Algorytm dla wieloetapowego problemu przezbrajania linii produkcyjnej

ZESZYTY N A U K OW E P OL ITECHNIKI ŚLĄS K IE J 1984

Serias AUTOMATYKA z . ⁷⁴ Hr kol. 810

Marek Madejski.

Eugeniusz T o ez y ło wa kl Politechnika Warszawska

ALGORYTM D LA WIELOET/łP O W E G O P R O B LE MU PR Z EZ BR AJ A NI A LINII P R OD UK C YJ NE J

Streszczanie.- H p r a c y p r z e d st aw i on o algo ry tm k o ł o jn o śc io wy dla Wi e lo et ap o we go p r o b l e m u minimali za cj i k o s z t ó w przezbra ja ni a linii p rod u kc yj ne j opar ty n a p oł ą cz en iu m e t o d y p o d z i ał u i o gr an i cz eń z m e ­ todą pr o gr a m o w a n i a dynamicznego.

1

Podczas h ar mo n o g r a m o w a n i a p ro dukcji wi e lo asortymentowej realizowanej partiami n a pojed yn cz e j linii produkcyjnej poj aw i a sip p r o b le m ustalenia kolejności w y k o n y w a n i a p o s z c z e g ó l n y c h parti i pr od u kt ów w k a ż d y m okrosio objptym h o r y z o n t e m h a r m o n o g r a m o w a n i a . Zmiana w e rsji prod uk ow a ny ch wyrob ów powoduje p o w s t a w a n i e p e w n y c h d od a tk ow yc h k o s z t ó w n a z y w a n y c h kosztami przo zbrajania, k t ó r y c h wiel ko ść z al eż y w ogól ny m prz yp a dk u od worsji wyrobów.

Problem m i n i ma l iz ac ji koszt ów p r z e z br a ja ni a w u st al o ny m przedzialo czasu objętym h a r m o n o g r am ow an i em mo żn a sf ormułować następująco. Załóżmy, żo na linii produ kc yj n ej m o ż n a p r od uk o wa ć w y r o b y o n u m e r a c h worsji zo zbioru N = {l ,2 , . . . , k } . Przypuśćmy, że horyzont harm on og r am ow an i a można p o d z i e ­ lić na K etapó w /np. tygodnie/ p r z y czym dla każde g o otapu k, I ś k ś K znany jest z b ió r w e r s j i Nj £ H w y ro b ów jakie mają być produkowano na tym etapie. M o żl iw oś c i p r z e z b r a j a n i a linii opisane są za pomocą sioci

S = (N,E,P), gdzie N - jest z b i or o m num er ów w sz ys t k i c h p ro du k o w a n y c h w o r ­ sji; E £ N * N jest z b i or em łuków g ra f u (N,E) o kreślającego rolację d opusz­

czalności bezpośr ed ni e go p rz oz b r o J o n i a linii, tzn. (ijj^S L oznacza, że m o ż li w a jost p r o d uk cj a j-tej w o r sj i po wors ji i-toj po dokonaniu przo- zbrojenia; P = [p^jl n * n - ciaciorz kosz tó w przozbro J o n i a , P^j " 0 jost średnim k o sz t em p r z e z b r a j a n i a z worsj i i-toj n a worsję j-tą. Oczywiście

oo tylko w t e d y , g d y (i,j) £ E. Zakładamy, że k o s z t y p^j spełniają nierówność t rójkąta p ^ ź p ^ + Pj^ dla każdo;;o i,J,l.

Z azwyczaj graf (X,E^ jost g r a f e m połr.ya. Dla u stalonego otapu k uożii wości prz ez b ra ja ni a linii opisane są po ds iecią S;. = ( ,L'.., Pj. ; sioci S, gdzie E,. = (E n x 1^3), natomiast 1\. jost m acierzą powstałą z P przo z wykreślenie w i e r s z y i k o l u m n zo z bioru N \ - ■/. St an począ t ko wy i końcowy linii możo b yć s w o b o d n y lub ustalony. V ogólności zakładamy, żo dano są zbiory w er sj i p o c z ą t k o w y c h N oraz zbiór wersji k o ń c o w y c h 'ś /w p r z y ­ padku u s ta l o n y c h stanów po cz ątkowego i końcowogo, X i X + j są zbierał:i Jednoelementowyoi/. Boz straty ogólności m o ż e m y założyć, żo w k a ż d y m ota-

152 M . Ma dę j ski , E « To czylowskj.^

pic Tiers ja k o ń co wa jest zarazem vers ją p o c z ą tkową dla n as t ęp ne go etapu.

