Deterministyczne problemy szeregowania zadań w dwustanowiskowym przepływowym systemie obsługi

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: AUTOMATYKA z.100

______ 1990

N r k o l . 1 0 8 2

Joanna Józefowska Politechnika Poznańska

DETERMINISTYCZNE PROBLEMY SZEREGOWANIA ZADAŃ W DWUSTANOWISKOWYM PRZEPŁYWOWYM SYSTEMIE OBSŁUGI

Streszczenie. Praca dotyczy złożoności obliczeniowej deter­

ministycznych problemów szeregowania zadań w dwustanowiskowym prze­

pływowym systemie obsługi. Na tle przeglądu dotychczasowych wyników przedstawiono nowe rezultaty w zakresie oceny złożoności obliczenio­

wej niektórych otwartych dotąd problemów szeregowania. W szczegól­

ności wykazano, że złożoność obliczeniowa problemów F2|prec.p . -11 Cw«

oraz F2|prec^p - 1 |F wynosi 0(n ). natomiast złożoność problemu F2|reslll,p^= 1 |F J wynosi 0(n).

1. Wstęp

Inspiracją ao przeprowadzenia badań złożoności obliczeniowej, omawianej klasy problemów szeregowania zadań była analiza systemu bieżącego stero­

wania przebiegiem produkcji w zautomatyzowanej, dwustanowiskowej linii pro­

dukcyjnej. W konsekwencji skoncentrowano się na problemach determini­

stycznych dla dwustanowiskowego przepływowego systemu obsługi. Ogranicze­

nie rozważań do struktury dwustanowiskowego systemu przepływowego wydaje sie w tym kontekście naturalne, natomiast wybór modelu deterministycznego wymaga krótkiego uzasadnienia. Otóż w bieżącym sterowaniu przebiegiem produkcji w rozważanym systemie obróbczym wyróżniono dwie fazy:

- fazę budowy wzorca przebiegu produkcji, obejmującą ustalenie kolejności wykonywania zadań na obu stanowiskach oraz rozdział ograniczonych zasobów,

- faze regulacji, czyli reagowania na odchylenia rzeczywistego przebiegu produkcji od aktualnego wzorca i/lub budowy nowego wzorca.

Faza budowy wzorca^zyli ustalenia uszeregowania zadań, realizowana jest z niewielkim wyprzedzeniem w stosunku do momentu rozpoczęcia wykonywania zadań objętych tym wzorcem. Regulację pracy systemu realizuje się w czasie rzeczywistym (poza przebudową wzorca). Wzorzec tworzy się zatem dla krót­

kich okresów czasu, co istotnie zmniejsza niepewność związaną ze stanem systemu (awarie maszyn, brak materiału lub narzędzia itp.). Równocześnie dane dotyczące momentów pojawiania sie zadań w systemie oraz czasów wykonywania na poszczególnych stanowiskach są znane (wynikają z doku­

mentacji technologicznej i produkcyjnej). Takie rozwiązanie występuje w wielu systemach produkcyjnych w przemyśle maszynowym na różnych poziomach automatyzacji wytwarzania. 2 punktu widzenia problemów szeregowania zadań można zatem system produkcyjny traktować jako deterministyczny.

m J . J ó z e f o w s k a

2. Zadania niezależne

W dalszej części pracy dla oznaczenia problemów szeregowania zadań posłużono sie notacja Y . podaną m.in. w J1J.

Rozważa sie system obsługi złożony z dwóch różnych stanowisk M i M2 oraz zbiór zadań J"-<T . T 1 2 T 1. Każde zadanie T e r składa sie z dwóchn J operacji 0 i i 0^ o czasach wykonywania odpowiednio p,*'. p^. przy czym operacia 0 jest wvkonvwana na stanowisku M .a operacja 0_ na

Jl * 1 JZ

stanowisku M2 . Ponadto operacja 0 t zadania musi być zakończona przed rozpoczęciem operacji O• zadania .

