Sur la norme du groupe des unit´es d’extensions quadratiques relatives

LXI.4 (1992)

Sur la norme du groupe des unit´ es d’extensions quadratiques relatives

par

Georges Gras (Besan¸ con)

0. Introduction. R´ ecemment, plusieurs articles ont trait´ e de la ques- tion de la norme de l’unit´ e fondamentale d’un corps quadratique r´ eel, ceci par des m´ ethodes vari´ ees:

(α) M. Hikita (cf. [H, corollary, p. 87]);

(β) R. Pioui (cf. [P, corollaire (4.9)]);

(γ) A. Costa and R. Kingan (cf. [C-K, propositions 1.2, 1.2

et corollaries 1.1, 1.2, 1.3, 1.3

]);

(δ) J. Hurrelbrink (cf. [Hu, proposition 1.1, theorem 1.6, proposition 2.1]).

L’un des r´ esultats typiques ´ enonc´ es dans les articles ci-dessus est le sui- vant (ou lui est ´ equivalent) :

(0.1) Proposition. Soient K = Q( √

d), K

= Q( √

−d), d > 0 pair sans facteur carr´ e et sans diviseurs premiers congrus ` a 3 modulo 4; soient H

, H

les 2-Sylow du groupe des classes au sens ordinaire de K, K

, et soit ε l’unit´ e fondamentale de K. Alors les conditions suivantes sont ´ equivalentes :

(i) H

est ´ el´ ementaire et N

ε = −1;

(ii) H

est ´ el´ ementaire (

).

On peut aussi ´ enoncer ce r´ esultat en termes de cardinalit´ es h, h

des H

, car si t est le nombre de diviseurs premiers de d (y compris 2), les conditions (i), (ii) sont respectivement ´ equivalentes ` a :

(i)

h = 2

et N

ε = −1;

(ii)

h

= 2

.

Dans (α) (resp. (β)), ce r´ esultat est obtenu par des congruences ` a partir des fonctions L-complexes (resp. 2-adiques); dans (γ), il s’agit de techniques

(¹) Un 2-groupe fini est dit ´el´ementaire s’il est annul´e par 2.

utilisant des formes modulaires ainsi que leurs liens avec les fonctions L, et, dans (δ), le r´ esultat est obtenu de fa¸con classique ` a partir de [C-H].

En fait, un tel r´ esultat est une application imm´ ediate de principes g´ e- n´ eraux que nous avions donn´ es dans [G1,2] pour interprˆ eter et syst´ ematiser d’anciens r´ esultats de R´ edei [R1,2], Scholtz [S], Inaba [I], Fr¨ ohlich [F] et d’autres, et pour les ´ etendre au cas des extensions relatives.

Nous avons obtenu le r´ esultat principal (2.1) qui donne une classe na- turelle d’extensions quadratiques K/k pour lesquelles une unit´ e de k est norme d’unit´ e si et seulement si elle est norme dans K/k; voir ´ egalement le r´ esultat (3.2) qui g´ en´ eralise (0.1) mˆ eme lorsque k = Q (cf. (3.4)).

(0.2) Hypoth` ese. On fixe un corps de base k totalement r´ eel et 2- principal au sens restreint (i.e. H

= 1 (cf. (0.3))).

(0.3) N o t a t i o n s. (i) On d´ esigne par H

(resp. H

) le 2-groupe des classes au sens ordinaire (resp. restreint) d’un corps de nombres L, par E

son groupe des unit´ es. On appelle I

, P

(resp. P

) le groupe des id´ eaux de L, le sous-groupe des id´ eaux principaux au sens ordinaire (resp. restreint);

H

et H

sont donc les 2-Sylow des groupes I

/P

et I

/P

.

Si σ

, . . . , σ

sont les r

plongements r´ eels de L, et si s

: L

→ {±1}

est l’homomorphisme de signature, d´ efini par

s

(x) = (signe (σ

(x)))

,

alors on a P

= {(x) : x ∈ L

, s

(x) = 1} ainsi que les suites exactes suivantes qui relient sens ordinaire et sens restreint :

1 → P

/P

→ H

→ H

→ 1, 1 → E

/E

→ L

/L

→ P

/P

→ 1, o` u L

= Ker(s

) et E

= E

∩ Ker(s

).

