Komputerowy system wspomagający rozwiązywanie zagadnienia QAP

Seria: A U T O M A T Y K A z. 109 Nr kol. 1175

B o g u s ł a w F i l i p o w i c z , K o n r a d Wa l a AGH, K r a k ó w

K O M P U T E R O W Y S Y S T E M W S P O M A G A J Ą C Y R O Z W I Ą Z Y W A N I E Z A G A D N I E N I A Q A P C O M P U T E R - A I D E D S Y S T E M F O R Q A P P R O B L E M S O L U T I O N

S Y S T E M E D E R E S O L U T I O N D U P R O B L E M E Q A P A S S I S T E P A R O R D I N A T E U R

S t r e s z c z e n i e : W p r a c y p r z e d s t a w i o n o i n t e r a k c y j n y s y s t e m o p r o g r a m o w a n i a . p r z y j a z n y d l a u ż y t k o w n i k a , u m o ż l i w i a j ą c y p r z y b l i ż o n e r o z w i ą z y w a n i e k w a d r a t o w e g o z a g a d n i e n i a p r z y d z i a ł u o r o z m i a r z e n > 15, z a i m p l e m e n t o w a n y d l a k o m p u t e r ó w z g o d n y c h z I B M PC.

S y s t e m u m o ż l i w i a u ż y t k o w n i k o w i g e n e r o w a n i e z b i o r u r o z w i ą z a ń s t a r t o w y c h za p o m o c ą h e u r y s t y k i n a u g u r a c y j n y c h oraz, po d o k o n a n i u w y b o r u J e d n e g o z r o z w i ą z a ń , r e a l i z a c j ą w i e l o i t e r a c y j n e g o , s t e r o w a n e g o za p o m o c ą p a r a m e t r ó w p r o c e d u r , p r o c e s u p o p r a w y rozwiązania.

S u m m a r y . Thi s p a per p r e s e n t s t h e i n t e r a c t i o n a l a n d u s e r - f r i e n d l y s y s t e m s o f t w a r e for f a c i l i t a t i o n of a p p r o x i m a t e s o l u t i o n of the n > 15 s i z e q u a d r a t i c a s s i g n m e n t problems. T h e s y s t e m s o f t w a r e is i m p l e m e n t e d for I B M P C c o m p a t i b l e c o m p uters. It e n a b l e s t h e user t o g e n e r a t e the s tart s o l u t i o n s set w i t h t h e a i d of inaugural h e u r i s t i c s and, after c h o o s i n g o n e of t h e s o l u t i o n s , t o r e a l i z e t h e m a n y - i t e r a t i o n i m p r o v e m e n t pr o c e s s , w h i c h is c o n t r o l e d b y p r o c e d u r e param e t e r s , of t h e s t a r t solution.

R & s u m é : D a n s c e t r a v a i l a é t é p r é s e n t é l e s y s t è m e i n t e r a c t i f des l og i c i e l s , "amical *' pour l ’u t i l i s a t e u r , p e r m e t t a n t de t r o u v e r la s o l u t i o n d u p r o b l è m e d ‘a f f e c t a t i o n q u a d r a t i q u e av e c l a d i m e n s i o n n > 15.

Il a é t é i m p l e m e n t é pour les o r d i n a t e u r s c o m p a t i b l e s a v e c I B M PC.

L e s y s t è m e p e r m e t â 1 ‘u t i l i s a t e u r d e g é n é r e r u n e n s e m b l e d e s s o l u t i o n s i n i t i a l e s a l ' a i d e d e s h e u r i s t i q u e inaugurales. A près avoir fa i t le c h o i x d ' u n e d e s s o l u t i o n s i n i t i a l e s il e f f e c t u e l ' a m é l i o r a t i o n de c e t t e s o l u t i o n a v e c u n p r o c e s s u s m u l t i - i t é r a t i f c o m m a n d é par les p a r a m é t r e s et l e s proced u r e s .

i . W p r o w a d z e n i e

W p r a c y o p i s a n o s y s t e m o p r o g r a m o w a n i a u ż y t k o w e g o p r z e z n a c z o n y d o r o z w i ą z y w a n i a p o d s t a w o w e g o , N P - t r u d n e g o z a g a d n i e n i a o p t y m a l i z a c j i k o m b i n a t o r y c z n e j - k w a d r a t o w e g o z a g a d n i e n i a p r z y d z i a ł u Q A P Cang.

