November 1988
Gezondheidstechniek en
Waterbeheersing
Gevoeligheidsonderzoek Alarmmodel Rijn
De invloed van near-field processen op een far-field dispersie beschrijving
Ir. R.M. Noppeney
m-:^
z . 2
t U Delft
Technische Universiteit Delft
Faculteit der Civiele Techniek
Vakgroep Gezondheidstechniek & Waterbeheersing Sectie Gezondheidstechniek
rijkswaterstaat
dienst binnenwateren/rizaTECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT FACULTEIT DER CIVIELE TECHNIEK
VAKGROEP GEZONDHEIDSTECHNIEK & WATERBEHEERSING SECTIE GEZONDHEIDSTECHNIEK
RIJKSWATERSTAAT
DIENST BINNENWATEREN/RIZA
Gevoeligheidsonderzoek Alarmmodel Rijn
DE INVLOED VAN NEAR-FIELD PROCESSEN OP EEN FAR-FIELD DISPERSIE BESCHRIJVING
Technische Universiteit Delft
Faculteit CiïG
Bibliotheek Civiele Techniek
Stevinweg 1
2628 CN Delft
R
CT
Mededelingnr. 22 DBW/RIZA opdrachtnr. DB-415 I r . R.M. Noppeney (TUD)(^SoS^i
yzi 7
ó)/>
pag,
Voorwoord Samenvatting
Hoofdstuk I Inleiding
Hoofdstuk II Een far-field model 2.1 Het Taylor-model
2.2 Kenmerken van het ïaylor-model
Hoofdstuk III Near-field processen
3.1 Invloeden van de lozing 3.2 Invloeden van de geometrie 3.3 Invloeden van de tijd
Hoofdstuk IV Near-field effecten 4.1 Inleiding 4.2 Menglengte
4.3 Aanpassing van het Taylor-model 4.3.1 Motivatie
4.3.2 Beschrijving
10
Hoofdstuk V Conclusie
19
VOORWOORD
Deze studie vormt een onderdeel van het 'Gevoeligheids-onderzoek Alarmmodel Rijn' dat in opdracht van de Dienst Binnenwateren van Rijkswaterstaat wordt uitgevoerd aan de Technische Universiteit Delft, Faculteit der Civiele Techniek, Vakgroep Gezondheidstechniek en Waterbeheersing.
Mijn dank voor advies gaat uit naar de begeleiders vanuit de Dienst Binnenwateren, ir. P.S. Griffioen, ir. E.H. van Velzen en ir. A.W. de Haas en naar de projektleider aan de TU Delft, ir. A. van Mazijk.
Dispersie in rivieren wordt meestal beschouwd als een proces dat voldoet aan de één-dimensionale vergelijking van Taylor.
Toepassing van het één-dimensionale Taylor-model als beschrijving voor dispersie in rivieren is formeel slechts geoorloofd op
(grote) afstand vanaf een lozingspunt.
Voorspellingen van concentratieverdelingen met behulp van het Taylor-model wijken echter dan nog vaak af van waargenomen concentratieverdelingen.
Alhoewel deze afwijkingen deels geweten kunnen worden aan convec-tieve en dispersieve processen direct na een lozing, lijken ze eerder op een meer structurele tekortkoming van het Taylor-model te wijzen.
De vele, vaak niet volledig begrepen, fysische mechanismen die een rol kunnen spelen bij dispersie, verhinderen vooralsnog een meer adequate beschrijving van dispersie in natuurlijke rivieren. Wel is het mogelijk om near-field effecten te verdisconteren door concentratieverdelingen op eenvoudige wijze meer flexibel te benaderen dan volgens het Taylor-model.
1
HOOFDSTUK I Inleiding
Een één-dimensionaal dispersie-model kan slechts toegepast worden in het zgn. 'far-field': daar verloopt het dispersie-proces (bij bena-dering) volgens de procesbeschrijving van het model. Het stadium waarin
(nog) geen sprake is van far-field, wordt 'near-field' genoemd.
Far-field modellen zijn, bijna per definitie, eenvoudiger dan near-field modellen. Door schaalvergroting kunnen een aantal fysische processen, die in het near-field een rol spelen, worden verwaarloosd. Voorop staat natuurlijk dat schaalvergroting niet tot (ongewenste) onnauwkeurigheden in het far-field model mag leiden.