Uprowadźmy zmienne decyzyjne

1 g d y w k - t y m etapie j-ta wersj a jest produkowana bezpośrednio po i-tej wersjij

0 v przeciwnym przypadku

v, - ;'.'.:;3cr wersji produkowanej w k-tęTa etapie jako ostat­

nia /i zarazem jako pierwsza w (k+1)-szya etapie/.

Zadanie przezbr a ja ni a n oż na sform uł o wa ć jako p r o b l e m M i n i ma li z ac ji

F = 2l 2 1 2 1 P it x. (k) / I/

k=i i t a j e i;k J J

w zględem z mi ennych j (1:) oraz v,_, p r z y ograni c ze ni ac h

j ? ^ x i j ^ = 1 i & K k x l v u h c - i l - 1 ś 5 t 5 K w

,Ç . xijW = ! J ⁶ Kk X K - i] u i vkl = / ³ /

1 c -k

-^jCk) = 0 , 1 V i , j , k / V

s(k) Jest drogą w grafie (li ,E^) ro zp oc z yn aj ąc ą się o d /5/

w ie rz ch o łk a v^__^ 6 K,_ i ltoiiczącą się w w i e r z c h o ł k u v .

v k 6 o s k *; k, /6/

T I! 5 ^ NK*1

Funkcja celu / 1 / jest sumaryczną w a r t o ś c i ą k o s z t ó w p r z e z b r o j e ń w całym okresie h a r n o n o ^ r a n o v a n i a , .ograniczenia /2/, / 3 / z ez w alają n a produkcję każdej wersji tylko jeden raz w czasie jednego etapu", w a r u n e k / 5 / elimi­

nuje moż li w oś ć pojaw ie ni a się podc y kl i w r o z w i ą z a n i a c h s pe łn i a j ą c y c h /2/

i /3/« Powyższe zadanie jest NP-'Zupelne. U s zc ze g ó l n y m przypadku^ g d y K=1 oraz v 0 = zadanie to jest reduko w an e do z w ykłego p r o b l e m u komiwojażera a tym samym w ogólnym p r z y p a d k u jest ono trudniejsze do rozwiązywania.

Z , Dclyompozyc.ja p r o b l e m u przezbr a ja ni a

Dla ustalonego etapu l ^ k ^ I I , oraz dla u s t a l o n y c h w a r t o ś c i zmiennych Vk-1 oraz vk r o zważmy nast ęp uj ą ce jednoetapowe zada ni e kolejncrściowe spa- rametryzowane przez Vj. 1 oraz v :

Minimalizuj

*}r - H P. . X. . (li) /7/

i . j Ł K ^

Algorytm dla wieloetapowego problemu .

x i j (k) = 1 i 6 K t N K ] u i v k-i} / g/

xi j (k) = 1 J 6 N * X K - i l - K I /*/

x

U Ck) = 0 , 1 /io/

k(k) jest drogą w grafie od ■*'k _ 1 do v /1 1/

Zadanie powyższe oznaczane będzie symbolem Tk (vk vk ). Łatwo zauwa­

żyć, że zadanie (y, v ) Jest równoważno zadaniu komiwojażera, «'szystkie efektywne techniki algorytmu podziału i ograniczeń opracowano dla ogólne­

go problemu komiwojażera mogą więc być zastosowane do rozwiązywania zada­

nia Xk (y,v).

Problem przezbrajania można przedstawić równoważnie jako dwupoziomowy problem optymalizacji, przy czym nadrzędne zadanie jest postaci