Spośród kryteriów optymalizacji uszeregowania wybrano trzy: długość uszeregowania (C }. średni czas przebywania zadania w systemie (F) oraz

mco<

maksymalne opóźnienie <LmQx) . jako najczęściej stosowane dla oceny wzorca sterowania w systemach produkcyjnych.

Ponadto można wprowadzić ograniczenie polegające na tym. że zadanie 7 jest dostępne w systemie dopiero w chwili r . czyli operacja 0^ nie może być uszeregowana wcześniej niż w chwili r .

W poniższych zestawieniach pominięto problemy szeregowania zadań po- dzielnych, jako że w systemach obróbczych przerwanie wykonywania operacji w dowolnej chwili jest jak dotąd na ogół niemożliwe.

V tabeli 1 zestawiono wyniki dotyczące złożoności obliczeniowej problemów szeregowania zadań niezależnych w dwustanowiskowym przepływowym sys emie obsługi.

Tabelą 1.

Złożoność obliczeniowa problemów szeregowania zadań niezależnych w dwustanowiskowym przepływowym systemie obsługi.

Lp. Momenty gotowości

Czasy

wykonywania Kryterium Złożoność

obi i czeniowa iiteratura

1 c

max Ołnlogn) [3]

2 r .-

) ^cmax s i 1ni e NP-trudny 17]

3 F silnie NP-trudny (71

4 Lmax silnie NP-trudny 111]

5 żjr

Pj “ 1 •F Ojn3 ) 110]

ó ir

.

.

i _j max

Jak widać z powyższego zestawienia, algorytm dokładny przy dowolnych czasach wykonywania zadań istnieje tylko dla kryterium • Jest to algorytm Johnsona.

Deterministyczne problemy szeregowania. S1

Przy założeniu jednostkowych czasów wykonywania (tj. Vj p^.

zarówno dla kryterium średniego czasu przebywania zadań w systemie , jak i maksymalnego opóźnienia istnieją algorytmy dokładne o złożoności wielomianowej nawet przy dowolnych momentach gotowości zadań r..

3. Zadania zależne

Naturalnymi ograniczeniami przy tworzeniu wzorca - sterowania pzebiegiem produkcji są ograniczenia nałożone na kolejnośó wykonywania zadań i operacji, wynikające z planu procesu technologicznego. Stwierdzenie, że zadanie T poprzedza zadanie T. (T^T), oznacza, że ostatnia operacja za­

dania T. musi być zakończona(zanim rozpocznie się pierwsza operacja zadania T . W naszym systemie kolejność operacji w ramach jednego zadania jest sta­

ła i wynika ze struktury przepływowego systemu obsługi, zgodnie z opi3em przedstawionym w rozdziale drugim.

Ograniczenia kolejnościowe przedstawia się najczęściej w postaci grafu skierowanego i acyklicznego (dag). Zależnie od typu grafu wyróżnimy trzy typy ograniczeń kolejnościowych: łańcuch, drzewo i dowolne ograniczenia kolejnościowe.

Zestawienie wyników dotyczących złożoności obliczeniowej problemów szeregowania zadań w dwustanowiskowym przepływowym systemie obsługi przy ograniczeniach kolejnościowych zawarto w tabeli 2.

Tabela 2..

Złożoność obliczeniowa problemów szeregowania zadań zależnych w dwustanowiskowym przepływowym systemie obsługi.- Lp. Typ ogra­

niczeń

Czasy obsługi

Momenty

aotowości Kryterium Złożoność obi iczeniowa

Lite­

ratura

ł ł ań cuch Cmax silnie NP-trudny 111]

2 drzewo Pj-1 cmax 0(n) 110]

3 drzewo Pj-1 F 0(n) (10)

4 dowolne

P;-‘

3 dowolne Pj-i F 0(n2 ) [9]

6. drzewo P ;-i r

j C

max ?

V drzewo Pj-

1

8 dowo1ne P ;-ł r

} L

max ?

