Minimalizacja sumy ważności czasów zakończenia wykonywania zadań w jednomaszynowym problemie szeregowania z czasami przezbrojeń zależnymi od zasobów

ZESZYTY N A UK O W E POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: AUTOMATYKA z. 134

2002 N r kol. 1554

Adam JANIAK, Maciej LICHTENSTEIN, Piotr SŁONIŃSKI Politechnika W rocław ska

MINIMALIZACJA SUMY WAŻONYCH CZASÓW ZAKOŃCZENIA WYKONYWANIA ZADAŃ W JEDNOMASZYNOWYM PROBLEMIE SZEREGOWANIA Z CZASAMI PRZEZBROJEŃ ZALEŻNYMI OD ZASOBÓW

Streszczenie. W niniejszej pracy rozpatrywany je st jednom aszynow y problem szeregowania zadań z przezbrojeniam i sekwencyjnie niezależnym i i ograniczeniem technologii grupowej. Przyjęto, że czasy przezbrojeń opisane s ą przez nierosnące, liniowe funkcje zależne od dodatkowego zasobu podzielnego w sposób ciągły lub dyskretny. Jako kryterium optymalności przyjęto m inim alizację w ażonych czasów zakończenia w ykonyw ania zadań. W ykazano, że problem z zasobem podzielnym w sposób dyskretny je st problem em NP-trudnym . Ponadto, wykazano szereg w łasności badanego problem u oraz zaproponowano kilka algorytm ów przybliżonych, których efektywność zbadano eksperymentalnie.

SINGLE M ACHINE SCHEDULING PROBLEM W ITH RESOURCE- DEPENDENT SETUP TIMES AND THE TOTAL W EIGHTED COMPLETION TIM E CRITERION

S um m ary. In the paper a single m achine scheduling problem w ith sequence- independent setup tim es and group technology is considered. The setup tim es are given as some nonincreasing, linear functions dependent on additional continuously or discretely-divisible resources. The scheduling criterion is the m inim ization o f the total weighted com pletion tim e. It is shown that the problem w ith discretely-divisible resources is N P-hard. A dditionally, som e specific properties o f the problem are proven, and several approxim ation algorithm s are proposed. The efficiency o f these algorithms is verified experimentally.

1. W prow adzenie

Problemy szeregow ania zadań z param etram i zależnymi od zasobów (takimi ja k czasy wykonywania, term iny dostępności, czy czasy przezbrojeń) były szeroko rozpatryw ane w

220 A. Janiak, M. Lichtenstein, P. Sioniński

literaturze naukowej w ciągu ostatnich kilku lat. Poza oczywistym znaczeniem teoretycznym, badania nad tymi problem am i m otywowane są różnymi zastosowaniam i praktycznymi, które m ożna znaleźć zarówno w system ach produkcyjnych, ja k i systemach komputerowych.

W literaturze ostatnich lat m ożna znaleźć w iele rezultatów dla problem ów szeregowania z czasam i w ykonyw ania zależnymi od zasobów ([2,4]) lub wcześniej z tzw. czasami kontrolow anym i (ang. controllable processing times) ([6,9]). Część autorów rozpatrywała rów nież problem y z term inam i dostępności oraz czasami przezbrojeń zależnym i od zasobów ([3,5]). W dziedzinie szeregowania zadań z przezbrojeniam i m ożna znaleźć wiele prac przeglądow ych. O statnio opublikowane to [1] i [7].

W mniejszej pracy rozważany je st jednom aszynow y problem szeregowania zadań z czasam i przezbrojeń zależnym i od zasobów przy kryterium m inim alizacji sum y ważonych czasów zakończenia wykonywania zadań. W rozpatrywanym problem ie czas przezbrojenia opisany je s t nierosnącą, liniow ą funkcją zależną od zasobu podzielnego w sposób ciągły lub w sposób dyskretny.

P ozostała część pracy zorganizow ana je st następująco. W następnym rozdziale badany problem zostanie precyzyjnie sform ułowany. W rozdziale 3 przedstaw ione s ą podstawowe w łasności badanego problem u, które zachodzą dla obu przypadków, tj. dla zasobu podzielnego w sposób ciągły, ja k i podzielnego w sposób dyskretny. Rozdziały 4 i 5 pośw ięcone s ą odpow iednio problem owi z zasobem podzielnym w sposób ciągły i w sposób dyskretny. Cała praca je st podsum ow ana w rozdziale 6.

