ZESZYTY N A U K O W E PO L IT E C H N IK I ŚLĄ SK IEJ Sena: E L E K T R Y K A z. 141
1994 N r kol. 1249
Marian P A SK O
D O B Ó R K O M P E N S A T O R Ó W O P T Y M A L IZ U JĄ C Y C H W A R U N K I P R A C Y R Z E C ZY W IST Y C H Ź R Ó D E Ł T R Ó JF A Z O W Y C H O K R E S O W Y C H N IE S IN U
S O ID A L N Y C H
Streszczenie W prezentow anej pracy zap ro p o n o w an o w yznaczenie kom pensatorów optymalizujących w arunki pracy rzeczyw istych źródeł trójfazow ych o napięciach okresow ych niesinusoidalnych. W yznaczono prądy optym alne przy różnych w arunkach na strum ień m ocy czynnej P za p o m o cą m nożników L agrange'a. W yznaczone w ten sposób prądy optym alne oraz znajom ość w idm a admitancji odbiornika dla rozpatryw anych harm onicznych stanow ią podstawę do syntezy kom pensatorów . P rzedstaw ione rozw ażania zilustrow ano przykładem .
SE LE C TIO N O F C O M P E N S A T O R S O P T IM IZ IN G W O R K IN G C O N D IT IO N S O F T H R E E -P H A SE S O U R C E S W IT H N O N S IN U S O ID A L W A V E F O R M S
Sum m ary. Selection o f the com pensators used to optim ization o f the three-phase real nonsinusoidal sources w orking conditions is proposed. O ptim al currents fo r different conditions o f the flow o f the active p o w er flux P are determ inated, m inim ization is realised by means o f L agrange m ultiplier m ethod. T hese currents and know ledge o f the load am ittance spectrum fo r harm onics taken u n d er consideration are the basis o f th e com pensator synthesis.
Considerations presented in th e paper are illustrated w ith an example.
n O A E O P KOM ilEHCAT O PO B OiTTPIMH3HPyiOlilHX YCAOBUFI PAEOTbl TPEXcDA3HblX MCTOMHUKOB C A EO O PM U PO BAH H bIM HAflPFIŻKEHUEM
Pe3tOMe. B paSoTe paccMOTpeH noA6op KOMneHcaiopoB orTTHMH3npyK)uinx ycAOBna paóOTbi Tpexoa3Hbix hctomhmxob c AeoopMnpoBaHHbiM HanproxeHkieM.
OnpeAeAenbi ormiMaAbHbie to kh HCTOMHHxa a a b pa3AHMHbix BapnaKroa noToxa axTMBHOki MouiHOCTM P. MnHMMH3aunH 6bma npoBeAeHa c npMMeHeHneM MeTOAa MHoxureAeti Aarpatoxa. OnpeAeAem ue onrnMaAbHbie to xh h 3H3X0MCTB0 cnexTpa aAMHTattca npneMHuxa bb a bio t c b hc x o a h u m m a b h h u m h a a b CMHTe3a xoMnGHcaTopoB. IlpeACTaBAeHHbie paccy>xAeHMn nponAAtocrpupoBaHbi npnMepoM.
1. W S T Ę P
R ozw ażania p rzeprow adzone w pracy [6] dla u k ład ó w jednofazow ych zo stan ą uogólnione na układy trójfazow e. B ęd ą rozpatrzone obw ody ze źródłam i trójfazow ym i symetrycznymi okresow ym i odkształconym i o niezerow ej im pedancji w ew nętrznej. R ozw ażania te były już częściow o przedstaw ione w pracach au to ra [7],[8] dla układu, źródło-kom pensator-odbiom ik, p o d an eg o na rys. 1.
M otyw acja przyjęcia takiej struktury je st następująca:
- rozw iązanie poszczególnych zadań optym alizacyjnych o raz poszczególnych w ariantów prow adzi do w yróżnienia prądów optym alnych źró d ła w postaci jaw nej (analitycznej), - adm itancje kom pensatorów dla poszczególnych harm onicznych są m ożliw e do
określenia rów nież w sposób jaw ny bez uciekania się do m etod przybliżonych, co um ożliw ia łatw ość syntezy koniecznych kom pensatorów .