Oak widać. wprowadzenie ograniczeń kolejnościowych, nawet typu łańcuch, powoduje, że problem szeregowania zadań o dowolnych czasach wykonywania w celu minimalizacji staje się silnie NP-trudny. Dla jednostkowych cza­

sów wykonywania istnieją natomiast algorytmy dokładne o złożoności 0(n2).

nawet przy dowolnych ograniczeniach kole jnościowych. zarówno dla jak

m J . J ó ze fo w s k a

2. Zadania niezależne

W dalszej części pracy dla oznaczenia problemów szeregowania zadań posłużono sie notacja a \ft\Y• podaną m.in. w [1].

Rozważa sie system obsiugi złożony z dwóch różnych stanowisk M i M2 oraz zbiór zadań j'-lTj.Tz T^l. Każde zadanie Ted" składa sie z dwóch operacji 0 i 0 o czasach wykonywania odpowiednio p .p . przy czym operacja 0 jest wvkonvwana na stanowisku M . a operacja 0, na

Jl *> ' ' i JZ

stanowisku M2 . Ponadto operacja 0 j zadania musi być zakończona przed rozpoczęciem operacji 0.z zadania .

Spośród kryteriów optymalizacji uszeregowania wybrano trzy: długość uszereaowania {C mox). średni czas przebywania zadania w systemie (F) oraz maksymalne opóźnienie <!•„ )• jako najczęściej stosowane dla oceny wzorca sterowania w systemach produkcyjnych.

Ponadto można wprowadzić ograniczenie polegające na tym. że zadanie 7^

jest dostępne w systemie dopiero w chwili r . czyli operacja 0^ nie może być uszeregowana wcześniej niż w chwili r .

W poniższych zestawieniach pominięto problemy szeregowania zadań po- dzielnych, jako że w systemach obróbczych przerwanie wykonywania operacji w dowolnej chwili jest jak dotąd na ogół niemożliwe.

V tabeli 1 zestawiono wyniki dotyczące złożoności obliczeniowej problemów szeregowania zadań niezależnych w dwustanowiskowym przepływowym sys amie obsługi.

Tabelą 1.

Złożoność obliczeniowa problemów szeregowania zadań niezależnych w dwustanowiskowym przepływowym systemie obsługi.

Lp. Momenty gotowości

Czasy

wykonywania Kryterium Złożoność

obiiczeniowa Literatura

1 C

m o x O(nlogn) 13)

2 r

i ^{cm a x} silnie NP-trudny 17]

3 F silnie NP-trudny (71

4 -• '• • _{^ m f l x} silnie NP-trudny H U

5 — r Pj-i ■F 6v(n3 ) 110!

6 p.-i L ~0(na) 110)

J i ^{m a x}

Jak widać z powyższego zestawienia, algorytm dokładny przy dowolnych czasach wykonywania zadań istnieje tylko dla kryterium cmax- Jest to algorytm Johnsona.

Deterministyczne problemy szeregowania. S1

Przy założeniu jednostkowych czasów wykonywania (tj. Vj

zarówno ala kryterium średniego czasu przebywania zadań w systemie , jak i maksymalnego opóźnienia istnieją algorytmy dokładne o złożoności wielomianowej nawet przy dowolnych momentach gotowości zadań r^.

3. Zadania zależne

Naturalnymi ograniczeniami przy tworzeniu wzorca - sterowania pzebiegiem produkcji są ograniczenia nałożone na kolejność wykonywania zadań i operacji, wynikające z planu procesu technologicznego. Stwierdzenie, że zadanie T. poprzedza zadanie T (T^T), oznacza, że ostatnia operacja za­

dania T. musi być zakończona(zanim rozpocznie sio pierwsza operacja zadania T . W naszym systemie kolejność operacji w ramach jednego zadania jest sta­

ła i wynika ze struktury przepływowego systemu obsługi, zgodnie z opisem przedstawionym w rozdziale drugim.