2. Sformułowanie problemu

D any je st zbiór J = {1,...,«}, n zadań do w ykonania na pojedynczej maszynie. Każde zadanie j e J je s t scharakteryzow ane przez czas jego w ykonywania > 0 , wagę (priorytet) Wj > 0 i należy do jednej i tylko jednej rodziny I f e F , gdzie i r = {7/ \ f = 1 ,...,£} jest zbiorem B rodzin zadań. Z k ażdą rodziną I j e F skojarzone je st przezbrojenie maszyny o czasie trw ania s f , które musi być w ykonane przed rozpoczęciem wykonywania zadań z rodziny I f . Czas przezbrojenia sf zadany je st następującym modelem:

sf = b j - QjUj, Uj e U f ,

Minimalizacja su m y w ażo n y ch czasów .. 221

gdzie bj > 0 je s t m aksym alnym czasem przezbrojenia, a{ > 0 współczynnikiem kom presji czasu przezbrojenia (współczynnikiem wykorzystania zasobu), natom iast u f ilością zasobu przydzielonego do przezbrojenia. Zbiór w szystkich możliw ych wartości zasobu jakie m ogą być przydzielone do przezbrojenia, je st zadany przez U f . W przypadku gdy zasób je st podzielny w sposób ciągły, to U, = [0; ] , gdzie uf > 0 je st m aksym alną ilością zasobu, jaka może być przydzielona do przezbrojenia sf . Ze względu na to, Ze czas przezbrojenia nie może być ujemny, dla każdej r o d z in y ^ s F musi być spełniona następująca nierówność:

uf < . W przypadku zasobu podzielnego w sposób dyskretny zbiór U f zaw iera k j > 1

wartości zasobu, ja k ie m ogą być przydzielone do przezbrojenia, tj. U j = {u'j,...,uk/ } , gdzie uj > u}~' dla j = 2 , . . . , k f . Bez utraty ogólności możemy przyjąć, że i i | = 0 . Podobnie ja k w przypadku ciągłym czas przezbrojenia nie może być w ielkością ujem ną, w ięc dla każdej rodziny / / e F nierów ność w*' < mus i być spełniona. W obu m odelach (tj. z zasobem ciągłym i dyskretnym) całkow ita ilość zasobu przydzielona do przezbrojeń je st ograniczona, tzn. • W badanym problem ie występuje dodatkowo tzw. ograniczenie technologii grupowej (GT - ang. group technology), zabraniające dzielenia rodzin zadań na m niejsze grupy (pomiędzy zadaniam i należącymi do jednej rodziny nie może być wykonywane zadanie należące do innej rodziny). Problem polega na znalezieniu takiej sekwencji wykonywania zadań oraz takiego przydziału zasobów do przezbrojeń, które m inim alizują kryterium sumy

n

ważonych czasów zakończenia w ykonywania zadań: T = 'YJ WjC] , gdzie Cj je st czasem

zakończenia w ykonyw ania zadania j . W zw iązku z powyższym, pojedyncze rozw iązanie problemu będzie dalej reprezentow ane p arą ( n , u ) , gdzie n = (zz(l),...,zr(«)) je st perm utacją na zbiorze J określającą sekw encję w ykonyw ania zadań, natom iast u = [u ,,...,u i ] je st wektorem ilości zasobów przydzielonych poszczególnym przezbrojeniom. W dalszej części pracy problem ten będziem y notow ać krótko jako:

\ \ S f = b f - a i U f , Y JU f < U , G T \ Y J W j C j (1)

dla przypadku z zasobem ciągłym lub

llc is c r.jj. = b f - O f U f ^ U f ¿ U ^ T ^ W j C j

(

)

dla przypadku z zasobem dyskretnym.

222 A. Janiak, M. Lichtenstein, P. Słoniński

3. Własności problemu

W tej części pracy zo staną przedstaw ione własności problem u, które zachodzą zarów no w przypadku zasobu podzielnego w sposób ciągły, ja k i w sposób dyskretny.

