równania (1).

Z nierówności (9) wynika, że iA*(?) jest elementem zbioru <P*. Ponieważ, zgodnie z twierdzeniem 1, funkcja ę ( t ) była jedynym, w klasie # * , rozwiązaniem tego rów­

nania, zatem

(11) W ) a ę ( t ) .

Pokazaliśmy więc, że z każdego podciągu ciągu {>pi(t)} można wybrać podciąg, zbieżny zawsze do tej samej funkcji <p(t), t e ( —co, + oo). Zatem również ciąg { 1/^(0}

jest niemal jednostajnie zbieżny w przedziale ( — oo, + o o ) do funkcji <p(t):

(12) lim ij/^t) = ę ( t ) , f £ ( - c o , + o o ) .

i ~ * co

Tym samym udowodniliśmy następujące

Tw ie r d z e n ie 3. Jeżeli są spełnione założenia (Z ), to rozwiązanie cp(t) równania (1 ) jest granicą niemal jednostajnie zbieżnego ciągu {<pM|(t )} rozwiązań równań (6).

6. Uwagi końcowe.

Wzmocnijmy założenia (Z ), dotyczące funkcjonału F (t, ę ), przyjmując nastę­

pujące

Z a ło ż e n ia ( H ).

1° Spełnione są założenia (Z ).

{ * ( 0

- f i

2° Funkcjonał F (t, <p) jest niemalejący względem zmiennej ę, to znaczy, jeśli u (s )^ v (s ) dla s ^ t + 5 ( t ) , to

F { t , u ) ^ F ( t , v) . 3° Zachodzi nierówność F (t , dla t^ O , gdzie

£ (f) dla 0 f ( 0 ) dla t^ O . Wtedy ma miejsce następujące twierdzenie:

Tw ie r d z e n ie 4. Jeśli są spełnione założenia (//), to rozwiązanie ę M(t) równania (2) ma następujące własności

a) ę M{t) nie maleje względem zmiennej t, t^ O ;

P) <Pm(0 nie maleje względem zmiennej M , tzn. jeśli 0 < M ^ N , to ę M(t)^<pN(t), f$sO.

D o w ó d . Niech {(pvM{t) } , v = 0 , 1 ,2 , będzie ciągiem kolejnych przybliżeń rozwiązania (pM(t) równania (2), tzn.

< ( 0 = |

< +1(0

m dla t < 0

¢(0) dla t ^ 0 .

{ ( 0 ) + \ F { s , < p l i )ds

0 dla 0

{ ( 0 )+ * $ F(s,<p'M)ds 0

dla tSsM

¢ (0 dla 0.

Korzystając z założeń 2° i 3° (H ) łatwo dowieść indukcyjnie, że ciąg {< p «(0 } jest niemalejący względem v, przy każdym ustalonym t.

Stąd i z równości ę M{0 = £*(0 wnosimy, że lim ę vM(t ) = <pM( t ) > Z * { t ) . V-* 00

Zatem, wobec założeń 2° i 3° {FI), mamy

(13) <p'(t) = F ( t , ę M) ^ F { t , ę * )> 0 , dla tSsO, skąd wynika własność a).

Dla wykazania własności P) zauważmy wpierw, iż jeśli ipM c <P*M, ę N e 4>J,,

|m(0<<Pn(0 dla r > 0 , F { t , ę M) j z 0, przy czym 0 < M < i V i jeśli ę M(t) = TM{(pM), (pN( t ) = T N(<pN), gdzie transformacja T M{ćpM) jest określona wzorem (5) (analogicznie określamy transformację T N{ipN)), to dla t e { — co, + o o ) zachodzi nierówność

(14) < ( 0 « ( 0 -

Istotnie, dla t^ O , jest q>M( t ) = ę N{ t )= £ (t); niech O ^ t ^ M — wtedy, na mocy za­

łożenia 2° {H ), będzie

t

< ( 0 - < ( 0 = J { F ( s , (pN) — F ( s , <pM) } d s ^ 0 . 0

Niech teraz wtedy

t M t t

= J F ( s , (pN)ds ^— J F ( s , ę M)ds^t J F ( s , ę N) d s - J F ( s , ę M)ds ⁼

0 0 0 0

t

= J { F (s , ę N) - F ( s , ę M)} ds^O .