(ii) Soit K une extension quadratique de k, K = k( √

δ), δ ∈ k

− k

; soit G = hτ i = Gal(K/k) et soit N = N

. On d´ esigne par p

, . . . , p

les id´ eaux premiers de k ramifi´ es dans K/k (d’apr` es (0.2) et le corps de classes, on a t ≥ 1), et on d´ esigne par ∞

, . . . , ∞

, t

≥ 0, les places ` a l’infini r´ eelles de k ramifi´ ees dans K/k. Si l’on pose [k : Q] = m, le nombre r

de plongements r´ eels de K est donn´ e par r

= 2%, o` u % = m−t

. Si σ

, . . . , σ

(resp. σ

, . . . , σ

) sont les plongements de k dont les prolongements ` a K sont r´ eels (resp. complexes), on d´ esigne ceux de K sous la forme suivante (par abus de notation) :

σ

, σ

τ, . . . , σ

, σ

τ (resp. σ

, σ

τ, . . . , σ

, σ

τ ).

Les t

places ` a l’infini ∞

de k, ramifi´ ees dans K/k, correspondent donc aux σ

, j = 1, . . . , t

, pour lesquels on a pr´ ecis´ ement σ

(δ) < 0.

(iii) On note par (a, b)

le symbole de Hilbert usuel, ` a valeurs dans

{±1}, o` u a, b ∈ k

et o` u p est une place arbitraire de k, et on pose (a, b)

=

(−1)

(on dira par abus que [a, b]

∈ F

est le symbole de Hilbert en notation additive). Pour j ∈ {1, . . . , t

}, on a (δ, a)

= −1 si et seulement si σ

(a) < 0.

(0.3.1) R e m a r q u e. L’hypoth` ese (0.2) implique s

(E

) = s

(k

) = {±1}

, soit (E

: E

) = 2

= (E

: E

), d’o` u E

= E

.

(0.3.2) R e m a r q u e. Le corps k ´ etant seulement suppos´ e 2-principal au sens restreint, pour tout id´ eal a de k, il existe q ∈ 1 + 2Z tel que a

= (a) avec a ∈ k

; par commodit´ e on d´ esignera par ˜ a une telle puissance de a (q est par exemple le nombre de classes du corps k). En particulier, en ce qui concerne le nombre δ dans (0.3)(ii), on peut toujours supposer que (δ) = ˜ p

. . . ˜ p

, t

≤ t, quitte ` a remplacer δ par une puissance impaire, puis choisir un repr´ esentant convenable modulo k

.

La m´ ethodologie d´ evelopp´ ee dans [G1,2] peut se r´ esumer en l’´ enonc´ e suivant (sous l’hypoth` ese (0.2) et avec les notations (0.3) pr´ ec´ edentes rela- tivement ` a l’extension quadratique K/k):

(0.4) Th´ eor` eme ([G1, th. (4.3), p. 41; corol. (4.4), p. 42]). Soit H un sous-G-module de H

et soit e H = {h ∈ H

: h

∈ H}; alors

| e H/H| = 2

, o` u r ≤ t − 1 est le F

-rang de la matrice suivante de symboles de Hilbert en notation additive :

M (a

, . . . , a

) = ([δ, a

]

)

o` u les a

sont d´ etermin´ es ainsi : Soit I = hA

, . . . , A

i un sous-G-module de I

tel que IP

/P

= H; soit Λ l’image r´ eciproque de N I = hN A

, . . . . . . , N A

i ⊂ P

par l’application canonique ψ : k

→ P

; on pose alors Λ = ha

, . . . , a

iE

.