Q u a d r a t i c A s s i g n m e n t Problem}. W i e l e z a g a d n i e ń k o m b i n a t o r y c z n y c h m o

2

2

58 B o g u s ł a w F i l i p o w i c z , K o n r a d W a l a

r o z w i ą z y w a n i a z a g a d n i e n i a , z d r u g i e j zaś z b i o r u d o p u s z c z a l n y c h r o z w i ą z a ń , k t ó r e mo g ą być p o p r a w i o n e w c z a s i e i n t e r a k c y j n e j p r a c y u ż y t k o w n i k a systemu.

Z a g a d n i e n i e Q A P w y s t ę p u j e w w i e l u z a s t o s o w a n i a c h p r a k t y c z n y c h , m i ę d z y innymi p^odczas m o d e l o w a n i a r o z m i e s z c z e n i a m o d u ł ó w VLSI , p r o j e k t o w a n i a z a k ł a d ó w p r o d u k c y j n y c h , c e n t r ó w h a n d l o w y c h , u s ł u g o w y c h itp. o r a z alokacji p r o c e s ó w o b l i c z e n i o w y c h w w i e l o p r o c e s o r o w y c h s y s t e m a c h k o m p u t e r o w y c h w z a g a d n i e n i u r ó w n o l e g ł y c h obliczeń. Z a g a d n i e n i e t o formaii ż u j e s i ę w n a s t ę p u j ą c y sposób.

Da n e są d w i e m a c i e r z e Cn*n): A = C a 3, B=Cb,]. N i e c h x oznacza:

ik jl ij

1, J e

2

W t e d y p r o b l e m Q A P z a p i s u j e s i ę J a k o n a s t ę p u j ą c y model k w a d r a t o w e g o p r o g r a m o w a n i a binarnego:

n r* n n

m i n E £ £ £ a b., x x.,

. tk Jl VJ kl

V = 1 j = i t = i 1 = 1

n n

p r z y o g r a n i c z e n i a c h : £ x = 1 ^ J, E x ~ 1 V i,

i. =i lJ j = i lJ

g d z i e m a c i e r z A J e s t m a c i e r z ą o d l e g ł o ś c i m i ę d z y p r o c e s o r a m i Cnp. e l e m e n t m a c i e r z y a ^ m o ż e o k r e ś l a ć l i c z b ę p r o c e s o r ó w p o ś r e d n i c z ą c y c h w p r z e k a z a n i u i n f o r m a c j i m i ę d z y p r o c e s o r a m i i o r a z k l u b k o s z t t r a n s m i s j i j e d n o s t k o w e j w i a d o m o ś c i m i ę d z y tymi procesorami!), n a t o m i a s t m a c i e r z B o k r e ś l a p o w i ą z a n i a i n f o r m a c y j n e m i ę d z y p r o c e s a m i o b l i c z e n i o w y m i Cnp. e l e m e n t b ^ o k r e ś l a i l o ś ć w i a d o m o ś c i p r z e s y ł a n y c h m i ę d z y p r o c e s a m i o b l i c z e n i o w y m i J o r a z 1 w J e d n o s t c e c z a s u ) ; por.

i 21

,233 .

P r z e g l ą d z a s t o s o w a ń i m e t o d o p t y m a l i z a c j i d l a z a g a d n i e n i a Q A P m ożna z n a l e ź ć w [ 1 , 2 , 5 , 6 , 7 , 8 , 1 1 , 1 4 . 1 7 , 1 8 , 2 2 ] .

W p r a c y o g r a n i c z a m y s i ę d o s y n t e t y c z n e g o p r z e d s t a w i e n i a h i s t o r i i r o z w i ą z y w a n i a s t a n d a r d o w y c h t e s t ó w p r e z e n t u j ą c t a b l i c ę 1. W p i e r w s z e j k o l u m n i e tej t a b l i c y u m i e s z c z o n e są n a z w i s k a a u t o r ó w t e s t ó w o r a z r o z m i a r n t e s t o w a n e g o problemu.

