*
ZESZYTY'NAUKOWE POLITECHNIKI f e L A S K I E J _______ 1984
S e rie : AUTOMATYKA z . 74 Nr 810
Eugeniusz N ow icki, S ta n is ła w Z d rz a łk a P o lite c h n ik a W rocław ska
I n s t y t u t C y b e rn e ty k i T e c h n ic z n e j
SZEREGOWANIE ZADAŃ NA M A SZYN IE PR Z Y ZMIENNYCH CZASACH WYKONYWANIA ZADAŃ
S t r e s z c z e n i e . Sformułowano k la s ę z a g a d n ie ń s z e re g o w a n ia n zadań n a m aszynie o p r z e p u s to w o ś c i n z równoczesnym r o z d z ia łe m zasobów o d n aw ia ln y c h . P rę d k o ść wykonywania za d ań j e s t c i ą g ł ą m onotoniczną f u n k c ją i l o ś c i d o s ta rc z o n y c h zasobów . N ależy z n a le ź ć r o z d z i a ł z a s o bów pom iędzy z a d a n ia o ra z ic h u sz ere g o w a n ie m in im a liz u ją c e je d n ą z n a s tę p u ją c y c h f u n k c j i c e lu : ś r e d n i ważony c z a s p rz e b y w a n ia zadań n a m a sz y n ie , maksymalny c z a s p rz e b y w a n ia zad ań n a m aszynie p rzy z a danych n a jw c z e ś n ie js z y c h te rm in a c h r o z p o c z ę c ia wykonywania zadań, m aksymalną n ie te rm in o w o ść p r z y zadanych pożądanych c z a s a c h zakoń
c z e n i a wykonywania zad ań z zerowymi i niezero w y m i n a jw c z e ś n ie js z y m i te rm in a m i r o z p o c z ę c ia wykonywania z a d a ń . W p r a c y p rz e d s ta w io n o 0- g ó ln ą metodę r o z w ią z a n ia ty c h z a g a d n ie ń . P okazano ró w n ie ż , że d la pew nej k la s y zadań pow yższe z a g a d n ie n ia sp ro w a d z a ją s i ę do odpowied
n ic h k la sy c z n y c h za d ań sz e re g o w a n ia n a je d n e j m aszynie o p r z e p u s to w o śc i 1, d l a k tó r y c h i s t n i e j ą bądź alg o ry tm y w ielom ianow e,bądź w p rzy p a d k u gdy p roblem y s ą N P -zu p ełn e, d o b re alg o ry tm y h e u r y s ty c z n e .
1. Ws te n
W w ię k s z o ś c i badanych z a g a d n ie ń sz e re g o w a n ia zadań n a m aszynach z a k ła da s i ę , że c z a s y wykonyw ania z a d a ń s ą u s t a l o n e , w s e n s i e d e t e r m in is ty c z nym bądź s to c h a s ty c z n y m . W r z e c z y w i s t o ś c i w y s tę p u je w ie le ta k ic h s y t u a c j i , w k tó ry c h c z a s wykonywania z a d a n ia n a d an e j m aszy n ie może być zm ieniany poprzez o d pow iedni dopływ, zasobów . Z a g a d n ie n ie tego typu ro zp a try w a n o w p ra c a c h [ 6 ,7 , 1 0 ,1 3 , 1 4 ,1 5 ] • P roblem y ro z p a try w a n e p rz e z V ick so n a £13,14]
Są n a j b a r d z i e j z b liż o n e do k la sy c z n y c h problem ów s z e re g o w a n ia . Z ak ład a s ię w n i c h , ż e c z a s wykonywania z a d a n ia można s k r ó c ić p o n o sz ą c pew ien do
datkowy k o s z t , k t ó r y j e s t lin io w ą f u n k c ją c z a s u s k r ó c e n ia . P roblem p o le g a na z n a le z ie n iu u s z e re g o w a n ia zad ań o ra z czasów s k r ó c e n ia m in im a liz u ją c y c h koszt p rz e b y w a n ia zad ań n a m aszynie p lu s k o s z t s k r ó c e n ia z a d ań . Nash i G i t t i n s [ 6 .7 ] d y s k u tu ją p ro b lem , w którym m aszyna może wykonywać równo
cześnie n z a d a ń , p r z y czym in ten sy w n o ść.w y k o n y w an ia zad ań zm ie n ia n a j e s t w sposób c i ą g ł y a r o z m ia ry zad ań są zm iennym i losowym i o znanych r o z k ł a dach. ■ W ęglarz w [ 15] a n a l i z u j e p ro b le m , w którym p rę d k o ść wykonywania z a dania j e s t c i ą g ł ą f u n k c ją i l o ś c i zasobu i w k a ż d e j c h w il i n ie można wyko
nywać w ię c e j n i ż m zad ań (m id e n ty c z n y c h ró w n o leg ły c h m aszyn). N ależy znaleźć r o z d z i a ł aasobów , k t ó r y m in im a liz u je maksymalny c z a s w ykonania zadań.
N i n i e j s z a p r a c a j e s t r o z s z e r z e n ie m p r a c y au to ró w [ 1 0 ]. R ozpatrujem y klasę z a g a d n ie ń sz e re g o w a n ia n za d ań n a m aszynie o p r z e p u s to w o ś c i n z rów
noczesnym r o z d z ia łe m zasobów odnaw ialnych p o d z ie ln y c h w sposób c i ą g ł y .