(0.5) R e m a r q u e. Pour le calcul de r = r(Λ), on peut remplacer Λ par tout groupe Λ

tel que Λ

NK

= ΛNK

: en effet, si a

∈ Λ

, il vient a

∈ aNK

, a ∈ Λ, soit (δ, a

)

= (δ, a)

pour toute place p de k;

ceci exprime que r(Λ

) ≤ r(Λ), d’o` u l’´ egalit´ e par sym´ etrie. On ´ ecrit alors Λ

∼ Λ.

1. Caract´ erisation des H

´ el´ ementaires. On a (H

)

= 1 si et seulement si H

= (H

)

, car, puisque H

= 1, pour tout h ∈ H

on a h

= h

h

= h

. Par un argument ´ el´ ementaire (i.e. le fait que H = H ´ e equivaut ` a H = H

), il suffit de traduire, ` a partir de (0.4), que r = t − 1 relativement ` a H = (H

)

(ce qui fait l’objet de l’´ enonc´ e (1.6)).

(1.1) Lemme. Le groupe (H

)

est d’ordre 2

et est engendr´ e par les

classes (au sens restreint ) des ´ el´ ements de P

et des id´ eaux e P

o` u P

est

au-dessus de p

, j = 1, . . . , t (cf. (0.3), (0.3.2)).

Soit A ∈ I

tel que A

= (α), α ∈ K

; on a donc Nα = ε ∈ E

, mais d’apr` es (0.3.1), E

= E

. On a alors Nα = η

, η ∈ E

, d’o` u α = ηβ

, β ∈ K

, d’o` u A

= (β)

, et il existe b ∈ I

, B ∈ hP

, . . . , P

i, o` u N P

= p

, tels que A = (β)(b)B; comme b ∈ I

= P

, la seconde partie du lemme en r´ esulte. Quant au nombre de classes au sens restreint, invariantes, il a ´ et´ e donn´ e dans [G1, th. (4.1), p. 26].

Soit P = h(β

), . . . , (β

)i, β

∈ K

, tels que PP

= P

; alors on pose I = Ph e P

, . . . , e P

i; d’o` u N I = h(N β

), . . . , (N β

), ˜ p

, . . . , ˜ p

i ⊂ P

.

Il existe des b

∈ k

et des η

∈ E

tels que (1.1.1) η

N β

= b

, i = 1, . . . , u ;

de mˆ eme il existe des π

∈ k

tels que ˜ p

= (π

), j = 1, . . . , t; d’o` u par ψ

,

Λ = E

hb

, . . . , b

, π

, . . . , π

i = E

hb

, . . . , b

, π

, . . . , π

i .

(1.2) Lemme. On a Λ ∼ Λ

= F hπ

, . . . , π

i (cf. (0.5)), o` u F = {η ∈ E

: (δ, η)

= 1, pour j = 1, . . . , t

} (cf. (0.3)(iii)).

D’apr` es (1.1.1), on a η

∈ F , i = 1, . . . , u; d’o` u Λ ⊂ Λ

NK

. Inverse- ment, si η ∈ E

est norme locale en les places ` a l’infini ∞

, j = 1, . . . , t

, η est norme locale en toutes les places ` a l’infini de k car (δ, η)

= 1 si ∞ est non ramifi´ ee dans K/k, donc il existe β ∈ K

tel que b = ηN β ∈ k

; comme (β) ∈ PP

⊂ IP

, N (β) ∈ N IN(P

), d’o` u (b) ∈ N IN(P

) et b ∈ ΛNK

; d’o` u η ∈ ΛNK

. D’o` u le lemme.

(1.3) Lemme. On a (F : E

) = 2

(cf. (0.3)(ii)).

En effet, on a la suite exacte 1 → F → E

→ {±1}

→ 1,

o` u f (ε) = (signe σ

(ε))

, la surjectivit´ e r´ esultant de l’´ egalit´ e s

(E

) = s

(k

); on a

Ker f = {η ∈ E

: σ

(η) > 0, j = 1, . . . , t

}

= {η ∈ E

: (δ, η)

= 1, pour j = 1, . . . , t

} = F.

D’o` u (E

: F ) = 2

, soit (F : E

) = 2

.