De overgang van near- naar far-field is echter niet eenvoudig te bepalen. Bij een eenvoudig calamiteiten-model wordt (meestal) aange-nomen dat het far-field direct na lozing wordt bereikt: de invloed van near-field verschijnselen op de uiteindelijke far-field concentratie-verdeling wordt verwaarloosd.
Hier wordt onderzocht in hoeverre deze aanname gerechtvaardigd is. Daartoe worden in Hoofdstuk II far-field kenmerken van dispersie be-paald. Hoofdstuk III behandelt specifieke near-field processen. De in-vloed van deze processen op de far-field beschrijving komt in Hoofdstuk IV aan de orde. Conclusies en aanbevelingen volgen in Hoofdstuk V.
HOOFDSTUK II Een far-field model
2.1 Het Taylor-model
Dispersie in rivieren wordt meestal beschouwd als een proces dat voldoet aan de één-dimensionale vergelijking van Taylor (1954) . Voor een conservatieve stof in een stationaire, uniforme stroming luidt deze vergelijking:
+ uo - Kxo = O (1) 5t 5x 5x»
met: t = tijd
X = coördinaat in stroomafwaartse richting 0 = concentratie
u = gemiddelde stroomsnelheid
Kx= longitudinale dispersiecoéfficiënt
index o: refereert aan de stationaire, uniforme situatie
Dispersie in rivieren wordt hierin benaderd als een proces analoog aan diffusie, de zgn. 'Fickian approach' (Fischer, 1979). De dispersie-coëfficiënt Kx is een 'bulk'dispersie-coëfficiënt, waarin allerhande dispersieve mechanismen worden geacht te zijn verenigd.
Aan de basis van deze benadering staan een aantal aannames, die als volgt kunnen worden omschreven (Chatwin, 1980):
(-) de lozing van stof heeft geen invloed op de stroming (-) de turbulentie van de stroming is stationair
(-) de stroming is uniform
(-) de lozing heeft voldoende lange tijd geleden plaatsgevonden Wanneer er, voor t < O, nog geen stof in de rivier aanwezig is, geldt als beginvoorwaarde voor een momentane lozing ter plaatse van x = 0:
H
0(x,O) = 5(x) (2)
Ao
met: M = hoeveelheid geloosde stof A = dwarsdoorsnede van de rivier 5(x) = Dirac-delta functie
Met randvoorwaarden:
lim 00 (x,t) = O (3)
X - * ±
-i s de resulterende f a r - f -i e l d concentrat-ieverdel-ing (de Vr-ies, 1984):
M/Ao r ( x U o t ) 2-0 o { x , t ) = exp i- I (4) V'{4nKxot)
j- ( x - u o t ) 2 _
L 4Kxot J
3
2.2 Kenmerken van het Taylor-model
Op een vast tijdstip to > O is volgens vgl. 4 de concentratie 0o(x,to) langs de rivier normaal verdeeld (fig. 1 ) . Kenmerken van deze normale verdeling zijn (Fischer, 1979):
De hoeveelheid stof blijft constant:
mx = 0(x,to)dx = M
(5)
Voor het gemiddelde ^x van de verdeling volgt;
yx = mx-^ X'0(x,to)dx = uoto
(6)
Een belangrijk kenmerk van deze verdeling is de lineaire toename van de variantie Ox^ in de tijd volgens:
Ox^ = mx~^ (x-Ux)^•0(x,to)dx = 2Kxoto (7)
De verdeling is symmetrisch, d.w.z. er is geen 'scheefheid' Gx:
Gx = O (8) Voor deze symmetrische verdeling valt de piekconcentratie samen
met het gemiddelde. De piekconcentratie plant zich derhalve voort met de stroomsnelheid uo in de rivier en neemt af met to""-^.
De concentratieverdeling 0o(xo,t) op een vaste plaats xo > O is volgens vgl. 4 echter scheef en wijkt dus af van de normale verdeling. Deze scheefheid wordt veroorzaakt doordat de dispersie voortgaat ter-wijl de verdeling het meetpunt Xo passeert (fig. 2 ) .
Ten gevolge van deze scheefheid valt het gemiddelde niet meer samen met de looptijd xo/uo, en valt de piekconcentratie niet meer samen met het gemiddelde (fig. 3 ) .