S y m b o l e DE. DC, D R E o z n a c z a j ą , 2 e e l e m e n t y m a c i e r z y A r e p r e z e n t u j ą o d p o w iednio: o d l e g ł o ś ć e u k l i d e s o w ą , k w a d r a t o d l e g ł o ś c i e u k l i d e s o w e j or a z o d l e g ł o ś ć wg L o b a c z e w s k i e g o . W n a g ł ó w k a c h p o s z c z e g ó l n y c h k o l u m n u m i e s z c z o n o n a z w i s k a a u t o r ó w p r e z e n t o w a n y c h w y n i k ó w o r a z rok o p u b l i k o w a n i a r e z u l t a t ó w , p r z y c z y m e l e m e n t a m i k o l u m n t a b l i c y s ą w a r t o ś c i funkcji c e l u p r zez n i c h uzyskane. O s t a t n i a k o l u m n a z a w i e r a n a j l e p s z e z n a n e d o t ą d wartości funkcji celu, p r z y c z y m d l a n < 1 5 s ą t o Juz w a r t o ś c i optymalne.

fabl i c a i

Nr Wy m i a r pr obi e m u n

S t e i n b e r g 1961r

H i l l i e r C o n n o r s 1 966r

G r a v e s Whi n s t o n 1 970r

E l shafei 1977r

B u r ka r d Stratmar 1 978r

RoucairoJ in

1 979r

1 N u g e n t 5 ^- - 5 0 5 2 _

_

2 N u g e n t 6 - - 8 6 86 ^- —

3 N u g e n t 7 - - 1 5 6 1 5 0 ^{- —}

4 N u g e n t 8 - - 2 3 0 2 2 8 - ^—

5 N u g e n t 1 2 - - 654 5 9 0 - —

6 N u g e n t 1 5 - - 1 2 1 2 1 2 2 8 1 1 8 6 —

7 N u g e n t 2 0 - - 2 7 0 8 2 5 9 8 25 9 4 2 5 9 6

8 N u g e n t 3 0 - - 6 2 7 8 6 2 5 0 6 1 7 8 -

9 L a n d 5 - - - - - -

10 E l s h a f e i 1 9 - - - 1 1 2 8 1 8 6 7 - -

11 S t e i n b e r g 3 6 DC 1 1 8 7 5 1 0 9 2 9 1 0 2 5 3 - 7 9 2 6 8 5 9 7

12 S t e i n b e r g 3 6 D E 4 8 9 4 . 5 4 4 8 2 1 , 7 8 4 3 4 4 , 9 7 - 4 1 3 2 , 9 7 ^-

13 S t e i n b e r g 3 6 D R E 5 8 0 3 - - - 48 0 4 -

Nr Li gett 1930r

Las n k a r i Jo; s i n g h 1 QSOr

M u r t a g h J e f f e r s o n S u r n p r a s i t 1 9S2r

B a z a r a a Sherali 1982r

Re e v e s 1985r

F i n k e B u r k a r d Rendl I987r

P a k i e t Q A P A P ­ PROX 1991 r

N a j l e p s z e z n a n e rozwi ąz.

1 ^- 5 2 ^- 50 50 50 5 0 5 0

2 - 8 6 - 86 86 8 6 8 6 8 6

3 - 1 5 2 - 1 4 8 1 5 2 1 4 8 1 4 8 1 4 8

4 2 1 4 2 2 8 - 21 4 2 1 4 214 214 2 1 4

5 6 3 6 594 5 9 0 5 8 6 5 8 6 5 7 8 5 7 8 5 7 8

6 1 1 7 6 1 1 6 8 1 1 5 2 1 1 6 0 1 1 6 0 1 1 5 0 1 1 5 0 1 1 5 0

7 2 6 1 6 2 6 1 4 - 2 6 6 0 2 6 6 0 2 5 7 0 2 5 7 0 2 5 7 0

8 6 2 4 2 6 1 6 2 - 6 1 7 6 6 1 7 6 61 2 4 6 1 4 2 61 2 4

S - - - - - - 1 3 4 7 1 3 4 7

10 - 8 6 0 6 2 7 4 1 0 9 8 4 0 2 7 8 6 0 6 2 7 4 8 6 0 6 2 7 4 - 8 6 0 6 2 7 4 8 6 0 6 2 7 4