0

Wreszcie dla t ^ N będzie

N M

1 F ( s , ę N) d s - J F ( s , <pM)d s ^

0 o

N

> J { F ( s , < p * )- F (s , p M) } d s > 0 ,

o

co kończy dowód nierówności (14).

Niech teraz ę N(t) i <pM(t) oznaczają rozwiązania odpowiednich równań (2) (typu ( M ) i (N )\ gdzie M ^ N i niech {<pJI/(0} i {<Pm(0 }» v = 0 , 1 , 2 , . . . , będą odpo­

wiednimi ciągami kolejnych przybliżeń tych rozwiązań.

Ponieważ 0 ^ ^ ( 0 więc wobec nierówności (14) dla f e ( —oo, + o o ) otrzymujemy nierówność

<Pm(0 = T M (q > M) < T n ( ( P h ) = <pi(f).

Indukcyjnie dowodzi się, że

(15) <Pm(0^<Pw( 0 , v = 0 , 1 , 2 , ..., I e ( - o o , + o o ).

Przechodząc w nierówności (15) do granicy, przy v-»oo, otrzymujemy nierówność ę>M(0<ę>w(0, sformułowaną w obrębie własności /?). Tym samym dowód twier­

dzenia 4 został zakończony.

Równania liniowe, postaci

(16) ę '(t ) = ę ( t + h ) , t^sO, ¢)(0) = 1, 0 < ń = const, oraz

(17) ę'M(t) = <pM(t + h ), ę M(t) = (pM( M ) dla t ^ M , cpM( 0) = 1 , badał wszechstronnie prof. A . B ie le c k i, który był łaskaw udostępnić mi swe wyniki.

Wyniki Jego uzyskamy tu z twierdzeń 1— 4, przyjmując w szczególności S (t) = h , F ( t , {(p}t+ m ) = { ę } t+h, £ * ( 0 = 1 -

W rozważanym przypadku będą bowiem spełnione założenia (Z ) i (H ), jeśli przyjąć za prof. A . B ie le c k im , iż

u b e r e i n e d i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g m i t v e r c h i e b e n e m a r g u m e n t

Z u s a m m e n fa s su n g

In der vorliegenden Note beweisen wir einen Existenzsatz und einen Satz uber die Eindeu- tigkeit der Losungen der Differentialgleichungen (1) und (2), in welchen (5(/) eine reelle, nichtne- gative und im Intervall <0, -t-oo) stetige Funktion bezeichnet und H O— eine gegebene, stetige und im Intervall ( — oo,0> besclirankte Funktion ist.

D as Symbol {?>}(+a<() bezeichnet eine stetige Funktion 93(.5), die im Intervall i « ( - t o , / + 5 (/ )) definiert ist und im Intervall ( — 00, 0> die Identitat < p(s)=H s) erfullt.

W ir bezeichnen mit 0 die Menge der reellen und fur / e ( — 00, + 00) stetigen Funktionen 93(/), so daB 93(/ )= 1 (/ ) fur / < 0 gilt, und mit F(/, (93}<+a(i)) ein fur alle Paaren (/, 93) « <0, + 00) x 0 definiertes Funktional.

In der Gleichungen (1) und (2) sind die Funktionen 5(/), HOund der Funktional F(t,5) ge- geben; wir suchen die Funktion 93(/). Unter entsprechenden Voraussetzungen beweisen wir, daB es in der Klassed>* (der Funktionen 93(/), welche die Bedingung (3) erfiillen) genau eine Integral- kurve der Differentialgleichung (1) gibt (Satz 1).

Der Satz 2 betrifft der Existenz und der Eindeutigkeit der Losungen der Differentialglei­

chung (2).