W pracach [10], [11] zaproponow ano i w yznaczono na drodze optym alizacyjnej prąd zapew niający ustalony kom prom is pom iędzy minim um w artości skutecznej prądu źró d ła a je g o zniekształceniam i przy zadanym w arunku na stałość m ocy czynnej źródła. Podano ' ró w n ież w arunki na do b ó r kom pensatora rów n o leg łeg o w postaci u k ład ó w rów nań nieliniowych w zględem niew iadom ych kGh o raz kB h , w w ielu przypadkach m ożliw ych do rozw iązania tylko m etodam i num erycznymi.
W pracy [8] o raz niniejszym artykule w yznaczono prądy optym alne dla różnych zadań optym alizacyjnych i w ariantów ograniczeń na m oc czynną P. Podano w arunki do w yznaczenia adm itancji kom pensatora w sposób jaw ny (analityczny).
2. S F O R M U Ł O W A N IE I R O Z W IĄ Z A N IE P R Z E D S T A W IO N Y C H Z A G A D N IE Ń
U k ład przedstaw iony na rys. 1 określony jest z a p o m o c ą danych:
- napięcie źró d ło w e
n
e , ( t ) = V2 R e2X „ e x p j h ( D 0t. (1)
h = l
Z ak ład a się, że źró d ło trójfazow e je st sym etryczne, czyli spełnia zależności:
e 2 (t) = e , (t — T / 3), e , ( t ) = e, (t + T /3 ),
Dobór kom pensatorów 63 napięcie ei (t) jest o kresow e niesinusoidalne, nie zaw iera harm onicznych 1 tw orzących układ kolejności zerow ej,
Eih- oznacza w artość skuteczną zesp o lo n ą napięcia źró d ła dla h-tej harm onicznej, - m acierz im pedancji w ew nętrznej źró d ła trójfazow ego
Z h = R h + j X h , Z h = Zl , h g N 0 indeks T o znacza transpozycje m acierzy. (2) - m acierz adm itancji odbiornika
0Y h = 0 G h + J 0 ® h * 0Y h ~ 0Y h > ^ £ ^ 0 • ( 3 )
Im pedancje w ew nętrzne źró d ła o raz odbiornika są typu SLS.
Dla obw odu z rys. 1 należy przez d o b ó r k o m p en sato ró w o adm itancjach
kYa0h=kG ,x0h + j kB aOh - « 6 i 1.2 .3}. ^ G N 0 , (4) w łączonych pom iędzy d a n ą fazę a p rzew ó d zero w y (o którym zakłada się, że posiada ze ro w ą impedancję) - (por. rys. 1) d oprow adzić do p rąd ó w optym alnych w edług następujących zadań optymalizacyjnych P I ., P2.
Rys. 1. U kład trójfazow y: Ź ró d ło rzeczyw iste-kom pensator-odbiom ik Fig. 1. T hree-phase netw ork: real source-com pensator-load Zadanie P I .: przeprow adzić m inim alizację w artości skutecznej prądu źródła
n 3
m i n ^ Z l o h C , a G {1,2,3}. (5)
Zadanie P2.: przeprow adzić m inim alizację funkcji celu, k tó ra je st zadanym kom prom isem pom iędzy m inim alną w arto ścią sk u teczn ą p rąd u a je g o zniekształceniam i w zględem przebiegu sinusoidalnego
n 3
m i n Z Z l c h C . a e O , 2 ,3}. (6)
V 2 = 5 0 + 5 ,( h o ))2 + 5 2(hco)4 + ...+ 5 ,(h c o )21 , 5, > 0 ,8 , > 0, 1-rząd pochodnej.
M. Pasko Z adanie optym alizacyjne (5) nazyw ane je st w literaturze [1] minim alizacją w L 3 (0,T), natom iast (6) m inim alizacją w W32,5 (0,T ) [10], [11].
Z adania optym alizacyjne P1.,P 2. należy przeprow adzić dla trzech w ariantów ograniczeń nałożonych na m oc czynną P.
W arian t A.
P = R e ■ (7)
l h=l h=l J
W ariant ten najczęściej rozpatryw any w literaturze [11] zapew nia stałość m ocy czynnej w danym przekroju a-a1 (por.rys. 1) przed i po kom pensacji.