W łasn o ść 1. W rozwiązaniu optymalnym zadania w obrąbie rodzin uszeregowane są według reguły S W P T (ang. shortest weighted processing time fir s t [8]), tzn. według niemałejących wartości P j / W j .

D ow ód. D owód tej własności m oże być wykonany przez zam ianę sąsiednich zadań i ze w zględu na prostotę zostanie pominięty. ■

W prow adźm y następującą definicję:

D efin ic ja 1. Przez zagregowane zadanie będziemy rozumieli zadanie o czasie trwania (zależnym o d zasobu) P{ = ^ e, P j + b j ~ a j uj = b j ~ a jU j oraz wadze Wj

D odatkow o, problem y szeregow ania zadań zagregowanych przy kryterium m inim alizacji sumy w ażonych czasów zakończenia ich w ykonyw ania będziemy oznaczać jako:

1 | ^ - 6 ) ®

w przypadku problem u z zasobem podzielnym w sposób ciągły oraz

\\ d s c r , P / ^b'/ - a / u/ , Y Ju/ < U \ Y JW/ C/ (4) w przypadku problem u z zasobem podzielnym w sposób dyskretny, gdzie Cf oznacza term in zakończenia wykonyw ania zagregow anego zadania f W problem ach tych zbiór zadań oznaczym y przez ńT = {l,...,B }, a pojedyncze rozw iązanie będzie reprezentowane parą (er,u), gdzie a = (cr(l),...,cr(B )) je s t perm utacją określającą sekwencję wykonywania zagregow anych zadań, natom iast u = .,« a ] je st w ektorem ilości zasobów przydzielonych poszczególnym zagregow anym zadaniom.

T w ie rd z e n ie 1. Problemy (1) i (2) są równoważne odpowiednio problemom (3) i (4).

D ow ód. Załóżm y, że w problem ie (1) (lub (2)) m om ent rozpoczęcia wykonywania rodziny I f (m om ent rozpoczęcia przezbrojenia) je st równy S. B ez utraty ogólności możemy założyć, że do rodziny I f należą zadania od k do / i że s ą wykonywane w tej właśnie kolejności.

Minimalizacja sum y w ażo n y ch czasów ... 223

Wówczas część kryterium , zw iązana z w ykonaniem tej rodziny (oznaczona przez Tf ), będzie miała następującą postać:

i

T , = Y Jwj Cj zz^ + s / + P ^ wi‘ + ( S + S/ + P i c + Pk, i K +i +. . . + ( S + s / + p i +... + p , ) w , =

jak

(s+Sf+^PjiZwj-iwi Y,p> = (s+sf + 'Zpj")'Zwj -E w/ Z Pj=(s+p/ W , - a .

jml j a k ¡ak j - l + \ j * l f j * I f ł - k j * i+1

Należy zauważyć, że składnik (S + Pf )W/ je st równoważny wpływowi na kryterium, jakie miałoby rozpoczęcie wykonyw ania zadania zagregowanego / również w m om encie S.

i-1 i

Pozostały składnik A = ' ^ / wl ' ^ ip J nie zależy od m om entu rozpoczęcia wykonywania

t - k

;./+!

rodziny, tylko od kolejności w ykonywania zadań w obrębie rodziny, a ta, ja k w iem y z Własności 1, pow inna być ustalona zgodnie z regułą SW PT, w ięc je st stała. N ależy przypomnieć, że w problem ach (1) i (2) obow iązuje ograniczenie GT, w ięc poszczególne rodziny wykonywane są jed n a po drugiej i m ogą być zastąpione przez zagregowane zadania.

■

Dla problem ów (3) i (4) zachodzi następująca własność:

Własność 2. Przy ustalonym wektorze rozdziału zasobów u optymalną permutację uzyskujemy przez uszeregowanie zadań zgodnie z regułą SWPT, tj. wg niemalejących wartości Pf /W f .

Dowód. Dowód tej w łasności, podobnie ja k W łasności 1, m oże być w ykonany przez zam ianę sąsiednich zadań i zostanie pominięty. ■

4, Problem z zasobem podzielnym w sposób ciągły

W tym rozdziale rozpatrywany będzie problem z zasobem podzielnym w sposób ciągły, tj. problem (3). W ykazano następujące własności problem u:

Własność 3. Przy ustalonej permutacji a optymalny rozdział zasobów dla problemu (3) uzyskujemy w 0 ( B lo g B) krokach za pom ocą następującego algorytmu:

Algorytm R

Krok0: Inicjalizacja: K := {1,...,B}, u { := 0 dla / e K .