K min

v1^{’*,,,vk k}=1 przy ograniczeniach

Vk -1^{> vk} 6 ^Nk 1 * k - K

v o 6 N o ? vk 6 *!k+1 >

gdzie zk (vk _ 1 , v ) jest o pt ymalną w a r t oś ci ą f u n k c j i ce l u zadania , vJt)- Liozność zmi en ne j s t a n u vk 6 Nk jest zazwyczaj n io w iolka /zwykle w k a ż d y m okres ie h a r m o n o g r e m o w a n i a p r o d u k u j e się co najwyżej k i l ­ ka wersji wyrobów/, st ą d celowo jest roz wi ą zy wa ni e p r o b l e m u n ad rzędnego /i2/ m e t o d ą ’p r o g r a m o w a n i a dynamicznego. VT r am a ch k a ż d e g o otapu zadania parametryczne v jc) r oz wi ą z y w a n o być mogą m et o dą podziału i o g r a ­

niczeń. •

N iezależne ro z wi ą z y w a n i e p o d p r o b ł o m ó w / 1 2 / i T,. (y,v) n io jost n a j ­ bardziej efektywne. Ł ą c z n e wyko rz ys t an ie technik pr og ra m ow an ia dynanicz- nego i m e t o d y p o d z i a ł u i o g r a n i c z e ń p o z w a l a na ef ek ty w ni ej sz y sondaż wio- rzchołków dr zewa p o s z u k i w a ń podczas rozw ią z yw an ia z a d a ń T.,(y,v) motodą Podziału i ograniczę»! a z a r a z e m p o z w a l a n a r ozygnację z obliczania w a r ­ tości t rajektorii o p t y m a l n y c h p r z e c h o d z ą c y c h pr ze z ni ektóre s tany p o ś r e d ­ nie w m e t od z ie p r o g r a m o w a n i a d y n a m i c z n e g o ■ O p i sa ny niżej a lgorytm w y ­ korzystuje p o w y ż s z e uwagi.

154 H.Madejski,E. Toczyłowskj

1. Oois aliToarytnu

A l g o ry t m dla w ieloe ta po w eg o p r o b l e m u p r z e z b r a j a n i a l i n i i produkcyj­

nej złożony jest z d uó ch p o ds t aw ow yc h części. Część p i e r w s z a jest reali­

zacją ograniczonej w ersji p r o gr am o wa ni a dy na mi cz n eg o, w k t ó r e j \fykorzyst»' je się oszacowania optymalnej w a r t oś ci f u n kc ji ce lu ot rzymywane przez ne- todę p o d z i ał u i ograniczeń. Część druga podrzędna, jest re al iz a cj ą algo­

r ytmu dla zadania komiwojażera.

3-1. Og raniczona w e r s j a pr og r a m o w a n i a dy na m icznego

Zadanie w ie lo etapowe / 1 2 / moż e b y ć rozwiązywane za p o m o c ą prpgranosa' n i a dynamicznego. If k o l e j n y c h k r o k a c h k = K ,K -1,...,1 r o z wi ąz yw a ne jest zadanie o d etapu k - te go do końca.

Załóżmy, że w k - t y n etapie znane są w a r t o ś c i f u n k c j i c e l u F (v )

dla o pt ymalnych " o g on ów ” trajektorii r o zp oc z y n a j ą c y c h się. o d stanu y..

W = « i » H z t C v t - i ’ v i ) /1 3/

' W - ' - - v k t = k + 1

V n a s t ę p n y m k r o k u obliczane są war t oś ci Fj._^ (vk 1) ■ w f u n kc j i stanu y^ . Dla u stalonego p r z y pełnej w e r s j i p r o g r a m o w a n i a dyna mi c zn eg o obli­

czenie war to ś ci F^_ ^ Cv^_^) w y m a g a rozwi ą za ni a

Fk - 1 Cvk-1^ =va ^ N L=k ^ k _i,vk ) + F(vk )] / l V

co prowadzi do IkjJ - kr otnego r o z w i ą z a n i a zadan ia k o m i w o j a ż e r a Tk ^ ’k-1 ’ Vk')'

Przypuśćmy, że znane są oszac ow an i a od d o ł u z ^ 1 »vk ) optymalnych w a r t oś ci zjŁ(v ji - 1 1 v łc) / s k lO ^ i c s a n e jest p r z e z r o z w i ą z y w a n i e p r o b l em u złag o dz on eg o / oraz , o szacowanie od £ Ó r y z^ (v,ł ^ ,vk ) optymalnej wartości