196 E .N o w ick i. S .Z d rz a łk a
P rę d k o ść wykonywania zad ań j e s t c i ą g ł ą n ie m a le ją c ą f u n k c ją i l o ś c i d o s ta r czonych zasobów [ 8 ,9 , 1 5 ] - N ależy z n a le ź ć r o z d z i a ł zasobów w c z a s i e pomię
dzy z a d a n ia o ra z ic h u sz ereg o w an ie m in im a liz u ją c e je d n ą z n a s tę p u ją c y c h f u n k c j i c e lu : ś r e d n i ważony c z a s p rz e b y w a n ia zadań n a m a szy n ie, maksymal
ny c z a s wykonywania z a d ań n a m aszynie p rz y zadanych n a jw c z e ś n ie js z y c h te rm in ac h wykonywania z a d ań , maksymalną n ie te rm in o w o ść p r z y zadanych po
żądanych c z a s a c h z a k o ń c z e n ia wykonywania zad ań z zerowymi i niezerow ym i n a jw c z e ś n ie js z y m i term in am i r o z p o c z ę c ia wykonywania z a d a ń . R ozw ażania przep ro w ad z a s i ę d l a dwóch s y t u a c j i : gdy w y s tę p u ją o g r a n ic z e n ia k o le jn o ś - ciowe m iędzy za d an iam i o ra z gdy ic h b ra k .
2. Sform ułow anie problem u i r e z u l t a t y pom ocnicze
Z b ió r n zad ań J = { 1 , 2 , . . . , n } ma być wykonany n a m a sz y n ie , k t ó r a może w d a n e j c h w il i c z a s u wykonywać n z a d a ń . P rę d k o ść wykonywania i - t e g o zada
n i a , x ^ ( t ) , w c h w ili t j e s t f u n k c ją i l o ś c i zasobu u ^ ( t ) i Ł( t ) = f j ^ U ^ t ) ) , t >y O,
* i ( t i 0 ) = o
g d z ie x i ( t ) o k r e ś l a s t a n z-adania w c h w il i t , f^ - c i ą g ł a n ie m a l e ją c a fun
k c j a s p e ł n i a j ą c a f ^ O ) = O. D la każdego z a d a n ia o k re ś lo n y j e s t je g o s ta n końcowy s Ł > 0 . P rz e z t iQ oznaczamy c z a s r o z p o c z ę c ia wykonywania z a d a n ia a p rz e z t ^ c z a s je g o z a k o ń c z e n ia , t j . n a jw c z e ś n ie js z y c z a s d l a k tó re g o z a c h o d z i
j
r i f i (u i ( t ) ) d t = s ±. ( 2)^ io
I l o ś ć zasobów d o s tę p n a w k a ż d e j c h w il i c z a s u j e s t rów na je d e n , s t ą d
I L i u i ( t ) ^ * °* (5)
N iech b ę d z ie r e l a c j ą cz ęściow ego p o rz ą d k u n a z b io r z e J , g d z ie i- < j o zn acza, że z a d a n ie j może być wykonywane ty lk o po z a k o ń c z e n iu z a d a n ia i / tz n . t i ^ t j o .
Z ag a d n ien ie 1
Załóżmy, że w c h w il i t = O w s z y s tk ie z a d a n ia s ą gotowe do wykonywania.
N ależy z n a le ź ć r o z d z i a ł zasobów pom iędzy z a d a n ia w c z a s i e , t z n . ste ro w a
n i e w u k ła d z ie otw artym u ( t ) = ( u ^ ( t ) , . . . , u n ( t ) ) , O ^ t ^ T = mauc t^ , 1 < i k u odcinkam i c i ą g ł e s p e ł n i a j ą c e ( 2) , ( 3 ) o ra z
u ^ t ) = 0 t < t iQ , t > t 1 , i e 3 i < d 4 t J o , i , j e J
i m in im a liz u ją c e
.Szeregow anie zad ań n a m a a g y a lg ... - ■■ -^7
gdzie > O - waga i - t e g o z a d a n ia . Z agadnienie 2
P rz e z r ^ oznaczmy odpow iednio n a jw c z e ś n ie js z y m ożliw y te rm in ro z p o c z ę c ia wykonywania z a d a n ia i (c z a s g o to w o śc i) a p r z e z d^ pożądany te rm in z a k o ń cz en ia wykonywania te g o z a d a n ia . N ale ż y z n a le ź ć r o z d z i a ł zasobów po-r między. z a d a n ia w c z a s ie , t z n . s te ro w a n ie w u k ła d z ie otw artym u ( t ) =
= (u^ ( t ) , . . , , u ^ t ) ) , O 4 T = max t ^ , o dci nkami c i ą g ł e s p e ł n i a j ą c e ( 2 ) , ( 3 ) , (4-), ( 5 ) o r a z K K a
t io ^ r i ’ i & J ( 6)
i m in im a liz u ją c e
*■}• (7)
C h a ra k te ry s ty c z n ą c e c h ą pow yższych z a g a d n ie ń j e s t f a k t , że i s t n i e j ą p r z e d z ia ły , w k tó r y c h z a d a n ia n ie mogą być wykonywane, tz n . u ^ ( t ) = O.