(1.4) R e m a r q u e. Si K est totalement r´ eel (resp. totalement imagi- naire), alors on a Λ ∼ E

hπ

, . . . , π

i (resp. Λ ∼ hπ

, . . . , π

i).

(1.5) N o t a t i o n s. On rappelle que π

, . . . , π

∈ k

sont des g´ en´ era- teurs de puissances impaires convenables des id´ eaux p

, . . . , p

de k ramifi´ es dans K/k; on d´ esigne par η

, . . . , η

des unit´ es de k telles que hη

, . . . , η

iE

= F (cf. (1.2), (1.3)). On pose alors

(a

, . . . , a

) = (η

, . . . , η

, π

, . . . , π

), n = % + t = m − t

+ t,

et on consid` ere la matrice ` a coefficients dans F

:

M (a

, . . . , a

) = M (η

, . . . , η

, π

, . . . , π

) = ([δ, a

]

)

. En r´ esum´ e, on a obtenu sous (0.2), et pour K/k quadratique :

(1.6) Th´ eor` eme. On a |H

| = 2

(i.e. H

est ´ el´ ementaire) si et seulement si M (η

, . . . , η

, π

, . . . , π

) est de rang t − 1 (cf. (1.5)).

(1.7) R e m a r q u e. Ce r´ esultat peut ˆ etre consid´ er´ e comme la g´ en´ erali- sation du crit` ere de R´ edei pour les extensions quadratiques de Q, car dire que H

est ´ el´ ementaire revient ` a dire que le 4-rang de ce groupe est nul;

or comme (H

)

= 1, 1 − σ op` ere comme 2 et il en r´ esulte que ce 4-rang est ´ egal ` a t − 1 − r.

Ceci ach` eve l’application de (0.4) pour H = (H

)

. Nous allons voir dans le §2 ce qu’implique une telle situation au niveau du groupe NE

.

2. R´ esultat principal. Nous faisons intervenir maintenant le groupe H

. Le r´ esultat principal est le suivant :

(2.1) Th´ eor` eme. Soit K = k(

√

δ) une extension quadratique d’un corps k totalement r´ eel et 2-principal au sens restreint. Alors les conditions sui- vantes sont ´ equivalentes (cf. Notations (0.3) et (1.5)) :

(i) |H

| = 2

/(E

: E

∩ NK

) (i.e. H

est ´ el´ ementaire) et NE

= E

∩ NK

;

(ii) M (η

, . . . , η

, π

, . . . , π

) est de rang t−1 (i.e. H

est ´ el´ ementaire).

(2.2) Corollaire. Les conditions suivantes sont ´equivalentes:

(i) |H

| = 2

et (E

: NE

) = 2

;

(ii) |H

| = 2

et (E

: E

∩ NK

) = 2

et NE

= E

∩ NK

; (iii) (E

: E

∩ NK

) = 2

et M (π

, . . . , π

) est de rang t − 1.

D ´ e m o n s t r a t i o n s . D´ efinissons, dans s

(k

) = {±1}

:

S

= {(. . . , signe (σ

(a)), . . . ; . . . , 1, . . .) : a ∈ k

, σ

(δ) > 0, i = 1, . . . , %}, S

= {(. . . , 1, . . . ; . . . , signe (σ

(a)), . . .) : a ∈ k

, σ

(δ) < 0,

j = 1, . . . , t

}, de telle sorte que s

(k

) = S

⊕ S

.

On a, sur s

(K

), une norme (not´ ee encore N ) telle que N (s

, s

, . . . , s

, s

) = (s

s

, . . . , s

s

),

o` u s

= signe (σ

(α)), s

= signe (σ

τ (α)), α ∈ K

, pour les 2% plongements

r´ eels σ

, σ

τ , i = 1, . . . , %, de K; on a le diagramme commutatif suivant : K

→

s

(K

) ' {±1}

N



 y



 y

k

→

s

(k

) ' {±1}

On v´ erifie que N ◦ s

(K

) ' S

.