Ograniczenia kolejnościowe przedstawia sią najczęściej w postaci grafu skierowanego i acyklicznego (dag). Zależnie od typu grafu wyróżnimy trzy typy ograniczeń kolejnościowych: łańcuch, drzewo i dowolne ograniczenia kolejnościowe.

Zestawienie wyników dotyczących złożoności obliczeniowej problemów szeregowania zadań w dwustanowiskowym przepływowym systemie obsługi przy ograniczeniach kolejnościowych zawarto w tabeli 2.

Xabeia 2._

Złożoność obliczeniowa problemów szeregowania zadań zależnych w dwustanowiskowym przepływowym systemie obsługi Lp. Typ ogra­

niczeń

Czasy obsł ucri

Momenty

aotowoá ci Kryterium Złożoność obiiczeniowa

Lite­

ratura

1 łań cuch Cmax silnie NP-trudny ¡11)

2 drzewo Pj-1 ^cnax 0(n) (101

3 drzewo Pj-1 F 0(n) (101

4 dowolne P ;-i Cmax 0(n2 ) (91

3 dowolne Pj-i F ' 0(n2 ) (91

6 . drzewo P ;-i r

j Cmax ?

V drzewo

p i_i r . F ?

8 dowolne P ;-ł r

j Lmax ?

Jak widać, wprowadzenie ograniczeń kolejnościowyęh, nawet typu łańcuch, powoduje, że problem szeregowania zadań o dowolnych czasach wykonywania w oelu minimalizacji C s t a j e sie silnie NP-trudny. Dla jednostkowych cza­

sów wykonywania istnieją natomiast algorytmy dokładne o złożoności 0(n').

nawet przy dowolnych ograniczeniach kole jnościowych. zarówno dla jak

82 J . J óz ef o w s k a

j F 19!. Oba kryteria minimałiząje algorytm szeregowania listowego (Al­

gorytm 1). dla którego lista tworzona jest zgodnie z regułą przydzielania etykiet zastosowaną przez Coffmana i Grahama przy. szeregowaniu zadań o jednostkowych czasach wykonywania i dowolnych ograniczeniach kolejnoś- ciowych na dwóch maszynach identycznych (P2 jprec. p.*T | C^. • 1 !4J. Dlą problemu P2 jprec.p^-ljC^ został znaleziony przez Gębowa i Tarjana (5,6) dokładny algorytm liniowy.. Nadal otwarte pozostają problemy określenia zło­

żoności obliczeniowej przy dowolnych czasach przybywania, zadań do systemu.

Można wykazać następujące twierdzenie 19]:

TWIERDZENIE 1

Niech c; oznacza czas zakończenia zadania w uszeregowaniu SA . otrzymanym zgodnie z algorytmem listowym opartym na etykietach Cofrmana-Grahama. Dla każdego uszeregowania dopuszczalnego S oraz dla każdego k - 1.2...n zachodzi nierówność: C* S C ,

W.dowodzie twierdzenia posłużymy sie następującym lematem, którego prosty dowód zostanie pominięty:

LEMAT 1

Załóżmy, źe etykiety zostały przydzielone wszystkim Zadaniom w zbiorze T zgodnie z regułą Cofrmana-Grahama. Oznaczmy przez T' zbiór.zadań, które nie mają następników w T. Istnieje przyporządkowanie etykiet w zbiorze T \ T ‘ zgodne z regułą etykietowania i takie. że kolejność zadań na liście pozostaje bez zmian.

Dowód Twierdzenia 1

*

Twierdzenie zostanie udowodnione nie wprost. Niech S (T) oznacza optymalne uszeregowanie zbioru T. Niech T będzie najmniejszym zbiorem, dla którego uszeregowanie SA (J"j zawiera zadanie T * . takie że

( U Eełiżmy ponadto, że Cj, S (można przyjąć takie założenie, gdyż C i - ) .

Należy rozważyć dwa przypadki: k<n oraz k-n.

(il Przypuśćmy, te k<n (rys.1.1

Ml H I *

*

Tr.