W ykorzystując t o , wprowadzimy t e r a z s z e r e g p o ję ć i wykażemy odpow iednie w ła s n o śc i, k t ó r e um o żliw ią z a sto so w a n ie je d n o lite g o p o d e j ś c i a do sfo rm u łowanych z a g a d n ie ń .
P rz e z F ^ C J oznaczmy z b i ó r w s z y s tk ic h z a d a ń , k tó r e mogą być wykonywa
ne w p r z e d z i a l e i k = O kreślm y p r z e z z b i ó r wektorów u = (u 1 , . . . , u Jl) e Ra s p e ł n i a j ą c y c h u ^ 1, u^ = O j e ż e l i i f J vFk , j. O w przeciw nym wypadku. N iech <U(Tk_.l ,Yk ,F k ) o zn a cz a z b i ó r w s z y s tk ic h fu n k c ji o d cin k am i c i ą g ły c h u ( . ) z , t j .3 w
Rozbijm y p r z e d z i a ł [ 0 ,T ] n a z b i ó r m ro z łą c z n y c h p rz e d z ia łó w
[ V ^ j * T-gl > > • • i ( ^m- d’ = "^m ” ® 0 d łu g o ś c i ¿ k = Yk - Tk_^.
Dla k a ż d e j p a r y ( ' f , Fk t a k i e j , że ń k > O z d e fin iu jm y z b i ó r fX k
^^'k-'I’^'k’^k^ " ^ R^tv^s J f^(u^(t))dt, i=1,... ,n,
n ( ') e U ( r k_ r Tk ,F k ) } ,
(
8)
N iech X(Tk_ ^ ) o z n a c z a z b i ó r w s z y s tk ic h sta n ó w początkow ych w c h w il i t k_^. Wtedy z b i ó r w s z y s tk ic h sta n ó w o s ią g a ln y c h w c h w i l i Yk > Tk_1 ma postać X(Yk ) = X(Yk_ ^ ) + ■śk P (l:'k_'i>’i'k i Fk )- O g ó ln ie , d l a danego zestaw u PW (Yk_ą ,Yk3 ,F k , k=1 , . . . , m z b i ó r w s z y s tk ic h stanów o s ią g a ln y c h w c h w il i 1 j e s t sumą a ry tm ety c zn ą zbiorów ¿ ¡ ^ ( Y ^ ., ,Yk ,F k ) d la ty c h k , d la k tó ry c h
¿k > O. Z d e fin iu jm y n a k o n ie c z b i ó r
Vk = £ R11 : v i = f 1 (u i ) , i= 1 , . . . , n , u e Uk } (9) Poniższy le m a t p o zw a la o k r e ś l i ć p o s ta ć z b io r u P C Y j^.Y j^.F j^).
lemat 1
P(Yk_ 1 , r k ,F k ) = co Vk d l a każdego ¿ k > O Dowód le m a tu można p rz e p ro w a d z ić p o d o b n ie ja k w p ra c y [ 8] .
198 E .N o w ick i, S. Zdrzałka
pewne sz c z e g ó ln e w ła s n o ś c i ro z p a try w a n y c h z a g a d n ie ń o trz y m u je s i ę przy z a ło ż e n iu , że
^ « ^ ( 1 ) Ut e [0, 1 ] ( 10)
’.'/arto zauw ażyć, że f u n k c je wypukłe s p e ł n i a j ą w arunek ( 10) . Lemat 2
H ie ch v ^ = ( 0 , . . . , 0 , f j ( 1 ) , 0 , . . . , 0 ) , j = 1 , . . . , n , v'° = ( 0 , . . . , 0 ) . J e ż e li f u n k c je i= 1 , . . . ,n s p e ł n i a j ą ( 10) , to co Vk j e s t zb io re m w sz y s tk ic h k o m b in a c ji wypukłych punktów v'° ,v J , j f F^.
Dowód le m atu w ynika b e z p o śre d n io z w ła s n o ś c i (1 0 ) o ra z d e f i n i c j i pow
ł o k i w y p u k łej.
W yk o rzy stu jąc pow yżej wprowadzone p o j ę c i a o ra z w ła s n o ś c i, w następnych r o z d z ia ła c h omówimy sform ułow ane z a g a d n ie n ia .
3. M in im a liz a c ja ś re d n ie g o ważonego c z a s u p rz e b y w a n ia za d ań n a maszynie N iech TT b ę d z ie pewną p e rm u ta c ją ze z b io r u J s p e ł n i a j ą c ą -( a u ( i ) za
daniem ze z b io r u J z n a jd u ją cy m s i ę n a i - t e j p o z y c j i . P e rm u ta c ja TT spełnia w tedy i ty lk o w ted y , gdy z te g o , i e H s w ynika, że i < j g d z ie 1 =
= ~ ( i ) , s = T ( j ) . Załóżmy t e r a z , że z a d a n ia kończą s i ę wykonywać w ko
l e j n o ś c i o k r e ś lo n e j p r z e z p e r m u ta c je 7 T ,tz n .