^'vłŁ— 1^f /V0r^-C3ane jhko wartość funlccji celu dla dotychczas najlepsze GO dopuszczalnego roz wi ą za ńj.a zada n i a T(v^_ D la u st alonej wartoś*

v i-_ 1 o p r o w a d ź m y o znaczenia oszacowali o d dołu Z. (v, v ) = 2 iv

^ 1 - k v k - 1 1 k' “k v k- 1r k

+ F (Vk ) oraz od góry- , ('''k _ , ) = m i n [ 5 ^ (vk _ ,, + F ( v ^ ] . ' v k

Uartości poiryższycb oszacowali m oż n a wykor zy s ta ć do o bl ic ze n ia /l4 / za p om o cą następującej w e r s j i p r o g r a m o w a n i a dynamicznego po ł ąc z o n e g o z neto-

dą po działu i ograniczeń: *

Schemat a lg orytmu

k r o k 1. Oblicz Z k (vk _i >vk ) = 2 k ( \ _ i >v k ) + F(vk) dla w s z y s t k i c h vfc£ V t . k r o k 2. Uporządkuj stro ny p o ś r ed n ie v k t w e d ł u g w z r a s t a j ą c y c h wartości

w s k a źn i ka

Algorytm dla wieloetapowego problemu 155

Krok 3. Tr a kt uj ąc v,_ jako parametr, rozwiązuj z a d a n i a ^ , v^ ), za p o m o c ą m e t o d y p o d z i a ł u i og ra n i c z e ń w k o le jn o śc i ustalonej w k r o k u 2. A k t u al iz o wa ne war to śc i 2j-(v iŁ_i oraz n aj lepszego osza co w an ia o d c ó r y F v 1(v p ć w ykorzystaj do sondażu / o d r z u c a ­ n i a / w ie r zc h o ł k ó w w drzewie p o s z u k i w a ń m e t o d y pod z ia łu i o g r an i­

czeń.

Łatwo zauważyć, że o p is an y wyżej alg o ry tm poz w al a na odrzucanie w m e ­ todzie p o d z i a ł u i o g r a n i c z e ń n i o o b i e c u j ą o y c h k i e r u n k ó w po s zu k i w a ń p rzoz wykorzystanie stosunkowo s i l ny ch o gr a ni c z e ń o d dołu i g ó r y uw zg l ę d n i a j ą ­ cych war to śc i f u n k c j i ce lu dla c a łych " o g o n ó w ” trajektorii optymalnych, a nie tylko d la z a d a ń Je dn o et ap ow y ch t ic(v jł_i >v jt) •

3.2. Ro z wi ą z y w a n i e zadan i a T ( V k _ ^ , v^)

Z ada n ie k omiwojażera, jako NP - zupełno, mo że być rozwiązywano -za.

pomocą metody- p o d z i a ł u i ograniczeń. Dla powyżs ze go zadania opracowano wielo e fe k t y w n y c h technik w yz n ac z a n i a o sz ac o w a ń d o l ny ch i g ó r n y c h oraz podziału, w y k o r z y s t u j ą c y c h s p ec yf i cz ne w ł aś ci wo ś ci p r o b le m u kom iw oj aż e ra

[l3 - C ó 3 ■ Najba rd z io j typowa r el ak s a c j a p o l e g a n a sp ro w adzoniu zadania komiwojażera do z a d a ni a przydziału. Dla z a d a ń o w i ę k s z y m wym ia rz o r e l a k ­ sacja za p o mo cą z a d a ni a p r z y d z i a ł u okazuje się niewy st a rc za ją c o s k u t e c z ­ na. Szcz eg ól ni e m oc ne o s z ac ow an i a o d dołu m o ż n a u z y sk a ć przez ograniczono relaksacje L a g r a n g e ' a w y b r a n y c h og ra ni c z e ń p r o b l e m u k o m i w o j a ż o r a , nio spełnionych w r o z w i ą z a n i u zada ni a p r z y d z i a ł u [l] 1 [2]. Siła tych oazaoo- va ń jest taka, że-z r e g u ł y liczba s o n do w an yc h w ie rz c h o ł k ó w drzown p o s z u ­ kiwań jest z n a cz ni o m n i e j s z a od w y m i a r u zadania. K o s z t y obliczania tycli

O ^

oszacowań są j ednak stosu n ko wo dużo i w y n o s z ą 0 ( n ) oraz 0(n ). Dla z a ­ dań k o m i w o j a ż e r a o n i o w i o l k i m w y m i a r z e / r z ę d u k i l k u lub k il ku n a s t u / s t o ­ sowanie wyżej opi s an yc h w y r a f i n o w a n y c h teohnilę nio w yd a je się być celowo ze względu n a n ie wi e l k i e e wentualne zyski pami ęc i i czasu wykonania, przy stosunkowo r oz bu d o w a n y m oprogramowaniu.