(2.3) Lemme. On a 2

(NE

: E

) = |s

(E

)|.

Soit S

le noyau de N dans s

(K

); on a s

(E

) ⊆ S

car pour ε

∈ E

, N ◦ s

(ε

) = s

(N ε

) = s

(ε

) = 1. Comme S

= {(s

, s

, . . . , s

, s

) : s

=

±1}, et comme s

(E

) = s

(k

), on en d´ eduit l’´ egalit´ e S

= s

(E

). Soit alors S

un suppl´ ementaire de S

dans s

(E

); on a s

(E

) = S

⊕ S

, d’o` u, par N qui est injective sur S

, S

' N S

= N (s

(E

)) = s

◦N (E

);

par cons´ equent la suite exacte

1 → E

→ NE

→ s

◦ N (E

) → 1

conduit ` a (NE

: E

) = |S

| = |s

(E

)|/|S

|; d’o` u le lemme puisque

|S

| = 2

.

Montrons l’implication (i)⇒(ii) du th´ eor` eme : L’´ egalit´ e NE

= E

∩ NK

implique, via (2.3),

|s

(E

)| = 2

(E

∩ NK

: E

) = 2

/(E

: E

∩ NK

), soit (cf. (0.3)(i))

|H

||H

|

= 2

(E

: E

∩ NK

)/2

= (E

: E

∩ NK

)/2

; d’apr` es l’expression classique de |(H

)

| (cf. [G1, p. 25]), la premi` ere con- dition de (2.1)(i) signifie bien que H

est ´ el´ ementaire, d’o` u

|H

| = |H

|(E

: E

∩ NK

)/2

= 2

;

comme |(H

)

| = 2

(cf. (1.1)), H

est aussi ´ el´ ementaire, ce qui donne (ii) grˆ ace ` a (1.6).

Montrons ensuite l’implication (ii)⇒(i) : Si H

est ´ el´ ementaire, H

, qui en est un quotient, est ´ el´ ementaire et on a donc |H

| = 2

/(E

: E

∩ NK

) (premi` ere condition de (i)). On a ´ egalement |H

| = 2

; d’o` u

|H

||H

|

= (E

: E

∩ NK

)/2

. Comme

|H

||H

|

= |s

(K

)|/|s

(E

)| = 2

/|s

(E

)| = 2

/(NE

: E

)

(d’apr` es (2.3)), il vient (E

: E

∩ NK

)/2

= 2

/(NE

: E

), soit (E

:

E

∩ NK

)(NE

: E

) = 2

, ce qui implique E

∩ NK

= NE

.

Etablissons enfin (2.2) : Si on a (i), on a

|(H

)

| = 2

2

/(E

: E

∩ NK

) ≤ 2

,

soit (E

: E

∩ NK

) ≥ 2

; mais (E

: E

∩ NK

) divise (E

: NE

) = 2

, et n´ ecessairement (E

: E

∩ NK

) = 2

, d’o` u (ii).

Ensuite, (ii) n’est autre que le point (i) de (2.1) avec la condition suppl´ e- mentaire (E

: E

∩ NK

) = 2

, ce qui conduit au point (iii) de (2.2) avec la matrice M (η

, . . . , η

, π

, . . . , π

) au lieu de M (π

, . . . , π

); mais on a E

∩ NK

⊆ F (cf. (1.2)) et

(F : E

∩ NK

) = (F : E

)/(E

∩ NK

: E

) = 2

/2

= 1 (cf. (1.3)), d’o` u E

∩ NK

= F , auquel cas hη

, . . . , η

, π

, . . . , π

i ∼ hπ

, . . . . . . , π

i.

Enfin, si le rang de M (π

, . . . , π

) est t − 1, celui de M (η

, . . . , η

, π

, . . . . . . , π

) est a fortiori t − 1, ce qui est le point (ii) de (2.1), d’o` u (i) de (2.1) qui, compte-tenu de l’´ egalit´ e (E

: E

∩ NK

) = 2

, donne (i) de (2.2).