% ( 1 ) ^ ^1T(2) ^ • " ^ t T ^ i)*
Dla u s ta lo n e g o 7T z a g a d n ie n ie 1 z dodatkowym w arunkiem (1 1 ) będziemy o znaczać p r z e z (P(1T). W c e lu r o z w ią z a n ia z a g a d n ie n ia 1 n a le ż y rozw iązać z a d a n ie ^ ’(IT) d la w s z y s tk ic h '¡T s p e łn ia ją c y c h -< i w ybrać to ro z w ią z a n ie , k tó r e ma n a jm n ie js z ą w a rto ś ć f u n k c j i c e lu ( 5) . W zw iązku z tym p rz e a n a li
zujemy t e r a z d o k ła d n ie z a d a n ie (P(IT) d l a w y b ra n ej a r b i t r a l n i e perm utacji 7C s p e ł n i a j ą c e j •< . W tym c e lu połóżm y m = n , = t T ^ ) * k = 1 , . . . . r i n ie c h
Fk = I 5- e { ^ ( k ) , - - . ,'h (n)} ! j < i , j ( { 7 T ( k ) ,. .. , ^ ( n ) ] }
Z le m a tu 1 w ynika, że d l a u s ta lo n y c h k = 1 , . . . , n z b i ó r stanów o- s ią g a ln y c h w c h w ili ma p o s ta ć
co ł A2 c o ?2 t . . . + Ak co Vn .
g d z ie A k = t T^ - t ^ k_1 j , t - p ^ ś O i Vk s ą z d e fin io w a n e p r z e z (9 ).
U w zg lę d n iając t o , z a d a n ie '?>(■«•) może być p rz e d s ta w io n e n a s tę p u j ą c o : { ¿ ” ^ k j ^ k = 1 w7T(k) + A2 k=2 w,« (k ) + + An w ( n ) ^
p r z y o g ra n ic z e n ia c h
( - ) X £=1 ń k v i = Bi ’ 1 6 J > (15)
( i i ) v k g co A, >, O, k = 1 ,. . . , n . (1*)
Szeregow anie za d ań n a m a szy n ie.
m .
W ogólnym wypadku powyższe z a d a n ie j e s t tr u d n e ze w zględu n a o g r a n i
czen ie ( i i ) poniew aż n ie można w a n a l i t y c z n e j p o s t a c i p rz e d s ta w ić pow
ł o k i w ypukłej z b io r u V^. I s t n i e j e je d n a k w ie l e i n te r e s u ją c y c h przypadków, w k tó ry c h z a d a n ie to można ro z w ią z a ć i r o z w ią z a n ie podać w a n a l i t y c z n e j p o s ta c i . Do jed n eg o z n ic h n a l e ż y p rz y p a d e k , gdy f u n k c je f ^ s p e ł n i a j ą (10) .
Z le m a tu 2 w ynika, że d l a każdego v ke ecY^ i s t n i e j ą j e F^
nieujem ne i t a k i e , że + £ 3 s p Aij = ^ v ° + Ą e F V3 .
k . k
K o rz y s ta ją c z tego f a k t u i o z n a c z a ją c p r z e z = ■(eCi ,e£i + 1 , . . . , /JjJ z b i ó r p rz e d z ia łó w , w k tó r y c h może być wykonywane z a d a n ie i - t e , i £ J , o ra z k ł a -
Ir Jr
ćąc A .j = A ;j Ajj z a d a n ie ( 1 2 ), ( 1 3 ) , (14) można p r z e d s ta w ić w p o s t a c i
mii %i =1 £ k € Ł ( A i £ s=k ^ ( s ) > + £ k=1 A o % s=k W/m"(3)
{ ¿ i ) ^
przy o g r a n ic z e n ia c h
( i ) 2 k i «■ J . <16)
( i i ) O, k e Ojl, i e J , >y O, k t J . (1 ?)
Rozwiązaniem pow yższego z a d a n ia p rogram ow ania lin io w e g o j e s t A “ = O d la k =.d.y, A ]* = S j / f ^ l ) d l a k = /3j_, i £ J , p o n a d to ,
= O d l a k £ J . M inim alna w a r to ś ć f u n k c j i c e lu d l a problem u ^ (S -) ma zatem p o s ta ć
Q(A) = Z ^ s = k w^ ( s ) = 2< k=1 p lT(k) Z s = k w1T(s)>
gd zie Pir^k) = s1T (k :)/% (k )^'1^ >ie s t czaseal wykonywania z a d a n ia 5T(k). Z po
wyższych rozw ażań w yn ik a, że j e ż e l i w s z y s tk ie z a d a n ia s p e ł n i a j ą w arunek ( 10) , to d l a u s t a l o n e j k o l e j n o ś c i k o ń c z e n ia zad ań 'K optym alne ste ro w a n ie p o le g a n a wykonywaniu z a d a ń szeregow o bez p rz e rw a ń w k o l e j n o ś c i zgod
n e j z 7T z maksymalną in te n s y w n o ś c ią . T eraz n a le ż y z n a le ź ć p e rm u ta c ję s p e ł n i a j ą c ą < , d l a k t ó r e j (1 8 ) p rz y jm u je w a r to ś ć m in im aln ą. J e s t to k l a syczne z a d a n ie s z e re g o w a n ia n a je d n e j m aszynie z o g ra n ic z e n ia m i k o le jn o ś - ciowymi zap isy w an e sy m b o licz n ie ja k o n l 1 l-< I W p ra c y [5] pokaza
no, że z a g a d n ie n ie to j e s t N F -zu p e łn e , c h o c ia ż d l a s z c z e g ó ln e j p o s t a c i o g ra n ic z e ń k o le jn o ś c io w y c h , np. o g ra n ic z e ń ty p u drzew a, o g r a n ic z e ń s z e r e - gow o-rów noległych, i s t n i e j ą alg o ry tm y o w ielo m ian o w ej z ło ż o n o ś c i o b lic z e niow ej [ 2] , [1 1 ] . W p rz y p a d k u , gdy -< = 0 minimum (18) o s ią g a n e j e s t d la p e r m u ta c ji % , d l a k t ó r e j z a c h o d z i p e^ -n /w ę-ęi) ^ . . . ^ P f ( n )/ws-(n ) > P 2] . Wynika s t ą d s z c z e g ó ln a p o s ta ć ro z w ią z a n ia rozw ażanego z a g a d n ie n ia 1.