1

M2 1 _ k - 1 H I :

_ A

1 k | ^{t a}n Uszeregowanie S [T) Schedule SA CT)

Ml M2

! <

k Tr.

V . ^{T *} ' k T * Uszeregowali e

Schedule S (T) S t~l

Rye . 1. Uszeregowania S (Ih) i.S (J") (ktn) . Fig.l. Schedules SA (ir) and S (Ty (ktn).

Determini s ty cz ne p r o b le m y szeregowania. 83

Usuwajmy ze zbioru 3" wszystkie zadania bez następników tak długo, aż zostaną usunięte wszystkie następniki zadania t£ . Oznaczmy usunięty zbiór przez T' . Oczywiście 3" zawiera co najmniej 2 zadania (k<n). 2 Lematu 1 wy­

nika, że uszeregowanie SA (3"\3" ) można otrzymać szeregując przerwy w miejsce zadań-ze zbioru T' . Wszystkie zadania uszeregowane później niż t£ t w 3^(3") należą do z b i o r u 3" i zadanie poprzedza wszystkie zadania uszeregowane za nim. Z rysunku 1 wynika, że istnieje zadanie T e T \ T ‘ i zadanie P uszeregowane później niż t£ , takie że P nie poprzedza T i usuwając T ze zbioru T\T' można otrzymaó uszeregowanie o długości c£_ Z reguły przydzielania etykiet wynika natychmiast, że e(T) < e(T^ Dodajmy teraz do zbioru T \ T ' zadanie U takie, że U jest następnikiem tylko tych zadań, które mają etykiety wyższe niż e(T^ ). Przydzielmy zadaniu U etykietę e(U) ” 0. Przydzielmy teraz zadaniom bez następników oraz zadaniom, których jedynym następnikiem jest U,te same etykiety co poprzednio. Jest to zgodne z przyjętą reg.ułą, gdyż zadania hie poprzedzające U i tylko takie miały etykiety niższe niż e(T ) . Zauważmy, że przydzielając pozostałym zadaniom te same etykiety co poprzednio , również nie naruszamy przyjętej reguły etykietowania, gdyż ciągi następników tych zadań nie uległy zmianie.

Uszeregowanie SA1 (,7~\T'u(U>) zgodne z algorytmem i uszeregowanie S° {T\x 'u{U)) skonstruowane przy założeniu istnienia zadania T przedstawiono na rys. 2. Znaleziono zbiór 3'\3',u{U>, mniejszy niż T i uszeregowanie zgodne z algorytmem takie, że CA1 > C^. co jest sprzeczne z założeniem, że T jest najmniejszym zbiorem zawierającym zadanie spełniające nierówność (ł>

Mł M2

Uszeregowanie Sc (3"\3"‘u<U)) skonstruowane w oparciu o założenie istnibnia zadania T.

Schedule Sc {3"\3"u{U>) . constructed basing on the assumption of the existence -of task T.

t ak-1 T u

k - l T U

Ml M2

t ak-l u

"Ikk - i U

Uszeregowanie S (3'\3',u{U> 1 zgodne z algorytmem.

Schedule S 1 I T \ T 'u<Ul) obtained following the algorithm.

Rys.2. Uszeregowania zbioru T ^ ’uiU) Fig.2. Schedule of set 3'\3"'u(U).

84 O . Oózefowska

lii) Z a ł ó ż m y , ż e k « n (rys. 3).

Ml M2

Uszeregowanie SA (7") Schedule SA (r)

Ml M2

Uszeregowapie S (7") Schedule S {T) Rys.3. Uszeregowania SA (7") i AS 17") (k-n).

Fig.3. Schedules S (7~) i S (7") (k-n) .