W arian t B.
P = R e | Z u L Y hU ; | (8)
W ariant ten zapew nia stałość m ocy czynnej odbiornika przed i po kompensacji.
W arian t C .
R e H K K - Z i M = Re Ż u U u ; (9)
L h = l K=1 J L h = l J
W w ariancie tym kom pensator nie pobiera m ocy czynnej PkomP = 0 . O znaczenia w e w zorach 7-^9:
E j = [ E , , E 2, E 3]h - m acierz tran sp o n o w an a napięć źró d ła dla harm onicznej, 11 = [ I , , I ; , I 3]h - m acierz tran sp o n o w an a p rądów źró d ła dla h-tej harm onicznej, U h = E h - Z hI h - m acierz napięcia na odbiorniku dla h-tej harm onicznej, I j - m acierz sprzężona do m acierzy I h, h e N 0 ,
3 i T „
P = (u l i)L:(0 T , = 2 - J u 0l(t)ia (t)dt = R e Z u J i ; , a e {1,2,3}, h e N 0 .
a = l 1 o h=l
(
10)
R ozw iązanie zagadnienia przeprow adza się za p o m o cą m nożników Lagrange'a. F unkcjonał L agrange'a, np. dla zadania P E w ariantu A m a postać
n ( i " " l'!
^ { i h » = Z i h Ti; p - Re Z eJi; - Z iJzJi; (i i)
h=l
D obór kom pensatorów . 65 W ektorow i prądu Ł nadajem y dow olny przyrost AIh, w ów czas I ih = Ih +A Ih,
" f i " " l 'j
stądiO, (X,{Ih}) = P - R e S E j i ; (12)
h=l V l h=l h=l J J
Przyrost funkcjonału L agrange'a m a postać
n n
A 0 = 0 1 - 0 = R e B 2 l I ( l + ^ R h) - ^ ) A I ' h + 2 A l I ( l + XRh) A i; . (13)
h=l h=l
W arunkiem w ystarczającym istnienia m inim um funkcjonału L agrange’a (11) jest, aby
A A
A O > 0 . AI h h e N 0W arunkiem koniecznym istnienia m inim um je st spełnienie rów nania w ektorow ego
A
(21^(1 + XRh) - X E j ) = 0. (14)heW
W arunek w ystarczający jest spełniony dla dow o ln eg o przyrostu AIh, gdy form a k w ad rato w a określona w zorem (15) je st dodatnia, tzn.:
A
(A IÍ( l + XRh) A i ; ) > 0 . (15)h eN
W obec poczynionych założeń m acierz 1 + XR h je st sym etryczna o raz nieosobliw a dla każdego X > 0, zatem form a kw adratow a (15) o kreślona je st dodatnio. W spółczynnik X w yznacza się z warunku m ocow ego (7), w którym prąd Ih ( p o k r e ś lo n y jest w zorem
I h(X) = j ( l + a.Rh) - , E h = ^ A hE h (16)
stąd
P(X) = Re ¿ E f r ( X ) - ¿ I ? ( X ) Z hTI-h (X) = F(X). (17)
l h=l h=l J
M ożna w ykazać, podobnie ja k to zrobiono w pracach [9], [10], że F(X) m onotonicznie narasta dla X > 0, a tym sam ym istnieje jed n o z n a c z n e rozw iązanie zadania optym alizacyjnego (5) przy w arunku (7). W yznaczm y w tym celu p o c h o d n ą F(X)
F (X )= R e Z E l a ; ( x ) ) , - Z ( a ; w ) ' R i i ; ( X ) + i ; ( X ) R j ( r h( x ) ) ') . o s )
U=1 h=l J
Różniczkując obustronnie rów nanie (14) w zględem X m am y
R „ Ih(X) + ( l + XRh )I[(X ) = j E h. (19)
W ykorzystując rów nanie (19) o raz przekształcając rów nanie (18) otrzym ujem y
M. Pasko
F ( X ) = Re £ ( I h (X))'(l + X R„) ( i ; (X))' Z 0, dla X> 0 . (20)
h = l
D la X = 0 - > I h(A,) = 0 - > F (0) = 0.