W łasność 1
J e ż e l i f u n k c je f ^ s p e ł n i a j ą w arunek (1 0 ) o ra z - < = 0 , to ste ro w a n ie u * ( t) , T*, o k r e ś lo n e n a s tę p u ją c o
200 E .N o w ic k i, S. Z drzałka
————- «
* , ( t ) =
u G T ( k )
1 » t £ ^ k - 1 > fck 3 , k K - I, .- O, w przeciw nym przy p ad k u
g d z ie t* = P g ( j ) . ?*= t * , (T- p e rm u ta c ja s p e ł n i a j ą c a P$(-1) / W(T(1 )^
• •• ■£ P ^ ( n ) /,w<i ( n ) J ^ e s t sterowaniel11 optymalnym.
Ą. O in im a liz a c .ia cz asu z a k o ń c z e n ia wykonywania p rz y zadanych c z a s a c h go
to w o śc i
Rozpatrzym y t e r a z z a g a d n ie n ie 2 p r z y z a ło ż e n iu d ^ = O, i € J . Załóżmy, że z a d a n ia ponumerowane są wg k o l e j n o ś c i ic h p o ja w ia n ia s i ę , tz n .
r ^ ^ T g ^ . . . i r n - P odobnie j a k p o p rz e d n io u sta la m y n a j p ie r w p e rm u ta c je 3T s p e ł n i a j ą c ą -< i o k r e ś l a j ą c ą k o le jn o ś ć wykonywania p o sz c z e g ó ln y c h zadań
( 1 1 ). P o nadto w każdym z p r z e d z ia łó w [ r ^ , r 2 ) , . . . , [ r ^ , r n ) , j r n , o °) umiej
scawiamy p o sz c z e g ó ln e te rm in y w ykonania z a d a ń w te n s p o s ó b , żeby s p e łn io ny był w arunek (1 1 ) o ra z r ^ - ^ ^ N ale ży zauw ażyć, ż e p o d o b n ie jak w przy p ad k u k o l e j n o ś c i % , j e s t w ie le ró ż n y c h m o ż liw o śc i d o k o n a n ia ta k ie j
a l o k a c j i term inów w ykonania za d ań . Oznaczmy d a l e j p r z e z Rk z b i ó r ty c h za
dań, k tó r e kończą s i ę w p r z e d z i a l e [r k >r k+1)> k = 1 > * v » n , r n + i = • Ka
my zatem ^ 4 Hm. ) ś . ) ^ • • • H t f . ) < r k+1 ' g d z ie { ^ (« k ) . ^ ( ^ j^+1 ), •••
x£+ i £
'(.<łk )} = Oznaczmy d a l e j p r z e z 3 = 1 l k+ 1 ’ 1k " *Rkl z b i ó r ty c h za d ań , k tó r e mogą być wykonywane ró w n o le g le odpow iednio w prze
d z ia ła c h [ r k , t '|r(orjc) ^ ' , " * C t 'i'(pk - i ) , t ir(/5k:) ^ ’ Ct 'i'0s l£)* r k+i-)’ J e ż e l i 1k = °>
to Fk ,, o k r e ś lo n e j e s t w o p a r c iu o p r z e d z i a ł [ r k , r k+1) . Zauważmy d a l e j , że w zaproponowanym r o z b i c i u o s i czaso w ej u s ta lo n e s ą ty lk o p u n k ty r ^ . T eraz możemy ju ż s k o r z y s t a ć z le m atu 1 i sform ułow ać pro b lem o p ty m a liz a
c j i d l a u s ta lo n y c h /JT o ra z Rk , k = 1 , . . . , n . P ro b lem t e n oznaczymy przez '?Cir,Rk ) . Oznaczamy Ak>1 = Ak | 2=^(cCk+ 1)_ V (c tk ) >/ • ,Ak , l k =
= fc»(/3k ) - ^ k- 1 ) - 4k , l k+1 =r k +1- t 'r(/5k) Pr ^ An , l n+1 = > W P r ^ p a d k u , gdy
^ k = A k , 1 = r k+1 “ r k*
Otrzymujemy n a s tę p u ją c y p ro b lem o p ty m a liz a c y jn y min
p rz y o g r a n ic z e n ia c h
r i n - 1 y | 1 k+’1 A k , j V "^n . . k , j _ 2 k=1 ^ j =1 k , j i + ^*-3=1 An , 'j v i _ s i ’ (i)
( i i ) c o t M , Ak , j ^ °> 3 = ' ' , - . - . V 1 > k =1 » ~ . * . a - 1 . 3=1 u k , j Ti — 3=1 j
i f • • • t ^ ^ , • • • , I u j k=n
^ l k +1
( i i i ) • ? . j =i A k , j = r k+1- r k ’ k =1 »- •♦«r‘- 1 '
g d z ie z b i ó r ^ » j z d e fin io w a n y j e s t ta k samo j a k Y ^ w p o p rze d n im r o z d z ia l e , z tym, ż e w o p a r c iu o z b i o r y ? k R o zw iązan ie p rz e d s ta w io n e g o zagad-
Szeregowanie za d ań n a m a szy n ie. 201
a ie n ia otrzym amy r o z w ią z u ją c każdy p ro b lem (/’•>C/r,Rk ) ( t z n . d l a w s z y s tk ic h p erm u tacji TT s p e łn ia ją c y c h ■<_, a p r z y u s t a l o n e j TT d l a w s z y s tk ic h m o ż li
wych zestaw ów k = 1 , . . . , n ) . O c z y w iśc ie , n i e j e s t to m etoda e fe k ty w n a.