Łatwo zauważyć. że zadanie ' nie ma następników w 7". Usuńmy zbiór 7”

wszystkich zadań bez następników z 7". Uszeregowanie zgodne z algorytmem można otrzymać przez zastąpienie zadań ze zbioru T' przerwami w Sa (7"j

(zgodnie z Lematem 1). Stad

C (Sa (7A7-')) - CA > C* >.C (S* i.T\T') )

m a x n- 1 n -2 - m a x

Zatem znaleźliśmy zbiór T\T' , mniejszy niż T i uszeregowanie SA (7'\7"-) A *

zgodne z algorytmem, takie że Ck > Ck , co jest sprzeczne z założeniem.

WNIOSEK 1

Uszeregowanie zgodne z algorytmem jest optymalne ze względu na C i F.

m a x

Dowód jest oczywisty.

Rysunek 4 przedstawia przykładowy graf ograniczeń kolejnościowych i uszeregowanie optymalne otrzymane dla tego grafu * zgodnie z omawianym algorytmem.

4. Szeregowanie zadań przy ograniczeniach zasobowych

Ograniczenia zasobowe są również naturalne w przypadku modelowania przemysłowych systemów produkcyjnych. Takie ograniczone zasoby stanowią specjalne uchwyty, narzędzia, palety-itp.

W teorii szeregowania zadań typ ograniczeń zasobowych definiowany jest jako trójka (k.o-.p). gdzie:

X - oznacza liczbę rodzajów dodatkowych zasobów

cr - oznacza ograniczenie liczby jednostek każdego zasobu, p — oznacza maksymalne żądanie zasobowe.

Każdy z parametrów może mieć wartość dowolną (oznaczaną -) lub ustaloną-k.

Deterministyczne p r o bl em y szeregowai.ia. 85

i / v

T /8

T /2

HI

M2

Ti T =

T2

•4 T 3 t p T a

U

Ti •T_{3 T 2} T

7 T

4 T S T

P T

<s

u

.. . .

1 i 3 4 b 6 7 8 9 10 11

Rys.4.a. Przykładowy graf ograniczeń kolejnościowych G.

Oznaczenia: T/k: T - zadanie i. k - etykieta zadania i.

b. Uszeregowanie optymalne dla grafu G.

Fig.4.a. Graph of precedence constraints G - an example.

Notation: T /k: T - task i. k - label of task i.

t V

b. Optimal schedule of graph G.

Rysunek 5 przedstawia zależność złożoności obliczeniowej problemów szeregowania zadań od typu ograniczeń zasobowych 111.

Zestawienie wyników dotyczących złożoności obliczeniowej problemów szeregowania zadań w dwustanowiskowyro przepływowym systemie obsługi przy ograniczeniach zasobowych przedstawia tabela 3.

W . przypadku ograniczeń zasobowych wielomianowe algoi-ytmy dokładne istnieją dla najprostszych ograniczeń (typu res 111) i jednostkowych czasów wykonywania. Wyjątek stanowi F2 |resl ■ • |CmQj<, gdzie algorytm o złożoności O(nlogn) znajduje uszeregowanie optymalne.

8 6 3. J ó ze fo w sk a

Rys.5. Zależność złożoności obliczeniowej problemów szeregowania zadań od typu ograniczeń zasobowych.

Fig.5. Dependence of the computational complexity of scheduling problems on the type of resource constraints.

Tabela 3 Złożoność obliczeniowa problemów szeregowania zadań

w dwustanowiskowym przepływowym systemie obsługi przy ograniczeniach zasobowych

Lp. Typ ogr.

zasobowych

Momenty gotow.

Czasy

wykon Kryterium Złożoność

obilczeniowa Literatura

1 res 111 p,-, C

m a x 0(n) [3)

2 res 1-• c

m a x O(nlogn) 113)

3 res 2 ■•

p r 1 ^{cm a x} silnie NP-trudny 114]

4 res 1-• r

) P r i c

m a x silnie NP-trudny [13]

5 res -11 Pj-i ^c_{m a x} silnie NP-trudny [11]

6 res 111 c

m a x silnie NP-trudny [3]

7 res 111

P r 1 F 0(n) Stw. 1

8 res 1- •

pi-1 F silnie NP-trudny [14]

9 res 111 p “1

i L

m a x 0(nlog2n) 12]

10 res 1• • Pj~i L

m a x silnie NP-trudny [12]

W 11) podano algorytm liniowy dla problemu F2 j resill, p-11 i równocześnie wskazano F2|resll1. p^-11F jako problem otwarty.