De grootte van de scheefheid Gt volgt uit:
Gt = g f ( a t » ) - 3 / 2
(9)
met: gt '= mt~^ (t-ut)^-(»(xo,t)dt (10)
CTt *= mt~^ (t-ut)2-0(xo,t)dt (11)
en: pt = mt"^ t-0(xo,t)dt (12)
NO
/
yu
yu
/\-,Vi>*A;»\
> • "
Fig. 1 Concentratieverdeling i!S(x,to)
Fig. 2 Concentratieverdeling ^{xo.t)
Positieve scheefheid Negatieve scheefheid
Voor de verdeling volgens vgl, 4 kan worden afgeleid (Chatwin, 1980) M mt = AoUo (14) Xo KxO Ut = — + 2 uo uo' (15) at»= 2 Xo — Uo r KxO
-L u o ^ J
+ 8 r KxO -, L UO ^ -1 (16) Xo gt = 12 _ r KxO -1L u o ^ J
i + 64 r KxO -> L UO^ J (17)De scheefheid Gt is nu gegeven door;
12Pe + 64
Gt =
(2Pe + 8)3/2
met Pe = Péclet getal
Voor Pe >> 1 volgt: r 18 .^''^ UOXO KxO Gt
Pe
(18) (19) (20)HOOFDSTUK III Near-field processen
3.1 Invloeden van de lozing
Zeer dicht bij het lozingspunt zal het stromingsveld, zeker bij calamiteuze lozingen, beinvloed worden door de stuwkracht van de lozing en eventuele dichtheidsverschillen. Het dispersieproces is dan niet meer lineair.
Waar dichtheidsverschillen een rol spelen kan de dispersiecoëf-ficiënt opgevat worden als een functie van de concentratiegradiënt 50/5x (Erdogan en Chatwin, 1967) .
De invloed van dichtheidsverschillen is tweeledig. De longitu-dinale dichtheidsgradiënt veroorzaakt een longitulongitu-dinale drukgradiënt, die de dispersie kan vergroten. Dwarsvariaties in de dichtheid veroor-zaken echter secundaire stromingen, waardoor de dispersie af kan nemen
(fig. 4 ) . In rivieren zal het laatste effect overheersen (Smith, 1976). Een praktisch toepasbare kwantitatieve analyse is echter nog niet beschikbaar (Smith, 1978).
Door stuwkracht van de lozing kan benedenstrooms van het lozings-punt neerstroming ontstaan (fig. 5). Vorm- en afmeting van de neer wor-den voornamelijk bepaald door de verhouding tussen rivier- en lozings-debiet. Met behulp van twee-dimensionale numerieke modellen kunnen de kenmerken van de neer redelijk worden voorspeld (McGuirk en Rodi,1978).
3.2 Invloeden van de geometrie
De normale verdeling (vgl. 4) beschrijft, volgens de waarschijn-lijkheidsleer, een concentratie die tot stand is gekomen door een 'ran-dom' beweging van stofdeeltjes (Fischer, 1979). Wanneer de dwarsdoor-snede varieert, d.w.z. A = A(x,t), kan geen sprake zijn van een 'ran-dom' proces. De verplaatsing van stofdeeltjes wordt dan immers gericht gestuurd.
Aan de aanwezigheid van natuurlijke- en kunstmatige onregelmatig-heden in rivieren (fig. 6)moet dan ook een additionele (positieve- dan wel negatieve) dispersieve waarde worden toegekend. Dispersie wordt hierdoor een lokaal proces en de Taylor-vergelijking (1) gaat over in:
5 5 5 5#
— (AdS) + —(Au«i) - _ ( A K x — ) = O (21) 5t 6x 5x 5x
Min of meer intuitief wordt aangenomen dat in rivieren van beperkte niet-uniformiteit, de tijd- en lengteschalen van fluctuaties in A, u en Kx dusdanig groot zijn, dat vgl. 21 nog een redelijke benadering van het dispersieproces geeft (Chatwin, 1980). Een algemene analytische oplossing voor vgl. 21 is niet bekend.
7 / y / / / / y / y / / / ^ / / , / / / / / / / / / / / / / / / / / ^ / ^ / / / / / / y > y / > ^ y / / / / / / / /y> // >^/ ///// a) Horizontale circulatie «"'(z) b) Verticale circulatie c) Dwars circulatie
3.3 Invloeden van de tijd
Wanneer bij meting van de concentratie nog onvoldoende tijd ver-streken is sinds de lozing, of op onvoldoende afstand van het lozings-punt gemeten wordt, kunnen zowel de initiële verdeling als het snel-heidsprofiel in de rivier invloed hebben op de concentratieverdeling.