Kroki: Znajdź zadanie a { g ) e K takie, że o = m ax/«/r

224 A. Janiak, M. Lichtenstein, P. Słoniński

K ro k 2: Podstaw K : = K \ {<j(g)}, ua(g) := m in {U, ua(g)} , U = U - ua{g).

K ro k 3: Jeżeli K = 0 lub U = 0 , to STOP. W przeciwnym przypadku przejdź do Kroku 1.

D ow ód. O ptym alność tego algorytm u w ynika z tego, że zasób przydzielany je st w pierwszej kolejności tym zadaniom , dzięki którym otrzym am y największy spadek wartości funkcji kryterialnej. Ze w zględu na to, że funkcja kryterialna je st liniowa, takie postępow anie jest poprawne. ■

W łasn o ść 4. Istnieje rozwiązanie optymalne problemu (3), w którym co najwyżej jedno zadanie ma przydzieloną pośrednią wartość zasobu (0 < u{ < u¡). Pozostałe zadania albo mają przydzieloną maksymalną możliwą ilość zasobu ( Uj = u / ),albo nie mają przydzielonego zasobu wcale (Uj- = 0 ).

D ow ód. W łasność ta je st bezpośrednim wnioskiem z działania algorytm u rozdziału zasobu R.

■

N a podstaw ie wyżej przedstaw ionych własności sform ułowano następujące tw ierdzenie:

T w ie rd z e n ie 2. Problem (3) j e s t rozwiązywalny w czasie log B).

D ow ód. N a podstaw ie W łasności 2 wiem y, że przy ustalonym rozdziale zasobu optymalną perm utację uzyskujem y przez uszeregow anie zadań w g reguły SW PT. Z kolei wektorów rozdziału zasobu spełniających W łasność 4 je st 0 ( B U) (przy założeniu że wszystkie w ielkości w problem ie są całkowite). D la każdego takiego w ektora otrzym ujem y optymalną perm utację w czasie 0 ( B log B) i wyliczam y w artość kryterium. Spośród tak wyliczonych wartości w ybieram y najmniejszą. C ałą procedurę m ożna zrealizow ać w ięc w czasie

0 ( B lh ' l o g B ) . m

Z e w zględu na to, że Tw ierdzenie 2 podaje algorytm wykładniczy rozwiązania problem u, zaproponow ano trzy przybliżone algorytmy heurystyczne.

Minimalizacja sum y w ażonych czasów.. 225

4.1. A lgorytm y p rzy b liżo n e

A lgorytm y oznaczono odpowiednio H I, H2, H3. Algorytmy te działają wg następującego schem atu i m o g ą być zrealizow ane w czasie 0 ( B log B):

Krok 1: W yznacz perm utację a zgodnie z pew ną regułą.

Krok 2: D la w yznaczonej perm utacji w yznacz optymalny rozdział zasobów zgodnie z algorytm em R.

A lgorytm y H I, H2 i H3 ró żn ią się tylko regułą w yznaczania perm utacji w K roku 1.

Dla poszczególnych algorytm ów reguły te s ą następujące:

HI: W yznaczam y perm utację cr taką, że < ó ^ (/łl) dla / = 1...B - \ .

H2: W yznaczam y perm utację c r ta k ą ż e g(/) dia y = 1 , . . . ^ - ! .

W c U )

H3: W yznaczam y perm utację cr ta k ą że Wa(/) < dla / = 1 , . . . , 5 - 1 .

