Przepustowość złożonych węzłów transportowych

Seria: TRA N SPO RT z. 44

2002 N r kol. 1562

Janusz W OCH

PRZEPUSTOWOŚĆ ZŁOŻONYCH WĘZŁÓW TRANSPORTOWYCH

S treszczenie. W ęzły transportow e są przedm iotem zainteresow ania zarówno teoretyków potoków ruchu (patrz D rew , 1968, H aight, 1963, T anner 1962, W ebster 1958), ja k i projektantów dróg i ruchu transportow ego (patrz D atka, Suchorzew ski i Tracz 1989, W ęgierski 1971). M odelow anie m atem atyczne w ęzłów transportow ych w ym aga zastosow ania narzędzi teorii kolejek i m etod M onte Carlo (patrz Gross i H arris, 1974, H eidem ann 1996, W och 1977, 1983, 1990, 1998a, 1999a, 1999b). N iniejsze spraw ozdanie dotyczy rocznego etapu prac B K -245/R M -10-5/2002 pt. M etody optym alizacji sieci transportow ych.

CAPACITY OF COMPLEX TRANSPORTATION NODES

S u m m a ry . T ransportation nodes are places o f considering for searchers o f traffic flows (see D rew , 1968, H aight, 1963, N ew ell, 1965, Tanner, 1962, W ebster, 1958), as well the road and traffic flow engineers (see D atka, Suchorzewski and Tracz, 1989, W ęgierski, 1971). The m athem atical m odeling o f traffic nodes leads to queueing theory m ethods (see Gross and H arris, 1974, H eidem ann, 1996, H eidem ann and W egm ann, 1997, W och, 1974, 1975, 1977, 1983, 1990, 1998a, 1998b, 1998c, 1998d, 1999a, 1999b). The report is related to annual stage o f research B K -245/R M -10-5/2002 entitled “M ethods o f transportation networks optim isation” .

1. CH A R A K TER Y STY K I Z ŁO ŻO N Y C H W ĘZŁÓ W T R A N SPO R TO W Y C H

E le m e n ta rn y m w ęzłem tr a n s p o rto w y m nazyw ać się będzie skrzyżowanie, połączenie lub rozłączenie dróg dw óch potoków ruchu. S ą to m iejsca pow staw ania kolejek ruchu w kolizyjnych sytuacjach ruchowych. W zależności od sposobu zapew nienia bezpieczeństw a m ch u m ożna budow ać różne m odele kolejek w w ęzłach elem entarnych.

Jednak bardzo często okazuje się, że niezależne m odele kolejek m ch u w ęzłów elem entarnych są niewłaściw e, poniew aż w ystępuje zjawisko rów noczesności kolejek w ięcej niż jednego pojazdu, w yw ołane przejazdem jednego pojazdu, kolizyjnego dla w ielu elem entarnych węzłów, które m oże m ieć złożone oddziaływ anie n a czas kolejek potoków rów noległych. N a przykład skrzyżow anie dw utorow ej linii tram w ajow ej z uprzyw ilejow anym m chem z jednokierunkow ą d ro g ą sam ochodow ą o trzech pasach m chu składa się z sześciu elem entarnych w ęzłów , które należy rozw ażać łącznie w m odelow aniu kolejek mchu.

Podobnie łącznie należy m odelow ać kolejki m chu w kolejow ych posterunkach odgałęźnych oraz głow icach stacyjnych, a w ięc kolejki w yw ołane kołizyjnością w ęzłów torow ych.

76 J. W och

Podstaw ow ym w ęzłem transportow ym nazyw ać się będzie zespół powiązanych w ęzłów elem entarnych taki, że każda jednostka ruchu przechodząca przez ten w ęzeł m oże być zakłócona bezpośrednio przez pojazd innego potoku tylko raz. Tak w ięc podstaw ow ym węzłem ruchu sam ochodow ego je s t rejon w jazdu i w yjazdu z ronda, skrzyżow anie linii tram wajow ej z drogą sam ochodow ą lub kolejow e w ęzły torowe. Podstaw ow ym w ęzłem transportow ym jest też przejście dla pieszych przez w ielopasow ą drogę sam ochodow ą w raz z torami tram wajowymi. W ęzły podstaw ow e w swej istocie są najm niejszym i fragm entam i sieci transportowej, które ze w zględu na m odelow anie kolejek ruchu należy rozw ażać ja k o całość.