D la X. - > oo I h( ^ ) = ^ R X , F W | =7 R e E E j R - 'E ; . z | X-«. 4 >>=1
P rzebieg zm ienności F(A.) Xe(0,oo) przedstaw iono na rys.2.
Rys.2. W ykres funkcji F(X) Fig.2. P lot o f the function F(X)
D la w y znaczonego z rów nania (17) l . > 0 prąd optym alny źródła m a postać
A i i r = y ( l + X .R h) - 'E h = - y A hE h) (21)
h€AT0 V Z
N apięcie na odbiorniku przy prądzie optym alnym (21) wynosi
U r = E h - Z hi r = E h - y Z hA hE h = [ l - ^ Z hA h] E h. (22)
Z e znajom ości p rądu optym alnego I° pl o raz napięcia optym alngo U£pI h e N 0 w yznacza się w ek to r prądu kom p en sato ra iJh. N a podstaw ie znanego w ektora prądu kom pensatora m ożna w yznaczyć param etry adm itancji k o m p en sato ra zapew niającego prąd optym alny. Z ry s.l w ynika, że
Dobór k o m pensatorów 67
A ( i r - A + i J .
h iN„
gdzie: (23)
Ih=oYh(EhZ hi r ) .
a stąd w ek to r prądu k o m p en sato ra k I h h e jV0
kIh=( ^ (1+oYhZh)Ah“°Yh)Eh' (24)
Otrzymana m acierz kIh je s t m acierzą k o lu m n o w ą podobnie ja k m acierz napięcia kom p en sato ra
Ur=kUh.
A dm itancję kom p en sato ra dla każdej harm onicznej (w łączonego pom iędzy d an ą fazę a p rzew ód zero w y ) w yznacza się z zależnościkYa„h = ~ f !~ , a e {1,2,3},h e N 0. (25)
k U a h
W spółczynnik L agrange'a X. w yznacza się z rów nania (17), np.za p o m o cą m etody N ew to n a o punkcie startow ym
n
p R e 2 X r h
* « = . G = 7 i r = — T (26)
R e Z E i E 'h
h = l
gdzie: P m oc czynna odbiornika przed kom pensacją w yznaczoną ze zw iązku
n
P = R e Z ( E i ( „ Z ‘h + Z ; r ’ E ; - E j ( ( 0Z h + Z h) - ') TZ i ( 0Z h + Z h) - , E*h). (27)
h = l
N atom iast m oc czynna odbiornika po kom pensacji Podb
n n
Podb = R e Z ( U r ) ToYh'( U “pl)* = .R e Z (U ° hp,) ToG ;(U °hpt)*. (28)
h = l h = l
Postępując analogicznie dla p ozostałych w ariantów ,w yznaczono prądy optym alne , a z a ich pom ocą w artości adm itancji kom p en sato ró w , k tó re należy w łączyć pom iędzy d a n ą fazę a przew ód zerow y (p o r.ry s.l). W yniki dla zadań P I ., P2. o raz poszczególnych w ariantów zestaw iono w tablicach 6.
M. Pasko Tablica 1
W A R IA N T
n 3
P I . m i n X Z l a h C . a e { l , 2 I3 } ,h 6 N 0 h=l ot=l
A
C - y d + )■' E* = ~ Al Ek u r =Ek - z . i r
A = [^f~(1+oYhZ h)A h_ oYh )E h■ - PR A D K O M P E N S A T O R A A D M ITA N C JA K O M P E N S A T O R A , = k G Mh + , a € {1,2,3}
t Ya0h- k * , a € {1,2,3}, h e N 0.
k Uah
W A R U N E K M O C Y
P = R e E ( U r ) T( i r ) ‘ = - R e Ż E i i l - ^ Z hA h] ^ Z ' hA ’h
h=l h=l V - ' 1
O ZN A C Z E N IA
A h = ( l + X .R h) 1 ,U ° pt = k U h, h € A 0, l - macierz jednostkowa
Tablica 2
W A R I A N T
n 3
P I . m i n ^ Z U C - a € { 1 , 2 , 3 } ,h e N 0
h = l a = l
B
i r - k . A i z ; , O k E h u r - M t A j f t . O j l t - C ' . ! »
. U = M ^ ; . G b Y h c b ) E h - P R Ą D K O M P E N S A T O R A
A D M I T A N C J A K O M P E N S A T O R A , Y « * = k + j k , a € { 1 , 2 , 3 }
k Y a o „ - \ r , a e { 1 , 2 , 3 } ,h e N 0.