AuBerdem beweisen wir (Satz 3), daB die Funktionenfolge {<pMt(.0} (der Losungen der Differ­

entialgleichungen ( 6 )) zur Losung 93(/) der Differentialgleichung (1) gleichmaBig im Intervall ( —00, +00) konvergiert.

Oddano do Redakcji 1 sierpnia 1969 r.

P R A C E N A U K O W E U N I W E R S Y T E T U Ś L Ą S K I E G O W K A T O W I C A C H N R 2 P R A C E M A T E M A T Y C Z N E I, 1969

Ja n Bł a ż

O istn ien iu i o gran iczo n o ści ro z w ią z a ń p e w n e g o u k ła d u ró w n a ń ró ż n ic z k o w o -c a łk o w y c h z o p ó ź n io n y m a rg u m e n te m

W pracy [3] zajmowałem się istnieniem i pewnymi własnościami asymptotycz­

nymi rozwiązań układu równań różniczkowych, postaci ' ę v( t ) = n>*0) dla t e ( —oo,/4>

( t ) < 00 00

<Pv(0 = £ J f U * ’ <Pi ( * - » ) , - , <?..(* - s)) ds rv(1(/ , s) + <?v(t) ( i = l o

dla t e ( A , B ) , B < + oo, v = 1 ,2 , . . . , n .

Przy stosownych, dość silnych założeniach o funkcjach /»„(*, x x, ..., x„), cov(t), rVJ1(t, s) i g v(f) wykazałem istnienie rozwiązań układu (1) i podałem warunki wy­

starczające na to, aby rozwiązania te były ograniczone (lub nieograniczone) w prze­

dziale <A , B).

W niniejszej nocie uogólniam wyniki pracy [3], nakładając na funkcje /»„(*, * i » •••»*■) mniej krępujące ograniczenia.

1. Przyjmuję, że funkcje <nv(/), f vii(t, x t , x„), rVft( t , s ) oraz gv(t), występujące w równaniu (1) są dane i spełniają następujący układ założeń:

Z a ło ż e n ia Z .

1° Funkcje/v„(r, x t , ..., x„) są ciągłe dla t e ( A , B ) i dla dowolnych wartości zmien­

nych x t , ..., x„ oraz spełniają warunek

(2) | / VM( f , X j , . . . , xn)| d*v#ł(t , | x ^ | , . . . , | x nj), v , fi 1 , 2 , . . . , n ,

gdzie symbolem T i, ..., y„) oznaczono pewne funkcje ciągłe, nieujemne dla t e ( A , B ) , y t> 0 (i'= 1 , 2 , . . . , « ) i niemalejące względem zmiennych y 1; ...,y „ *).

2° Jądra rvil(t, s) są określone dla te ( A , B), s > 0 oraz spełniają warunek rVfl(t , 0 )= 0 dla te ( A , B).

00

3° Istnieją funkcje vVfl(t) ciągłe i nieujemne dla te ( A , B), takie że \J rvlx(t, s )<

s = 0

^ v Vfl(t) dla t e ( A , B ) .

4° Układ równań różniczkowych zwyczajnych

(3) y'v(t ) = 'Pv( t , y 1, . . . , y n) , v = 1 , 2 , ..., n,

* ) Tzn. że jeśli - to # v (.t,yi, • • • .j'n X # * (t , y t yn)-

gdzie V v( t , y i y * )= Z ^»/.0»T l, posiada wszystkie całki górne /»=i

przedłużalne na cały przedział </ł, B).

5° Dla dowolnego i/>0 istnieje liczba # > 0 , taka że wahanie funkcji r,„(/, s) w prze-

00

dziale <#, + oo) spełnia nierówność \/ rV(Z(/, s )^ tj, dla te ( A , B).

s = K

6° Dla dowolnego A:>0 oraz u c ( A , B) jest k

lim J \rvfl( t , s )- rv„ (u , s)|ds = O, t e ( A , B ) .

t~ *U U

7° Funkcje gv(t) są ciągłe dla te ( A , B), zaś funkcje eov(t) są ciągłe i ograniczone dla t e ( — oo, A ) : |cov(O I< f2 v= const.