W potocznym rozum ieniu pojęcia w ęzeł transportow y zaw iera się zw ykle fragm ent sieci złożony z kilku blisko położonych w ęzłów podstaw ow ych. S ą to w ięc takie m iejsca, w których dla ustalonego pojazdu kolejki z pow odu bezpośrednich kolizji ruchow ych z pojazdam i innych potoków ruchu m o g ą zdarzać się więcej niż je d en raz. K olejka w w ęźle elem entarnym m oże składać się z w ielu faz oczekiw ania w kolejce, je d n ak w dalszym ciągu będzie to interpretow ane ja k o pojedyncza kolejka, nazyw ana kolejką elem entarną.

Głównym w ęzłem transportow ym nazyw ać się będzie zespół blisko położonych węzłów podstaw owych. Tak w ięc do głów nych w ęzłów m ożna zaliczyć skrzyżow ania dróg lub ulic z system em regulacji ruchu lub bez oraz stacje kolejow e. C harakterystyki kolejek ruchu i przepustow ości w głów nych w ęzłach transportow ych należy zdefiniow ać dla warunków rów now agi ruchu, które form ułuje się na w iele sposobów , ja k to w ykazano w pracach W ocha (1997, 1998a), ja k o agregaty odpow iednich charakterystyk w w ęzłach podstaw owych, to znaczy oczekiw any czas czekania pojazdu i-tego potoku ruchu je st sum ą odpow iednich czasów oczekiw ań w w ęzłach elem entarnych:

kj

x i ( r I ,r2 ,...,rn ) = Ż x ( j ) ( r i , r 2 ,...,rn ) ¡ ¡ > 1 ,

(1)

j = l

gdzie w]J)( q x, q1, . . . , q n) oczekiw any czas czekania i-tego potoku ruchu j-teg o w ęzła elementarnego, n - liczba potoków ruchu, /, - liczba w ęzłów elem entarnych i-tego potoku, a

q i - intensyw ność i-tego potoku.

Przepustow ość w ęzła głów nego rów na jest, dla każdego potoku ruchu i, najm niejszej z przepustow ości w ęzłów elem entarnych:

ru . = r * /l,2 ,i-l.i+ l„ n = m i n ( '■ J /j ,i-i,i+ 1 „ )> J = 1 - 2 ,.. „ k i . (2 )

Optym alna intensyw ność i-tego potoku je st rów na najm niejszej z optym alnych intensyw ności w ęzłów elem entarnych:

9 oU . ~ <7oi71,2,_,i-l,i'+ l n = m ?n ( i rW l12 ,.j -l,/+ l,...n ) > 7 = 1 ) 2 , , ( 3 ) i

gdzie q[i) = q (0?n 2> +1 „ = (? < f : F ,u ) (?</>) = m a x !, F ,u) ( ? , ) = ( 1 - p \ J) ( q , ) ) q , ), natom iast F F ) ( qj ) je s t oczekiw aną płynnością ruchu i-tego potoku w w ęźle j-tym , to znaczy oczekiw aną liczb ą pojazdów potoku i, które płynnie przejdą w ęzeł j , a p (jJ)( q , ) je st praw dopodobieństw em kolejki pojazdu i-tego potoku, j-tego w ęzła, dla intensyw ności ql , przy ustalonych intensyw nościach pozostałych potoków. Jak w idać, optym alna intensywność w złożonych w ęzłach je st charakterystyką m inim aksową.

77

Pow yższe trzy różne sposoby opisu ograniczeń przepustow ości sieci transportowej dają tę sam ą lokalizację w ęzłow ych w ąskich gardeł, to znaczy m iejsca j-tego, w którym je st najw iększy oczekiw any czas czekania potoku z:

(q i , »•••>?■) = max(w<7) ( q y , q2, . . . , q n)), 7 = 1,2,...,/,.. (4)

Jest to samo m iejsce j , co w (2), a w ięc je st to m iejsce najm niejszej przepustow ości.

Rów nież jest to sam o m iejsce j , co w (3), a w ięc - m iejsce najm niejszej płynności ruchu.

W dalszym ciągu analizow ane są przyczyny pow yższych w niosków .