(2.4) Corollaire. Si K est totalement r´eel et si E

⊂ NK

, alors les conditions suivantes sont ´ equivalentes :

(i) |H

| = 2

et NE

= E

; (ii) M (π

, . . . , π

) est de rang t − 1.

En particulier , si K est totalement r´ eel et si t = 1, alors |H

| = 1 et NE

= E

.

3. Application ` a la g´ en´ eralisation de (0.1). Le principe est de consid´ erer deux corps quadratiques K = k( √

δ) et K

= k( √

δ

), δ, δ

∈ k

− k

, pour lesquels les conditions du th´ eor` eme (2.1) (ou du corollaire (2.2)) pour K soient ´ equivalentes aux conditions analogues pour K

, de telle sorte que, lorsqu’elles ont lieu, l’on puisse ´ ecrire

|H

| = 2

et (E

: NE

) = 2

⇔ |H

| = 2

et (E

: N

E

) = 2

. Une fa¸ con simple de r´ ealiser cette situation est de prendre K = k( √

δ), K

= k( √

−δ) avec δ ∈ k

(donc K est totalement r´ eel et K

totalement imaginaire) et de faire les hypoth` eses suivantes :

(α) E

⊂ NK

;

(β) le nombre premier 2 est non d´ ecompos´ e dans k/Q.

On remarque alors que |t

− t| ≤ 1, et si t

6= t, il s’agit de l’id´ eal premier

au-dessus de 2 qui se ramifie dans une seule des deux extensions quadratiques

(auquel cas δ peut ˆ etre suppos´ e “impair”).

On remarque enfin que E

∩ N

K

= E

= E

= N

E

puisque N

K

⊂ k

. On a alors t

= 0, t

= m, et les conditions (i), (ii) (resp. (i)

, (ii)

) de (2.1) relatives ` a K (resp. K

) deviennent ici (compte- tenu de (α), (β), et avec des notations ´ evidentes):

(i) |H

| = 2

et NE

= E

;

(ii) M (π

, . . . , π

) = ([δ, π

]

)

est de rang t − 1;

(i)

|H

| = 2

;

(ii)

M

= M (π

, . . . , π

) = ([−δ, π

]

)

est de rang t

− 1.

(3.1) Lemme. On a (−δ, π

)

= (δ, π

)

pour tout i, j = 1, . . . , t

, et , de mˆ eme, (δ, π

)

= (−δ, π

)

pour tout i, j = 1, . . . , t.

Calculons (−1, π

)

. Si p

ne divise pas 2 alors il divise (δ) et est donc ´ egal ` a un p

ramifi´ e dans K/k; comme −1 est norme dans K/k, on a (δ, −1)

= 1; or (δ, −1)

= (−1/p

) (symbole de reste quadratique), et on a donc (−1/p

) = 1; mais (−1, π

)

= 1 pour i 6= j et est donn´ e par (−1/p

) sinon, d’o` u (−1, π

)

= 1 dans ce cas. Si p

divise 2, ce qui en vertu de (β) se produit au plus une fois, la formule du produit Q

p⁰

(−1, π

)

= 1, p

par- courant l’ensemble des places de k, conduit au r´ esultat car (−1, π

)

= 1 pour les places ` a l’infini de k (π

∈ k

).

La seconde partie du lemme est analogue.

On a alors essentiellement 2 cas :

(i) t

= t, qui conduit ` a M

= M d’apr` es (3.1);

(ii) t

= t + 1, qui conduit, en vertu de (3.1), ` a

M

=













M

[δ, π

]

.. . [δ, π

]

[δ, π

]

. . . [δ, π

]

[δ, π

]













(ou vice versa, par ´ echange de M et M

et de t et t

, lorsque t = t

+ 1), o` u l’on a pos´ e p

= p

, pour j = 1, . . . , Min(t, t

), et o` u π

∈ k

engendre une puissance impaire convenable de l’id´ eal premier p

de k au-dessus de 2.