De invloed van een, homogeen over de dwarsdoorsnede verdeeld, initieel concentratieverloop op de far-field verdeling is in praktische gevallen verwaarloosbaar mits één of meer momenten (variantie, scheef-heid) van het initiële concentratieverloop niet te groot zijn (Chatwin,
1972).
Op korte afstand van het lozingspunt wordt de verspreiding van stof, afgezien van lozinggestuurde effecten, voornamelijk bepaald door convectie: de verdeling van stof past zich aan aan het snelheidsprofiel in de rivier. Dispersie speelt nauwelijks een rol. De concentratiever-deling in deze 'convectieve periode' is dientengevolge scheef (fig. 7 ) . Bij samenvloeiingen kan een vergelijkbaar effect optreden.
De mate van scheefheid is afhankelijk van de grootte van de snel-heidsverschillen, het teken van de scheefheid (positief of negatief, zie fig. 3) is afhankelijk van de plaats in het snelheidsprofiel, waar de stof wordt geïnjecteerd. Injectie in het snel stromende deel van een dwarsdoorsnede levert een voortplantingssnelheid van de piekconcentra-tie groter dan de gemiddelde stroomsnelheid in de rivier, en een afname van de piekconcentratie die sneller verloopt dan volgens de normale verdeling (Sullivan, 1971).
9
/J jjjjx//f,////f//////////////////////////////////y//f//////.
/ /
iè
y/r77//f///nv^/n f r/v//^//][/////f///7;//y ;//;;//;/f nA^/f
•y?;//\
Fig. 5 Neerstroming door stuwkracht van de lozing
.c
RevETt^^ GA ^C-C ^B-B
Fig. 6 Een voorbeeld van natuurlijke- en kunstmatige niet-uniformiteit
/ / /
/ '' / // / / / /
LINE SOURCEM
V
-^ / / / / / / * • X ^ ^ ADVECTED ^ X LINE ^SOURCEr
/ / / / / ^ / '
Fig. 7 Ontwikkeling van scheefheid door convectie nabij het lozingspunt
HOOFDSTUK IV Near-field effecten
4.1 Inleiding
Metingen in rivieren (Day, 1975) tonen aan dat de concentratie-verdeling ten gevolge van een momentane lozing van een conservatieve stof aanmerkelijk af kan wijken van de verdeling die op grond van het Taylor-model wordt voorspeld.
Een opvallend kenmerk van gemeten concentratieverdelingen is, dat de variantie Cx' niet lineair met de tijd toeneemt, maar eerder kwadra-tisch. Vaak treedt ook een aanzienlijke scheefheid Gx op en neemt de waargenomen piekconcentratie sneller af dan volgens voorspellingen op grond van het Taylor-model.
Oorzaak hiervoor is dat het dispersie-proces niet voldoet aan de Taylor-aannames, hetgeen ofwel impliceert dat het Taylor far-field nog niet is bereikt, ofwel dat het Taylor-model structurele tekortkomingen kent.
4.2 Menglengte
De menglengte is de afstand van lozingspunt tot far-field. Bij toepassing van het één-dimensionale Taylor-model wordt deze lengte bepaald door:
(-) dwarsdispersie: een geloosde stof moet min of meer homogeen over de dwarsdoorsnede van een rivier verspreid zijn.
(-) longitudinale dispersie: de concentratie ^(x,to) moet min of meer normaal verdeeld zijn.