4.2. A naliza e k sp e ry m e n ta ln a

W celu przebadania jakości rozw iązań dostarczonych przez algorytmy H1-H3 wygenerowano 1100 instancji badanego problem u. Parametry instancji były generowane zgodnie z rozkładem jednostajnym na następujących przedziałach: Zy e [1;10 0 ], e [l;1 0 ],

W , e [ 1;10], üf e [0;bf l a ¡ \ , U b ° ; E u/

!*K

. W ygenerowano dw ie grupy instancji: (1) 100

instancji dla B - 20 oraz (2) 1000 instancji dla 5=100. W szystkie instancje rozw iązano algorytmami H 1-H 3, dodatkowo instancje (1) rozwiązano optym alnie zgodnie z Twierdzeniem 2. Jakość rozw iązań dostarczanych przez algorytmy oceniono za pom ocą następujących wskaźników:

T ( A ) — O P T

B a -

Q p j,

dostarczone przez algorytm A e { H \ , H 2 , H 3 ) oraz O P T oznacza rozw iązanie optymalne,

T ( A ) - T ( H 2 ) ,. . t .. ... , .

X A = -■ ■ --- -— - - dla instancji z grupy (2), gdzie T(A) oznacza rozw iązanie T { H 2)

dostarczone przez algorytm A e { H \ , H 2 , H 3 } oraz T(H2) oznacza rozw iązanie dostarczone przez algorytm H2.

226 A. Janiak, M. Lichtenstein, P. Słoniński

U średnione wyniki eksperymentów przedstawione są w tablicy 1.

Tablica 1 Wyniki eksperym entów obliczeniowych dla

algorytmów H1-H3

A H I H2 H3

5„[% ] 27,80 1,23 138,12

i t m 23,45 0,00 122,22

W yniki eksperym entów pokazują jednoznaczną przewagę algorytm u H2. Algorytm H3 je st praktycznie bezużyteczny (nigdy nie dostarczy! najlepszego rozwiązania).

5. Problem z zasobem podzielnym w sposób dyskretny

W rozdziale tym rozpatrywany będzie problem z zasobem podzielnym w sposób dyskretny, tj. problem (4). Dla tego problem u na w stępie sform ułujm y następujące twierdzenie:

T w ie rd z e n ie 3. Problem (4) należy do klasy problemów NP-trudnych.

D ow ód. W celu udow odnienia N P-trudności problem u (4) transform acji wielomianowej dokonano z N P-zupełnego problem u podziału z równym i mocami zbiorów (ang. E C P - Equal Cardinality Partition). Problem E C P zdefiniowany je s t następująco:

E C P (Equal Cardinality Partition): Dany je st zbiór 2m elem entów N = {l,...,2m }. Dla każdego elem entu i e N określona je st jego wartość ^ > 0 taka, że 2^™ ?, = 2 Q . Czy istnieje podzbiór X ę. N taki, że ^ JitXqi = Q i |ńT| = m ?

D ecyzyjna w ersja problem u (4), oznaczona dalej przez T C , zdefiniow ana jest następująco:

T C : Dany je st problem \\d s c r , P f =b'j - a j U j ^ U j ś U l ^ W j C j . Czy w tym

problem ie istnieje uszeregowanie zadań i rozdział zasobów takie, że T = X ! / . i ^ 7 ^ / - gdzie Y je s t p ew n ą zadaną stałą?

N a podstaw ie instancji problem u E C P tw orzym y następującą instancję problem u TC:

5=2/«, a j = 1, b j = W j = C j , U j = { 0 , C j } , C j = A + q j dla / = !,..., B,

M inim alizacja sum y w ażonych czasów.. 227

gdzie A je s t pew ną d u żą stalą (co najmniej w iększą niż Q 2), U = mA + Q , Y = ( A 2(m + m 2) + Q (2 A + 2mA) + 2Q 2) / 2 .

Zauw ażm y, że w dow olnym rozw iązaniu powyższej instancji problem u T C zadania dzielą się na dw a zbiory: K„ - te zadania, którym przydzielono zasób, oraz K 0 - te zadania, którym zasobu nie przydzielono. Zadania ze zbioru K u m ają zerowy czas w ykonywania i są wykonywane n a początku uszeregow ania nie w pływając na w artość kryterium. D la zadań ze zbioru K 0 zachodzi rów ność Pf =W / t w zw iązku z czym zadania te wykonywane s ą w dowolnej kolejności (patrz W łasność 2) po zadaniach ze z b io ruK„. Tak w ięc pojedyncze rozwiązanie m oże być reprezentow ane przez dwa zbiory K 0 i K u takie, że K 0 u K u = K oraz K 0 n K u = 0 . W artość kryterium w dowolnym rozw iązaniu powyższej instancji możemy zapisać następująco:

T = H Wf C , =

/!*■„ /.geK*./Sg /«*»

! > /

W«*»

Po podstaw ieniu w artości Cj = A + qf oraz kilku przekształceniach otrzymujemy:

' 'i2 2T = A2(\ K0 \ + \ K0 \2) + (2A + 2 \ K 0 \ A ) Y iq/ + Y iq } +

/«*o \/*K0 J •

A by problem T C posiadał rozw iązanie (tzn. aby odpow iedź na postaw ione pytanie była: TA K), m u sz ą być spełnione następujące nierówności: T ś Y - nierów ność wynikająca z wartości kryterium oraz - nierówność w ynikająca z ograniczenia na ilość zużytego

zasobu. Po podstaw ieniu do tych nierówności wielkości wynikających z transform acji oraz po dokonaniu prostych przekształceń m ogą one być równoważnie zapisane jako:

A2(\ K0 \ + \ K 0 \2) + (2A + 2 \ K 0 \ A ) Y Jq/ + Y , (l } +

Z ?

/«*» /e*. /

V./«*. /

A 2 (m + m 2) + Q(2A + 2mA) + 2 Q 2

\ K , \ A + J j q J > m A + Q /«*»

(5)

(

)

(EC P=>TC ) Załóżm y, że problem E C P ma rozwiązanie, tzn. istnieje X c N takie, że i

\x

228 A. Janiak, M. Lichtenstein, P. Siemiński

w ielkości do nierów ności (5) i (6) oraz wykorzystując oszacowanie q} ś Q 2, możemy łatwo stw ierdzić, że są one spełnione. Tak więc, jeżeli problem E C P m a rozwiązanie, to problem T C rów nież m a rozwiązanie.

(T C = > E C P) Załóżm y, że problem T C m a rozwiązanie, tzn. że nierówności (5) i (6) są spełnione. Istnieje stała A na tyle duża, że nierów ność (5) je st spełniona tylko wówczas, gdy

| AT0 1< w . Z kolei istnieje stała A, na tyle duża, że nierów ność (6) je st spełniona tylko w ów czas, gdy | K 0 1> m . Stąd otrzym ujemy, że problem T C m a rozw iązanie tylko wówczas, gdy | K 0 1= m-. Podstaw iając \ K 0 \=m w nierów nościach (5) i (6) otrzymujemy:

( V

{2A + 2 m A ) Y j q/ + T J^ + 2 > / S Q(2A + 2mA) + 2 Q 1 (7)

f e K 0 / * K 0 ^fcK0

mA+'Y_iq f > m A + Q (8)

N ierów ność (8) je s t spełniona tylko w ówczas, gdy > Q . Ponadto istnieje na tyle

duża stała A, że nierów ność (9) je s t spełniona tylko w ów czas, gdy '^ j qf < Q . Ostatecznie

otrzym am y, że nierów ności te są spełnione tylko wtedy, gdy ^ 9 / = 2 - Ponieważ, jak flK,

wcześniej pokazaliśm y, | K 0 1= m , podstaw iając X = K 0 otrzym ujem y rozw iązanie problemu E C P . Do kom pletności dow odu pozostaje oszacowanie stałej A. Łatwo spraw dzić, że zgrubne oszacow anie A = 1 6 Q 4 wystarczy, aby w szystkie powyższe rozw ażania były prawdziwe, a podana transform acja w ielom ianowa. Ostatecznie m ożem y stwierdzić, że problem T C ma rozw iązanie w tedy i tylko w tedy, gdy problem E C P m a rozwiązanie, a ponieważ problem E C P je s t problem em N P-zupełnym , to T C rów nież je st problem em N P-zupełnym , a jego w ersja optym alizacyjna je st NP-trudna. ■

D la problem u z zasobem dyskretnym nie udało się niestety znaleźć algorytmu optym alnego rozdziału zasobu przy ustalonej perm utacji (istnieje przypuszczenie, że problem rozdziału zasobu je st N P-trudny). Podobnie, dla tego problem u nie zachodzi W łasność 4, co go znacznie kom plikuje. W zw iązku z tym przy konstrukcji algorytm ów przybliżonych zastosow ano nieco inne podejście.