Jak pokazano w pracy [1], założenia Z wystarczają na to, aby funkcje

oo

<=>v„(0 = J L „ ( t , ( P i U - s ) , .... cp„(t - s)) ds rv(l( t , s) o

były ciągłe dla te ( A , B), o ile tylko funkcje ę>i(w), • • •, <P„(M) s4 ciągłe dla u e (— oo, B).

Przyjmując powyższe założenia wykażemy istnienie rozwiązań układu (1) i udowod­

nimy pewne twierdzenia o ograniczoności tych rozwiązań.

2. T w i e r d z e n i e 1. Jeżeli są spełnione założenia Z , to układ równań (1 ) posiada co najmniej jedno rozwiązanie q>i(t), ..., <pn(t), określone w całym przedziale <A , B).

D o w ó d tego twierdzenia nie różni się w istocie od podanego w pracy [3]. Sto­

sując metodę Tonelliego zbudujmy mianowicie n ciągów funkcyjnych (p[(t), v =

= 1 ,2 n; / = 1 , 2 , 3 , . . . , w sposób następujący

V v ( 0 = <uv( 0 d la t e ( — o o , A }

n ti cc

4 ( 0 =(Ov( A ) + £ J { ś O i(t-s ), ..., (p‘n(z — s ))d srVf!( x , s )}d r /1 = 1 /4 O

l

+ J 0 v (T) d r , dla t e ( A , B ), v = l , 2 (4)

gdzie tj = max

[ - 4 ]

Łatwo widać, że funkcje 4 ( 0 są określone i ciągłe w przedziale ( —co, B).

Jest oczywiste, że są one wspólnie ograniczone w przedziale ( —oo, A } . Pokażemy teraz, że funkcje 4 ( 0 są wspólnie ograniczone w każdym przedziale domknię­

tym <A , b}, zawartym w przedziale <A , B).

Wprowadźmy w tym celu oznaczenia

(5) Gv( / ) = | j 3v(r)dt|

A

(6) 4 ( 0 = sup 14001

uśt

(7) r v(b ) - &v+ max Gv(t)

Aśtśb i przyjmijmy, że A ^ u ^ t ^ b .

Z określeń (4), wobec założeń 1° i 3° Z, mamy

n Uf oo

I<pt0)l< M A ) \ + E J m ax |/V(1( t , ę [ ( z - s ) , . . . , <p‘ ( t - s))| V rv#.(T . « ) * +

/1 = 1 A 5 ^ 0 s = 0

u n u<

+ 1

f 0v(t) dr| <

+ E 1 max

> ? ‘i(* - s), • ■ •, - s)) pv„(t) dr 4-

>4 n = 1 X s > 0

+ 1 J

aJj)

A A A

Stąd, wykorzystując oznaczenie (7), otrzymujemy nierówność całkową (8) A [( t ) s;r v(b ) + i 'Fv( t , A [ (t) , A ‘(z ))d z , t e ( A , b ) ,

A

z której na mocy twierdzenia Z . Op i a l a [5] wynika nierówność

(9 ) A [ ( t ) ^ q y( t ) , te { A , by,

gdzie symbolem q ^ t), ..., q„{t) oznaczono całkę górną w prawo układu równań różniczkowych (3), wychodzącą z punktu (A , r t(b), ..., r„ (b )).

Z nierówności (9) wynika, że funkcje ę'y( t ) , v = l , 2, ..., n, są wspólnie ograni­

czone w każdym z przedziałów ( —oo, by, gdzie b e ( A , B).

Pokażemy jeszcze, że funkcje te są jednakowo ciągłe w przedziale ( — co, by.