k U a h
W A R U N E K M O C O W Y
n n
P = R e Z ( U r ) X PT = . R e l E i c : o G h E * h
h = l h = l
O Z N A C Z E N I A
A lh = 1 + K Z l 0 G h z ; , C h = l - ^ . Z h A - ’ Z ' h o G h u r = „ u h , h e N 0
Dobór kom pensatorów . 69 Tablica 3
WARIANT
n 3
P I. m i n Z Z u C >a e {1,2,3},h e N 0 h=l a=l
C
C ^ ' A i D X u r = Ek- Z li r = [ l - y * Z 1AiDljEk.
k I h = ( l + 0Y hZ h) i r - „ Y hE h = ( l +0Y hZ h) . Y * A 2'hD hTE h- 0YhE h -P R Ą D K O M P E N S A T O R A
A D M IT A N C JA K O M P E N S A T O R A , = , , a e {1,2,3}
kYo0h- k * , a e {1,2,3}, h e A 0.
k oh
W A R U N E K M O C O W Y
R e ¿ E j [ l - | z sA i D j ] 0Gh[ l - | z hA-’hD i j E*h =
= . R e Ż ^ E j [ l - ^ Z hA - 'D : ) ( A i D î ) ‘ Eh
O Z N A C Z E N IA
A 2h= l + ^ R h + z : 0GhZ*h) - ' , D h = l + 2 0GhZ-h> = kU h, h e N 0,
Tablica 4
WARIANT
n 3
P I . m i n Z Z v i U I L , a 6 { l , 2 , 3 } , h e N 0 h=l a=l
A
C = y ( V j l + X.Rh)-'Eh = y A'„ Eh = Z4I - ■ ( l y A A ' , ^
A = ( y ( l + YhZ h)A h- 0Yh] E h. - PR Ą D K O M P E N S A T O R A A D M IT A N C JA K O M P E N S A T O R A , Y«* = , G Mh + J t Baoh , a e { 1 , 2 , 3 }
kY a 0 h - k * , a e { 1 , 2 , 3 } , h e N 0.
k cth
W A R U N E K M O C O W Y
P = R e Z ( U r ) T ( i r ) ‘ = R e Ż E : f l - ^ Z hA h] ~ A ' h *Eh
h=l h=l V - J Ł
O ZN A C Z E N IA
A h = ( V , 1 + X . R h ) ~ ‘ , U kpt= kU h, h e N 0 ,1 - m a c i e r z j e d n o s t k o w a
M . Pasko Tablica 5
W A R IA N T
n 3
P I. m i n ^ Z ^ h U 1^ , a e {1,2,3}, h E N 0 h=l a=l
B
C “ Z„ 0GhEh V? =(l-X.Z,A,l z; ,G,)Ek =C,E,.
„ G . - Y .cJ e, - P R A D K O M P E N S A T O R A
A D M IT A N C JA K O M P E N S A T O R A , YMh = k G mh + j kBMh ,<x e {1,2,3}
kYa0h- k , a e {1,2,3}, h e N 0.
k U n h
W A R U N E K M O C O W Y
n n
P = R e l ( u r )T( i r )• = R e Z E i C hT0G hE-h
h = l h = l
O Z N A C Z E N IA
a ;„ = v^ + x.z; oGhz ; , c h = i - x . z hA;h-'z; o Gh , u r = k u h, h < = N 0
Tablica 6
W ARIANT
n 3
PI. m i n Z ! Z V h2Iah C , a s { l , 2 , 3 } , h e N 0
h = l o=l
C
I?“ -= T " A» DIE‘ u r = El -Z li r = [ l - y * Z lA;'D}jEl.
t I h = ( l + 0Y „Z h) i r - 0Y 11E h = ( l + 0YhZh) ~ * A jkD kE h- 0YhE h - PRĄD KOM PENSATORA
ADM ITANCJA KO M PEN SATO RA , Y ^ = k G «* + j kBMh , a e {1,2,3}
kYa0h - >a 6 {1,2,3}, h e N 0.