Uit een twee-dimensionale analytische benadering bij stationaire, uniforme stroming volgt dat een homogene verdeling over de dwarsdoor-snede, binnen een afwijking van 5%, bereikt is voor (Fischer, 1979):
uoBo '
Lo > 0.4 voor een lozing aan de oever van een rivier (22)
Ky o UoBo ^
Lo > 0.1 voor een lozing in het midden van een rivier (23)
KyO
met: B = breedte van de rivier Ky = dwarsdispersie coëfficiënt
Chatwin (1970) toont aan dat concentraties 0(x,to) in stationaire, uniforme stroming bij benadering normaal verdeeld zijn voor:
uoBo^
Lo > (24)
11
0.2 0."» 0.6 0.8 1.0 1.2
Fig. 8 Menglengte
A: Ontwikkeling van scheefheid B: Afname van scheefheid
C: Benadering van normale verdeling
D: Lineaire toename van de variantie Cx^ in de tijd
' • • 1 1 • 1 I 1 ' 1 I 1 '• 1 1 r 1 1 1 ' • 1 1 • 1 L 1 N ^ •
• fiscxK's w r i powrs, stniEs aoi-ca, P H O K I
OOWKTivt KSOONSe fUNCTlON TlutS 700
UNIT R o o w a : of OfrusiON o x u i o j IWCS JOO
SME.R vaOCITT o.i« rvsEC 10.03«m/SECl os^tBsioN c o « a ^ t ï F T t / ^ c i a o 2 i f i / s e c i
" • •
TIME >N SECONDS
Fig. 9 Vergelijking tussen een convectief model en het Taylor-model in het near-field
Fig. 8 toont de evolutie van de variantie cx^ van een verdeling ten gevolge van een momentane lozing als functie van de afstand Lo tot het lozingspunt (Fischer, 1979). Een noodzakelijke voorwaarde voor toepassing van het Taylor-model is een lineaire toeneming van de vari-antie ox*. Dit treedt op voor Lo > 0.2'UoBo^/Kyo. De scheefheid van de verdeling begint echter pas af te nemen voor Lo > 0.4'UoBo^/Kyo.
Voor toepassing in de praktijk geeft fig. 8 slechts een indicatie van de menglengte. Niet-uniformiteit en eventuele dichtheidsverschillen zullen in het algemeen de menglengte nog vergroten. Onder invloed van stuwkracht van een lozing kan de menglengte afnemen (Yotsukura en Sayre, 1976). Tracerexperimenten zijn dan eigenlijk ook onontbeerlijk voor een redelijke schatting van de menglengte in de praktijk.
4.3 Aanpassing van het Taylor-model
4.3.1 Motivatie
De menglengte zal in veel praktijksituaties onpraktisch groot zijn. De kans is derhalve groot dat concentratieverdelingen zich bij meting in de praktijk nog in het (Taylor) near-field bevinden. De karakteristieke asymmetrische concentratieverdelingen die in de prak-tijk worden waargenomen, lijken dit te bevestigen.
Volgens Fischer (1967) ontwikkelt de scheefheid zich in het near-field voornamelijk onder invloed van het snelheidsprofiel in een rivier. Elder (1959) en Sullivan (1971) wijzen daarbij op de rol van de viskeuze sublaag in het ontwikkelen van scheefheid. Rekenresultaten met een (eenvoudig) convectief model, gebaseerd op een logaritmisch snel-heidsprofiel, (McQuivey en Keefer, 1976) stemmen redelijk overeen met meetgegevens (fig. 9 ) . In het convectieve model is aangenomen dat de geïnjecteerde stof met de lokale snelheid in het dwarsprofiel wordt meegevoerd. Diffusie treedt niet op.
De invloed van het snelheidsprofiel op de scheefheid is beperkt tot de 'convectieve periode' (hfst. 3 ) , Praktijkstudies tonen echter aan dat de scheefheid vaak niet afneemt met de afstand tot het lozings-punt (Day, 1975). Aanhoudende, of zelfs toenemende scheefheid, ook voor afstanden groter dan de menglengte (Nordin en Troutman, 1980),kan der-halve niet alleen worden verklaard op grond van convectieve invloeden direct na de lozing, maar lijkt eerder te wijzen op een structurele tekortkoming in het Taylor-model.
De vele, vaak niet volledig begrepen, fysische mechanismen die een rol kunnen spelen in het dispersieproces, verhinderen vooralsnog een meer adequate modellering van dispersie in natuurlijke rivieren. Het zoeken naar oorzaken voor afwijkingen tussen waargenomen verdelingen en verdelingen voorspeld met het Taylor-model, heeft daardoor een enigs-zins speculatief karakter.
Veel aandacht wordt besteed aan geometrische invloeden op het dispersieproces. Met name de verwaarlozing van stofuitwisseling tussen het stroomvoerende- en stagnante deel in de dwarsdoorsnede van een rivier wordt als belangrijke tekortkoming van het Taylor-model gezien (Fischer, 1977). Door de invloed van 'stagnante zones' op dispersie expliciet op te nemen in de dispersievergelijking blijkt het mogelijk om concentratieverdelingen te voorspellen die beter overeenkomen met waargenomen verdelingen (Thackston en Schnelle, 1970).