Uszeregowanie, jakie znajduje wspomniany algorytm,jest optymalne ró-wnież ze względu na średni czas przebywania zadania w systemie, co wykazano poniżej.

TWIERDZENIE 2

-Złożoność obliczeniowa problemu F2 |resłll. p,=“l ¡F wynosi 0(n) .

Petermi ni sty cz ne p r o bl em y s z e r e g o w a n i a . 67

Dowód

n

Minimalizacja F jest równoważna minimalizacji gdzie CF jest czasem zakończenia j-tego zadania. Załóżmy, że uszeregowanie wg algorytmu j* zawiera k przerw na stanowisku Mt. Wtedy pierwsza przerwa na M jest uszeregowana w chwili n-k+1. Stąd

r> n k

r C A = E (j + l) + s i

J - i J J-l X =i

Uszeregowanie wg algorytmu jest C -minimalne, więc zawiera minimalną

n

liczbę przerw spośród .wszystkich uszeregowań dopuszczalnych. Wartość dla dowolnego uszeregowania dopuszczalnego, zawierającego k przerw,wynosi

n n k

S C - Z (j+l) + Z n, J=t J 1=1 v=l 1

gdzie jest liczbą zadań uszeregowanych po i-tej przerwie na M . Łatwo zauważyć, że:

(n ) - k

1 m i n

(n ) . - K - l •

2 m v n \

(n. ) “ 1

k m m

n

Zatem minimalna wartość 2^0 ■ dla uszeregowania dopuszczalnego, zawierającego k przerw na M ,wynosi

n n n k n

Z C - Z (jtl) + (k + (k-l) + ... + 1 ) - r (j+l) +.£ i ■ ¿ c *

j- > j j = i i = i > . = i i = i j

n

Z powyższej równości wynika, że wartość 2^0^ jest minimalna, a zatem algorytm o złożoności 0(n) znajduje uszeregowanie optymalne ze względu na F dla dwustanowiskowegc przepływowego systemu obsługi o jednostkowych czasach wykonywania zadań i ograniczeniach zasobowych typu res 111.

5. Podsumowanie

W rzeczywistych systemach produkcyjnych ograniczenia kolejnościowe występują równocześnie z ograniczeniami zasobowymi. Problem F2|reslli,łańcuch.p.-l IC jest jednak NP-trudnv 111, a zatem NP-trudne są również problemy szeregowania zadań dla innych typów ograniczeń zasobowych - kol ejnościowych. Wobec faktu, że większość algorytmów dokładnych wymaga założenia jednostkowych czasów wykonywania zadań, co w praktyce zdarza się niezwykle rzaako. pozostaje poszukiwanie heurystycznych metod tworzenia wzorca sterowania dla rozważanego, systemu produkcyjnego.

Niezależnie, z teoretycznego punktu widzenia. interesująca jest ocena złożoności obliczeniowej, wymienionych w tabeii 2. otwartych problemów szeregowania zadań w dwustanowiskowym przepływowym systemie obsługi.

Ponadto przedmiotem, dalszych badań jest poszukiwanie liniowego algorytmu

s s ".J. J ć z e f o w s k a .

cl la problemu F2 | prec, fn-l [ analogicznego do. proponowanego przez , Gębowa i. Tar j ana [5,61 dla, prec. Pj” fi ?moJC-

LITERA7URA

,111 Błażewicz J . , Cel lary W. , Słowiński R . , Węglarz J.i Scheduling ; tinder resource constraints - deterministic models.“! Annals of Operations Research,. Vol.7 (1986)