Ze w zględu na złożoność opisu ograniczeń przepustow ości sieci transportow ej dobrze je st stosować jednocześnie dw a rów now ażne sposoby agregacji charakterystyk (2) - (4) - potokow y, taki ja k (1) - oraz w ęzłow y, w którym charakterystyki otrzym yw ane są w dwóch etapach: w poszczególnych w ęzłach głów nych obliczane są sum aryczne charakterystyki (2) - (4), a następnie tw orzone są sum aryczne charakterystyki (2) - (4) dla sieci transportow ej, tak ja k w przykładzie w pracach W ocha (1998a, 1999a, 1999b, 1999c, 2001b). H ierarchiczna struktura opisu ograniczeń przepustow ości w w ęzłach głów nych oraz sieci transportow ej daje m ożliw ość form ułow ania now ych, lepszych projektów m chu oraz zapew nia kontrolę ekspertów nad procesem optym alizacji sieci transportow ej.

2. FUN K CJE K O LE JE K A FU N K C JE PŁY N N O ŚC I R U C H U

D la ustalonego potoku m chu kolejkę w w ęźle elem entarnym m ożna charakteryzow ać na dw a sposoby: poprzez oczekiw any czas czekania oraz oczekiw aną liczbę opóźnionych pojazdów. P oniew aż dotyczą one tego sam ego procesu kolejek, są to rów now ażne sposoby opisu procesu kolejek, je d n a k z form alnego punktu w idzenia czasem niesłusznie traktuje się j e jako nie rów now ażne. Co lepiej charakteryzuje proces kolejek m chu? - długości kolejek czy czasy oczekiw ań? O kazuje się, że w zagadnieniach przepustow ości dróg lepszą charakterystyką je s t długość kolejek lub jej charakterystyki pochodne.

K olejki elem entarne są drobne, ponieważ w potokach ruchu w ystępuje efekt bezpiecznego odstępu m iędzy pojazdam i, w ym uszający m a łą w ariancję odstępu potoku m chu, co daje charakterystyczną „dużą w ypukłość” funkcji kolejek, a w ięc - drobność kolejek elem entarnych. Zjaw isko to uzyskało rów nież uzasadnienie teoretyczne w form ie tak zw anych zlepionych kolejek (patrz W och, 1998a, 1999a). Z tego w zględu w zagadnieniach przepustow ości sieci transportow ych pow inno się stosować charakterystyki długości kolejek, jako dobrze opisujące ograniczenia przepustow ości sieci transportow ej i zastępujące często kłopotliw y opis poprzez charakterystyki czasu kolejek. S pecyfika procesów kolejek potoków m chu w yrażona je s t w haśle: „kolejki m chow e składają się z dużej liczby drobnych strat czasu” i dlatego charakterystyki liczby kolejek lepiej opisu ją zjaw isko.

D la ustalonego potoku i oczekiw any czas czekania w /-tym w ęźle elem entarnym ( q l , q2, . . . , q„) podobny je s t do elem entarnego praw dopodobieństw a czekania p - J)( q l , q2 F unkcje te nazyw a się funkcjami kolejek. M ają one sw ą specyfikę, są to rosnące, w ypukłe funkcje intensyw ności m chu </,. ustalonego potoku m chu i. Poniew aż w szystkie opisują ten sam proces kolejek w danym w ęźle podstaw ow ym , to każda z nich określona je st na tym sam ym przedziale zm ienności w yznaczonym przez przepustow ość w arunkow ą (0, q'^J)) i każda z osobna w yraża dynam ikę w zrostu kolejek w różnych warunkach m chow ych. Funkcje w\ j) oraz p \ J) są podobne i zależą od stopnia w ykorzystania

78 J. W och

przepustow ości w arunkow ej, to znaczy, jeżeli dla potoku i m am y dw a w arianty ruchu w pozostałych potokach w ęzła j , dające istotnie różniące się przepustow ości w arunkow e q ’[J>

oraz q 'fj ) , to w artości odpow iednich funkcji czekania b ęd ą odw rotnie uporządkow ane niż te przepustow ości w arunkow e (rys. 1), a w ięc dla ustalonej intensyw ności ruchu q . :

9,‘0> <q l J) <=> ™ u )( ? , ) > ( < li) <=>P u !( ? ; ) >p\l. ( ? / ) . (5)

gdzie funkcje kolejek wj / ) ( q i ) i p - / ) ( q i ) odpow iadają przepustow ości w arunkow ej q ]}J), natom iast funkcje kolejek w \p (q () i pj/') ( q i ) - 9,*0 ) . N ajw iększa bezw arunkow a przepustow ość <7" odpow iada sytuacji braku ruchu w pozostałych potokach w ęzła (na rys. 1

oznaczoną trzem a gw iazdkam i: ***) i ja k w idać, daje najm niejsze w artości odpow iednich funkcji kolejek.