Okazuje s i ę je d n a k , ż e w p rz y p a d k u , gdy f u n k c je f Ł s p e ł n i a j ą w arunek (1 0 ) wtedy w y k o rz y s tu ją c le m a t 2, z a g a d n ie n ie t o można sp ro w a d z ić , w podobny sposób ja k to zro b io n o w p o p rze d n im r o z d z i a l e , do k la sy c z n e g o z a g a d n ie n ia szeregow ania n a je d n e j m aszy n ie z p rz e rw a n ia m i o ra z o g ra n ic z e n ia m i k o l e j - nościowymi, w któ ry m c z a s y wykonywania z a d a ń dane s ą ja k o p i = s ^ / f ^ l ) . Zagadnienie t o o z n a cz an e j e s t w l i t e r a t u r z e symbolem n |1 l r ^ ^ O, p r z e r . ,
< I Cmax. D la je g o r o z w ią z a n ia można za sto so w a ć a lg o ry tm o z ło ż o n o ś c i ob
lic ze n io w ej 0 (n 2 ) sform ułow any d l a o g ó ln ie js z e g o z a g a d n ie n ia n 11 I r ^ ^ O, p rzer. ,•< I f max w p r a c y [ 1 ] , A lgorytm te n p r z e b ie g a w n a s tę p u j ą c y sp o só b . Najpierw, n a l e ż y zm odyfikować r ^ w te n sp o só b , żeby r k r^ + p^ j e ż e l i j ■< k. N a s tę p n ie sz e re g u je m y z a d a n ie zg o d n ie z n ie m a łe ją c y m i r ^ . U porząd
kowanie t a k i e tw o rzy pewną i l o ś ć b lo k ó w ,tz n . zestaw ów zad ań wykonywanych kolejno b ez p r z e s to jó w . W b lo k u o k re śla m y z a d a n ie k - t e , k t ó r e n i e ma w nim n a s tę p n ik ó w , i k t ó r e p o s ta w io n e n a o s t a t n i e j p o z y c j i b lo k u d a je m in i
malną w a r to ś ć f u n k c j i c e l u . J e ż e l i z a d a n ie k - t e n i e j e s t o s ta tn im z a d a
niem w b lo k u , to wyciągamy j e z b lo k u , prze sze re g o w u jem y p o z o s ta ł e z a d a
nie z b lo k u wg n ie m a łe ją c y c h r ^ i w otrzy m an e p r z e d z ia ły czasow e, w k t ó rych m aszyna ma p r z e s t o j e um ieszczam y z a d a n ie k - t e . P o w ta r z a ją c tę p r o c e durę d la każdego b lo k u i d l a każdego z podbloków otrzym anych w skutek ko
lejnych p rz e sz e re g o w a ń uzyskujem y u sz ereg o w an ie op ty m aln e, z k tó re g o mo
żemy p o n ad to w yznaczyć s te ro w a n ie optym alne uK( t ) , O ^ t i T*.
W p rz y p a d k u , gdy z b i ó r •< j e s t p u s t y , w ted y z g o d n ie z ro zw ią zan iem p r o blemu n | 1 t r i ^ 0 |Cmax [ J ] , k t ó r y w tedy j e s t równoważny problem ow i
n h l r ^ O , p r z e r . I Cma3; otrzym ujem y n a s tę p u j ą c e ro z w ią z a n ie op ty m aln e.
Własność 2
J e ż e l i f u n k c je f ^ s p e ł n i a j ą w arunek ( 1 0 ) , -< = 0 , d^ = O, i = 1 , . . . , n , to sterow anie uK( t ) , O ^ t i I * o k r e ś lo n e n a s tę p u j ą c o :
U* ( k ) ( t ) = { o!