Examinons le cas (ii) sous la forme ci-dessus (t

= t+1); par addition des colonnes de M

` a sa derni` ere colonne, la formule du produit Q

j=0

(δ, · )

= 1, appliqu´ ee aux π

, 0 ≤ i ≤ t, conduit ` a la matrice









M

0 .. . 0 [δ, π

]

. . . [δ, π

]

0









puis, par addition des t premi` eres colonnes, la formule du produit Q

j=1

(δ, · )

= 1, appliqu´ ee aux π

, 1 ≤ i ≤ t, conduit ` a la matrice









M

0 0 .. . .. . 0 0 [δ, π

]

. . . [δ, π

]

u 0









o` u M

est ` a t lignes et t − 1 colonnes, et de mˆ eme rang que M , et o` u u = [δ, π

]

(en effet, comme Q

j=0

(δ, π

)

= 1, on a P

j=1

[δ, π

]

= [δ, π

]

= u).

Par cons´ equent, l’´ equivalence

rang (M ) = t − 1 ⇔ rang (M

) = t

− 1 est vraie si et seulement si u 6= 0 (i.e. (δ, π

)

= −1).

D’o` u l’´ enonc´ e g´ en´ eralisant (0.1) :

(3.2) Th´ eor` eme. Soit k un corps de nombres totalement r´ eel , 2-princi- pal au sens restreint , et dans lequel 2 ne se d´ ecompose pas. Soient K = k( √

δ), K

= k( √

−δ), δ ∈ k

−k

; on suppose que E

⊆ NK

. Soit π

∈ k

un g´ en´ erateur d’une puissance impaire convenable de l’id´ eal premier de k au-dessus de 2, soient t , t

les nombres d’id´ eaux premiers ramifi´ es dans K, K

, et soient h, h

les 2-nombres de classes au sens ordinaire de K, K

. Alors on a les r´ esultats suivants :

(i) Si t

= t, alors on a h = 2

et NE

= E

si et seulement si h

= 2

;

(ii) si t

6= t, supposons en outre que (δ, π

)

= −1; alors on a h = 2

et NE

= E

si et seulement si h

= 2

.

Enon¸ cons des corollaires relatifs au cas k = Q :

(3.3) Corollaire. Soit δ = 2p

. . . p

, t ≥ 1, o` u les p

sont des nombres premiers impairs distincts congrus ` a 1 modulo 4; alors h = 2

et N ε = −1 si et seulement si h

= 2

.

(3.4) Corollaire. Soit δ = p

. . . p

, t ≥ 1, o` u les p

sont comme dans (3.3) et tels que (δ, 2)

= −1 (i.e. δ ≡ 5 mod 8); alors h = 2

et N ε = −1 si et seulement si h

= 2

.

On notera que (3.3) n’est autre que (0.1).

(3.5) R e m a r q u e s c o n c l u s i v e s. (i) Si, dans (3.2)(ii), on a (δ, π

)

= 1, alors (en supposant t

= t + 1 pour fixer les id´ ees) la matrice M

est de

rang ≤ t − 1, auquel cas H

n’est jamais ´ el´ ementaire (autrement dit, on a

h

≡ 0 mod 2

; mais on peut avoir h = 2

et N ε = −1).

(ii) L’application pratique du th´ eor` eme (2.1) se fait comme suit : ayant v´ erifi´ e que le rang de la matrice M (η

, . . . , η

, π

, . . . , π

) est t − 1 (cf. (1.5)), on dispose de la sous-matrice M (η

, . . . , η

) qui permet de trouver NE

comme ´ etant d´ efini par E

∩ NK

= F ∩ NK

= {η = Q

i=1

η

: x

∈ F

, P

i=1

x

[δ, η

]

= 0, pour j = 1, . . . , t}E

.

(iii) De nombreuses situations, non abord´ ees ici, peuvent ˆ etre trait´ ees selon notre r´ esultat g´ en´ eral (0.4), sur un plan th´ eorique ou sur un plan num´ erique (` a ce sujet on pourra se r´ ef´ erer ` a [G2, V, C] pour les probl` emes de 4-rangs des corps quadratiques, ` a [G2, VI, A, B] pour l’aspect num´ erique).