121 Błażewicz, J ., Kubiak W . , Szwarcfiter J. ; "Scheduling unit-time jobs under resource constraints.". Annals of Op. -Res. 16 (1986). 255-266 (3) Błażewicz J.. Lenstra J.K.. Riunooy Ksn A.H.G.; ’'Scheduling subject to

resource constraints, classification and complexity.". Discrete Applied Mathematics 5, Ho.1,(1983). 11-24

.14] Coffman E.G.,Jr., Graham R. L.: "Optimal scheduling for two processor systems.“, Acta Informática 1(1972), 200-213

15) Gabow H.N.; ,."An almost linear algorithm for two-processor scheduling.", J. Assoc. Comp. Math. 29(1982).766-780

(6) Gabow H.N., Tarjan R.E.: “A linear-time algorithm for a special case oí disjoint set unions.". Proc. 15th Annual ACM. Symp, Tneory of

Computing, 1983. 246-254

[7] Garey M.R.. Johnson D.S.. Sethi R.; "The complexity of flow shop and job shop scheduling". Mathematics of Operations Research 1, No.2, 1976 16) Johnson S.M.; “Optimal two- and three-stage production schedules".

Naval -Research Logistic Quarterly ¿.No.1,1954

[91 Jdzefowska J " S c h e d u l i n g unit-length two-machine flow shop", w przyg.

[10,-Laoeweg B. - wynik niepublikowany

(U) Lenstra J.K.. Rinnooy Kan A.H.G., Brucker P.,; "Complexity of machine scheduling problems.", in. Discrete Math.. ¿( 1977) , 343-362

[12) Rock H . . - wynik niepublikowany

[131 Rdck H.j "Some new results in flowshop scheduling", Zeitschrift fur Op. Res. 28(1964), 1-1616

114) Rock H.: "Scheduling unit task shops with resource, constraints and excess usage costs. Report 83-21. Fachbereich Informatik, TU Berlin

Recenzent: Doc.dr h.in±.J.Klamka Vpł ynel o do Redakcji do 1090-04-30.

Deterministyczne p r o b l e m y s z e re go wa n ia . 8 i

D ET E R M IN IST IC P R O B L E M S O F SC H ED U L IN G T A S K S IN A T W O -M A CH IN E F L O W -S H O P

S u m m a r y

A s u r v e y o f c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t y of d e t e r m i n i s t i c p r o b l e m s of s c h e d u l i n g t a s k s in a t w o - m a c h i n e f l o w - s h o p is p r e s e n t e d . T h e s u r v e y is s u p p l e m e n t e d ' w i t h n e w r e s u l t s . N a m e l y ^ t h e p o l y n o m i a l c o m p l e x i t y of p r o b l e m s F 2 | p r e c . p . « l | C ma>< , F21 p r e c ,p^«l | F a n d F 2 1 r e s l l l ,p.-l|F h a s b e e n p r o v e d .

HETEPMMHHCTMHECKME n P O B JlE M B I YnO PSH O H H EH H * 3A J1A 4 B H BYXriOCTOBOA nPOTOHHOfl CHCTEME 05CJ1Y1KHBAHH51

P e 3 d k e

B p a 6 o T © p a c c M O T p e H M n p o 6 n e H M y n o p « n o H H 6 H H « o a n a M b n s y x c T o s o f l npoTOMHoft C H C T e n e o 6 c n y » H B a H H H . H a ocH O BaH H H o 6 o o p a p e o y n b T a T O B nonyM ©HHbix n p e x n e , n p e n c T a o n e H b i h o b h b p o a y n r s L T b i b o 6 n a c T H o u @ h k k B W H H cnH TenbH ofl cno*HocTH n e K O T o p b i x H e p e n i e H H N X n o K a c T O flin e n o bp © m © hh n p o 6 n e « y n o p f ln o n e H H a . rio n p o 6H o H 'sn o n te H o , m t o B W H H cn H T o n b H an cn o *H O C T i> npo6n© M W F 2 j p r e c . p « 1 1C .

_ j m a x

F 2 | p r e c ,p ^ « l |F