1 , t 6 ( t k , t fc + p<r(k ) ] w przeciw nym p rzypadku
gdzie t,, _ r ę ^ , t k = max { r ^ k j , t fc_ n + , k = 2 , . . . , n , T =tn +P u (k ) G" - dowolna p e r m u ta c ja s p e ł n i a j ą c a r ^ - ^ ^ . . . ^ r <r(k), j e s t stero w an iem optymalnym w z a g a d n ie n iu 2.
W łasność 2 mówi, że s te ro w a n ie optym alne p o le g a na wykonywaniu zadań szeregowo z maksymalną in te n s y w n o ś c ią wg k o l e j n o ś c i w yznaczonej p rz e z niem alejące r ^ .
Podobny w n io se k można otrzy m ać d l a z a g a d n ie n ia 2, w którym r ^ = c o n s t oraz d^ ^ O. W tym p rz y p a d k u , j e ż e l i < = 0 o r a z f ^ s p e ł n i a j ą ( 10) zagad
nienie sp ro w ad za s i ę do problem u n |1 l a optym alne s te ro w a n ie p o le g a na wykonywaniu z a d a ń sz ereg o w o , z maksymalną in te n s y w n o ś c ią w k o l e j n o ś c i
202 E. N ow icki. S. Z drzałka
o k r e ś lo n e j p r z e z n ie m a le ją c e d ^ .
W p rzy p ad k u r ^ O , O s p e ł n i e n i e w arunku (1 0 ) p ro w a d z i do problemu n l U r ^ O , p r z e r . , < I Lmax. k tó r y można ro z w ią z a ć w y k o rz y s tu ją c podany p o p rz e d n io a lg o ry tm z p ra c y C U .
5. Uwagi końcowe
Sform ułowane z a g a d n ie n ia sz e re g o w a n ia n zadań ń!a m aszynie o p rze p u s
to w o śc i n ze ste ro w a ln y m i c z asam i wykonyw ania zad ań c h a r a k t e r y z u j ą s ię w swych ogólnych p o s ta c i a c h dużą z ło ż o n o ś c ią o b lic z e n io w ą i a u to rz y nie p o t r a f i l i z n a le ź ć d la n ic h efektyw nych metod o b lic z e n io w y c h . Wskazano ty lk o ogó ln ą m etodę p o d e j ś c i a do ic h ro zw ią z y w a n ia p o le g a ją c ą na sformu
łow an iu odpow iednich za d ań będących p o łą c z e n ie m za d ań program ow ania n ie lin io w e g o z z a d an iam i k o m b in ato ry cźn y m i. O kazało s i ę je d n a k , że w p rz y padku s p e ł n i e n i a pewnych z a ło ż e ń o d n o śn ie f u n k c j i f ^ (w arunek ( 10) ) za
g a d n ie n ia t e sp ro w a d z a ją s i ę do odpow iednich z a g a d n ie ń s z e re g o w a n ia za
dań n a je d n e j m aszynie o p rz e p u s to w o ś c i 1 z p rz e rw a n ia m i lu b bez przerwań i o g r a n ic z e n ia m i k o le jn o śc io w y m i, d l a k tó r y c h i s t n i e j ą w l i t e r a t u r z e e- fek ty w n e , o w ielom ianow ej z ło ż o n o ś c i o b lic z e n io w e j , a lg o ry tm y .
LITERATURA
5.1] B aker U .S ., L ow ler E .L . , L e n s t r a J.K . , Hinnooy Kan A .K .G ., Preemptive s c h e d u lin g o f a s im p le machine to m inim ize maximum c o s t s u b j e c t to r e l e a s e d a t e s and p re c e d e n c e c o n s t r a i n t s , E co n o m etric I n s t i t u t e , Erasmus U n i v e r s i t y , R o tterd am R e p o rt 8 0 2 8 /0 , 1980.
[2] Horn Vi.A., S in g le -m a c h in e jo b s e q u e n c in g w ith t r e e l i k e p re c e d e n c e o r d e r in g and l i n e a r d e la y p e n a l t i e s , SIAM- J . A ppl. M ath. , 23 (1 9 /2 ), 189
-
2 0 2.
[3] Ja c k so n J . R . , S c h e d u lin g a p r o d u c ti o n l i n e to m inim ize maximum t a r d i n e s s , R esea rch R e p o rt 43, Management S c ie n c e R e se a rc h P r o je c t , U n iv e r s it y o f C a l i f o r n i a , Los A n g e le s, 1955.
[4] L aw ler E .L . , S eq u en c in g jo b s to m inim ize t o t a l w e ig h te d co m p letio n tim e s u b j e c t to p re c e d e n c e c o n s t r a i n t s , Ann. D is c r e te Math. 2 (197S)i 7 5 -9 0 .
[5 ] L e n s t r a J .K . ,• S eq u en cin g by e n u m e ra tiv e m e th o d s, N o rth -H o lla n d , American E l s e v i e r , Amsterdam. 1978.
[ 6] Nash P . , G it t i n s J . C . , A H a m ilto n ia n ap p ro a ch to s t o c h a s t i c reso u rce a l l o c a t i o n , Adv. Appl. P ro b . 9 (1 9 7 7 ), 5 5 -6 8 .
[7 ] Nash p . , C o n tr o lle d jump D ro c e ss m odels f o r s t o c h a s t i c s c h e d u lin g , I n t . J . C o n tro l, 29 (1 9 7 9 ), 1011-1025.