13
4.3.2 Beschrijving
Concentratieverdelingen ^(x,t) die afwijken van de verdeling vol-gens vgl. (4) kunnen, ongeacht de oorzaken van die' afwijkingen, be-schreven worden in termen van hun parameters: gemiddelde, variantie en scheefheid. De waarschijnlijkheidsleer biedt de mogelijkheid om vanuit deze verdelingsparameters de concentratieverdeling zelf te reconstru-eren.
Een benadering van de concentratieverdeling 0(x,t) is uit deze parameters terug te vinden met behulp van Edgeworth's vorm van de Gram-Charlier series van Type A (Chatwin, 1970). Een redelijke reconstructie leveren de afgebroken Edgeworth series:
mt 0E (xo ,t) /(2nat») exp P (t - ut)^-, r gt L 2at2 J L 6CTt'» t - Pt a% (25)
met: H3(z) = z^ - 3z = (3«) Hermiet polynoom en: mx XE ( x , t o ) /ilnox^) exp (x - Ux)» 2ox^
]•[
gx 1 + H3 6ax^ X - ïlx Ox (26)De laatste term in vgl. (25) en (26) beschrijft afwijkingen van de normale verdeling.
Analoog aan vgl.(4), kan dan als eerstvolgende benadering voor de concentratieverdeling gegeven worden (Chatwin,1980):
M/Ao X ( x , t ) = exp / { 4 n K x o t ) ( x - u o t ) 2 4Kxot r 4KxO T>4 1 + a« Uo *
7]
H3 x-uot / ( 2 K x o t ) (27)met: a = dimensieloze coëfficiënt
De scheefheid volgens vgl. (27) is nu gegeven door (Chatwin, 1980)
r 4KxO n}4 Gx = 6 a ' •*I\XO - l i Uo^toJ (28) Gt s 3 + ( 6 / 2 ) - a / ( 0 . 5 - P e ) ( voor Pe >> 1 ) [29)
Variantie en gemiddelde worden niet door de grootte van a beïnvloedt. De coëfficiënt a in vgl. (27) is afhankelijk van het snelheidsprofiel en
de (lokale) geometrie van de rivier. Chatwin (1980) leidt, na een
analyse van een laboratoriumexperiment van Fischer, met behulp van vgl. (29) voor de coëfficiënt a de waarde af (fig. 1 0 ) :
o log G
V )
2.S 3.0 log Pa
Fig. 10 Relatie tussen Gt en Pe
a 3
LiniBire F*.cqrissi<
Pe -10
Fig. 11 Relatie tussen a en Pe
Wind Biqhorn Kiver
Pe-IO-"
1 5
Een analyse van experimenten in natuurlijke rivieren (naar Nordin en Troutman, 1980) lijkt echter eerder te wijzen op een relatie (fig. 11-13):
a = f(Pe) (31) Lineaire regressie levert de volgende relaties:
Bear Creek: a = 1.37-10-3.Pe + Q . H (32) Wind Bighorn River: a s 1.53-10-3'Pe + 0.56 (33) Missouri River: a s 8.60'10-3'Pe - 0.17 (34)
Een nadere beschouwing van Fischer's experiment (Chatwin, 1980) lijkt ook eerder op een lineair verband tussen de coëfficiënt o en het Péclet-getal Pe te wijzen (fig. 14).
Fischer's Experiment series 2600: a s 7.08-10-*'Pe + 0.60 (35) Vanwege de spreiding in de (schaarse) meetgegevens mag aan deze relaties (vgl. 32-35) niet te veel waarde gehecht worden. Ter illustra-tie van de gevoeligheid van vgl. (27) voor de grootte van de coëffi-ciënt a zijn in figuur (15) een aantal concentratieverdelingen voor verschillende a gegeven. Het Taylor-model volgt voor a = 0. Door in-voering van de coëfficiënt a * O wordt meer flexibiliteit in het repro-duceren van concentratieverdelingen verkregen.