11 - 1 5 2 2 9 - 7 9 4 6 85 5 4 - 8461 7 9 2 6

1 2 - 7 053,1 - - 4 285,1 - 4 2 0 0 , 3 4 1 1 9 , 9 7

13 - - - 5 0 1 9 - - 4 9 6 5 4 8 0 2

2. P r z y b l i ż o n a m e t o d a optymallzac.ll p r o b l e m u Q A P

P r z y n a l e ż n o ś ć z a g a d n i e n i a Q A P d o k l a s y z a g a d n i e ń N P - t r u d n y c h i m p l i k u j e p o t r z e b y s t o s o w a n i a m e t o d p r z y b l i ż o n y c h o b l i c z a n i a r o z w i ą z a ń d l a r o z m i a r u z a g a d n i e ń n>15, p o n i e w a

2

2 w y k l e w c e l u u z y s k a n i a r o z w i ą z a n i a z a d o w a l a j ą c e g o u ż y t k o w n i k a s t o s u j e się? d w u e t a p o w y s y s t e m o p t y m a l i z a c j i p r z e d s t a w i o n y na rys. 1.

W p i e r w s z y m e t a p i e o b l i c z e ń w y z n a c z o n e j e s t d o p u s z c z a l n e r o z w i ą z a n i e z a g a d n i e n i a Q A P z a p o m o c ą w y b r a n e j m e t o d y i n a u g u r a c y j n e j , k t ó r a c h a r a k t e r y z u j e si^r tym. Ze p o d c z a s w y k o n y w a n i a p o j e d y n c z e j iteracji u s t a l a n a j e s t j e d n a s k ł a d o w a r o z w i ązania. D o p u s z c z a l n e r o z w i ą z a n i e m o 2 n a o t r z y m a ć za p o m o c ą r e g u ł y z a c h ł a n n e j l u b innej p r o c e d u r y s z e r e g o w a n i a lis t o w e g o , a w n a j p r o s t s z y m p r z y p a d k u na d r o d z e l o s o w a n i a p r z y u ż y c i u g e n e r a t o r a l i c z b l o s o w y c h [5,9,12,203. U z y s k u j e się- w t e n s p o s ó b r o z w i ą z a n i e s t a r t o w e d l a d r u g i e g o e t a p u optymali z a c j i .

60 B o g u s ł a w F i l i p o w i c z , K o n r a d W a l a

X - zbiór

d o p u s z c z a ł n y c h r o z w i ą z a ń E x .3 - z n a n e

lJ u ż y t k o w n i k o w i rozwi azani e star to w e

Rys. 1. D w u e t a p o w y p r o c e s o p t y m a l i z a c j i Fig. 1. T w o - s t a g e o p t i m i z a t i o n p r o c e s s

E t a p drugi o p t y m a l i z a c j i p o l e g a na z a s t o s o w a n i u w i e l o i t e r a ć y j n y c h p r o c e d u r p o p r a w i a n i a r o z w i ą z a n i a starto w e g o . D o t e g o c e l u m o Z n a z a s t o s o w a ć r ó 2 n e w a r i a n t y o p t y m a l i z a c J i l o k a l n e j £ 4 . 5 , 1 2 , 1 9 , 2 0 3 , np. a l g o r y t m VERBES, l u b a l g o r y t m y g e n e t y c z n e c z y t e r m o d y n a m i c z n e .

P r z e d s t a w i o n y s c h e m a t o p t y m a l i z a c j i p r z y b l i ż o n e j Je s t z a i m p l e m e n t o w a n y w p a k i e c i e Q A P A P P R O X , g d z i e u ż y t k o w n i k m o ż e d o k o n a ć w y b o r u s z e r e g u p r o c e d u r i n a u g u r a c y j n y c h i w y z n a c z y ć w t e n s p o s ó b z b i ó r r o z w i ą z a ń s t a r t o w y c h , a n a s t ę p n i e u l e p s z y ć t e r o z w i ą z a n i a z a p o m o c ą u s t a l o n e j p r z e z n i e g o s t r a t e g i i s t o s o w a n i a r ó ż n y c h p r o c e d u r pop r a w i a n i a .

3. Opis p a k i e t u Q A P A P P R O X

Do p o d s t a w o w y c h m o d u ł ó w f u n k c j o n a l n y c h p a k i e t u Q A P A P P R O X n a l e

2

Moduł s t e r u j ą c y : g ł ó w n y p r o g r a m s t e r u j ą c y d z i a ł a n i e m pak i e t u , t J . u m o ż l i w i a j ą c y i n t e r a k c y j n e k o r z y s t a n i e z e w s z y s t k i c h p o z o s t a ł y c h modułów.