R y s.l. Funkcje kolejek /-tego potoku w y-tym w ęźle: oczekiw any czas czekania wjJ) (q: ) oraz praw dopodobieństw o czekania p ^ i q ^ ) w trzech różnych strukturach ruchu

pozostałych potoków

Fig. 1. The queueing functions o f i-th flow o f j-th node: the m ean w aiting tim e w \J) (q i ) and the queueing probability p \ J) ( q .) in three different traffic assignm ents for others flows

Jak w idać, m ożliw ości efektyw nego w ykorzystania w ęzła w danym potoku ruchu zależą od pozostałych potoków ruchu, a w ięc od organizacji ruchu, która je s t doskonalona w sposób ewolucyjny, poprzez doskonalenie poprzednich w ariantów ruchu. N a tym polega istota tej problem atyki - nie m ożna w sposób analityczny zbudow ać optym alnego ruchu w ęzła zaczynając od pustej sieci transportow ej. Jest to zaw sze długi proces iteracyjny, popraw iający poprzednie projekty ruchu.

Z funkcjam i kolejek zw iązane są funkcje płynności ruchu, to znaczy praw dopodobieństw o płynności ruchu - l - p ^ j ) ( q l , q2, . . . , q ll) oraz oczekiw ana płynność ruchu - F ju ) ( q. ) = (1 - p (/ } ( ? , , ? 2 ,■••?„ ))q l . S ą to przeciw staw ne pojęcia do funkcji kolejek, a w ięc w identycznych w arunkach różnych przepustow ości w arunkow ych, ja k n a rys. 1, spełniają odw rotne relacje niż (5):

gdzie funkcje płynności z (6) są odpow iednim i do funkcji kolejek z (5), spełniającym i odpow iednie relacje przepustow ości w arunkow ych przedstaw ione na rys. 1. D ow ód relacji (6) je st natychm iastow y, w ynikający z definicji funkcji płynności ruchu.

Z punktu w idzenia ograniczeń przepustow ości postulat zastąpienia charakterystyk czasu czekania poprzez charakterystyki długości kolejek je st postulatem zastąpienia oczekiwanego czasu czekania w \n praw dopodobieństw em czekania p \ J>. Z form alnego punktu w idzenia pierw sza funkcja je s t nieograniczona, natom iast druga je st ograniczona przez 1. (Jest to odbiciem faktu, że liczba pojazdów w zadanym okresie je st ograniczona.) Z tego względu praw dopodobieństw o czekania dokładniej opisuje ograniczenia przepustow ości niż oczekiw any czas czekania. Z drugiej strony, charakterystyki przepustow ości zbudow ane na podstaw ie funkcji płynności ruchu ze swej natury są charakterystykam i liczby kolejek i jako takie lepiej w yrażają ograniczenia przepustow ości niż charakterystyki czasow e. Po trzecie, gdy obserw ujem y rzeczyw isty proces kolejek, to dla bardzo przeciążonych m iejsc łatwiej je st ocenić średnie kolejki, n iż średni czas czekania, co je st dodatkow ym argum entem za

„liczbow ym ” tylko, a nie „czasow ym ” rejestrow aniem kolejek.