M inimalizacja sum y w ażonych czasów... 229

5.1. A lg o ry tm y p rzy b liżo n e

D la problem u (4) zaproponow ano trzy następujące algorytmy oznaczone odpow iednio D l, D2, D 3. A lgorytm y te działają w g następującego schem atu i m ogą być zrealizow ane w czasie 0 ( B log B ):

K ro k 1: W yznacz rozdział zasobów u zgodnie z pew ną regułą.

K rok 2: D la w yznaczonego rozdziału zasobu w yznacz optym alną perm utację cr zgodnie z reg u łą SW PT.

Algorytm y D l, D2 i D3 ró żn ią się tylko regułą w yznaczania rozdziału zasobu w Kroku 1. Dla poszczególnych algorytm ów reguły te s ą następujące:

D l: Przydziel zasób (w maksymalnej możliwej ilości) do zadania, które m a największy współczynnik W/ . Postępuj tak, aż do w ykorzystania zasobu.

D2: Przydziel zasób w (maksym alnej możliwej ilości) do zadania, które m a największy współczynnik a j . Postępuj tak, aż do wykorzystania zasobu.

D3: Przydziel zasób (maksymalnej możliwej ilości) do zadania, które m a najm niejszy współczynnik Bj/Wj . Postępuj tak, aż do wykorzystania zasobu.

5.2. A n aliza e k s p e ry m e n ta ln a

W celu przebadania jakości rozw iązań dostarczonych przez algorytmy D1-D3 wygenerowano 1100 instancji badanego problem u. Param etry instancji były generowane zgodnie z rozkładem jednostajnym na następujących p rz e d z ia ła c h :^ e [l;1 0 0 ], e [l;1 0 ],

Wf e [ 1;10], k j e [l;1 0 ], u ) = 0 , u ) ' e [0 ;ó / / a / ] , u / e j O ; « * '] dla j = 2,...,ks - 1 ,

U e 0

.

. W ygenerow ano dw ie grupy instancji: (1) 100 instancji dla 5 = 1 0 oraz

(2) 1000 instancji dla 5= 100. W szystkie instancje rozw iązano algorytmami D1-D3, dodatkowo instancje (1) rozw iązano optym alnie poprzez przegląd zupełny. Jakość rozw iązań dostarczanych przez algorytmy oceniono za pom ocą następujących wskaźników:

T ( A ) - O P T

tja op t--- d 'a instancji z grapy (1), gdzie T(A) oznacza rozwiązanie dostarczone przez algorytm A e { D l , D 2 , D 3 } oraz O P T oznacza rozw iązanie optymalne;

230 A. Janiak, M. Lichtenstein, P. Słoniński

T ( A ) - T ( D 2 ) . .. . . .

Xa ~ ---„ dla instancji z grupy (2), gdzie T(A) oznacza rozw iązanie dostarczone

i \ U Z . )

przez algorytm A e {D \,D 2 ,D 3 } oraz T(D2) oznacza rozw iązanie dostarczone przez algorytm D2.

U średnione wyniki eksperym entów przedstaw ione s ą w tablicy 2.

Tablica 2 W yniki eksperym entów obliczeniowych dla

algorytm ów D l-D 3

A D l D2 D3

i A ° M 156,10 2,37 3,97

x A aM 143,90 3,09 6,38

W yniki eksperym entów p o k az u ją że algorytm D l je s t praktycznie bezużyteczny.

R óżnica m iędzy algorytm am i D 2 i D3 je st n iezn aczn ą z niew ielką p rzew agą algorytm u D2.

Jednak dla znacznej liczby instancji, to właśnie algorytm D3 dostarczał najlepszego rozw iązania. Złożoność obliczeniow a tych algorytm ów je st taka sa m a,a czas działania jest porównyw alny, co nie pozw ala nam w skazać lepszego z nich. Zarówno algorytm D 2, ja k i D3 dostarczają rozw iązań o porównywalnej jakości.

6. Podsumowanie

W niniejszej pracy rozpatrywano problem szeregow ania zadań z przezbrojeniami sekw encyjnie niezależnym i zadanym i jako nierosnące, liniow e funkcje zależne od dodatkow ych zasobów . W rozpatrywanym problem ie przyjęto występowanie ograniczenia technologii grupowej. Jako kryterium m inim alizacji przyjęto sumę w ażonych czasów zakończenia w ykonywania. Rozpatrzono dwa przypadki problem u: pierw szy - dla zasobu podzielnego w sposób ciągły oraz drugi - dla zasobu podzielnego w sposób dyskretny.