— Edytor . k t ó r y u m o ż l i w i a w c z y t a n i e m a c i e r z y A i B w r a z z k o n t r o l ą p o p r a w n o ś c i d a n ych, w c z y t a n i e n a j l e p s z y c h r o z w i ą z a ń z n a n y c h u ż y t k o w n i k o w i or a z e d y c j ę w s z y s t k i c h w c z y t a n y c h d a n y c h o r a z w y n i k ó w p o ś r e d n i c h i k o ń c o w y c h o b l i c z e ń , a t a k Z e w s z y s t k i c h r o z w i ą z a ń z a w a r t y c h w k a t a l o g u rozwiązań. U m o

2

o b l i c z e n i e d o l n e g o o g r a n i c z e n i a z a g a d n i e n i a , w y b ó r p r o c e d u r r o z w i ą z y w a n i a z a g a d n i e n i a z b i b l i o t e k p r o c e d u r i n a u g u r a c y j n y c h l u b i t e r a c y j n e g o p o p r a w i a n i a r o z w i ą z a n i a . w ybór z k a t a l o g u r o z w i ą z a n i a u z n a w a n e g o za s t a r t o w e dla w y b r a n e j p r o c e d u r y po p r a w y , z a k o ń c z e n i e p r a c y z p a k i e t e m i p o w r ó t d o s y s t e m u o p e r a c y j n e g o .

B i b l i o t e k a p r o c e d u r i n a u g u r a c y j n y c h z a w i e r a t y p o w e p r o c e d u r y o k r e ś l a n i a r o z w i ą z a ń s t a r t o w y c h o p i s a n e w l i t e r a t u r z e £ 5 , 9 , 1 2 . 2 0 3 or a z p r o c e d u r ę g e n e r o w a n i a r o z w i ą z a ń losowych.

B i o i i o t e k a wielol t e r a c y j n y c h p r o c e d u r p o p r a w y r o z w i ą z a n i a z a w i e r a j ą c a procedury: o p t y m a l i z a c j i l o k a l n e j p o d w ó j n e j i p o t r ó j n e j w y m i a n y e l e m e n t ó w per mutacji [ 1 . 19,203, o p t y m a l i z a c j i g e n e t y c z n e j £10,133, m e t o d y t e r m o d y n a m i c z n e j £3,163, m e t o d y s z u k a n i a o z m i e n n e j g ł ę b o k o ś c i £153 o r a z w i e l o e t a p o w e j k o m b i n a c j i r ó ż n y c h m e t o d o p t y m a l i z a c j i l o k a l n y c h z

M e t o d y

£ x 3 e X

*■} Wi el oi t e r a c y j n e p r o c e d u r y

i naugur a c y jne poprawi ani a

r o z w i ą z a ń I £ x .3

1 v

J

w y l i c z a n y m r z ą d e m w y m i a n y e l e m e n t ó w zwanej p r o c e d u r ą V E R B E S [43.

■ K a t a l o g r o z w i ą z a ń , w k t ó r y m u m i e s z c z o n e są r o z w i ą z a n i a w y z n a c z o n e w c z a s i e r o z w i ą z y w a n i a k o n k r e t n e g o z a g a d nienia. Ich l i c z b a Jest o k r e ś l o n a p r z y p o m o c y d e k l a r o w a n e g o z g ó r y par a m e t r u . np. 20. R o z w i ą z a n i a u m i e s z c z o n e w k a t a l o g u są u p o r z ą d k o w a n e w kol e j n o ś c i n i e m a i e j ą c e j wartości o d p o w i a d a j ą c e j i m funkcji celu. K a 2 d a p o z y c j a k a t a l o g u z a w i e r a n a s t ę p u j ą c e d a n e o r o z w i ązaniu: w a r t o ś ć funk c j i c e l u i o d p o w i a d a j ą c e jej r o z w i ą z a n i e - p e r m u t a c j e or a z l i s t e k o d ó w procedur, k t ó r e d o p r o w a d z i ł y do u z y s k a n i a w s p o m n i a n e g o r o z w i ązania. W t r a k c i e p r o c e s u o b l i c z e ń u ż y tkownik w y b i e r a o k r e ś l o n e r o z w i ą z a n i a z k a t a l o g u o r a z p r o c e d u r y o p t y m a l i z a c j i , zaś p o p r a w i o n e r o z w i ą z a n i a są w p i s y w a n e d o katal o g u , p r z y c z y m l i s t a k o d ó w pr o c e d u r J e s t u z u p e ł n i a n a a u t o m a t y c z n i e p r z e z system. Jeśli li c z b a r o z w i ą z a ń p r z e k r a c z a l i c z b ę z a d e k l a r o w a n ą , t o r o z w i ą z a n i a g o r s z e są u s u w a n e a u t o m a t y c z n i e z katalogu.