*L. Wyniki o b l i cz eń

Opis a ny wyżej a l g o r y t m zo stał op r ac o w a n y w języku i’o r t r a n i u r uc h o m i o ­ ny na' m a s z y n i e Odra 1325« D o k ł a d n i e j s z y opis re al i za cj i togo alg or yt m u znajduje się w £63. P r o c e d u r / p r o g r a m u z apisano są n a taściio magnetycznej w wersji źródłowej. T a ś m a ta jest dos tę p na dla użyt ko w ni kó w i znajduje się w Instyt u ci e Automat yk i Poli te c hn ik i Warszawskiej. Algorytm został p rzetestowany n a serii _{3 6} z e s ta w ów d an y ch o w s p ó ł c z y n n i k a c h gonorowar.yck losowo. W a r to śc i ws p ół c z y n n i k ó w k o s z t ó w p r z o z b r o j o ń wyznaczano są wodlug rozkładu j odnoś ta jnogo z p r z e d z i a ł u (0,100'i. Opracowana wersja al g or yt mu pozwala n a uz ys k an ie r oz wi ą z a n i a dokładno jo lub subopty ma l no go z okresie-

156 M .Hadc j s k i , E . T o c z y ło w sk i

n ą p r z e z , u ży tkownika dokładnością Có3. U ż y t k o w n i k może i.ybrać jedno z d w óc h k ry te r ió w s u b o p t y m a l n o ś c i : •

/i/ 81 - wzg lę dn y bin d op t y Palności n a każdy:: etapie n i e prz ek ra ­ cza w a r t oś c i £ 1,

/ii/ £2 “ b e zw zg l ę d n y bł ąd opt ym a ln oś ci na k a ż d y m etapie nie p r z e ­ k ra cz a wa rt o ś c i £ 2 . | | . średni koszt prze zbrojenia.

Z prze pr o wa dz on y ch o b l i cz e ń l-.ybrano k i l k a c h a r ak te ry z uj ąc yc h istotne wł a ściwości algorytmu. V tablicy 1 p r z ed s ta wi on o przy kł a do we wynilii obli­

czeń al go rytmu dla j ed noetapowych z a d a ń A v j._ 11'V ) P rzy z m i e n n y m wymia­

rze N. dla w a r i an tu optymalnego oraz w a r i a nt ów s u b o pt ym a ln yc h £.= 0.1 i e2 = ₀._{0 2}.

T a b l ic a 1

Nk

Vari a nt optymalny Variant subo pt y ma ln v

OIIUJ = 0 , 1 e2 = 0 ,0 2

Czas F unk c ja

celu Czas F un kc ja

celu Czas Funk c ja

celu

4 2 2 45,4 2 ^.45,4

7 3 16 5,0 3 16 5,0 3 16 5,0

10 5 114,5 3 114,5 3 114,5

15 96 119,1 35 119,1 35 132,3

20 2^V7 159,8 79 171,5 45 171,5

W t ab licach 2 i 3 pr ze ds t a w i o n o czasy o b l i c z e ń dla w i el oe ta p ow eg o p roblemu prz e zb ra Jo n ia /ze swo bo d ny m w a r u n k i e m k o ń c o w y m / w z a le żn oś c i od wari a nt u połącz en i a a l g o ry tm u pr og r a m o w a n i a dyn a mi cz ne g o z a lg or yt m om p od zi ał u i ograniczeń:

/ v w e r s j a N - nieza le żn e s tosowanie a l go r y t m u p ro g ra m o w a n i a dynami.cz n e g o i m e t o d y p o d z i a ł u i o gr an i c z e ń /bez w y k o r z y s t y w a n i a oszaco- waii Ę k i Fk _ l/;

rii/ w e rs ja OPD - ogra ni cz o na w e rs ja p r o gr a mo wa ni a dynamicznego, w k t órej w y ko rzystuje się o s za co wa n ia i Flt 1 do odrzucania we wzorze / 1 ^ / o b l i c z e ń dla z b ę d n y c h w a r i a n t ó w s t anów pośrednich Vk d ających r o z wi ąz an i a optymalnego/;

iii/ w e r sj a P - pe ł na w e r sj a połącz o ne go a l g o ry t mu p r og ra m o w a n i a dyna­

micz n eg o oraz m e t o d y p od zi a ł u i o g r a n i c z e ń /opisan eg o w pkt. 3/i w k tó ry m oszacowania i ^ tykorzystuje się do sondowania wszystkich wierzchołków drzewa rozwiązań metody podziału i ograni*