(iv) Soit d > 0 sans facteurs carr´ es et sans diviseurs premiers congrus

`

a 3 modulo 4; les exemples num´ eriques suivants (k = Q) montrent que les seules consid´ erations locales ne suffisent plus ` a d´ eterminer N

ε si l’on n’est plus dans le cadre des corollaires (3.3) et (3.4), autrement dit si l’on est dans l’un des 3 cas suivants:

(a) d pair et H

non ´ el´ ementaire;

(b) d impair, d ≡ 5 mod 8 et H

non ´ el´ ementaire;

(c) d impair, d ≡ 1 mod 8.

On donne alors successivement d, H

, H

, N

ε:

(a) 34 = 2 · 17 C

C

+ 1

82 = 2 · 41 C

C

− 1

(b) 205 = 5 · 41 C

× C

C

+ 1 445 = 5 · 89 C

× C

C

− 1 (c) 65 = 5 · 13 C

× C

C

− 1 305 = 5 · 61 C

× C

C

+ 1.

Nous remercions le Rapporteur de nous avoir indiqu´ e les travaux de P. Morton o` u sont prouv´ es des r´ esultats de densit´ e confirmant pr´ ecis´ ement l’impossibilit´ e de pr´ evoir de fa¸ con locale la norme de l’unit´ e fondamentale d’un corps quadratique r´ eel sur Q lorsque le 2-groupe des classes au sens restreint n’est pas ´ el´ ementaire (cf. [M]).

Bibliographie

[C-H] P. C o n n e r and J. H u r r e l b r i n k, Class Number Parity , Ser. Pure Math. 8, World Sci., Singapore 1988.

[C-K] A. C o s t a and R. K i n g a n, On the norms of units for real quadratic extensions of number fields, preprint.

[F] A. F r ¨o h l i c h, The generalization of a theorem of L. R´edei’s, Quart. J. Math.

Oxford Ser. (2) 5 (1954), 130–140.

[G1,2] G. G r a s, Sur les l-classes d’id´eaux dans les extensions cycliques relatives de degr´e premier l , Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 23 (3) (1973), 1–48; 23 (4) (1973), 1–44.

[H] M. H i k i t a, On the congruences for the class numbers of the quadratic fields whose discriminants are divisible by 8, J. Number Theory 23 (1) (1986), 86–101.

[Hu] J. H u r r e l b r i n k, On the norm of the fundamental unit , preprint.

[I] E. I n a b a, ¨Uber die Struktur der l-Klassengruppe zyklischer Zahlk¨orper von Prim- zahlgrad l, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. I 4 (1940), 61–115.

[M] P. M o r t o n, On the non-existence of abelian conditions governing solvability of the −1 Pell equation, J. Reine Angew. Math. 405 (1990), 147–155.

[P] R. P i o u i, Mesures de Haar p-adiques et interpr´etation arithm´etique de (1/2)L2(χ, s) − (1/2)L2(χ, t), s, t ∈Z2 (χ quadratique), Th`ese, Univ. Besan¸con, 1990.

[R1] L. R ´e d e i, Arithmetischer Beweis des Satzes ¨uber die Anzahl der durch vier teil- baren Invarianten der absoluten Klassengruppe im quadratischen Zahlk¨orper , J.

Reine Angew. Math. 171 (1934), 55–61.

[R2] —, ¨Uber die Grundeinheit und die durch acht teilbaren Invarianten der absoluten Klassengruppe im quadratischen Zahlk¨orper , ibid., 131–148.

[S] A. S c h o l t z, ¨Uber die L¨osbarkeit der Gleichung t²− Du² = −4, Math. Z. 39 (1934), 95–111.

FACULT ´E DES SCIENCES

LABORATOIRE DE MATH ´EMATIQUES U.A.741 au C.N.R.S.

F-25030 BESANC¸ ON CEDEX, FRANCE

Re¸cu le 2.1.1991 (2110)