W skaźnik w ykorzystania przepustow ości j - tego w ęzła w yrażony je s t stosunkiem intensyw ności ruchu q { do warunkow ej przepustow ości potoku i:

i nie pow inien osiągać w artości 1. W arunkow a przepustow ość q ' , j) je s t w węzłach transportow ych najistotniejszym ograniczeniem przepustow ości sieci transportow ych i jak w idać na rys. 1 decydującym o kształcie funkcji kolejek. K ształt w ykresów funkcji kolejek przedstaw iony n a rys. 1 je s t bardzo pow szechny w literaturze. W yjaśnienie teoretyczne takiego kształtu funkcji czekania daje rów nież teoria zlepionych kolejek (patrz W och, 1998a, 1999a). Spełnienie ograniczeń przepustow ości (7) je s t rów now ażne z istnieniem funkcji kolejek, to znaczy charakterystyk oczekiw anych kolejek. Jeżeli dla dw óch sąsiednich węzłów podstaw ow ychy-tego oraz /-tego w skaźnik w ykorzystania w w ęźle /-tym je s t bliski jedności, a w węźle_/-tym istn ieją duże rezerw y przepustow ości, to praw dopodobieństw a czekania też różnią się w dużym stopniu, to znaczy jeżeli dla intensyw ności q rj(^ (q) ~ 1, to

Rys. 2 ilustruje taki przypadek, który je st bardzo typow y, bow iem duże zróżnicow anie przepustow ości w ęzłów elem entarnych w ynika z dużego w pływ u organizacji ruchu na przepustow ość w arunkow ą. Jest to sedno problem atyki przepustow ości w ęzłów transportow ych (patrz W och, 1990, 1998a, 1999a, 1999b).

q l n

< ?,;0)

-

(?,) <

-

(?,)«• (?,■)<

,), (

)

(7)

Pu? (? ) « PiL (?) <=> (? ) « 77!/> (?)• (8)

80 J. W och

O ptym alna intensyw ność ruchu jako pojęcie przeciw staw ne praw dopodobieństw u czekania (co w ynika z (5) i (6) oraz z definicji optym alnej intensyw ności (3)) jest uporządkow ana w poszczególnych w ęzłach elem entarnych tak, ja k odpow iednie przepustow ości w arunkow e, to znaczy, jeżeli J]\p (q i ) < ( q i ) < 1 , to

9 w. >40!/. > q T - (9)

Jak widać, charakterystyki płynności ruchu są uporządkow ane tak, ja k charakterystyki przepustow ości w arunkow ych oraz odw rotnie niż charakterystyki kolejek, a w ięc w ęzłow e wąskie gardła m o g ą być określane na w iele rów now ażnych sposobów.

Rys.2. Relacje m iędzy w skaźnikam i w ykorzystania a funkcjam i kolejek dw óch różnych w ęzłów elem entarnych potoku i

Fig.2. Relations betw een capacity usage ratios and queueing functions for tw o different elem entary nodes o f flow i

81

Rys. 3. Relacje m iędzy w skaźnikam i w ykorzystania a funkcjam i płynności ruchu dw óch różnych w ęzłów elem entarnych potoku i, tak ja k z funkcjam i kolejek z ry s. 2

Fig. 3. R elations betw een capacity usage ratios and traffic fluency functions for tw o different elem entary nodes o f flow i, by analogy to queueing functions in fig. 2

Potoki ruchu, w których intensyw ność ruchu nie przekracza optym alnej intensyw ności, nazyw ane są płynnym i potokam i ruchu, w przeciw nym razie - opóźnionym i potokam i ruchu.

Ruch płynny to taki, w którym w szystkie potoki ruchu są płynne, w przeciw nym razie ruch je st opóźniony.

L ite r a tu r a

1. D atka, S., Suchorzew ski, W. i Tracz, M. (1989) Inżynieria ruchu. W KŁ, W arszawa.

2. Drew, D. R. (1968) Traffic flow theory and control. M cG raw -H ill B ook Com pany, New York.

3. Gross, D. i H arris, C. M. (1974) Fundam entals o f queueing theory. John W iley & Sons, N ew York.

4. Haight, F. A. (1963) M athem atical theories o f traffic flow. A cadem ic Press, N ew York.

5. Heidem ann, D. (1996) A queueing theory approach to speed-flow -density relationships.

In: Transportation and Traffic Theory, (ed Lesort), Pergam on, 103-118.

6. Heidem ann, D. i W egm ann, H. (1997) Q ueueing unsignalized intersections.

Transportation R esearch - B 31, 239-263.

7. Kim, T. J. i Suh, S., (1989) A Solution for N onlinear Bilevel P rogram m ing M odels o f the Equilibrium N etw ork D esign Problem . In The A rchives o f Transport 1/1,2, (PAN W arsaw), 71-89.