— B i b l i o t e k a t e s t ó w z a w i e r a u p o r z ą d k o w a n y , z g o d n i e z r o z m i a r e m p r o b l e m u n, zbiór z a d a ń t e s t o w y c h o p i s a n y c h m a c i e r z a m i A i B wraz z n ajlepszymi r o z w i ą z a n i a m i o p i s a n y m i w l i t e r a t u r z e C t e s t y N u g e n t a [193, E l s h a f e i ' a [53 S t e i n b e r g a [2232) o r a z t e s t y w ł a s n e autorów.

- A l g o r y t m o b l i c z a n i a d o l n e g o o g r a n i c z e n i a w y z n a c z a d o l n e o s z a c o w a n i e r o z w i ą z y w a n e g o p r z e z u ż y t k o w n i k a p r o b lemu, c o p o z w a l a o c e n i ć d o k ł a d n o ś ć o t r z y m a n y c h r o z w i ą z a ń C p o r . C 7 3 , m e t o d y o b l i c z a n i a d o l n y c h ograniczeń}.

P a k i e t o p r o g r a m o w a n i a Je s t p a k i e t e m o t w a r t y m , u m o ż l i w i a j ą c y m p o s z e r z a n i e w s z y s t k i c h b i b l i o t e k w n i m wys t ę p u j ą c y c h . Je s t p r z y j a z n y dla u ż y t k o w n i k a . p r z y g o t o w a n y d o p r a c y k o n w e r s a c y j n e j , zaś wybór opcji n a s t ę p u j ę p o p r z e z w i e l o p o z i o m o w e menu. N i e k t ó r e wyniki n u m e r y c z n e o b l i c z o n e z J e g o pomocą, d l a s t a n d a r d o w y c h z a d a ń t e s t o w y c h z a m i e s z c z o n o w p r z e d o s t a t n i e j k o l u m n i e t a b l i c y 1'. P o d k r e ś l i ć należy,

2

W p r a c y C63 o p i s a n o s z c z e g ó ł o w o a l g o r y t m y o p t y m a l i z a c j i lokalnej n i e k t ó r e a l g o r y t m y i n a u g u r a c y j n e , n a t o m i a s t w p r a c y [153 a l g o r y t m p r z e s z u k i w a n i a o z m i e n n e j g ł ę b o k o ś c i , k t ó r y je s t p e w n ą w e r s j ą a l g o r y t m u o p t y m a l i z a c j i lokalnej. W p r a c y z a p r e z e n t u j e m y tylko, ze w z g l ę d u na o g r a n i c z o n ą o b j ę t o ś ć refer a t u , mniej z n a n y a l g o r y t m p o p r a w y w y s t ę p u j ą c y w l i t e r a t u r z e p o d n a z w ą a l g o r y t m u t e r m o d y n a m i c z n e g o .

A l g o r y t m t e r m o d y n a m i c z n y

D o r o z w i ą z y w a n i a z a g a d n i e n i a o p t y m a l i z a c j i d y s k r e t n e j został z a p r o p o n o w a n y przez K i r k p a t r i c k a i i n n y c h [163 i n t e r e s u j ą c y a l g o r y t m t e r modynamiczny.

B u r k a r d i Rendl C33 z a i m p l e m e n t o w a l i t e n a l g o r y t m d o r o z w i ą z y w a n i a z a g a d n i e n i a QAP. A l g o r y t m ten w swej idei ł ą c z y d w a z a s a d n i c z o r ó ż n e m e chanizmy: s y m u l a c y j n ą p r o c e d u r ę m o d e l o w a n i a f i z y c z n y c h zjawisk p r z e b i e g a j ą c y c h z g o d n i e z p r a w e m S. Boi t z m a n a o r a z a l g o r y t m l o k a l n e g o p r z e g l ą d u r o z w i ą z a ń d l a z a d a ń kombi n a t orycznych.