Algorytm dla w ie l oe ta po w eg o p ro b l e m u 157

ii' tablicy 2 zamieszczono czasy obliczeń optymalnej worsji algorytmu dla problemu 7-etapowego z liczbą produkowanych wersji na każdym otapie

IKJ = 7.

Tablica 2

Variant algoryt­

mu

Czas dla kolojnyoh etapów Cs] Czas łączny

1 2 3 U 5 6 7

N 5 23 23 2k 22 23 23 143

OPZ) 5 • 22 20 17 20 10 19 119

P 5 17 16 15 13 16 1*i 101

V tablicy 3 zamieszczono czasy obliczeń suboptymalnoJ worsji algoryt­

mu / £ = 0^.1/ dla problemu 3-etapowego z liczbą worsji na każdym etapie

|Ńj.l = 10.

Tabl ic a 3

Variant algoryt­

mu

Czas dla kolejnych etapów C s]

Czas łączny

1 2 3

N 10 158 158 332

0PD 9 6h 79 152

P 9 6h 71 IW

Dla problemów wieloe tapoiłych krótlti czas obliczeń dl a piorwazc\,o o tup*.:

vynilca z wykorzystania informacji o stanie yoczątkowyn /i.n:..or worsji pro­

dukowanej jako pierwsza/. Połączony al ;oryt:.: pro;; ramowaniu dy::a:.icz::e..o oraz metody podziału i ograniczeń daje nieduży zysk na czusio obliczt.*.:

w porównaniu z ocraniczoną vers ją programowania cly:; ..uiczno ;c*.

^ ^ R A T H U

[li Ba las E. , Cliris tofides >i. : A novr penalty notkod for the travcliiv salesnan problem, DC Inst.Syr:p.Math. Pro.;r. Budapeszt 197^»

[2] Balas E. , Cliristofides X. : Tho re s tr ic to d lacroani;o&n app r oa ch to the t ra veling s a l es ma n problem, Teolui.Uop. Garno*.to-Bellon i n i v e r s ity*

1979

156 M . Ma de ,j s k i , E. Toczyłousld

[3] CJiristofides Ii.: Bounds f o r the travelinc s a lesman problem, Opns.

iics., 20, 1972, 1 0 ^ - 1 0 5 5

F^łJ Held M. , k a r p R.U. : 'Hic t ra v el in g-salesman p r o b l e m a n d min im u m s pannins trees, Opns.Res. 1 8, 1970, 1138^{— 1}

[

3

5

6-25

tól Madejski M. : 1/ybrane z a ga d ni en ia h a rm on os r am ow an i a i sterowania dys­

p ozytorskiego procesami montażu, Pr ac a m a g i s t e r s k a, In stytut Autora- tyki PI, 1983 /niepublikowana/.

R ec en ze nt : Pr of .d r i nż . He n r y k Kowalewski Wpłynęło do R e d a kc ji do 5 Q.0 3 .1 9 B4 r.

M T O P H T M M R MH0r03TAIIH02 UPOSUKAJ E E E E H A M J I K H nPOH3BOJCTHEHH02 JfflHPffl

P

e 3

u e

B paÔO Te flan a u r o p H T M H B p en o B a H H H ip u i M H o r o o i a u H o S np odueuu mhhhmess- B Œ 3ETPET H ep eH a Ua UK H UpOH3 BO H CT Be HH O H JIHHKH, OCHO BS H H E coBuemeHite Ke-

TOfla pa3ne.ua

orpaHZHeHEË c MeTojou OTHaicnecKoro nporpaMMEpoBamiH»

A N A L G O R I T H M FOR M U L T I S T A G E P R O B LE M OF PRODU CT IO N L I N E RECONFIGURATION

S u m m a r y

In the paper e sequential a l go rithm for a problem of cost minimizstio:

for p roduction line r e co n fi gu ra t io n is presented. Bounds an d branching a lg orithm is joined w i t h dynamic pr og r a m m i n g method.