k oh
W ARUNEK MOCOWY
R e g i ? ( l - | z hA i D i ] 0G h[ l - ^ Z hA-'hD i ] E*h =
= . R e Z ^ * E ^ l - j Z hA -‘ D i ) (A-2'kD ^ )-E h
OZNACZENIA
A'ah = V ^ l + X .(R h + Z i ł G hZ ; r , , D h = l + 2 0 G hZ ; , U r = t U h, h e N 0,
D obór kom pensatorów . 1 1 W przypadku całkow itej kom pensacji adm itancja kY h posiada część rzeczyw istą ujem n ą dla niektórych harm onicznych, co w ym aga użycia kom p en sato ra aktyw nego. N ie zaw sze potrzebna je st całkow ita kom pensacja i w ów czas m ów im y o suboptym alizacji, k tó rą przeprow adzam y za p o m o cą kom p en sato ra pasyw nego LC.
P rzykład, w n iosk i
Dla układu (rys.3) o danych: e i(t) = (120cosco0t + 30cos4co0t + 20cos5a)0t), e2(t) = d ( t-T /3 ), e ^ t) = e 2(t-T /3 ), co0 =1 rad/s, należy przeprow adzić m odyfikację układu w edług zadań P I ., P2. dla poszczególnych w ariantów . M oc czynna odbiornika przed m odyfikacją:
Po<ib= 3288,3 W . W artość skuteczna prądu źró d ła przed m odyfikacją :|I|= 27,1 A. N iektóre wartości uzyskane po rozw iązaniu zadania P I. zestaw iono w tabeli 1. W artości adm itancji kom pensatora dla spełnienia zadania optym alizacyjnego P I . dla w ariantu A w ynoszą:
kYioi= -0,0065+ j0,0243 S, kY 20i= -0,022+ j0,217 S, kY 3oi= -0,0190-j0,0933 S.
kY ,04= 0 ,0 475+ j0,0534 S, kY 204= 0,0739+ j0,096 S, kY 304= -0,1 145-jO,0235 S.
kY 105= 0 ,0 883+ j0,0569 S, kY 205= 0,0569+ j0,085 S, kY 305= -0,12 2 3 -j0 ,0 2 0 0 S.
Rys. 3. U k ład analizow any w przykładzie F ig.3. N etw o rk analyzed in the exam ple
M. Pasko Tabela 6.1
n 3
m i n X S l o h li*
h = l a = l
WIELKOŚCI UZYSKANE ZA POM OCĄ KOMP. LC
W ARIANT |F pl| Podb P komp Ul P'odb P komp
A A w w A W W
16,4 3849 -554,7 19,3 3592,8 0
B 17,4 3288,3 -1228 19,8 3048,9 0
C 18,2 3523 0 18,4 3407,8 0
A nalizując pow yższe w artości adm itancji kom pensatorów , zauw ażam y,że ich realizacja w ym aga użycia dw ójników aktyw nych ze w zględu na ujem ne w artości konduktancji.
R ealizacja takiego dw ójnika jest m ożliw a za p o m o cą u k ład ó w energoelektronicznych [5], Jeżeli ograniczym y się tylko do układów LC (część u rojona adm itancji kom pensatora), to m ów im y w ów czas o częściowej kom pensacji. N a rys.4 przedstaw iono przebiegi prądów ź ró d ła przed kom pensacją, a na rys. 5 - przebiegi prądów w fazie 3: przed kom pensacją ij(t) przy całkow itej kom pensacji ¡ ^ ‘' ' “’( t) , przy częściow ej kom pensacji i 3(t) (kom pensator stanow i tylko je g o część u ro jo n ą admitancji), dla zadania P I . w ariantu A.