N i e c h P b e d z i e z b i o r e m p e r m u t a c j i n e l e m e n t ó w i f : P - > R z a d a n ą f u n k c j ą

62 B o g u s ł a w F i l i p o w i c z , K o n r a d Wa l a

celu. P o s z u k u j e m y taka ej per m u t a c j i p* -e P,

2

P<eP

P r z y j mujemy.

2

2

Al gor yt m

Krok i. Początek.

W y z n a c z r o z w i ą z a n i e s t a r t o w e C w y b ó r z k a t a l o g u r o z w i ą z a ń } p ^ e P.

p o d s t a w p: —p :=P 0 * f : = f C p }. Ustal p o c z ą t k o w e war t o ś c i T, W, a, fi i p o d s t a w 1 : =1 , ch: =FALSE, i : =1 .

Krok 2. G e n e r o w a n i e n o w e g o r o z w i ązania.

a} P o s ł u g u j ą c s i ę r o z k ł a d e m r ó w n o m i e r n y m , w y b i e r z l o s o w o r o z w i ą z a n i e s e DCp).

bD J e

2

c} P o d s t a w A: = f C s } - f Cp} . Z r o z k ł a d e m r ó w n o m i e r n y m w y l o s u j l i c z b ę 6 e C0»1}. Je2eli <5 > e ^ p C - A / T D j t o p r z e j d ź d o k r o k u 3.

d} P o d s t a w p:=s, ch: =TRUE. Je 2 e l i f C p } < f f t o p o d s t a w p :=p, f*: =fCp}.

Krok 3. Powrót.

J e

2

Krok 4. C z y k o n i e c o b l i c z e ń ?

J e

2

P o d s t a w T: =aT, W: =ENTI ERC /?VD , ch: = F A L S E , 1 : =1 , i : =

1

A l g o r y t m t e n w s p o s ó b l o s o w y d o k o n u j e p r z e g l ą d u e l e m e n t ó w z b i o r u D p r z e c h o d z ą c o d o s t a t n i o z a a k c e p t o w a n e g o r o z w i ą z a n i a p d o r o z w i ą z a n i a s l e z ą c e g o w j e g o otoczeniu. Jeżeli w n o w e w y g e n e r o w a n y m p u n k c i e s w a r t o ś ć funkcji c e l u fCs} jest m n i e j s z a , t o j e s t on a k c e p t o w a n y . V p r z y p a d k u p r z e c i w n y m a k c e p t a c j a jest d o k o n y w a n a z p r a w d o p o d o b i e ń s t w e m z a l e ż n y m od w z r o s t u w artości f u n k c j i c e l u i od a k t u a l n e j w a r t o ś c i p a r a m e t r u T P r ó b k o w a n i e z b i o r u r o z w i ą z a ń jest r e a l i z o w a n e seriami. W c z a s i e r e a lizacji serii p r ó b w a r t o ś ć T je s t stała. Jeżeli w w y n i k u r e a l i z a c j i pełnej serii p r ó b ż a d n e r o z w i ą z a n i e n i e z o s t a n i e z a a k c e p t o w a n e , to a l g o r y t m k o ń c z y p r z e g l ą d P r z e d r o z p o c z ę c i e m n o wej serii p r ó b w a r t o ś ć T jesi z m n i e j s z a n a C T ■ =o T. C < o < I X n a t o m i a s t l i c z b a w y k o n y w a n y c h p r ó b wzrasta C W = EUTlEZCfi W}}

T a b l i c a £ W y n i k i o b l i c z e ń d l a t e s t u Nug e n t a , n = 3 0

ex 0. 7 5 0. 76

fi

War t o ś ć

í.celu ^{6374 6 4 0 0 6 3 0 0 6344 64 6 4 6 5 0 4 6 5 0 8 6 5 5 £}

a 0. 7 6 0. 7 6 5

fi

W a r t o ś ć

f . c e l u 6 £ 5 6 6 3 5 8 6 3 6 4 6 3 7 0 6 5 £ 0 6 5 3 6 6 4 £ £

N i e i s t n i e j ą u n i w e r s a l n e r e g u ł y z a d a w a n i a s t a r t o w y c h w artości p a r a m e t r ó w T, W, 1» o», ft. S ą o n e J e d n a k s i l n i e u z a l e ż n i o n e o d r o z m i a r u z a d a n i a 1 m o c y z b i o r ó w DCp3.