8. Pietrusiński, G. (1995) W arianty organizacji ruchu w centrum K atow ic, niepublikow ana praca dyplom ow a Instytutu T ransportu Politechniki Śląskiej.

9. Plewnia, M. (1995) M odelow anie płynności ruchu katow ickiego ronda, niepublikow ana praca dyplom ow a Instytutu Transportu Politechniki Śląskiej.

10. Stark, R. i N icholls, R. (1979) Podstaw y projektow ania inżynierskiego. PW N , W arszawa.

11. Steenbrink, P. A. (1978) O ptym alizacja sieci transportow ych. W K Ł, W arszawa.

12. Tanner, J. C. (1962) A theoretical analysis o f queues at an uncontrolled intersection.

B iom etrica 49, 163-170.

82 J. W och

13. W ebster, F. W. (1958). Traffic signal settings. R oad Searched Technical Paper No. 39.H er M ajesty ’s S tationery Office, London.

14. W ęgierski, J. (1971) M etody probabilistyczne w projektow aniu transportu szynowego.

W K Ł W arszawa.

15. W och, J. (1977) O gólne ujęcie zagadnień przepustow ości ja k o problem u w ym iarow ania układów kolejow ych, (w): Inform atyka w planow aniu technicznym przewozów kolejow ych. W K Ł W arszaw a, 263-348.

16. W och, J. (1983) P odstaw y inżynierii ruchu kolejow ego. W K Ł W arszawa.

17. W och, J. (1990) Efektyw ność w ykorzystania sieci kolejow ej. E ksploatacja K olei 11- 12/90. W K Ł W arszaw a, 218-224.

18. W och J. (1998a) K ształtow anie płynności ruchu w gęstych sieciach transportowych.

O ddział PA N w K atow icach.

19. W och J. (1998b) C entrum logistyczne w K atow icach ja k o składnik strategii PKP.

M ateriały K onferencji P ojazdy Szynowe ’98, G liw ice 287-293.

20. W och J. (1998c) A effectiveness o f the logistic centre in K atow ice. M ateriały Konferencji: C om m unications on the edge o f the millenniums, l t f h International Scientific Conference: U niversity o f Żilina. Żilina 1998, 177-181.

21. W och, J. (1999a) A queueing theory model for traffic flow. M odelling a n d M anagem ent in Transportation,Volum e 1, Poznan - K raków, 295-300.

22. W och, J. (1999b) Two queueing theory m odels for traffic flow. The A rchives o f Transport, 11, 1-2, 73-90.

23. W och, J. (1999c) C apacity o f com plex nodes. The A rchives o f Transport, 11, 3-4, 87-100.

24. W och, J. (2001a) Statystyka procesów transportow ych. W ydaw nictw o Politechniki Śląskiej,G liw ice.

25. W och, J. (2001b) N arzędzia analizy efektyw ności i optym alizacji sieci kolejow ej (System O ceny U kładów T orow ych-SO U T - opis podstaw ow ego oprogram ow ania). W ydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice.

Recenzent: Dr hab. Tom asz A m broziak, prof. Pol. W arszawskiej

Abstract

Characteristics o f com plex transportation nodes have been presented in the article. The elem entary transportation node is a road intersection w ith two traffic flow s connected or disconnected. There are places o f traffic w aiting appear in during collision situations. The base transportation node is a set o f elem entary nodes w here each vehicle traveling by this node m ay be single troubled b y vehicle o f other flow. The m ain transportation node is a set o f closely neighboring base transportation nodes.

The w aiting and capacity characteristics w e m ay define, for traffic equalizing conditions, as the aggregates o f characteristics in base nodes. It m eans that the m ean waiting tim e o f z'-th vehicle o f traffic flow is the sum o f the m ean w aiting tim es into elem entary nodes.

The capacity o f m ain node for each traffic flow i is equal to the sm allest o f elem entary nodes capacities, and the optim al intensity o f z'-th flow is equal to the sm allest flow optim al intensity o f elem entary nodes.

83

The queue in elem entary node for given traffic flow should be described in tw o ways:

by the m ean w aiting tim e and the m ean queue length. The elem entary w aiting tim e for given flow i o f j-th elem entary node is sim ilar to the queueing probability. T hese functions are called the queueing functions.

Praca wykonana w ram ach badań B K 245/RM 10-5/2002.