[ 8] N ow icki E . , Z d rz a łk a S ., O ptim al C o n tro l o f a Complex o f Independent O p e r a tio n s , I n t . J . System s S c i. 12 (1 9 8 1 ), 77-93*
[9 ] N ow icki E . , Z d rz a łk a S ., O ptim al c o n t r o l p o l i c i e s f o r r e s o u r c e a l
l o c a t i o n in an a c t i v i t y n e tw o rk , E u ro p ean J . O per. R es. 16, No 2 (1 9 8 4 ).
[10] N ow icki E . , Z d rz a łk a S . , S c h e d u lin g jo b s w ith c o n t r o l l a b l e processing tim es as an o p tim a l c o n t r o l p ro b le m , I n t . J . C o n tr o l, w d ru k u .
■Szeregowanie za d ań n a m a s z y n ie .. 203
[11] S id n ey J . B . , D eco m p o sitio n a lg o r ith m s f o r s in g le - m a c h in e se q u e n c in g w ith p re c e d e n c e r e l a t i o n s and d e f e r r a l c o s t s , O per. R e s., 23 0 9 7 5 ) , 283-299.
[12] Sm ith W .E ., V a rio u s o p tim iz e r s f o r s i n g l e - s t a g e p r o d u c ti o n , N aval Res L o g i s t . Q u a rt. 3 (1 9 5 6 ), 5 9 -6 6 .
[13] V ickson R .G ., C hoosing th e jo b seq u en c e and p r o c e s s in g tim e s to m inim ize t o t a l p r o c e s s in g p lu s flo w c o s t on a s i n g l e m achine, O per.
R e s ., 28 (1 9 8 0 ), 1155-1167.
[14] V ickson R .G ., Two s i n g l e m achine se q u e n c in g p ro b lem s in v o lv in g con
t r o l l a b l e job p r o c e s s in g tim e s , AIXE T r a n s a c tio n s , 12 (1 9 8 0 ), 258- -2 6 2 .
[15] W ęglarz J . , P r o j e c t S c h e d u lin g w ith D is c r e te and C o n tin u o u s R e s o u rc e s , IEEE T ra n s . System s M an., C y b e r n e tic s , SMC-9 (1 9 7 9 ), 6 4 4-650.
R e c e n z e n t: D oc.d r h a b .in ż .K o n r a d Wala W płynęło do R e d a k c ji do 3 0 .0 3 .1 9 B 4 r .
PACDMCAHHE 3AJIAH HA MAEMHE IIFH H3MEHHKHHMCH BPEMEHH HCHOJIHEHZH 3ŁHAH
P e 3 b m e
C$opMyjiHpoBaH m i a c c 3 a n a v p a c m s c a r a w n . 3aaaHKR Ha Mannrne c nponycK H oR cnocodHocTŁK) r i » c oRHOBpeneHHHM p a c n p e n e jie im e M B occT an aB Jm B aeM ux p e c y p - ooB. C K opocTB BHno^HeEHR 3anajm fi. R B J w eT ca HenpepHBHoR m o h o to h h o R $yH K oaeR K O JEqecTsa p e c y p c o B . H e o d x o jn a s o h e R t h p a c n p e R e j ie m ie p e c y p c o B Me&ny 3 a ia H H - KHH a T3KKB paCHECaHHe 3aRaHHfi , MHHHMH3HpyDmee OflHH H3 c n e ic y s x i^ x K pHTepH- eB: c p e a n e e B 3 sem eH H o e BpeM a npeOHBaiiiLa 3a£aH nR b c u c T e M e , M aK cnwajiBuoe BpeMa n pedusaH K H a MaKCHwajnBHyio H ecpoaH O C T B . B C T E T ie n p en cT aB JieH oOmaR M eTi^pem eH aa 3 t h x s a a a a .I I o ic a s a H o T a a s e , h t o j y ia H e a o T o p o r o m i a c c a 3 a u a a Taaaa n p o d a e M a c b o o t t c h k m ia c c a a e c K B M n p od jieiiaM p a c n a c a r a iH 3 a a a a Ha o r- hoR ManHHe • , r j i k k o t o p e x cym ecT B yioT nojaH ow aajiL H H e ajrropaTMH , a n a - i e b ojiyaae H P - T p y fla u x n p od jieM , x o p o ra a e a B p a c T a a e c K a e a x r o p n T J a i.
SCHEDULING JOBS WITH VARYING PROCESSING TIMES S u m m a r y
A p roblem o f s c h e d u li n g n j o b s on a m achine w ith c a p a c ity n u nder re s o u rc e c o n s t r a i n t s i s f o r m u l a te d . A jo b p r o c e s s in g i n t e n s i t y i s a mo
no to n e, c o n tin u o u s f u n c t i o n o f an in s t a n ta n e o u s r e s o u r c e u s a g e . The p ro blem i s to f i n d r e s o u r c e a l l o c a t i o n and jo b s c h e d u le m in im iz in g one o f
the f o llo w in g c o s t f u n c t i o n s : a v e ra g e flo w tim e , m akespan u n d er g iv e n r e le a s e d a t e s , and maximum l a t e n e s s u n d er z e ro o r n o n z e ro r e l e a s e d a t e s .