De afhankelijkheid van a met Pe wijst op een scheefheid die toe-neemt met de afstand vanaf het lozingspunt, hetgeen een gevolg kan zijn van de invloed van stagnante zones op dispersie. Uitwisseling van stof tussen het stagnante- en stroomvoerende deel van de dwarsdoorsnede beïnvloedt echter niet alleen de scheefheid, maar ook de variantie en het gemiddelde van een verdeling. De invloed van stagnante zones op dispersie kan expliciet in de grootte van de verdelingsparameters )i,a en g worden uitgedrukt (Nordin en Troutman, 1980).
Een benadering volgens Edgeworth Series vgl. (25) en (26) biedt de flexibiliteit om dergelijke dispersieve processen op te vangen. Een nadeel van Edgeworth Series is de gebrekkige reconstructie voor scheef-heden |G| > 1. Andere reconstructies van verdelingen uit hun parameters dan door Edgeworth Series zijn ook mogelijk. Sayre (1975) gebruikt een Pearson Type III verdeling. Een nadere studie zou de mogelijkheden kunnen verkennen van deze en eventuele andere verdelingen om een con-centratieverloop acceptabel te reconstrueren.
Missouri Kiv«r Unroirt Kfqnssic Pe.lO F i g . 13 R e l a t i e tussen a en Pe Fischers Expwrim^nt 0 Lfttiiri f'.iqrtssit 1 1 •i -. -.1 1 -: i r -1 1 r 6-PoOO^
1 7 lijn) 10.0 9.0 8.0 7.0 6.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 0.0 288.0 299.5 316.9 322.1 333.3 345.3 356.7 368.2 379.6 391.1 402.6L[l'.m] Tayl 0.0 9.0 8.0 -^ V.ü -1 6.9 H 5.0 4.0 -3.8 • 2.0 1.0 -_ 8.0 1 3r (dunne ——-<_ l i j n ) > ^„.-•y „n'^y' --•"^ 0 « lO^-S [hg/mSI . i ' - ^ • • / / / / . / /
/y
y^
\ \ \W
\ \ V Chatw * • • • - % ^ in (dilike 1 ^ t = 4 <lijf Gt: 8.00^ Ge: - 1 . 0 6 1 u : - 3 . 0 0 ^ Taylor 13.0(dunne lijn) irf « lO^-S [kcj/mS] Chalwin (dikku
0.00 - 1 . 0 7 - 4 . 0 0 l i j n ) rlO.O 9.0 8.0 7.0 6.8 5.0 4 . 0 3.0 2.0 1.0 0.0 543.8 553.9 5 7 4 . 1 589.2 604.4 619.5 634.7 649.8 665.0 6a0.1L[km
i g . 15 Concentratieverdelingen naar p l a a t s
Tayl 10.0 9.0
e.o
7.0 6.0 -j 5.0 • 4.0 3.0 2.0 1.0 -0.0 !< or (dunne l i j n ) srf « 1 0 ^ - 5 tk.j/m3] C h a l w i n ( d i k k e P e : 2000 Gt: 0 . 0 9 Ge: 0 . 9 0 3 . 0 0 lij (-10 • 9 • 8 7 • 6 5 - 4. • 3. • 2 . - 1. i ) .0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 . 0 7 6.24 6 . 4 1 6 . 5 9 6 . 7 6 6 . 9 4 7 . 1 1 7 . 2 9 7 . 4 6 7 . 6 4 7.81T[d<j] 0.0 T a y l o r (dunne l i j n ) 0 * IQ^-S [k<j/m3] 1 6 . 0 1 O i a t u i n ( d i k k e Pe: 2000 Gt: 0.89 Ge: 1.17 K : 4.00 6.07 6.24 6.41 6.59 6.76 6.94 7.11 7.29 7.46 7.64 7 lij rlO - 9 • 8 - 7 • 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1. i) 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0.0 O l T C d g ] F i g . 15 C o n c e n t r a t i e v e r d e l i n g e n naar de t i j d1 9
Hoofdstuk V Conclusie
De verschillen tussen waargenomen concentratieverdelingen en verdelingen voorspeld met het ééndimensionale Taylor-model, wijzen erop dat in veel gevallen ofwel het Taylor far-field nog niet is bereikt, ofwel dat het Taylor-model meer structurele tekortkomingen kent.
De vele, vaak niet volledig begrepen, fysische mechanismen die een rol kunnen spelen in het dispersie-proces, verhinderen vooralsnog een meer eenduidige kwantitatieve analyse van dispersie in natuurlijke rivieren.