W t a b l i c y £ p r z e d s t a w i o n o p r z y k ł a d o w e wyniki o b l i c z e ń u z y s k a n e d l a t e s t u N u genta, n=30. R o z w i ą z a n i e s t a r t o w e było, z a k a 2 d y m razem, o k r e ś l a n e z& po m o c ą g e n e r a t o r a l i c z b l o s o w y c h o r ó w n o m i e r n y m r o z k ł a d z i e , a cz a s o b l i c z e ń na k o m p u t e r z e I B M PC 3 8 6 SX w y n o s i ł o k . 6 0 s e k .

4. Z a k o ń c z e n i e

W y d a j e sie. 2 ^ p r z e d s t a w i o n a p o w y 2 e j s t r u k t u r a p a k i e t u r o z w i ą z y w a n i a N P - t r u d n e g o z a g a d n i e n i a o p t y m a l i z a c j i k o m b i n a t o r y c z n e j J e s t p r o p o z y c j ą w z o r c o w ą d l a p r o j e k t a n t ó w p a k i e t ó w p r o g r a m ó w u ż y t k o w y c h d l a i n n y c h z a g a d n i e ń p r a k t y c z n y c h m o d e l o w a n y c h i r o z w i ą z y w a n y c h met o d a m i b a d a ń o p e r a c y j n y c h . Z r e a l i z o w a n ą w e r s j e p a k i e t u p r o g r a m ó w u

2

2

L I T E R A T U R A

Cl] Arm o u r G. S. , B u f f a E. S. : A h e u r i s t i c a l g o r i t h m a n d s i m u l a t i o n a p p r o a c h to r e l a t i v e l o c a t i o n of f a c i l i t i e s . M a n a g e m e n t Sci e n c e , v o l . 9, pp. £ 9 4 - 3 0 9 , 1963.

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1 £9-1 47, 1978.

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6 4 B o g u s ł a w F i l i p o w i c z . K o n r a d Wala

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R e c e n z e n t : P r o f . dr inz. H e n r y k K o w a l o w s k i W p ł y n ę ł o do Red a k c j i do 3 0 . 0 4 . 1 9 9 2 r.

Abstract,:, The r e s o u r c e s to t asks a s s i g n m e n t p r o b l e m w i t h q u a d r a t i c p e r f o r m a n c e me a s u r e , s h o r t l y c a l l e d Q u a d r a t i c A s s i g n m e n t P r o b l e m (G A P ), is the s t a n d a r d N P - h a r d c o m b i n a t o r i a l o p t i m i z a t i o n pr o b l e m . T h e r e are m a n y a p p l i c a t i o n a r e a s w h i c h c a n b e m o d e l l e d by the q u a d r a t i c a s s i g n m e n t p r o b l e m su c h as e l e c t r o n i c s , c o m p u t e r s c ience, e conomy, e r g o n o m y , a r c h i t e c t u r e , and so forth.

This p a p e r p r e s e n t s the i n t e r a c t i o n a l and u s e r - f r i e n d l y s y s t e m s o f t w a r e for f a c i l i t a t i o n of a p p r o x i m a t e s o l u t i o n of the n> 1 5 size q u a d r a t i c a s s i g n m e n t p r o b l e m s . The s y s t e m s o f t w a r e is i m p l e m e n t e d for IBM PC c o m p a t i b i l e c o m p u t e r s .

The s y s t e m e n a b l e s the u s e r to g e n e r a t e the s t a r t s o l u t i o n s s e t wi t h the a i d of i n a u g u r i a l h e u r i s t i c s and, a f t e r c h o o s i n g one or f e w of the s o l u t i o n s , to r e a l i s e the m a n y - i t e r a t i o n i m p r o v e m e n t pro c e s s , w h i c h is c o n t r o l l e d b y p r o c e d u r e p a r a m e t e r s , of the s t a r t s o l u t i o n s . The s y s t e m is e q u i p e d by the f o l l o w i n g i m p r o v e m e n t p r o c e d u r e s : v a r i o u s v a r i a n t of local o p t i m i z a t i o n (i.e. V E R B E S a l g o r i t h m ) , g e n e t i c a n d t h e r m o d y n a m i c a l a l g o r i t h m s . The u s e r c a n a l s o get the e s t i m a t i o n of the s o l u t i o n w i t h the aid of the l o w e r - b o u n d c a l c u l a t i o n pro c e d u r e .