Przyjmijmy w tym celu, że liczby t oraz t + h > t należą do przedziału ( A , by; wtedy z równań (4) wynika, że

K = h i ( t + h ) ~ę>t(OI< E J I J L J a , ę \ { r - s ) , , <p‘n( z - s j)d srv„ ( t , s)|dz +

ą = l ti 0

t + h n ti + h

+ 1 f 9v(x)d z\^ X 1 m a x 0 v/1( i , ę \ ( z - s ) , ..., ę ‘n( z - s ) ) v ni(z)d z +

t /i = 1 f, 0

t + h tt + h t + h

+ 1 | g v(z)d z\^ J v(r , A ,‘( t ) , , A‘n(z ))d z + J \gy(z )\ d z ^ K (b )h .

t ti t

gdzie K (b ) oznacza pewną funkcję rosnącą zmiennej b. Wynika stąd jednakowa ciągłość funkcji ep[(t) w przedziale ( A , by; dowód jednakowej ciągłości rozważanych funkcji w przedziale ( —oo. by nie przedstawia już, wobec założenia 7° i określeń (4), żadnych trudności.

Analogicznie jak w pracy [3] pokazuje się, że z ciągu (p‘v(t) można wybrać podciąg, który przy każdym ustalonym v ( v = l , 2, ..., ri) jest zbieżny w całym przedziale ( — oo, B ) do pewnej funkcji <py(t), przy czym zbieżność ta jest jednostajna w każ­

dym przedziale ( —oo, ń>, gdzie b < B . Tak samo pokazuje się, że funkcje

<py(t)(v = 1, 2, ..., ri) spełniają, równoważny układowi (1), układ równań całkowych:

(

10

ę y(t) = u>v(t) dla tś:A

n t oo

(pvU) = 0)V( A ) + Yj J { J / v „ ( T > <Pi(x ~ s ) , . . . , (pn( z - s ) ) d s r vll( z , s ) } d z H — 1 A 0

t

+ f 9v(x) d z , dla A ^ t < B , v = 1, 2, ..., n .

A

Tym samym dowód twierdzenia 1 został zakończony.

3. Dla zbadania ograniczoności rozwiązań układu równań (1) przyjmijmy następujące założenia:

Z a ło ż e n ia H.

1° Zachodzą założenia Z , wystarczające dla istnienia rozwiązania układu równań (1).

2° Funkcje Gv(t), określone wzorem (5), są ograniczone w przedziale <A , B ):

sup < ? „ ( / ) const, v = l , 2, n.

A tZ t< B

3° Całka górna w prawo układu równań różniczkowych zwyczajnych (3), wycho­

dząca z punktu (A , C l t C„), gdzie CV= K V+ Q V, v = 1, 2, n, jest ograni­

czona w przedziale ( A , B ) : |^v(t)|<ń/v = const, v = l , 2 , ..., w.

4° Dla każdego ustalonego punktu (y ls ...,y „ ) zbieżna jest całka

(11) yv(0 = J 1Pv( t , y x, ..., yn) d r .

A

T w ie rd z e n ie 2. Jeżeli spełnione są założenia H, to każde rozwiązanie ..., układu równań (1) jest ograniczone w przedziale ( A , B ) oraz istnieją granice

t

(12) lim |<jov( 0 - f 9 v ( j ) d * \ , v = 1 , 2 ,. . . , n.

t~*B — 0 A

D o w ó d . Z założenia 1° H i z twierdzenia 1 wynika, że istnieje rozwiązanie

<Pv(t), v = 1 ,2 , układu (1), odpowiadające danym funkcjom początkowym

&>„(/), v = l , 2, Po łatwych obliczeniach otrzymujemy nierówność całkową

^ v ( 0 < C v + { ^ „ (t , /1j(t), . . ., A n(x ))d x , t e ( A , B ),

A

gdzie /lv(0 = sup|<pv(«)|, zaś funkcje Gv(t) zostały określone wzorem (5). Z nierÓW- USSl

ności tej wynika, że

(13) A v( t ) ś q v( t ) dla t e < A , B ), v = 1, 2, ..., n,

przy czym symbolem ą ^ t), q„(t) oznaczono tu całkę górną w prawo układu równań (3), wychodzącą z punktu (A , C lt ..., C„). Z nierówności (13) i z założe­

nia 3° H wnioskujemy o ograniczoności rozwiązania (pv( t ) ; zatem

(14) |ę>v(t)|<lVv = const, t e ( A , B), v = 1 , 2, ..., n, co kończy dowód pierwszej części tezy.