Rys.4. Przebiegi czasow e prąd ó w przed kom pensacją Fig.4. Tim e w aveform s o f the currents b efore com pensation
Dobór kom pensatorów . 73
Rys.5. Przebiegi czasow e: prądu przed kom pensacją ij(t), po pełnej kom pensacji i°p'(la>(t)^
po częściowej kom pensacji ¡^(t)
Fig. 5. Tim e w aveform s o f th e currents before com pensation i3(t), afłer com plété com pensation i opt(is) ( t ) ^ after partial com pensation i'3(t)
N a rys.6 przedstaw iono rozw ażany układ z rys.3 z dołączonym i obw odam i kom pensatorów reaktancyjnych LC zapew niających częściow ą kom pensację. Struktury kom pensatorów reaktancyjnych w yznaczono w edług algorytm u syntezy zap ro p o n o w an eg o w pracy [4], N ależy podkreślić, że zap ro p o n o w an a struktura jest je d n ą z m ożliw ych. S trukturą zapew niającą realizację w ym aganej funkcji jest zbiór m ocy contiuum . O w yborze najlepszej pow inno zadecydow ać przyjęte kryterium optym alizacyjne np. kryterium w rażliw ościow e. Problem ten w niniejszym artykule w ogóle nie jest poruszany.
N atom iast na rys. 7 przedstaw iono przebiegi prąd ó w w poszczególnych fazach przy zaproponow anej częściowej kom pensacji za p o m o c ą uk ład ó w LC.
N ależy zauw ażyć, że prądy optym alne są sym etryczne, tzn. spełniają zależność i f 0 ,) ( t) = i ^ (1,)( t - T / 3 ) ; i°p,(u)( t) = i°p,(1,)( t - T / 3).
P od o b n e zależności zach o d zą dla pozostałych rozpatryw anych zadań i w ariantów . W tabeli 6.2 zestaw iono w artości uzyskane z rozw iązania zadania P2. dla pełnej kom pensacji dla 6o = 6i = 02 = 1 o raz dla kom pensacji częściowej.
|l| = V 8,92 + 18,62 + 1 7 ,4 : = 2 7A
|joptci«)| _ ] 6 ;4 A ; |l| = |l| = |l| = 9,4A
|I| = V 9,92 + l l , 5 2 + 12,l2 = 19,3 A
R ys.6.U kład analizow any w przykładzie w raz z obliczonym kom pensatorem Fig.6.N etw o rk analyzed in the exam ple to g eth er w ith a calculated com pensator
Rys.7. Przebiegi czasow e p rąd ó w po kom pensacji układem LC z rys.6 Fig.7. Tim e w aveform s o f the currents after com pensation w ith LC netw ork from Fig.6
Dobór kom pensatorów 75 Tabela 6.2
n 3
m i n ^ z L ^ i i l a h
h = l 0 = 1
WIELKOŚCI UZYSK A NE ZA POM OCĄ KOMP. LC
WARIANT i r pl| Podb Pkomp III P'odb P 'r komp
A A W W A W W
17,2 3801 -513 19,2 3606,2 0
B 20,6 3288,3 -810 20,9 3033,1 0
C 19,3 3589,3 0 18,4 3444,5 0
Na rys.8 przedstaw iono prądy optym alne fazy 1 dla w ariantów A oraz C dla zadania P I. oraz P2. d la 5 0 = ó, = 8 2= 1
Rys. 8. Przebiegi czasow e p rąd ó w optym alnych dla rozpatryw anych zadań i w ariantów Fig. 8. Tim e w aveform s o f th e optim um currents fo r the considered tasks and variants
LITERATURA
1. B rodzki M .,P ask o M .: D efinicje pew nych m ocy dla u k ład ó w w ielozaciskow ych o przebiegach odkształconych. R ozpraw y E lek tro tech n iczn e,N o .35, z .l, 1989, ss.31-44.
M. Pasko 2. C zarnecki L.,S.: M inim isation o f unbalanced and reactive currents in three-phase
asym m etrical circuits w ith nonsinusoidal voltage. IE E Proc-B , Vol. 139, N o 4. July 1992, p p .347-354.
3. P asko M .: Sym m etrization o f D eform ed T hree-P hase C urrents Supplying Asymmetrical Receiver. 10th E uro p ean C onference Circuit T heory and D esign, Lyngby, Septem ber
1991, p p .1068-1075.
4. Pasko M ., D ybek M .: K o m p u tero w e w yznaczanie struktur dw ójników kom pensujących sk ład o w ą reaktancyjną prądu źródła napięcia odkształconego zasilającego odbiornik liniowy. Zeszyty N au k o w e Politechniki Śląskiej, "Elektryka" z.122, G liw ice 1991, ss.21-35.