Ongeacht de oorzaken van afwijkingen van het Taylor-model, kunnen waargenomen concentratieverdelingen echter beschreven worden in termen van die afwijkingen: uitgaande van drie verdelingsparameters (gemid-delde, variantie en scheefheid) kan een benadering van de concentratie-verdeling worden gegeven.
Deze benadering biedt de flexibiliteit om de gevolgen van near-field processen te verdisconteren.
LITERATUURLIJST
Beltaos S. (1980)
'Longitudinal Dispersion in Rivers'
Proc. ASCE J. Hydr. Div. 106 HYl pp. 151-172 Chatwin P.C. (1970)
'The approach to normality of the concentration distribution of a solute in a solvent flowing along a straight pipe'
J. Fluid Mech. 43 pp. 321-352 Chatwin P.C. (1971)
'On the interpretation of some longitudinal dispersion data' J. Fluid Mech. 48 pp. 689-702
Chatwin P.C. (1972)
'The cumulants of the distribution of concentration of a solute dispersing in solvent flowing through a tube'
J. Fluid Mech. 51 pp. 63-67 Chatwin P.C. (1980)
'Presentation of Longitudinal Dispersion Data' Proc. ASCE J. Hydr. Div. 106 HYl pp. 71-83 Day T.J. (1975)
'Longitudinal dispersion in natural channels' Wat. Resour. Res. Vol. 11, No. 6, pp. 909-918 Elder J.W. (1959)
'The dispersion of marked fluid in turbulent shear flow' J. Fluid Mech. 5 pp. 544-560
Erdogan M.E. en Chatwin P.C. (1967)
'The effects of curvature en buoyancy on the laminar dispersion of solute in a horizontal tube'
J. Fluid Mech. 29 pp. 465-484 Fischer H.B. (1967)
'The mechanics of dispersion in natural streams' Proc. ASCE J. Hydr. Div. 93 HY6 pp. 187-216 Fischer H.B. (1977)
Discussie over: McQuivey en Keefer (1976) Proc. ASCE J. Hydr. Div. 103 HY8 pp. 948-949 Fischer H.B. et al. (1979)
'Mixing in inland and coastal waters' Academic Press, New York
McGuirk J.J. en Rodi W. (1978)
'A depth averaged mathematical model for the near-field of side discharges into open-channel flow'
J. Fluid Mech. 86 pp. 761-781 McQuivey R.S. en Keefer T.N. (1976)
'A convective model of longitudinal dispersion' Proc. ASCE J. Hydr. Div. 102 HYIO pp. 1409-1437
2 1
Nordin C.F. en Troutman B.M. (1980)
'Longitudinal dispersion in rivers: the persistence of skewness in observed data'
Wat. Resour. Res. Vol. 15 No. 1 pp. 123-128
Sayre W.W. (1968)
Discussie over: Fischer (1967)
Proc. ASCE J. Hydr. Div. 94, HY6 pp. 1549-1556 Sayre W.W. (1975)
'Dispersion of mass in open channel flow' Hydrology paper 75
Colorado State Univ., Fort Collins, Colorado Sayre W.W. (1977)
Discussie over: McQuivey en Keefer (1976) Proc. ASCE J. Hydr. Div. 102 HY7 pp. 820-823 Smith R. (1976)
'Longitudinal dispersion of a buoyant contaminant in a shallow channel'
J. Fluid Mech. pp. 667-688 Smith R. (1978)
'Asymptotic solutions of the Erdogan-Chatwin equation' J. Fluid Mech. 88 pp. 323-339
Smith R. (1979)
'Buoyancy effects upon lateral dispersion in open channel flow' J. Fluid Mech. 90 pp. 761-781
Sullivan P.J. (1971)
'Longitudinal dispersion within a two-dimensional shear flow' J. Fluid Mech. 49 pp. 551-576
Taylor G.I. (1954)
'The dispersion of matter in turbulent flow through a pipe' Proc. Roy. Soc. London Ser. A 223
Thackston E.L. en Schnelle K.B. (1970)
'Predicting effects of dead zones on stream mixing' Proc. ASCE San. Engrg. Div. 96 SA2 pp. 319-331 Vries M. de (1984)
'Vloeistofmechanica' Collegehandleiding b71N
TU Delft, Fac. Civiele Techn. Yotsukura N. en Sayre W.W. (1976)
'Transverse mixing in natural channels' Wat. Resour. Res. 12 No. 4 pp. 695-704