W ykazano szereg specyficznych w łasności problem u oraz udowodniono, że problem z zasobem podzielnym w sposób dyskretny należy do klasy problem ów N P-trudnych. Dla obu przypadków problem u zaproponowano przybliżone algorytmy heurystyczne, których efektyw ność spraw dzono eksperymentalnie. Pom im o w ielu starań nie udało się określić złożoności obliczeniow ej problem u z zasobem podzielnym w sposób ciągły. D alsze badania będ ą skierow ane na badanie wyżej przedstaw ionego problem u przy innych kryteriach

M inim alizacja sum y w ażonych czasów... 231

optymalizacji oraz z dodatkowym i param etram i zadań, takim i ja k term iny dostępności, linie krytyczne itp.

LITERATURA

1. Aliahverdi A., G upta J.N.D, Aldow aisan T.: A review o f scheduling research involving setup considerations. O m ega International Journal o f M anagem ent Science, vol. 27, 1999, pp.219-239.

2. Janiak A.: Scheduling independent one-processor tasks w ith linear m odels o f release dates under a given m axim um schedule length to m inim ize resource consumption. Journal o f System A nalysis - M odeling - Simulation, vol. 7, 1990, pp. 885-890.

3. Janiak A.: Single m achine scheduling problem w ith a com m on deadline and resource dependent release dates. European Journal o f Operational Research, vol. 53, 1991, pp.

317-325.

4. Janiak A., K ovalyov M .Y.: Single m achine scheduling subject to deadlines and resource dependent processing tim es. European Journal o f Operational Research, vol. 94, 1996, pp.284-291.

5. C heng T.C .E., Janiak A., Kovalyov M .Y.: Single m achine batch scheduling w ith resource dependent setup and processing times. European Journal o f Operational Research, vol.

1 35,2001, pp. 177-183.

6. Panw alkar S.S., Rajagopalan R.: Single m achine sequencing w ith controllable processing tim es. European Journal o f Operational Research, vol. 59, 1992, pp.298-302.

7. Potts C.N., K ovalyov M.Y.: Scheduling w ith batching: A review. European Journal o f Operational Research, vol. 120,2000, pp.228-249.

8. Sm ith W .E.: V arious optim izers for single-stage production. N aval Research Logistics Quarterly, vol. 3, 1956, pp. 59-66.

9. V ickson R.G.: Two single-m achine sequencing problem s involving controllable processing tim es. AIIE Transactions, vol. 12,1980,258-262.

Recenzent: D r hab. inż. Ewa Dudek-Dyduch, Prof. AGH

A b strac t

Scheduling problem s w ith setups consideration have many practical applications, which can be found either in production as well as in com puter systems. In such problem s jobs are grouped into families, and during jo b processing, between two jo b s w hich belong to different fam ilies a setup is inserted. The setup tim e m ay depend either on the family w hich is processed and the fam ily w hich will be processed (sequence-dependent setups) o r only on the

232 A. Janiak, M. Lichtenstein, P. Sloninski

fam ily w hich w ill be processed (sequence-independent setups). There also m ay be considered a G roup Technology (GT) restriction w hich require that jo b fam ilies cannot be split into sm aller batches. In this paper w e consider a single m achine scheduling problem w ith GT restriction and w ith sequence-independent setup tim es given as som e linear, nonincreasing functions dependent on resources. T he objective is to find a sequence o f fam ilies and the sequence o f jo b s w ithin the fam ilies, w hich m inim ize the total w eighted com pletion time under a given constraint on the total resource consumption. The cases w ith continuously and discretely divisible resource are considered. W e show that the problem w ith discretly- divisible resource is N P-hard, and w e propose an approxim ation algorithm , w hich efficiency is verified by som e experim ental analysis. The com putational com plexity o f the problem with continuously-divisible resource rem ains an open question, however, we have derived some specific problem properties, w hich allow us to propose several approxim ation algorithms.

Perform ed extensive num erical experim ents show that the proposed algorithm s can be used to solve a w ide range o f problem instances.