5. P asko M .,G rzesik B.: M odel realizacji technicznej kom pensacji składow ych biernych prądu źródła napięcia odkształconego zasilającego odbiornik liniowy. M ateriały 15 Sem inarium z Podstaw E lektrotechniki i Teorii O bw odów G liw ice-W isła 1992, ss.535- 542 t l .
6. P asko M .: P ropozycje m odyfikacji u k ład ó w zasilanych z rzeczyw istego źródła jed n o fazo w eg o napięć odkształconych w zależności od w arunków dla strum ienia mocy czynnej. Zeszyty N au k o w e Politechniki Śląskiej, E lektryka z. 130, G liw ice 1992, ss.40- 56.
7. P asko M .: A pplication o f LC O ne-P orts in Phase L oad Sym m etrization in N -Phase System s w ith N onsinusoidal Periodical V aveform s. E uropean C onference Circuit T heory and D esign, D avos, Sw itzerland, 3 0 .Aug. -3 .Sept. 1993, pp. 1159-1164, lub A rchiw um E lektrotechniki (w druku).
8. P asko M .: M odification o f three-phase system s w ith non-sinusoidal w aveform s in consideration o f optim um shape o f source current. 7th Int. Sym posium on T heoretical Electrical E ngineering IS T E T '93, Sept. 1993, p p .85-90, Szczecin, Poland, lub A rchiw um E lektrotechniki (w druku).
9. Siwczyński M ., K łosiński R.: A lgorytm minimalizacji w arunkow ej kw adratow ych funkcjonałów strat energii w rzeczyw istym źródle napięcia. M ateiały X IV SPETO , G liw ice-W isła 1991, ss. 85-91.
10. W alczak J.: O ptym alizacja w aru n k ó w pracy rzeczyw istych trójfazow ych źródeł napięć odkształconych. Zeszyty N au k o w e Politechniki Śląskiej E lektryka z. 122, G liw ice 1991, ss. 124-145.
Dobór kom pensatorów ..._______________________________________________________________ 77 11. W alczak J.: O ptym alizacja energetyczno-jakościow ych w łaściw ości ob w o d ó w
elektrycznych w przestrzeniach H ilberta. Zeszyty N au k o w e Politechniki Śląskiej Elektryka z. 125, G liw ice 1992, (m onografia habilitacyjna).
12. W illem s J.L.: T he com pensation o f reactive and unbalanced currents in three-phase po w er systems. P ro c. W o rkshop on P o w e r D efinitions and M eas, u n d er N onsinusoidal Conditions. C om o, Italy, Sept. 1991, pp 113-128.
R ecenzent: Prof. d r inż. Stanisław B olkow ski
W płynęło do R edakcji 15 m arca 1994 r.
Abstract
The notions co ncerning non-sinusoidal w aveform s and connected with pow er, w hich are not controversial in electric circuit theory, are: instantaneous pow er and active pow er.
Definition o f reactive p o w er is p ro p er only fo r sinusoidal w aveform s. F o r non-sinusoidal w aveform s there exist m any definitions o f reactive pow er, deform ation, etc. T hese definitions often exclude each another, w hat can be seen in various, often controversial, papers, e.g. [2], [12], It seem s that m aking definitions o f new notions o f reactive “rem aining” pow ers is n o t th e nght way. A nother attitude to th e problem is co nnected w ith a m inim ization o f som e square functional containing such values as current, voltage, active pow er w hich are com m only recognized [3], [8], [9], [10], [11], Problem s concerning description o f energy-quality properties and m odification o f system w ith non-sinusoidal w aveform s are still investigated in theoretical and industrial electrotechnics. In the presented paper optim um currents fo r different variants on active p ow er flux P have been determ ined and conditions to determ ine a com pensator adm ittance kYh = tGh + jiB h , h e N„ have been given. T o achieve an optim um current fo r a given variant, it is necessary to apply an active com pensator. Solution fo r a given problem and variant is carried out by m eans o f the L ag ran g e’a m ultiplier w hen determ ining the optim um source current. T he determ ined so u rce optim um current can be achieved by m eans o f com pensatory systems.