Połóżmy teraz

t

£?v(0 = <Pv(0 - f g M dr

A

i niech A ^ t ^ s < B ; z równań (10) wyniknie, że wtedy

dla v = 1, 2 , n. Z założenia 4° H wnosimy, że ostatni człon powyższej nierówności dąży do zera gdy /-»2?—0, co dowodzi istnienia granic (12). Tym samym twier­

dzenie 2 zostało udowodnione.

U w a g a . Z twierdzenia 2 wynika, że jeśli spełnione są jego założenia i jeśli dla pewnego wskaźnika v istnieje granica

t

lim f g j t ) d-c,

t - B - 0 A

to istnieje granica odpowiedniej składowej rozwiązania q>y{t) przy t - * B —0.

Z twierdzenia tego wnioskujemy dalej, że jeśli któraś z funkcji Gv(0 nie jest ograniczona w przedziale < A , B), lecz są spełnione pozostałe założenia twierdzenia 2, to któraś z funkcji cp jt) jest też nieograniczona, gdyż w przeciwnym przypadku było­

by dla v = l, 2 , ..., n:

G„(0 = | J g y(t) dz\< |<py(OI + 1t M j <PV(x , N t , ..., N „) d z< + oo,

A A

co przeczy założeniu, że nie wszystkie G „(t) są ograniczone.

4. Pewne przypadki szczególne. Udowodnione twierdzenia uogólniają wyniki uzyskane w pracy [3]. Istotnie, przyjmijmy że spełnione są założenia 2°, 3°, 5°, 6°, 7° Z oraz założenia 1° Z z tym, że zamiast nierówności (2) spełniona jest nierówność

n

(15) . . . , x n)\ ^ A vll( t ) + £ B vtlx(t)\xx\; v , f i = l , 2 X=1

gdzie A y/I(t) i Bv/lx(t) oznaczają pewne funkcje ciągłe i nieujemne w przedziale <A , B).

Wtedy układ równań różniczkowych (3) ma postać

(

)

0 = Z E Z 5v„*(0MO]

Z

X = 1 1 1 = 1 / 4 = 1

Z przyjętych założeń o funkcjach A Vfl(t) i Bv/ix(t) wynika, że rozwiązanie układu równań (16), wychodzące z punktu (A , C t , ..., C„) jest monotoniczne. Zakładając więc, że

00 00

(17) J A vil( t ) v Vfl( t ) d t < + oo oraz J Bvllx(t )v v„ (ł )d t < + co.

A A

stwierdzamy na mocy twierdzenia B. P. De m i d o w i c z a [4], że rozwiązanie układu (16) spełniające warunek początkowy (A , C t , ..., C„) jest ograniczone. Oznacza to, że spełnione jest założenie 3° H ; założenia (17) gwarantują oczywiście zbieżność całki (11), występującej w założeniu 4° H . Przyjmując więc jeszcze, że zachodzi założenie 2° H, możemy sformułować następujące

Tw ie r d z e n ie 3. Jeżeli są spełnione założenia 2°, 3°, 5°, 6°, 7° Z , warunki (15) i (17) oraz założenie 2° H, to istnieje rozwiązanie układu równań (1 ); każde rozwiązanie, jest ograniczone w przedziale ( A , B ) oraz istnieją granice (12).

Przyjmijmy teraz, że zachodzą założenia Z z tym, że nierówność (2) zastąpimy nierównością

(18) l/v,.0.*i>

(l^iI» •••> l*»l)>

gdzie j4V(1(/) oznacza funkcje ciągłe i nieujemne w przedziale ( A , 5 ), zaś BVfl(y 1, ..., y„) ciągłą i nieujemną funkcję argumentów y l t . . . , yn(y i^ 0 dla / = 1 , 2 , . . . , « ) , nie- malejącą względem tych argumentów. Wtedy układ równań (3) przyjmie postać

n

(19) y 'M = £ CVM(0 Bv,l{y l , . . . , y „ ) , gdzie C VM(t ) = A v/i( t ) vVfl( t ) . M=1

Załóżmy ponadto, że zbieżna jest całka

00

(20) | C v( 0 dt, v — 1 ,2 , , n , Cv(f) = m axCv„ ( f ) ,

A ii

oraz że funkcje Gv(t), określone wzorem (5), są ograniczone w przedziale <A , B).

Tym samym spełnione są założenia 1°, 2° i 4° H . Pokażemy, że zachodzi też zało­

żenie 3° H. Niech więc yv(t), v = 1, 2 oznacza rozwiązanie układu równań (19), wychodzące z punktu (A , C , , ..., C„); wtedy, przyjmując oznaczenia:

n

£v(0 = £ B U l) - y ( 0 = max yv( t ) , B *(«) = Bv( u , . . . , « ) ,

H = 1 v

otrzymamy

t n

y„(0 = Cv+ J £ C ^ B ^ y ^ z ) , , yn(z j)d z ^

A

< Cv + j Cv( t ) P v()T (t )> ..., yn(x j)d x ^ C v + J Cv(z ) B’ (y (z )) d z .

A A

Otrzymujemy stąd nierówność całkową

(21) y ( 0 ś C + j c ( z ) B * ( y ( z ) ) d z ,

A

gdzie C = m a x C v, C (0 = m a x C v(r), 2?*(w) = maxZ?*(w), z której, na mocy znanego

V V V

twierdzenia Bih a r ie g o [2], wynika nierówność

(22) y ( t ) ś R - 1[ R ( C ) + j c ( z ) d x l , t e < A , B ) ,

A przy czym

« ( « ) = I u > u 0> 0 .

Z założenia (20) i nierówności (22) wynika ograniczoność rozwiązania

>>!(/),. . . , y„(t) układu równań (19), wychodzącego z punktu (A , C t , ..., C„). Można zatem wypowiedzieć

Tw i e r d z e n i e 4. Jeżeli są spełnione założenia Z , nierówności (18) i (20) oraz jeżeli funkcje Gv(t) są ograniczone w przedziale < A , B), to istnieje w tym przedziale rozwiąza­

nie układu (1), każde rozwiązanie tego układu jest ograniczone oraz istnieją granice (12).

[1 ] A . Bie l e c k i, M . Ma k s y m: Sur une generalisation d’un theorśme de A. D. Muichkis, Biuletyn Lubelskiego Towarzystwa Naukowego, 2 (1962).

[2] I. Bi h a r i: A generalization o f a lemma o f Bellman and its applications to uniqueness problems o f differential equations, Acta Math. Acad. Sci. Hung. 7 (1956), 81— 94.

[3] J. Bł a ż: O istnieniu i ograniczoności rozwiązań pewnego układu równań różniczkowych z opóźnio­

nym argumentem, Prace Matem., V III (1963), 45— 53.

[4] B. n . JlEMHflOBHu: Od oepanunemiocmu peutenuu cucmeu miHeimux duffepeuquaMHUx ypa- ÓHenuu, Y M H , X II 2 (74), (1957), 143— 146.

[5] Z. Op i a l: Sur un systeme d’inegalites integrates, Ann. Polon. Math. 3 (1957), 200— 209.

Ja n Bł a ż

O N T H E E X IS T E N C E A N D B O U N D E D N E S S O F S O L U T IO N S O F A SYSTE M O F D IF F E R E N T IA L E Q U A T IO N S W IT H D E L A Y E D A R G U M E N T

S u m m ary

Under the assumptions 1°— 7° (pages 25-26) it is proved, by Tonelli’s method, that the Cauchy problem for the system o f differential equations with delayed argument of form (1), has at least one solution. If, furthermore, assumptions 1°— 4° (page 28) are fulfilled, then each so­

lution <fv{t), v = 1 , 2 , . . . , « , o f system (1) is bounded in the interval < ,A ,B ) and the limits t

lim|ipv(0- jVv(r)*|,J’ =1,2, .., n,

t - B A

exist. These theorems generalize author’s results [3].

Oddano do Redakcji 1 sierpnia 1969 r.